第十一章-现代利率期限结构

现代利率期限结构理论——均衡模型

CIR模型（1985）

假设短期利率的历史数据服从如下随机过程：

假定零息票债券的到期时间是 ，则零息票债 券在 时的价格为：
现代利率期限结构理论——均衡模型

假定零息票债券的到期时间是 ，则零息票债 券在 时的价格为：
现代利率期限结构理论——均衡模型


CIR模型的参数估计方法和Vaseick模型的类似。 第一类方法对应的极大似然函数为
第十一章 现代利率期限结构模型
学习目标


掌握现代利率期限结构现代理论-均衡模型 掌握现代利率期限结构理论-无套利模型 能够建立现代利率期限结构模型模拟固定收益 证券价格
现代利率期限结构理论——均衡模型

单因子模型：将整条收益率曲线看作是短期利率的函 数，当无风险短期利率变化时，具有不同到期时间的 各种债券价格的变化是时相关的。

第二类方法对应的极大似然函数为
现代利率期限结构理论——均衡模型

双因子CIR模型

模型假定短期利率是两个因子之和，这两个因子服 从CIR模型指定的随机过程：

假定零息票债券的到期时间是 ，则零息票债券在 时的价格为：
现代利率期限结构理论——无套利模 型

Ho-Lee无套利模型（1986）

短期利率和债券价格变化符合二叉树模型，示意图 如下

Ho-Lee模型的问题：

允许负的利率出现； 短期利率的波动率是个常数，与利率水平无关； 期限结构的动态变化只受短期利率的影响。
现代利率期限结构理论——无套利模 型

Hull-white（1990）模型

假定短期利率满足随机过程：

贴现债券价格满足
现代利率期限结构理论——无套利模 型






c(2)=0;c(4)=0;c(6)=0;c(7)=0; for i=1:464 DeltaR(i)=r(i+1)-r(i); c(2)=c(2)-DeltaR(i)^2*365/2; c(4)=c(4)-DeltaR(i)*r(i); c(6)=c(6)+r(i)/365; c(7)=c(7)-r(i)^2/(2*365); end c(1)=-464/2;c(3)=r(465);c(5)=-464/(2*365); % x(1),x(2),x(3)是待估参数 F=-(c(1)*2*log(x(1))+x(1)^(-2)*(c(2)+c(3)*x(2)*x(3)+ c(4)*x(2)+c(5)*x(2)^2*x(3)^2+c(6)*x(2)^2*x(3)+c(7)*x(2)^2)); clear; [x,fval]=ga(@shortinterest, 3,[],[],[],[],[0.0001 0 0],[1 50 1],[],[])

在风险中性测度 下，短期利率的变化过程表示为：
现代利率期限结构理论——均衡模型

假定零息票债券的到期时间是 ，则零息票债 券在 时的价格为：
1 e 2 2 1 e ~ ~ Bt (t ) exp( (rt ) (1 e 2 ) ( )) 3 2 4 2
现代利率期限结构理论——无套利模 型

模拟此二叉树过程的具体步骤：

现代利率期限结构理论——无套利模 型

模拟此二叉树过程的具体步骤：

h(T )
*
1 (1 ) T
h (T )

T (1 ) T
T h(T )
3. wenku.baidu.com后
现代利率期限结构理论——无套利模 型

短期利率模型一般形式

推导零息债券的价格的方法，


利用伊藤引理推导出零息债券的价格满足的偏微分方程，使用 分析或者求数值解的方法得到零息债券的价格； 基于风险中性测度的条件下，计算零息债券价格的条件期望值。
现代利率期限结构理论——均衡模型

Vasicek模型（1977）

假设短期利率的历史数据服从如下随机过程：
t
*
*
t
t
t
t
t
t ,
t ,

2

2
t
现代利率期限结构理论——均衡模型

第一类方法：
现代利率期限结构理论——均衡模型

第二类方法：
现代利率期限结构理论——均衡模型




使用中国债券市场七日回购利率两周加权平均 数据模拟短期利率动态模型，样本区间2008年 6月20日-2010年4月29日，样本数据共465个。 样本数据集命名为randominterest.xls。 使用Vasieck模型的matlab代码: function F = shortinterest(x) [r,Txt]=xlsread('D:\\mfile\randominterest'); t=Txt(:,2);

Vasicek模型的参数估计 首先，将短期利率变化离散化
现代利率期限结构理论——均衡模型


到期期限 T t 的零息票债券价格是B (t ) ,实际 零息债券的价格设为 B (r , ) ,则 ln B (r , ) ln(B (t )) , ~ 其中 ~ N (0, ) 是残差, , , , , 是待估参数。 考虑到 w ~ N (0, t ) 和 t , ~ N (0, 2 ) ，可以使用极大 似然函数法估计参数，假设有N+1天的短期利 率样本数据和M个第N+1天的具有相同到期日 的零息债券价格数据，估计第N+2天零息债券 价格。我们可以使用两类方法估计模型参数， 进而估计零息债券价格。


构建Hull-White三叉树模型
1. 短期利率离散化
把短期利率 的微分方程转化成 满足的微分方程

进一步离散化有
现代利率期限结构理论——无套利模 型

2.
现代利率期限结构理论——无套利模 型

r(t)三叉树的构建

假设
现代利率期限结构理论——无套利模 型

则有