第十一章-现代利率期限结构
经济师中级金融复习之利率期限结构理论
经济师中级金融复习之利率期限结构理论一、中级经济师金融利率期限结构理论（1）纯预期理论该理论把当前对未来的预期是决定当前利率期限结构的关键因素。
核心论点是远期利率等于市场对于未来实际利率的预期。
该理论认为，市场因素使任何期限长期债券的收益率等与当前短期债券收益率与当前预期的超过到期的长期债券收益率的未来短期债券收益率的几何平均。
如果买卖债券交易成本为零，上述假设成立的话，该理论结论是：投资者购买长期债券并持有到期所获得的收益与在同样时期内购买短期债券并滚动操作获得的收益相同。
即无论投资者采取什么样的投资策略，他都可以期望得到同样的收益率。
「例」假设1年的即期利率r1=8%，第二年的期望利率E（r2）=10%.如果债券按这样的利率结构定价，1年期零息债券的价格应为1000美元/1.08=925.93美元，2年期零息债券的价格为1000美元/（1.08×1.10）=841.75美元。
纯预期理论对收益率曲线形状的解释：市场参与者预期未来短期利率等于目前的短期利率——收益率曲线为水平线市场参与者预期未来的短期利率下降—收益率曲线向下倾斜市场参与者预期未来的短期利率上升-——收益率曲线向上倾斜（2）分隔市场理论该理论认为不同期限债券间的替代性极差，即无法替代；而且资金的供给方和需求方对特定期限又有极强的偏好。
由于不同期限债券的低替代性所以资金从一种期限债券流向另一处具有较高利率期限债券的几乎不可能。
所以，该理论认为公司及财政部债券管理决策对收益曲线的形态有重要影响。
如果当前的企业和政府主要发行长期债券，那么收益曲线相对陡些；如果当前主要发行短期债券，那么短期收益率将高于长期收益率。
（3）期限偏好理论期限偏好理论综合了期限结构其余三种理论的内容。
该理论假设借款人和贷款人对特定期限都有很强的偏好。
但是，如果不符合机构偏好的期限赚取的预期额外回报变大时，实际上它们将修正原来的偏好的期限。
期限偏好理论是以实际收益为基础的，即经济主体和机构为预期的额外收益而承担额外风险。
利率期限结构的理论与模型
三、 现代利率期限结构理论
11 模型的一般构成 现代利 率期限 结构研究 与衍生 证券的 定价一 直是密 不 可分的。现代利 率期 限结 构理论 认为 , 在确 定利 率时 , 许 多 因素都在同时起作 用。各种 利率的 运动 过程 均表现 出一 定 的随机性 , 但同时又 具有 向一个 均衡 水平 靠拢的 行为 , 即 均 值回复行为。收益率 曲线 的形 状也会 随着 时间而 改变。 为 描述利率的随机 行为 , 人 们在研 究中 引入 随机微 积分 , 用 随 机期限结构 模型来刻画 利率 与期限 之间 的非 确定性 函数 关 系及其变化。 常见的随机期限结构模型和衍生证券 定价模型 , 按其 研 究方法 可 分 为 无 套 利 模 型 和 均 衡 模 型 两 大 类。 Vasicek ( 1977) , Ho 与 lee ( 1986) , Hull 与 White ( 1993 ) 以 及 Heath, Jarrow 和 Morton( 1992) 等 属于 第一 类。Vasicek( 1977) 的 利 率 期限结构模型中将瞬时利率 r 运动的风险中性过程表 述为 : dr= k( H- rt ) dr+ RdW( t) , , , , , , , , , ( 6) 这里 , k 为均值回复速度 , H 为长期均衡 的利率水 平 , R 为 利率的波动率 , W( t) 为维纳过程 , 该过程的漂移率 k( H- rt ) 能 很好地描述均值回 复现象。 但利用 该模 型来 描述利 率运 动 的不足之处就是瞬时利率 rt 在未来可能 为负值 , 这显然与 现 实相违背。 Merton( 1973) 和 Cox, Ingersoll, Ross( 1985) 的工作 属于 第 二类。在 Merton( 1973) 的 模型中 , 瞬 时利 率服 从下述 随机 微 分方程 : drt = udt+ RdW( t) , , , , , , , , , , , , ( 7) 该模型 认为瞬时利 率的 漂移项 是参 数为 u 的简 单布 朗 运动。 CIR( 1985) 在对未来事 件的预 期、 风 险偏好、 市 场参与 者 个人偏好、 消费时间 的选 择通盘 进行 了考 虑之后 , 建 立了 一 个基本的瞬时利率模型 : dr= k( H- r) dt+ R rdW( t) , , , , , , , , , ( 8) 这里 , 漂移率 k( H- r) 可 以描 述 均值 回 复现 象 , 波 动 率 R r 含有 r, 可克服 Vasicek( 1977) 模型 r 可能为负数的弱点。 21 基于仿射条件下的单因素模型 由于单因素模型可以方便地扩展为多 因素模型 , 下面 仅 对单因素模型进行推导。推导是基于仿射 条件下的 , 因为 在 该条件下可 以得到利率 动态 过程所 满足 的偏 微分方 程的 闭 端解 , 此性质对于研究利率的动态过程具有很 高的价值。 仿射期限结构模型是由 Duffie 与 Kan( 1996) 提出的 , 其中 单因素仿射期限结构 模型包 含了 Vasicek( 1977) , CIR( 1995a, b) , Longstaff 与 Schwarts( 1992) 以及其他一些模型。仿射是指 , 对一个函数 f, 如果存 在常数 a、 b, 使 得对所 有 x, 都 有 f( x) = a+ bx, 那么 f 就是仿射函数 , 即 f 是关于 x 的线性函数。仿射 模型也称线性 ( 多 ) 因子模型 , 这里的 x 可以是多 维向量。 仿 射模型假定 未来利率期 限结 构的运 动依 靠于 一些可 以观 察 到 , 或不可以观察到 的要 素或称 为状 态变 量 , 同时假 定市 场
利率期限结构理论
传统的利率期限结构理论
短期利率的期望值可以通过远期利率基于 三种不同的理论来估计。
➢ 市场期望理论 ➢ 流动性偏好理论 ➢ 市场分割理论
未来利率期限结构
当前零息债券的价格
当前不同期限债券的到期收益率
当前利率期限结构
远期利率 未来短期利率的期望值
三种不同的假定：
（1）市场期望理论 （2）流动性偏好理论 （3）市场分割理论
三名美国经济学家提出 。
②局部均衡分析： Ho-Lee模型 创始人是两个韩国人托马斯·侯（Thomas.y.ho）和李尚宾（Sangbing Lee
市场期望理论
假设条件：
1. 投资者风险中性 ▪ 仅仅考虑（到期）收益率而不管风险。 ▪ 或是在无风险的确定性环境下。
2. 所有市场参与者都有相同的预期，金融市场 是完全竞争的；
▪ 长期债券收益要高于短期债券收益，因为 短期债券流动性高，易于变现。而长期债 券流动性差，人们购买长期债券在某种程 度上牺牲了流动性，因而要求得到补偿。
由于投资者不愿意投资长期债券，因此为了吸引投资者， 投资两年期债券的收益，应高于先投资1年期债券后， 再在下1年再投资1年期债券的收益，即
(1 y2l )2 (1 y1)(1 E(r2))
3. 在投资人的资产组合中，期限不同的债券是 完全替代的。
▪ 在上述的假定下，投资于两年到期的债券的总报 酬率，应等于首先投资于1年到期的债券，随后 再转投资于另一个1年到期的债券所获得的总报 酬率，即
(1 y2)2 (1 y1)(1 E(r2))
第1年投资（已知）
第2年投资（预期）
根据远期利率公式有 (1 y2 )2 (1 y1)(1 f2 )，则
给和需求，从而形成不同的市场，它们之间不能互相替代。根据供求 量的不同，它们的利率各不相同。
利率期限结构
利率期限结构(term structure),是某个时点不同期限的利率所组成的一条曲线.因为在某个时点,零息票债券的到期收益率等于该时期的利率,所以利率期限结构也可以表示为某个时点零息票债券的收益率曲线(yield curve).它是资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机等的基准.因此,对利率期限结构问题的研究一直是金融领域的一个基本课题.利率期限结构是一个非常广阔的研究领域,不同的学者都从不同的角度对该问题进行了探讨,从某一方面得出了一些结论和建议.根据不同的角度和方向,这些研究基本上可以分为5类:1)利率期限结构形成假设;2)利率期限结构静态估计;3)利率期限结构自身形态的微观分析;4)利率期限结构动态模型;5)利率期限结构动态模型的实证检验.1利率期限结构形成假设利率期限结构是由不同期限的利率所构成的一条曲线.由于不同期限的利率之间存在差异,所以利率期限结构可能有好几种形状:向上倾斜、向下倾斜、下凹、上凸等.为了解释这些不同形状的利率期限结构,人们就提出了几种不同的理论假设.这些假设包括:市场预期假设(expectation hy-pothesis),市场分割假设(market segmentation hy-pothesis)和流动性偏好假设(liquidity preference hy-pothesis).为了对这些假设进行验证,不同的学者从不同的角度进行了分析.不同的学者利用不同的方法,使用不同国家的数据对利率期限结构形成假设进行了检验.在3个假设中,市场预期假设是最重要的假设,所以大多数的研究都是立足于市场预期假设,并在此基础上考虑流动性溢酬.4)中国市场.庄东辰[19]和宋淮松[20]分别利用非线性回归和线性回归的方法对我国的零息票债券进行分析.唐齐鸣和高翔[21]用同业拆借市场的利率数据对预期理论进行了实证.实证结果表明:同业拆借利率基本上符合市场预期理论,即长短期利率的差可以作为未来利率变动的良好预测,但是短期利率也存在着一些过度反应的现象.此外,还有杨大楷、杨勇[22],姚长辉、梁跃军[23]对国债收益率的研究.但这些研究大部分都是停留在息票债券的到期收益率上,没有研究真正意义上的利率期限结构.2利率期限结构静态估计当市场上存在的债券种类有限时(特别对债券市场不发达国家而言),如何根据有效的债券价格资料对整个利率期限结构进行估计,是进行债券研究的一个重要内容.不同的学者提出了不同的估计方法,其核心就是对贴现函数δ(m)的估计.郑振龙和林海[31]利用McCulloch[25]样条函数和息票剥离法对我国市场利率期限结构进行了静态估计,构造出中国真正的市场利率期限结构.朱世武和陈健恒[32]则使用Nelson-Siege-Svensson[33]方法对我国交易所市场的利率期限结构进行了估计.郑振龙和林海[34]估计出中国债券市场的违约风险溢酬并进行了分析.林海和郑振龙[35]对中国市场利率的流动性溢酬进行了估计和分析.林海和郑振龙[36]对这些问题进行了统一和归纳,并分析了其在中国金融市场的具体运用.3利率期限结构自身形态微观分析利率期限结构的变动也有平行移动和非平行移动.由于利率直接和债券的收益率相关,这些不同方式的移动对债券组合的收益会产生很大的影响,并进而影响债券组合管理的技术.为了衡量利率期限结构的形状变动对债券投资组合的影响并在此基础上进行有效的管理,达到“免疫”的目的,众多的学者对利率期限结构本身的形态作了大量的分析,并对利率期限结构的平行移动和非平行移动条件下的债券组合套期保值的问题进行了深入研究. Zimmermann[40],D'Ecclesia&Zenios[41], Sherris[42],Martellini&Priaulet[43],Maitland[44], Schere&Avellaneda[45]分别对德国、瑞士、意大利、澳大利亚、法国、南非、拉美等国家和地区的利率期限结构进行了主成分和因子分析.朱峰[46]和林海[47]对中国的市场利率期限结构进行了主成分分析,并在此基础上对中国债券组合的套期保值提出了若干建议.4利率期限结构动态模型4.1基本利率期限结构动态模型根据利率期限结构模型的推导过程,可以分为两种类型:第一种类型就是一般均衡模型(Equilibriummodel),根据市场的均衡条件求出利率所必须遵循的一个过程,在这些模型中,相关的经济变量是输入变量,利率水平是输出变量;另一种类型是无套利模型(No arbitrage model),通过相关债券等资产之间必须满足的无套利条件进行分析,此时利率水平是一个输入变量,相关金融工具的价格是输出变量.必须特别指出的是,这些模型都是建立在风险中性世界中,所描述的均是风险中性世界中的利率变动行为.而实证检验都是利用现实世界的利率数据进行的.因此,在将现实世界中的估计结果运用于衍生产品定价时,必须先利用模型相对应的风险价格②通过Girsanov定理将现实世界转换为风险中性世界,然后再利用风险中性世界中的相应结果进行定价.1)一般均衡模型.主要包括Vasicek[66]模型和Cox,Ingersoll&Ross(CIR)[67,68]模型,此外还有Rendleman&Barter[69],Brennan&Schwartz[55]等.2)无套利模型.主要包括HJM[70]模型,Ho&Lee[71]以及Hull&White[72]模型.此外,还有Black,Derman&Toy[73]等.4.2一般化扩展模型1)仿射模型(Affine Model)2)二次高斯模型(Quadratic Gaussian model)3)非线性随机波动模型(Nonlinear StochasticV olatility Model)4)存在跳跃的利率期限结构模型(Diffusion-jump Model)5)机制转换模型(Regime ShiftModel)5利率期限结构动态模型的实证检验在对利率期限结构模型的理论研究基础之上,众多的学者都对不同的期限结构模型进行了实证检验,以对不同的模型进行判别和比较.实证分析可以分成几个类别:(1)对利率单位根问题的检验;(2)对不同期限结构模型的比较研究;(3)对某个特定期限结构模型的分析;(4)对模型可靠性的分析.5.1对利率单位根的检验Wang&Zhang[89]对利率的单位根问题进行了实证分析,以对利率市场的有效性进行验证5.2对不同期限结构模型的比较研究Durham[92]利用Durham&Gallant[93]的计量分析方法对不同的期限结构模型进行了实证检验. 陈典发[108]对Vasicek模型中参数和实际市场数据的一致性问题进行了研究,并探讨了它在公司融资决策中的应用.谢赤和吴雄伟[109]通过一个广义矩方法,使用中国货币市场的数据,对Vasicek模型和CIR模型进行了实证检验.6利率期限结构研究现状总结性分析根据上面对利率期限结构的文献回顾,可以从中发现利率期限结构研究目前的发展方向.(1)在利率期限结构形成假设方面,市场分割假设逐渐地被人们所遗忘,因为随着市场的发展,技术的进步,市场交易规模的扩大,市场已经逐渐形成一个统一的整体;而且市场预期假设如果没有同流动性溢酬相结合,都会被市场资料所拒绝.流动性溢酬呈现出不断变化的特征.因此,今后的研究方向应该是在市场预期假设的模型框架中引入流动性溢酬假设.(2)在利率期限结构静态估计方面,基本上采用样条函数和息票剥离法.为了保证估计的精确性,样条函数的选择越来越复杂.(3)在利率期限结构自身微观形态分析方面,如何通过对久期的进一步修正,从而使之能够地在利率期限结构非平行移动条件下更为有效地达到套期保值的效果,是该领域未来重要的研究方向.但是由于主成分分析受数据的影响很大,结果很不稳定,所以对主成分分析可靠性的检验,也是一个重要的研究内容.(4)根据对利率期限结构动态模型的实证分析,可以发现:1)不同的模型,不同的计量分析方法,不同的数据,所得出的实证结果都会产生差异.因此,对不同的市场,重要的是模型的适用性.2)实证分析也得出一些基本一致的结论:a.漂移率的假设不会对利率期限结构模型产生太大的影响;b.波动率是利率期限结构模型的重要因素;c.多因子模型要比单因子模型表现得好,但是多因子要牺牲自由度,因此,根据实证结果,两因子模型可能是一个比较好的模型.d.利率一般服从一个均值回归过程.3)基于概率密度预测(density forecast)的样本外检验是利率期限结构实证分析未来的发展方向.4)目前大部分对动态模型的检验都是直接利用实际数据在现实世界中进行的,对现实世界和风险中性世界的差异并未引起足够的重视.1.4 利率期限结构模型的最新进展近年来在HJM 模型类的推动下，利率期限结构理论研究的各种新模型层出不穷，如市场模型、随机弦模型、随机域模型、跳跃过程模型和随机折现因子模型等。
利率期限结构ppt课件
例题
• 策略一 投资于一个两年期债券
1（ 1i2t）2 1
1
• 策略二 连续投资于两个一年期债券
i i 1 (1 )(1 e ) 1
t
t 1
1
套利之下，策略一和策略二的收益率趋于相等
(1i2t)2
(1
it
)(1
ie ) t 1
结论
• 简化
e
i i t
t1
i2t
2
• 一般的
•
e ...... e
市场分割假说对三个事实的解释
• 无法解释第一个事实和第二个事实，因为它将不同期限的债券市场看成完全分割的市场。
• 市场分割假说可以解释第三个事实，即典型的收益率曲线总是向上倾斜的。因为在现实经济 中，人们更偏好期限更短，风险较小的债券，而债券发行者一般倾向于发行长期债券以满足 经济发展之需，使得短期债券价格较高，利率较低，长期债券价格较低，利率较高，因此收 益率曲线向上倾斜。
• 利率期限结构是指债券的到期收益率与到期期限之间的关系，该结构可以用收益率曲线表示，或 者说收益率曲线表示的就是债券的利率期限结构。
三个事实
1 不同期限债券利率随时间一起波动 短期利率低，收益率曲线向上倾斜，反之则反
2
收益率曲线几乎都是向上倾斜的，表明长期利率往往高于短期利率
3
纯粹预期假说 分割市场假说 流动性升水假说
• 即典型的收益率曲线总是向上倾斜的。因为投资者偏好短期债券，故随着债券期限延长，期限补偿亦相应 增加，即便未来短期利率预期平均值保持不变，长期利率也将高于短期利率，从而使得收益率曲线总是向 上倾斜。
i i i t t1
t ( n 1)
int
n
对收益率曲线形状的解释
利率的期限结构投资学财经大学
(五)短期利率和收益率曲线斜率
当下一年度短期利率 r2 大于今年得短期利 率r1时, 收益率曲线 向上倾斜。
暗示收益率预计会 上升。
当下一年得短期利率 r2 小于今年得短期利 率r1时, 收益率曲线 会下降。
暗示收益率预计会 下降。
图 15、3 短期利率和即期利率
(六)根据观察到得收益率解出 未来短期利率
(1 y2 )2 (1 r1)[1 E(r2 )]
也就是5%,利率期限结构呈现水平。 如果下一年得期望短期收益率E(r2) 就是6%,
则两年期即期利率y2将就是5、5%,利率期限 结构呈现向上。而下一年得期望短期收益率 E(r2) 如果就是4%,则两年期即期利率y2将就 是4、5%,利率期限结构呈现向下。
例15、1 附息债券得估值
使用表15、1得折现率,计算3年期, 票面利率为 10% 得附息债券(假设面值为$1000)得价值:
价值
$100 1.05
$100 1.062
$1100 1.073
价值 = $1082、17 ,又有:
1082.17
$100 1.0688
$100 1.06882
$1100 1.06883
利率的期限结构投资学财经大学
一、利率期限结构概述
利率期限结构就是不同期限债券贴现现金流得 利率结构。
通常情况下,期限短得现金流用较低得利率贴 现,即要求较低得收益率;期限长得现金流用较 高得利率贴现,即要求较高得收益率。
收益率曲线显示了收益率和期限之间得关系, 所以收益率曲线就是利率期限结构得图形表现。
收益率曲线有四种类型:
从收益率曲线四种类型中可以看到,不同期限债 券得收益率不相同。
收益率曲线在固定收益证券领域有重要得作用。
2.利率的期限结构
Treasury maturity
A B 1 year 2 years
par
1,000 1,000
coupon rate current price
0 10% 910.50 982.10
1000 910.50 r1 9.83% 910.50
982.10 100 1000 100 100 1100 1 r1 (1 r2 )2 1 9.83% (1 r2 )2
利率的确定
在市场上表现的利率是包含有通货膨胀的影响 在内的,是名义利率 扣除通货膨胀以后的利率是真实利率 名义利率和真实利率的关系
1 名义利率 1 真实利率 1 通货膨胀率
略去高阶小量后:
名义利率 真实利率 通货膨胀率
利率的确定
有风险资产的真实利率(到期收益率)是包含 风险补偿在内的: 名义利率=资金的纯时间价值+通货膨胀率 +风险补偿 前二者的和就构成无风险利率 严格地说,无风险利率应该是资金的纯时间 价值
利率的期限结构
折现现金流公式
Ct PV P 0 t t 1 (1 r ) t
Ct NPV P0 0 t t 1 (1 r )
n
n Ct Ct (1 r )t (1 r )t t 1 t 1 t n
n
Let
利率的确定
利率可以简单看作租用资金的价格 利率水平的高低受到四个基本因素的影响: 1)资本货物的生产能力 2)资本货物生产能力的不确定性 3)消费的时间偏好 4)风险厌恶程度
远期价格
假定有一股票，准备持有一年，期间不分 红，到期出售可获得资本收益（买进卖出 的差价），该股票的预期收益（年率）是 15%，目前的市场价格是100元。如果现在 来订立买卖这种股票的一年期远期合约， 远期价格为F，F的大小应该是多少？
利率期限结构
特定期限偏好理论
Preferred Habitat Theory 远期利率包含远期的预期和流动性溢酬 但是并非长期的流动性溢酬高于短期的流动性溢酬 投资期限、发行期限取决于投资者的资产负债状况 投资者会改变原来的期限偏好使资金供求达到平衡 流动性溢酬是投资者改变偏好的补偿 流动性溢酬可正可负 形状可以为任意
40
市场分割理论
法律制度、文化心理、投资偏好使投资 者各自投资特定期限的债券，形成了以 期限为划分标志的细分市场。 各个期限市场上的利率完全有各自的供 求决定，单个市场利率变化不影响其他 市场 利率期限结构说明了不同的市场的均衡 利率不同
41
图示
Yield Dm Sm Ss Ds Sl Dl
Years to maturity
31
持有到期的（预期）收益： （1+8.995%）*（1+8.995%） 滚动投资的预期收益： （1+8%）*（1+f2） 无套利决定两者必须相等 第一年到期之后第二年继续投资适用于远期利率
32
远期利率可以由即期利率推出
33
远期利率和即期利率之间的关系
无套利可以推出隐含的远期利率：
(1 + s1 )(1 + f 2 ) = (1 + s2 ) t −1 t (1 + st −1 ) (1 + ft ) = (1 + st ) t (1 + s1 ) × (1 + f 2 ) × (1 + f3 ) × ⋯× (1 + ft ) = (1 + st )
t −1
(1 + s1 ) × (1 + E s1,2 ) × (1 + E s2,3 ) × ⋯× (1 + E st −1,t ) = (1 + st )
金融数学课件--(10)利率的期限结构
利率的期限结构 term structure of interest rate
26
套利
套利机会：当资产的定价不一致时，就可能存在套利机会。通过同时 的买入和卖出，实现套利。
例：一个年息票率为5%的两年期债券的价格为101元，面值为100元。1年 期的即期利率为4.5%，2年期的即期利率为5%。试确定是否存在套利 机会。 解：按即期利率计算的债券价格为：
P
Ct (1 rt )
例：三年期债券的价格为100元，f0 = 5%, f1=6.0227%，计算 2年期的远期利率。 解：
100 6 1 f0 6 (1 f 0 )(1 f 1 ) 106 (1 f 0 )(1 f 1 )(1 f 2 )
100
6 1 .0 5
6 (1 .0 5)(1 .0 6 0 2 7 7 )
12
远期利率
远期利率（forward rate）：未来两个时点之间的利率水平，
由一系列即期利率所确定。
例：如果1年期的即期利率是5%，2年期的即期利率是5.2%， 求其隐含的第一年末到第二年末的远期利率 f ？ 解： (1 + 5%)(1 + f ) = (1 + 5.2%)2 f = 5.4%
券的面值为100元。 解：该债券的价格为
P
Ct (1 rt )
t
利率期限结构模型
Vasicek模型（Vasicek，1977）
均衡模型 CIR模型（Cox、Ingersoll&Ross，1985） Ho-Lee模型（Ho&Lee，1986） 套利模型 Hull-White模型（Hull&White，1990） HJM模型（Heath, Jarrow&Morton，1992）
动态模型
2 3 Ds ( ) 1 b s c s d s 0 1 1 1 3 3 2 3 Ds ( ) 1 b s c s d s 5 d s 5 s 5 1 1 1 2 D ( s ) 3 2 3 D ( s ) 1 b s c s d s 5 s 1 0 1 1 1 3 3 3 d s 5 s 1 0 d s 1 0 2 3
s [0 ,T1] s [T 1,T 2 ] s [T 2 ,T 3 ]
， 模型中，除了 a u也是一个参数，并且有明显的经济含 i ,b i ,c i ,d i外 义。Vasicek and Fong (1982)证明了如下等式：
u limf (0 , s)
s
即，u可以被认为是当前的起息日为未来无限远时的瞬间远期利率。
一般选用如下形式的多项式样条函数：
2 3 D ( s ) a bs c s d s 1 1 1 1 1 2 3 D2 (s) a2 b2s c2s d2s D(s) 2 3 D3 (s) a3 b3s c3s d3s ...........
利率期限结构模型
利率期限结构模型简介
利率期限结构相关符号表：
B (t , T ) :
在未来时间T到期的零息票债券在时间t的价格，即在未来时间T 支付单位1的债券在时间t的价格。
利率期限结构理论、模型及应用研究共3篇
利率期限结构理论、模型及应用研究共3篇利率期限结构理论、模型及应用研究1利率期限结构理论是经济学中研究债券市场的重要理论之一，主要研究不同期限债券的利率之间的关系以及这种关系背后的经济因素及其影响。
利率期限结构理论的研究和应用有助于我们更好地理解债券市场的运作和未来利率的走势，从而指导投资决策。
利率期限结构理论最早可以追溯到20世纪30年代，在此后的几十年里，经济学家们不断完善和发展这一理论。
其中，最受关注的应该是尼尔森-西格尔森模型，该模型从预测利率的视角出发，将利率期限结构分解为实际利率、期望通货膨胀率和风险溢价三个部分，较为准确地描绘了不同期限利率间的变化规律。
此外，利率期限结构理论的应用涉及领域较广，不仅有助于分析债券价格以及不同期限利率之间的关系，还可以用于预测未来的经济走势。
例如，在金融危机期间，许多国家的央行通过调整短期利率来刺激经济增长。
利率期限结构理论对于解释这种政策效果起到了重要的作用。
此外，利率期限结构理论也经常被用于金融工程领域，例如对利率互换、期权等金融工具进行评估和定价等。
那么，在实践中，我们如何运用利率期限结构理论呢？首先，我们需要对市场上各种不同期限的债券利率进行观察和分析。
利率期限结构理论中，不同期限的利率水平和波动率都会不同，这是由资金流动、通胀预期、市场情绪等因素共同决定的。
在分析利率期限结构时，我们需要结合各种经济数据和政策预期，对未来的经济走势进行预测。
其次，我们需要将利率期限结构理论应用到具体的金融产品中。
例如，在银行某个业务部门中，我们需要对债券、利率互换等金融产品进行定价和风险管理。
此时，利率期限结构理论可以被用于解释不同期限产品之间的风险溢价以及其定价规律，从而更加准确地评估这些金融产品的价值和风险程度。
最后，利率期限结构理论的研究和应用也可以帮助我们更好地理解整个经济体系中各种金融产品和市场之间的关系。
例如，在金融市场上，不同期限债券的供求关系和利率变化，对于股票、汇率等市场也会产生影响。
第十一章-现代利率期限结构
第二类方法对应的极大似然函数为
现代利率期限结构理论——均衡模型
双因子CIR模型
模型假定短期利率是两个因子之和，这两个因子服 从CIR模型指定的随机过程：
假定零息票债券的到期时间是 ，则零息票债券在 时的价格为：
现代利率期限结构理论——无套利模 型
Ho-Lee无套利模型（1986）
短期利率和债券价格变化符合二叉树模型，示意图 如下
Vasicek模型的参数估计 首先，将短期利率变化离散化
现代利率期限结构理论——均衡模型
到期期限 T t 的零息票债券价格是B (t ) ,实际 零息债券的价格设为 B (r , ) ,则 ln B (r , ) ln(B (t )) , ~ 其中 ~ N (0, ) 是残差, , , , , 是待估参数。 考虑到 w ~ N (0, t ) 和 t , ~ N (0, 2 ) ，可以使用极大 似然函数法估计参数，假设有N+1天的短期利 率样本数据和M个第N+1天的具有相同到期日 的零息债券价格数据，估计第N+2天零息债券 价格。我们可以使用两类方法估计模型参数， 进而估计零息债券价格。
短期利率模型一般形式
推导零息债券的价格的方法，
利用伊藤引理推导出零息债券的价格满足的偏微分方程，使用 分析或者求数值解的方法得到零息债券的价格； 基于风险中性测度的条件下，计算零息债券价格的条件期望值。
现代利率期限结构理论——均衡模型
ห้องสมุดไป่ตู้
Vasicek模型（1977）
假设短期利率的历史数据服从如下随机过程：
投资学之利率的期限结构概述(PPT 29页)
15-8
确定的收益率曲线
• 假设你想投资两年。 – 购买和持有2年期零息债券 或者 – 循环投资1年期零息债券
• 上述要达到平衡，必须要求两种策略 提供相同的收益。
15-9
图15.2 两个2年期投资计划
15-10
确定的收益率曲线
• 购买和持有与循环投资:
1
f4
1 y4 4 1 y3 3
1.084 1.073
1.1106
f4 11.06%
15-16
利率的不确定性
• 假设今天的利率是5% ，下一年的期望短
期收益率是E(r2) = 6，两年期零息债券的 价格：
$1000
1.051.06
$898.47
• 一年期零息债券的价格:
$1000 $952.38 1.05
• 债券价值等于各个部分的价值之和。
15-5
表15.1 零息债券的价格和到期收益率( 面值 1000美元)
15-6
Example 15.1 附息债券的估值
• 使用表15.1的折现率，计算3年期, 票面利率 为1$100 1.05
$100 1.062
$1100 1.073
15-13
图 15.3 短期利率和即期利率
15-14
根据观察到的收益率解出短期利率
(1
fn)
(1 yn )n (1 yn1 )n1
fn = n期的远期利率 yn = n期债券在第n期的到期收益率
(1 yn )n (1 yn1)n1(1 fn )
15-15
例 15.4 远期利率
• 假设远期利率与未来短期利率是相等的。 • 4年期利率= 8%，3年期利率= 7%。
利率期限结构的主成分分析
p值 0.0000 0.0001 0.0011 0.0108 0.0628 0.2176 0.4974 0.8450 0.8237 0.5586 0.2409 0.1048 0.0486 0.0244 0.0133 0.0016 0.0005 0.0002 0.0001
残差平方 和 3.8567 3.1736 2.9430 2.8868 2.8867 2.8980 2.9072 2.9114 2.9112 2.9080 2.8965 2.8828 2.8695 2.8576 2.8473 2.8143 2.7987 2.7904 2.7855
β2 估计值 -6.1596 -3.1371 -2.2315 -1.6419 -1.1754 -0.7834 -0.4409 -0.1315 0.1564 0.4312 0.9633 1.4950 2.0432 2.6177 3.2244 6.8364 11.5086 17.2852 24.1794
由于rtx是ftx的一种积分因此两者的图形属性一定是一致的为了研究的性质所以暂时假定5得到rtx相对是rtx在期限t趋于无穷大时的渐进值且必为正数当期限t无穷大时长期利率无限接近渐近线也即收益率无限接近于的敏感度恒为1短期利率的变动对所有的收益率引起的变化是一样且恒定的对于任意的t的变动整体改变利率期限结构的水平高度可以理解为水平因子
4、运行参数估计程序“NS固定参数取值”， 得到τ去不同值时的OLS估计结果： file/open/program…/run 5、比较τ不同取值时的模型估计效果，然后 选取合适的取值（此例τ=8）得到N-S模型的 估计结果
由Nelson-Siegel模型参数的意义可以看出,β0代表 长期水平，应该是一个正值; β1代表短期利率和 长期的利差，在上升形的利率期限结构中，该利 差应该为负值，因此β1应该为负值; β2代表了中 期利率，在t为正且有限的时候， 应该为正值。 综合考虑上述因素，而且同时满足残差平方和尽 可能小，模型拟合的R2尽可能大，各参数在5%的 显著水平下尽可能显著，从之前的讨论已经知道 τ的取值会影响 β1和β2 的衰减速度，τ的值越大， 衰减越慢，越适合拟合期限较长的数据，由于本 次样本中到期期限在15年之内的数据占绝大部分， 因此选取τ=8作为适合的取值。
利率的期限结构
利率的期限结构一、利率期限结构的形式债务凭证的期限不同，利率也不同。
利率和债务凭证期限之间的关系，叫做利率的期限结构(term structure of interest rate )。
对于不同的债务凭证来说，利率期限结构可能是不同的。
概括来说，利率的期限结构有三种形式:第一种是利率不随着债务凭证期限的变化而变化。
不论债务凭证的期限是短是长，利率都保持不变。
这种利率期限结构叫做水平的期限结构(flat term structure)。
第二种是利率随着债务凭证期限的延长而提高。
债务凭证的期限越长，利率就越高。
这种利率期限结构叫做上升的期限结构(rising termstructure)。
第三种是利率随着债务凭证期限的延长而下降。
债务凭证的期限越长，利率就越低。
这种利率期限结构叫做下降的期限结构(declining term structure)。
投资者在投资侦务凭证的时候，最关心的是债务凭证的收益率。
虽然债务凭证的收益率和利率有所不同，但是它们存在着正相关的关系。
因此，在研究利率的期限结构时，实际上分析的是收益率的期限结构。
二、利率期限结构的理论解释利率的期限结构的理论有三种:市场预期理论，流动偏好理论和市场分割理论。
1.市场预期理论市场预期理论(The Market Expection Theory)是由费雪(IFisher)在18%年出版的(升值与利息》中提出来的。
希克斯(J. R. Hicks)等人对该理论的发展做出过贡献。
市场预期理论假定，债券投资者只关心如何获得最大利益，而不关心他所持有的债券的期限。
因此，不同期限的债券是可以相互替换的。
购买一张2年期限的债券(上海公积金提取)和先后购买两张1年期限的债券相比较，如果前者的收益率高于后者，投资者将选择前者;如果前者的收益率低于后者，投资者将选择后者。
市场预期理论据此提出，利率的期限结构是由人们对未来市场利率变化的预期决定的。
假设某投资者准备使用100美元进行为期2年的投资时，他可以有两种选择:第一种是购买一张2年期限的债券;第二种是先购买一张1年期限的债券，等待第一年结束时再购买一张I年期限的债券。
利率期限结构是什么
利率期限结构是什么大家知道什么是利率期限结构吗?它又有什么特点呢?下面就让店铺来为大家介绍一下利率期限结构的相关知识吧。
利率期限结构的概念严格地说，利率期限结构是指某个时点不同期限的即期利率与到期期限的关系及变化规律。
由于零息债券的到期收益率等于相同期限的市场即期利率，从对应关系上来说，任何时刻的利率期限结构是利率水平和期限相联系的函数。
因此，利率的期限结构，即零息债券的到期收益率与期限的关系可以用一条曲线来表示，如水平线、向上倾斜和向下倾斜的曲线。
甚至还可能出现更复杂的收益率曲线，即债券收益率曲线是上述部分或全部收益率曲线的组合。
收益率曲线的变化本质上体现了债券的到期收益率与期限之间的关系，即债券的短期利率和长期利率表现的差异性。
利率期限结构的理论利率的期限结构理论说明为什么各种不同的国债即期利率会有差别，而且这种差别会随期限的长短而变化。
1、预期假说利率期限结构的预期假说首先由欧文·费歇尔(Irving Fisher)(1896年)提出，是最古老的期限结构理论。
预期理论认为，长期债券的现期利率是短期债券的预期利率的函数，长期利率与短期利率之间的关系取决于现期短期利率与未来预期短期利率之间的关系。
如果以Et(r(s))表示时刻t对未来时刻的即期利率的预期，那么预期理论的到期收益可以表达为：因此，如果预期的未来短期债券利率与现期短期债券利率相等，那么长期债券的利率就与短期债券的利率相等，收益率曲线是一条水平线;如果预期的未来短期债券利率上升，那么长期债券的利率必然高于现期短期债券的利率，收益率曲线是向上倾斜的曲线;如果预期的短期债券利率下降，则债券的期限越长，利率越低，收益率曲线就向下倾斜。
这一理论最主要的缺陷是严格地假定人们对未来短期债券的利率具有确定的预期;其次，该理论还假定，资金在长期资金市场和短期资金市场之间的流动是完全自由的。
这两个假定都过于理想化，与金融市场的实际差距太远。
利率期限结构
市场分割假说对三个事实的解释
• 无法解释第一个事实和第二个事实，因为它将不同期限的债券市场看成完全分割的市场。
• 市场分割假说可以解释第三个事实，即典型的收益率曲线总是向上倾斜的。因为在现实经济 中，人们更偏好期限更短，风险较小的债券，而债券发行者一般倾向于发行长期债券以满足 经济发展之需，使得短期债券价格较高，利率较低，长期债券价格较低，利率较高，因此收 益率曲线向上倾斜。
例题
• 策略一 投资于一个两年期债券
1（ 1i2t）2 1
1
• 策略二 连续投资于两个一年期债券
i i 1 (1 )(1 e ) 1
t
t 1
1
套利之下，策略一和策略二的收益率趋于相等
(1i2t
)2
(1
it)(1
ie ) t 1
结论
• 简化
e
i i t
t1
i2t
2
• 一般的
•
e ...... e
i i i t t1
t ( n 1)
int
n
对收益率曲线形状的解释
• 若预期的各短期利率高于现行短期利率，则当前长期利率高于短期利率，收益率曲 线向上倾斜。
• 反之，若预期的各短期利率低于现行短期利率，则当前长期利率低于短期利率，收 益率曲线向下倾斜。
纯粹预期假说
• 纯粹预期假说将金融市场视为一个整体，强调不同期限证券间的完全替代性。
假定： • 金融市场不同期限的资产是完全可替代的。人们对于特定的债券没有任何偏好，投
资者仅仅关心债券的预期收益率。（所以，言其“纯粹） • 金融市场是有效率的，人们在不同期限的债券之间进行套利没有转换成本。
结论
《利率期限结构》PPT课件
运用债券当前价格和到期收益率推导出来的 未来年度的短期利率就是远期利率。
17
2021/6/6
石河子大学商学院孙家瑜
❖ 远期利率的推导
利率期限结构
3
2021/6/6
石河子大学商学院孙家瑜
利率期限结构
假设债券市场上所有的参与者都相信未来 几年的1年期短期利率（Short interest rate）注意，这是我们的假设，现实中没 有这样的行情表。
时点 当日 1年后 2年后 3年后
短期利率（%） 4 5
5.5 6
4
2021/6/6
石河子大学商学院孙家瑜
15
2021/6/6
石河子大学商学院孙家瑜
内容提要
利率期限结构
到期收益率曲线 远期利率
利率期限结构相关理论
16
202210年216/6月/66日
石河子大学商学院孙家瑜
ห้องสมุดไป่ตู้
利率期限结构
❖远期利率(forward rates)
理论上，投资者可以通过比较不同期限的持 有期收益率来判断是否存在套利机会，从而 决定投资策略。
到期日
现在的价格 到期收益率
1年
961.54
4%
2年
915.75
4.5%
3年
868.01
4.83%
4年
818.88
5.12%
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2021/6/6
债券A的价格为30÷1.08+1030÷（1.08×1.1 ）=894.78，它的到期收益率为8.98%；同理 ，债券B的价格为1053.87，到期收益率为 8.94%。
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构建Hull-White三叉树模型
1. 短期利率离散化
把短期利率 的微分方程转化成 满足的微分方程
进一步离散化有
现代利率期限结构理论——无套利模 型
2.
现代利率期限结构理论——无套利模 型
r(t)三叉树的构建
假设
现代利率期限结构理论——无套利模 型
则有
现代利率期限结构理论——均衡模型
CIR模型（1985）
假设短期利率的历史数据服从如下随机过程：
假定零息票债券的到期时间是 ，则零息票债 券在 时的价格为：
现代利率期限结构理论——均衡模型
假定零息票债券的到期时间是 ，则零息票债 券在 时的价格为：
现代利率期限结构理论——均衡模型
CIR模型的参数估计方法和Vaseick模型的类似。 第一类方法对应的极大似然函数为
在风险中性测度 下，短期利率的变化过程表示为：
现代利率期限结构理论——均衡模型
假定零息票债券的到期时间是 ，则零息票债 券在 时的价格为：
1 e 2 2 1 e ~ ~ Bt (t ) exp( (rt ) (1 e 2 ) ( )) 3 2 4 2
现代利率期限结构理论——无套利模 型
模拟此二叉树过程的具体步骤：
现代利率期限结构理论——无套利模 型
模拟此二叉树过程的具体步骤：
h(T )
*
1 (1 ) T
h (T )
T (1 ) T
T h(T )
3. 最后
现代利率期限结构理论——无套利模 型
短期利率模型一般形式
推导零息债券的价格的方法，
利用伊藤引理推导出零息债券的价格满足的偏微分方程，使用 分析或者求数值解的方法得到零息债券的价格； 基于风险中性测度的条件下，计算零息债券价格的条件期望值。
现代利率期限结构理论——均衡模型
Vasicek模型（1977）
假设短期利率的历史数据服从如下随机过程：
Ho-Lee模型的问题：
允许负的利率出现； 短期利率的波动率是个常数，与利率水平无关； 期限结构的动态变化只受短期利率的影响。
现代利率期限结构理论——无套利模 型
Hull-white（1990）模型
假定短期利率满足随机过程：
贴现债券价格满足
现代利率期限结构理论——无套利模 型
Vasicek模型的参数估计 首先，将短期利率变化离散化
现代利率期限结构理论——均衡模型
到期期限 T t 的零息票债券价格是B (t ) ,实际 零息债券的价格设为 B (r , ) ,则 ln B (r , ) ln(B (t )) , ~ 其中 ~ N (0, ) 是残差, , , , , 是待估参数。 考虑到 w ~ N (0, t ) 和 t , ~ N (0, 2 ) ，可以使用极大 似然函数法估计参数，假设有N+1天的短期利 率样本数据和M个第N+1天的具有相同到期日 的零息债券价格数据，估计第N+2天零息债券 价格。我们可以使用两类方法估计模型参数， 进而估计零息债券价格。
c(2)=0;c(4)=0;c(6)=0;c(7)=0; for i=1:464 DeltaR(i)=r(i+1)-r(i); c(2)=c(2)-DeltaR(i)^2*365/2; c(4)=c(4)-DeltaR(i)*r(i); c(6)=c(6)+r(i)/365; c(7)=c(7)-r(i)^2/(2*365); end c(1)=-464/2;c(3)=r(465);c(5)=-464/(2*365); % x(1),x(2),x(3)是待估参数 F=-(c(1)*2*log(x(1))+x(1)^(-2)*(c(2)+c(3)*x(2)*x(3)+ c(4)*x(2)+c(5)*x(2)^2*x(3)^2+c(6)*x(2)^2*x(3)+c(7)*x(2)^2)); clear; [x,fval]=ga(@shortinterest, 3,[],[],[],[],[0.0001 0 0],[1 50 1],[],[])
t
*
*
t
2
2
t
现代利率期限结构理论——均衡模型
第一类方法：
现代利率期限结构理论——均衡模型
第二类方法：
现代利率期限结构理论——均衡模型
使用中国债券市场七日回购利率两周加权平均 数据模拟短期利率动态模型，样本区间2008年 6月20日-2010年4月29日，样本数据共465个。 样本数据集命名为randominterest.xls。 使用Vasieck模型的matlab代码: function F = shortinterest(x) [r,Txt]=xlsread('D:\\mfile\randominterest'); t=Txt(:,2);
第十一章 现代利率期限结构模型
学习目标
掌握现代利率期限结构现代理论-均衡模型 掌握现代利率期限结构理论-无套利模型 能够建立现代利率期限结构模型模拟固定收益 证券价格
现代利率期限结构理论——均衡模型
单因子模型：将整条收益率曲线看作是短期利率的函 数，当无风险短期利率变化时，具有不同到期时间的 各种债券价格的变化是时相关的。
第二类方法对应的极大似然函数为
现代利率期限结构理论——均衡模型
双因子CIR模型
模型假定短期利率是两个因子之和，这两个因子服 从CIR模型指定的随机过程：
假定零息票债券的到期时间是 ，则零息票债券在 时的价格为：
现代利率期限结构理论——无套利模 型
Ho-Lee无套利模型（1986）
短期利率和债券价格变化符合二叉树模型，示意图 如下