目标规划的数学模型

解 设x1, x2 分别表示该制造厂每年生产的A、B两种 型号汽车的数量，则可建立该问题的数学模型如下
max Z 4000x1 3000x2
2x1 2x2 1600 s.t.5x1x1420.05x2 2500
x1 0, x2 0
它的最优解为: x1 =200, x2 =600, z =260万元。
4.1 目标规划的数学模型
线性规划：在一组线性约束条件下求一个线性函数的极值问题。
线性规划的局限性
只能解决在一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标 的最大或最小值的问题。
但是，在实际决策中，衡量方案优劣常常需要考虑多个目标,例如 ：质量、利润、需求量、运输费用等，这些目标中，有主要的， 也有次要的；有最大的，也有最小的；有定量的，也有定性的； 有互相补充的，也有互相对立的，此时线性规划则无能为力。
❖ 对所有的目标函数建立约束方程，并入原来的约束条件中， 组成新的约束条件；
❖ 引入目标的优先等级和加权系数；建立使组合偏差最小的目 标函数。
1.正负偏差变量 ｄ＋——超出目标的差值，称正偏差变量； ｄ-——未达到目标的差值，称负偏差变量。 ｄ＋与ｄ－两者必有一个为零
（1）ｄ-＝0，ｄ＋>0 表示实际值超出规定目标值； （2）ｄ->0，ｄ＋＝0 表示实际值未达到目标值； （3）ｄ-=0，ｄ＋＝0 表示实际值同目标值恰好一致。
假设制造厂的经营目标不仅仅是利润，而是要考虑多个方面 的目标:
(1) 希望达到或超过原计划利润指标260万元； (2) 根据市场的需求，A型号汽车的产量不超过300辆； (3) 充分利用工厂的有效工时，尽量不加班； (4) 原材料的消耗量不超过库存量．
是否可以用线性规划解决上述多目标的问题？
线性规划模型存在以下几方面的局限性:
能地小，即minz=f（d-） .
对例4.1.1的问题，依次考虑上面的四个目标：
（1）应尽可能达到或超过原计划利润指标260万元，即
4000x1 3000x2 d1 d1 2600000
(2) A型号汽车的产量不应超过300辆，即
x1 d2 d2 300 (3) 充分利用工厂有效工时，尽量不加班，即
j 1
s.t.
n
aij x j
(, )bi ,i 1, 2,, m
j 1
x
j
0,
j
1, 2,, n
d
k
,
d
k
0, k
1, 2,,
K
建立目标规划数学模型的步骤可以归纳为：
(1) 根据实际问题所要满足的条件与达到的目标，设出决策变 量，列出目标约束和绝对约束；
❖ LP只能处理单目标优化问题。因此，线性规划模型中人为地 将一些次要目标转化为约束。
❖ LP要求问题的解必须满足全部约束条件，但实际中并非所有 约束都必须严格满足。
❖ LP中各个约束都处于同等重要地位，但实际问题中各个目标 既有层次上的差别，又有权重上的区分。
❖ LP寻求最优解，但很多问题只要找到满意解即可。
2600000
s.t.
5x1 2 x1
Biblioteka Baidu
2.5x2 2x2
d3 d4
d3
d
4
2500 1600
x1
0, x2
0
d1
,
d1
,
d2
,
d2
,
d3
,
d3
,
d
4
,
d
4
0
目标规划的一般数学模型为：
L
K
min z
Pl [
(lk
d
k
lk
dk
)]
l 1 k 1
n
ckj x j
dk
d
k
gk , k 1, 2,, K
目标规划（Goal Programming）
在线性规划的基础上发展起来的解决多目标规划问题的 最有效的方法之一。
1961年，美国经济学家查恩斯(A.Charnes)和库柏 (W.W.Cooper)在《管理模型及线性规划的工业应用》一书中 首先提出目标规划。
1976年伊格尼齐奥发表了《目标规划及其扩展》一书， 系统归纳总结了目标规划的理论和方法。
2.绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的等式和不等式约束，如 线性规划问题中的所有约束条件都是绝对约束．目标约束 是目标规划特有的约束，它把右端常数项作为要追求的目 标值．
3.优先因子和权系数
（1）在目标规划中，如果两个不同目标的重要程度相差 悬殊，为达到某一目标可牺牲其他目标，称这些目标是属 于不同层次的优先级。优先级层次的高低可通过优先因子 P1，P2……表示。并规定P k » P k+1 ，即不同优先级之间 的差别无法用数字大小衡量。 （2）对属于同一层次优先级的不同目标，其重要程度的 差别可以通过设置权系数来表达。权系数越大，表示目标 越重要。
例4.1.1 某汽车制造厂生产A、B两种型号的汽车，该 制造厂每年原材料的供应量为1600吨，生产一辆汽 车所需要的原材料都是2吨，工厂的生产能力是每5 小时可生产一辆A型号汽车，每2.5小时可生产一辆 B型号汽车，制造厂全年的有效工时为2500小时； 已知供应给该厂A型号汽车用的轮胎每年可装配400 辆． 根据调查，生产每辆A型号汽车可获利4000元 ，B型号汽车为3000元．负责人如何安排生产计划 可使该制造厂每年所获利润最大？
为了解决上述多目标的规划问题，就需要使用目标规划 的方法。
目标规划解决上述LP建模中的局限性的方法：
❖ 对每个目标函数确定一个希望达到的期望值(目标值或理想 值)；由于各种条件的限制，这些目标值往往不可能全部都 达到；
❖ 对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量，分别表示超过 或未达到目标值的情况；
4. 目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是由各目标约束的正、负偏差变量及 其相应的优先因子、权系数构成的函数，目标函数应该是 求极小
minz=f(d-, d＋)
1. 要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量尽可能地小, 即 minz=f(d-+d＋); 2.要求不超过目标值，即允许达不到目标值，但正偏差 变量尽可能地小，即minz=f(d＋); 3.要求超过目标值，即超过量不限，但负偏差变量尽可
5x1 2.5x2 d3 d3 2500
（4）原材料的消耗量不超过库存量，即
2x1 2x2 d4 d4 1600
根据目标之间的相对重要程度，分等级和权重，得到目标规划 模型：
min
Z
=
P1
d1
P2
d
2
P3
(d3
d3
)
P4
d4
4x1000dx21
3000x2 d1
d
2
300
d1