2016年考研数学三真题及答案
16年数三考研真题
16年数三考研真题2016年数学三考研真题考研是无数学子追求梦想的舞台，而数学三作为考研数学科目之一，对考生的数学基础和解题能力提出了较高的要求。
本文将回顾2016年数学三考研真题，并对其中涉及的各个知识点进行分析和解答。
第一部分：选择题选择题是考研中常见的题型之一，可以帮助考生快速检验自己的基础知识。
下面是2016年数学三考研真题中的一道选择题：1. 设函数 f(x) = (sinx)^2 - (cosx)^2, g(x) = (sinx)^2 + (cosx)^2，若对任意 x∈R，f(x) <= g(x)，则 x∈（）。
A. (-π/4, π/4)B. (π/4, π/2)C. (0, π/2)D. (π/4, π/4)解析：考察三角函数的性质。
根据已知条件，f(x) <= g(x)，即(sinx)^2 - (cosx)^2 <= (sinx)^2 + (cosx)^2，化简得 sin2x <= 1，再考虑到sin2x 取值范围为 [-1, 1]，得到 -1 <= sin2x <= 1。
由此可知，对任意实数 x，都满足该不等式。
因此，选项 A、B、C、D 都是正确的答案。
第二部分：解答题解答题是考察考生解题能力和深度理解能力的重要环节。
下面是2016年数学三考研真题中的一道解答题：2. 设 a_n = a_1 + a_2 + ... + a_n，其中 a_1 = 5，a_{n+1} - a_n = n + 1。
求证：a_n = n(n + 5)/2。
解析：考察数列求和的方法。
根据已知条件，可以得到 a_{n+1} =a_n + (n + 1)。
将式子两边从 n = 1 加到 n = m 可得到 a_{m+1} = a_1 + (2 + 3 + ... + (m + 1))。
利用等差数列求和公式，可知 2 + 3 + ... + (m + 1) = (m + 1)(m + 2)/2 - 1。
2016考研数学三真题及答案解析
（C） A + AT 与 B + BT 相似. 解析：∵ A 与 B 相似 ∴存在可逆矩阵 P ，使得 B P1AP
（D） A A1 与 B B1 相似.
故 BT PT AT (P1)T (PT )1 1 AT (PT )1 ∴ AT 与 BT 相似（A）正确
又 B1 P1 A1P ，故 B1 与 A1 相似，（B）正确
则（ ）
（A） T1 T2 T3
（B） T3 T1 T2
（C） T2 T3 T1
（D） T2 T1 T3 解析： 如图所示，
D1 D4 D5 D6 ， D2 D5 D6 ， D3 D4 D5 ，由于被积函数 3 x y 在 D1 上为
正，所以 T2 T1 ，T3 T1 ，又因为 3 x y 在 D4 上显然大于 D6 上对应 x 处的值，所以 T2 T3 ，
x
f
y
ex (x y) ex (x y)2
ex
ex x y
f
应选（D）.
（3）设 Ti 3 x ydxdy (i 1, 2, 3) 其中 D1 ( x, y) 0 x 1, 0 y 1
Di
D2 (x, y) 0 x 1, 0 y x
D3 ( x, y) 0 x 1, x2 y 1
解析：因 P( A | B) 1 ，则 p( AB) 1 ，则 P(B) P( AB) 0 ，则 P(B A) 0 . 从而 P(B)
P(B | A) 0 .
又 P(B | A) P(B | A) 1 ，则 P(B | A) 1 ，故选 A.
（8）设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X ~ N (1, 2),Y ~ N (1, 4) ，则 D( XY ) =( )
2016年考研数学(三)真题及答案解析完整版
【答案】（C）
【解析】此题是找错误的选项.由 A 与 B 相似可知，存在可逆矩阵 P, 使得 P1AP B ，则 (1) (P1AP)T BT PT AT (PT )1 BT AT ~ BT , 故（A ）不选； (2) (P1AP)1 B1 P1A1P B1 A1 ~ B1，故（B）不选； (3)P1( A A1)P P1AP P1A1P B B1 A A1 ~ B B1, 故（D ）不选； 此 外 ， 在 （ C ） 中 ， 对 于 P1( A AT )P P1AP P1AT P ， 若 P1AP=B ， 则
（A） f 'x f 'y 0. （B） f 'x f 'y 0. （C） f 'x f 'y f . （D） f 'x f 'y f .
【答案】（D）
【解析】
f
'x
ex(x
x
y 1)
y2
f
'y
ex
x y2
，所以
f
'x
f
'y
f.
（ 3 ） 设 Ti 3 x ydxdy (i 1, 2, 3) ， 其 中 D1 (x, y) 0 x 1, 0 y 1 ，
x0
f (x) 2 3
所以 lim f ( x) 6 . x0
(10)极限 lim x0
1 n2
sin
1 n
2sin
2 n
nsin
n n
____
．
【答案】 sin 1 cos1
【解析】
lim
x0
1 n2
sin
1 n
考研数学三历年真题答案与解析-模拟试题
考研数学三历年真题答案与解析|模拟试题展开全文第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解详解2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2016年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2018年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解（2）模拟试题及详解部分：精选了3套模拟试题，且附有详尽解析。
考生可通过模拟试题部分的练习，掌握最新考试动态，提前感受考场实战。
第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。
A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。
第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。
2016数三考研真题
2016数三考研真题2016年的数学三科考研真题对于考研学子来说是非常重要的一场考试。
本文将会对2016年数学三科考研真题进行分析和解答，帮助考生更好地理解和应对这次考试。
第一道题目：解析：这道题目是一个典型的微积分问题，要求求出函数f(x)的导数。
根据题目给出的条件，f(x) = ∫[0,x] g(t) dt，其中g(x) = ∫[0,1] 2xy dx。
根据微积分的基本原理，如果要求出f(x)的导数，可以利用牛顿-莱布尼兹公式。
根据该公式，f(x)的导数等于g(x)的函数值。
根据题目给出的条件，计算g(x):g(x) = ∫[0,1] 2xy dx= 2∫[0,1] xy dx= 2 * x * ∫[0,1] y dx= 2 * x * y * [0,1]= 2 * x * y将g(x)的表达式带入f(x)的表达式中，得到：f(x) = ∫[0,x] g(t) dt= ∫[0,x] 2 * t * y dt= 2 * y * ∫[0,x] t dt= 2 * y * (t^2 / 2) | [0,x]= y * x^2因此，f(x)的导数为f'(x) = 2 * y * x。
答案为B。
第二道题目：解析：这道题目是一个概率统计的问题，要求计算随机变量X的期望和方差。
根据题目给出的条件，X是满足分布函数F(x)的连续型随机变量。
我们先来计算随机变量X的期望E(X)：E(X) = ∫[-∞,+∞] x f(x) dx根据题目给出的条件，得到：∫[-∞,+∞] (x - 1) f(x) dx = 0将x - 1拆分为x和-1两部分，得到：∫[-∞,+∞] xf(x) dx - ∫[-∞,+∞] f(x) dx = 0根据随机变量的概率密度函数与分布函数的关系，有：f(x) = dF(x) / dx将概率密度函数带入上式中，得到：∫[-∞,+∞] x (dF(x) / dx) dx - ∫[-∞,+∞] (dF(x) / dx) dx = 0根据微积分的基本原理，可以得到：xdF(x) - ∫[-∞,+∞] dF(x) = 0对上式进行积分，得到：xF(x)|[-∞,+∞] - [F(x)|[-∞,+∞] = 0根据题目给出的条件，分布函数在正负无穷处的值分别为0和1，得到：0 - 0 = 0因此，随机变量X的期望为E(X) = 1。
2016考研数学三真题及答案解析
故 T2 T3 T1 ，应选(C).
（4）级数为 n1
1 n
1 n
1
sin(n
k
)
（
k
为常数）（
）
（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散
（D）收敛性 k 有关
解析： 1 1 sin(n k) 1 1 ，
n n1
n n1
而 Sn
1 1
1 2
1 2
1 3
1 n
边际收益函数为 R ' p 20P 1200
当 P=100 时，边际收益为-800 万元 经济意义为：当价格为 100 万元时，收益亏损 800 万元.
（17）（本题满分 10 分）
设函数 f (x)
1| t2
0
x2
|
dt ( x
0),
求
f
(x) ，并求
f
(x)
的最小值.
解析：
当 0 x 1时, f (x) x (t2 x2 )dt 1(x2 t2 )dt 4x3 x2 1 ,
极值的怀疑点为： a,b,c, d
①
当x 当x
a时, a时,
f f
(x) (x)
0
0
a
为极大值点
当x b时, f (x) 0 ②当x b时, f (x) 0 a 不是极值点
③
当x 当x
c时, c时,
f f
(x) (x)
0 0
c
为极小值点
④当 x d 和 x d 时， f (x) 0 故 x d 不是极值点 ∴有 2 个极值点 排除 C，D.
lim
ex0
4 x3
e1 2
lim
2016年考研数三真题
2016年考研数三真题2016年考研数学三真题是考研数学考试中的一道经典题目，它涉及到了数学的多个领域，如线性代数、概率论和数理统计等。
这道题目的难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力。
下面将对这道题目进行分析和解答。
首先，我们来看一下这道题目的具体内容。
题目中给出了一个4阶实对称矩阵A，且满足A^2 = 4A - 3E，其中E为单位矩阵。
考生需要证明A的特征值只能是-1, 1, 3或4。
为了解决这道题目，我们需要运用一些线性代数的知识。
首先，我们知道实对称矩阵一定可以对角化，即存在一个正交矩阵P，使得P^TAP = D，其中D是对角矩阵。
所以我们可以假设A可以对角化为D，即A = PDP^T。
接下来，我们将A^2 = 4A - 3E代入上式，得到PDP^T PDP^T = 4PDP^T - 3E。
由于P是正交矩阵，所以P^TP = E，代入上式得到DP^TDP = 4DP^T - 3E。
进一步整理得到DP^TD - 4DP^T + 3E = 0。
根据上式，我们可以得到D的特征值满足一个关于λ（特征值）的方程：λP^TP - 4P^T + 3E = 0。
由于P是正交矩阵，所以P^TP = E，代入上式得到λE - 4P^T + 3E = 0。
进一步整理得到(λ + 3)E - 4P^T = 0。
由于E是非零矩阵，所以(λ + 3)E - 4P^T = 0只有零解，即(λ + 3) = 0，即λ =-3。
所以A的特征值中至少包含-3。
接下来，我们需要证明A的特征值只能是-1, 1, 3或4。
为了证明这一点，我们需要考虑A的特征多项式。
由于A是4阶矩阵，所以它的特征多项式可以表示为：f(λ) = (λ - λ1)(λ - λ2)(λ - λ3)(λ - λ4)。
根据前面的分析，我们已经知道A的特征值中至少包含-3。
假设A的特征值还有其他值，即存在一个特征值λi，其中λi不等于-3。
根据特征多项式的性质，f(-3) = (-3 - λ1)(-3 - λ2)(-3 - λ3)(-3 - λ4) = 0。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2016年考研数学三真题解析
2016年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以 0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x xb x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4) 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X Λ和 2,,21n Y Y Y Λ分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算. (16) (本题满分8分) 求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤ba b a dx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=x a dt t F x G )()(，由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而⎰⎰⎰⎰-=-==bab aba babadx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有 0)(≤-⎰badx x G ，即0)(≤⎰ba dx x xF .因此⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x Λ的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) Λ+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ， 易见 S (0) = 0，Λ+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642Λ+⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x e y xdx xdx +⎰⎰=⎰-22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】 设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a .(Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解：ak 111-=, a k 12=, 03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为 211)11(αaαa β+-=． (Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解， 其全部解为a k 111-=, c ak +=12, c k =3， 其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=． 【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111ΛM M M ΛΛb b b bb b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ) ο1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λΛM M M M ΛΛ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12Λ． 对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b n b b b b n bb b bn A E λ)1()1()1(1ΛM M M ΛΛ→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n ΛM M M ΛΛ →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------0000111111111111ΛΛM M M M ΛΛn n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------0000111111111111ΛΛM M MM ΛΛn n n→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111ΛΛM M M M ΛΛn n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001ΛΛM M M MΛΛ解得Tξ)1,,1,1,1(1Λ=，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 Tk ξk )1,,1,1,1(1Λ= (k 为任意不为零的常数)． 对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λΛM M M ΛΛ2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111ΛM M M ΛΛ 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2Λ-=，T ξ)0,,1,0,1(3Λ-=，T n ξ)1,,0,0,1(,-=ΛΛ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++Λ3322 (n k k k ,,,32Λ是不全为零的常数)．ο2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-ΛM M M ΛΛ,特征值为11===n λλΛ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) ο1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP Λ=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(11Oο2 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ， 于是 61)|()()(==B A P AB P B P ， 则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )， 即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ． 方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ(Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ， 即Z 的概率分布为：【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】 当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1, 解得 1-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1-=X Xβ.(Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21Λ, 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βnni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他ΛΛ当),,2,1(1n i x i Λ=>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=ni ixββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ， 令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ， 解得 ∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixn1ln ˆβ．( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21Λ, 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i nnn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他ΛΛ当),,2,1(n i αx i Λ=>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,m in{ˆ21n x x x αΛ=, 于是α的最大似然估计量为},,,m in{ˆ21n X X X αΛ=．。
2016年考研数学(一、二、三)真题与答案解析
2016考研数学（一）真题及答案解析考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设{}n x 是数列下列命题中不正确的是（ ） （A ）若lim n n x a →∞=，则221lim lim n n n n x x a +→∞→∞==（B ）若221lim lim n n n n x x a +→∞→∞==，则lim n n x a →∞=（C ）若lim n n x a →∞=，则321lim lim n n n n x x a -→∞→∞==（D ）若331lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=【答案】（D ）（2）设211()23x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则 （A ）3,2,1a b c =-==-（B ）3,2,1a b c ===- （C ）3,2,1a b c =-== （D ）3,2,1a b c === 【答案】（A ）【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出3,2,1a b c =-==-。
故选A 。
（3）若级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的（ ）（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】（A ） 【解析】因为级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，所以2R =，有幂级数的性质，1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛半径也为2R =，即13x -<，收敛区间为13x -<<，则收敛域为13x -<≤，进而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，收敛点，故选A 。
2016年考研数学三真题及答案解析
2016 考研数学三真题及超详细答案解析
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2016年考研数学三试题解析(完整版)
2016年考研数学（三)试题及解析（完整版）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y )≠ 0，则2fu v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ](10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布. (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2016年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x . 【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案. 【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2. (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P e1.【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型. (6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==. 【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim 1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元x u 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令x u 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ]【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“00”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d . )23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤bab adx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=x a dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xadt t F x G )()(， 由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而 ⎰⎰⎰⎰-=-==bababa babadx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(， 由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有0)(≤-⎰ba dx x G ，即 0)(≤⎰b adx x xF .因此 ⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10. 当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ， 易见 S (0) = 0，+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x ey xdx xdx+⎰⎰=⎰-22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】 设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a . (Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解： ak 111-=, a k 12=, 03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为211)11(αaαa β+-=．(Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解， 其全部解为 a k 111-=, c ak +=12, c k =3， 其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000). (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b b b b b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ) 1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ． 对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n bb b b n A E λ)1()1()1(1→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111n n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001解得T ξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 T k ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数)． 对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-,特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) 1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(112 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=A B P , 21)|(=B A P , 令⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ， 于是 61)|()()(==B A P AB P B P ， 则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )， 即),(Y X 的概率分布为：YX0 1 0 132 12161 121(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ． 方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ(Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ，41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ， 即Z 的概率分布为：Z0 1 2P3241 121 【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】 当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1, 解得 1-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1-=X Xβ.(Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βn ni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i =>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=ni i x ββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ， 令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ， 解得 ∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixnβ1ln ˆ．( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i n nn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他当),,2,1(n i αx i =>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,m i n {ˆ21n x x x α=, 于是α的最大似然估计量为},,,m in{ˆ21n X X X α ．。
2016数三考研真题
2016数三考研真题2016数三考研真题2016年的数学三科考研真题是考生们备战考研的重要参考资料之一。
在这份试卷中，不仅包含了各种类型的数学题目，还融入了一些实际应用的问题，考察了考生的数学思维和解题能力。
接下来，我们将从试卷的不同部分来分析和讨论这些题目。
第一部分是选择题，共有20道题目。
这些题目涵盖了数学的各个领域，如微积分、线性代数、概率论等。
其中一道题目是关于微积分的极限问题，要求考生求出极限的值。
这道题目考察了考生对极限概念的理解和运用能力。
另外，还有一道题目是关于矩阵的特征值和特征向量的计算，要求考生求出给定矩阵的特征值和特征向量。
这道题目考察了考生对矩阵特征值和特征向量的计算方法的掌握程度。
第二部分是计算题，共有5道题目。
这些题目主要考察了考生的计算能力和解题思路。
其中一道题目是关于微分方程的求解，要求考生求出给定微分方程的通解。
这道题目考察了考生对微分方程求解方法的掌握和应用能力。
另外，还有一道题目是关于多元函数的极值问题，要求考生求出给定函数的极值点。
这道题目考察了考生对多元函数极值点的判定方法的理解和运用能力。
第三部分是证明题，共有3道题目。
这些题目要求考生使用严密的数学推理和证明方法，解答给定的问题。
其中一道题目是关于数列极限的证明，要求考生证明给定数列的极限存在。
这道题目考察了考生对数列极限存在性的判定方法的掌握程度。
另外，还有一道题目是关于函数连续性的证明，要求考生证明给定函数在某个区间上连续。
这道题目考察了考生对函数连续性的定义和判定方法的理解和应用能力。
通过对2016年数学三科考研真题的分析和讨论，我们可以看出，这份试卷既考察了考生对数学知识的掌握程度，又考察了考生的解题能力和思维能力。
在备战考研的过程中，考生们应该注重对各个数学领域的知识的复习和巩固，同时也要注重对解题方法和思路的训练和提高。
只有全面提升自己的数学水平和解题能力，才能在考试中取得好成绩。
希望所有考生都能够顺利通过考试，实现自己的理想和目标。
考研数学三 真题答案详解2016-2018
x y
（A）
f
' x
f
' y
0
（B）
f
' x
+f
' y
0
（C）
f
' x
f
' y
f
【答案】： （D）
【解析】
f
' x
ex x y
x
ex y
2
,
f
' y
ex
x y2
,
f
' x
f
' y
f
.
（3）设 Ji = 3 x ydxdy i 1, 2,3, 其中 Di
（2）已知函数 f x, y ex ，则
x y
（A）
f
' x
f
' y
0
（B）
f
' x
+f
' y
0
（C）
f
' x
f
' y
f
（D）
f
' x
f
' y
f
（3）设 Ji = 3 x ydxdy i 1, 2,3, 其中 Di
D1 x, y | 0 x 1,0 y 1, D2 = x, y | 0 x 1,0 y x ，D3 x, y | 0 x 1, x2 y 1
【答案】： （A）
【解析】
P
A|
B
P AB PB
1,可知
P
AB
PB,
P
AB
PB P AB 0
可知
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编16(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编16(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2007年] 设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下X的条件密度fX|Y(x|y)为( )．A．fX(x)B．fY(y)C．fX(x)fY(y)D．fX(x)／fY(y)正确答案：A解析：解一仅(A)入选．因(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，故X与Y相互独立．设f(X，Y)为(X，Y)的联合概率密度，则f(X，Y)=fX(x)fY(y)．因Y服从正态分布，则对任意y有fY(y)＞0．故解二设(X，Y)服从二维正态分布N(μ1，μ2；σ12，σ22；ρ)，则概率密度为且X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，即又因X，Y不相关，则ρ=0，于是知识模块：概率论与数理统计2．[2009年] 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布P(Y=0)=P(Y=1)=1／2．记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断点的个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：又X，Y相互独立，故当z＜0时，当z≥0时，综上所述，所以FZ(z)只有一个间断点z=0．仅(B)入选．知识模块：概率论与数理统计3．[2012年] 设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)内的均匀分布，则P{X2+Y2≤1}=( )．A．1／4B．1／2C．π／8D．π／4正确答案：D解析：由题设有因X与Y相互独立，故从而或知识模块：概率论与数理统计4．[2016年] 设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)=( )．A．6B．8C．14D．15正确答案：C解析：解一直接利用命题3．4．1．1(1)求之．由X～N(1，2)得到E(X)=1，D(X)=2；由Y～N(1，4)得到E(Y)=1，D(Y)=4．故D(XY)=D(X)D(Y)+[E(X)]2D(Y)+[E(Y)]2D(X)=2×4+12×4+12×2=14．仅(C)入选．解二利用方差和期望的性质求之．D(XY)=E(XY)2－[E(XY)]2=E(X2Y2)=[E(XY)]2因X，Y相互独立，则E(X2Y2)=E(X2)E(Y2)，而E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3，E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=1+4=5，即E(X2Y2)=15，又E(XY)=E(X)E(Y)=1×1=1，故D(XY)=E(X2Y2)－[E(XY)]2=15－1=14．仅(C)入选．注：命题3．4．1．1 (1)设随机变量X，Y相互独立，则D(XY)=D(X)D(Y)+[E(X)]2D(Y)+[E(Y)]2D(X)≥D(X)D(Y)；知识模块：概率论与数理统计5．[2008年] 设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则( )．A．P(Y=－2X－1)=1B．P(Y=2X－1)=1C．P(Y=－2X+1)=1D．P(Y=2X+1)=1正确答案：D解析：解一因X～N(0，1)，Y～N(1，4)，故E(X)=0，D(X)=1，E(Y)=1，D(Y)=4．于是有又由ρXY=P(Y=aX+b)=1及命题3．4．2．3(4)得a＞0，故a=2．于是a=2,b=1．仅(D)入选．解二设Y=aX+b(a≠0)．由ρXY=1得a／|a|=1，因而a＞0．排除(A)、(C)．又因E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a·0+b=b=1．排除(B)．仅(D)入选．注：命题3．4．2．3 相关系数的常用性质有(4)当Y 与X有线性关系Y=aX+b(a≠0，b为常数)时，则X和Y的相关系数ρXY=a／|a|．因而当a＞0时，ρXY=1；当a＜0时，ρXY=－1；知识模块：概率论与数理统计6．[2002年] 设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则( )．A．X+Y服从正态分布B．X2+Y2服从χ2分布C．X2和Y2都服从χ2分布D．X2／Y2服从F分布正确答案：C解析：解一因X～N(0，1)，Y～N(0，1)，故X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)．仅(C)入选．解二由于(X，Y)的联合分布是否为二维正态分布未知，又不知道X与Y是否相互独立，因而不能确定X+Y服从正态分布．(A)不对．因X与Y是否独立未知，故X2+Y2是否相互独立也未知，所以也不能确定X2+Y2服从χ2分布，也不能确定X2／Y2服从F分布．(B)、(D)也不对．仅(C)入选．知识模块：概率论与数理统计填空题7．[2015年]设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y＜0)=___________．正确答案：解析：因(X，Y)～N(1，1；0，1；0)，ρ=0，由命题(3．3．5．1(4))知，X，Y相互独立，则P{XY－Y＜0}=P{(X－1)Y＜0} =P{X－1＜0，Y＞0}+P{X －1＞0，Y＜0} =P{X＜1}P{Y＞0}+P{X＞1}P{Y＜0}．因X～N(1，1)，故P{X＜1)=P{X＞1}=因Y～N(0，1)，故所以注：命题3．3．5．1 (4)若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关，但反之不成立．只有当X与Y的联合分布为正态分布时，X与Y相互独立与Y不相关ρXY=0．知识模块：概率论与数理统计8．[2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则a=__________，b=___________．正确答案：a=0．4，b=0．1解析：解一由知，a+b=0．5．又由事件{X=0)与{X+Y=1}相互独立，有P(X=0，X+Y=1)=P(X=0)P(X+Y=1)，而P(X=0，X+Y=1)=P(X=0，Y=1)=a，P(X=0)=a+0．4，P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=a+b，故a=(a+0．4)(a+b)=(a+0．4)×0．5．①所以a=0．4，从而b=0．5－a=0．1．解二由解一知a+b=0．5．又由命题3．3．5．2知，秩于是即ab=0．04=0．1×0．4．解二次方程x2－0．5x+0．1×0．4=0，即解(x－0．1)(x－0．4)=0，得x1=0．1，x2=0．4．因而a=0．1或0．4，b=0．4或0．1．为满足独立性，式①应成立．当a=0．1，b=0．4时，式①不成立；当a=0．4，b=0．1时，式①成立．故所求的常数为a=0．4，b=0．1．注：命题3．3．5．2 X与Y相互独立的充分必要条件是联合概率矩阵的秩等于1，这里联合概率矩阵是指由x与y的联合分布律中的概率元素依次所组成的矩阵．知识模块：概率论与数理统计9．[2013年] 设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2x)=_________．正确答案：2e2解析：解一因X～N(0，1)，故则解二对式①作变量代换x－2=t，则知识模块：概率论与数理统计10．[2011年] 设二维随机变量(X，Y)服从N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=_____________．正确答案：μ(σ2+μ2)解析：N(X，Y)服从二维正态分布，且其相关系数ρ=0，由命题3．3．5．1(4)知X，Y相互独立．由题设知E(X)=μ，E(Y2)=D(y)+[E(y)]2=σ2+μ2，故E(XY2)=E(X)E(Y2)=μ(σ2+μ2)．注：命题3．3．5．1 (4)若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关，但反之不成立．只有当X与Y的联合分布为正态分布时，X与Y相互独立与Y不相关ρXY=0．知识模块：概率论与数理统计11．[2002年] 设随机变量X和y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)=___________．正确答案：－0．02解析：解一由cov(X2，Y2)=E(X2Y2)－E(X2)E(Y2)知，需先求出X2，Y2及X2Y2的分布，然后再求其期望值．可用同一表格法一并解决．A则故E(X2)=0．6，E(Y2)=0．5，E(X2Y2)=0．28，因而cov(X2，Y2)=E(X2Y2)－E(X2)E(Y2)=0．28－0．6×0．5=－0．02．解二利用下述公式求之．设X 的分布律为P(X=xi)=pi(i=1，2，…)，则X的函数g(X)的期望若(X，Y)的联合分布律为P(X=xi，Y=yj)=pij(i，j=1，2，…)，N(X，Y)的函数g(X，Y)的期望由式(3．4．2．1)得到于是不用求出X2Y2的分布，直接由定义求得，即E(X2Y2)=02×(－1)2×0．07+02×02×0．18+02×12×0．15+12×(－1)2×0．08+12×02×0．32+12×12×0．20=0．28．又由联合分布律易求得边缘分布律为由式(3．4．1．1)有E(X2)=02×0．4+12×0．6=0．6，E(Y2)=02×0．5+12×0．5=0．5．故cov(X2，Y2)=E(X2Y2)－E(X2)E(Y2)=0．28－0．6×0．5=－0．02．注：公式知识模块：概率论与数理统计12．[2003年] 设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=X－0．4，则Y和Z的相关系数为_________．正确答案：0．9解析：解一由Z=X－0．4得到D(Z)=D(X－0．4)=D(X)．解二直接利用公式cov(aX+b，cY+d)=accov(X，Y)(a，b，c，d为常数)，得到解三因Z=X－0．4，故D(Z)=D(X－0．4)=D(X)，且E(Z)=E(X－0．4)=E(X)－0．4，所以cov(Y，Z)=E(YZ)－E(Y)E(Z)=E[Y(X－0．4)]－E(Y)E(X－0．4) =E(XY)－0．4E(Y)－E(Y)[E(X)－0．4] =E(XY)－0．4E(Y)－E(X)E(Y)+0．4E(Y) =E(XY)－E(X)E(Y)=cov(X，Y)．因而知识模块：概率论与数理统计13．[2001年] 设随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式P(|X+Y|≥6)≤_________．正确答案：1／12解析：由题设有D(X)=1，D(Y)=4．且ρXY=－0．5，E(X)=2，E(Y)=－2，则注意到E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0，由切比雪夫不等式得到P(|X+Y|≥6)=P(|X+Y－0|≥6)=P|X+Y－E(X+Y)|≥6≤D(X+Y)／62，所以P(|X+Y|≥6)≤D(X+Y)／62=3／36=1／12．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2016考研数学三真题解析
边际收益为
dR dR dP 1 dR (1200 20 P)( ) 2 P 120 ，从而 dQ dP dQ 10 dQ
P 100
80 。
它的经济意义是需求量每提高 1 件，收益增加 80 万元。
5
（17）(本题满分 10 分) 设函数 f x
1
0
t 2 x 2 dt
2
0 1
0 0
1 2 1
______
【答案】 ： 2 3 4
4
-1 0 0 0 -1 0 = D4 【解析】 ：令 0 0 -1 4 3 2 +1
由展开定理地递推公式 D4 D3 4, D3 D2 3, D2 2 ，故
（A） J1 J 2 J 3 （B） J 3 J1 J 2 【答案】 ： （B） 【解析】 D1，D2，D3 如图 （C） J 2 J 3 J1 （D） J 2 J1 J 3
易知在 D1 D2 中 3 x y 0 ，在 D1 D3 中 3 x y 0 ，可知 J1 J 2，J1 J 3 ，故选 B （4）级数
（B） P A | B 0
（C） P A È B = 1
(
)
（ AB P B , P AB P B P AB 0 P B
可知 P B | A
P BA P A
dz 0 ,1 ______
【答案】 ：d z 1,0 d x d y 2 【解析】 ：由一阶微分形式不变性，
zdx ( x 1)dz 2 ydy 2 xf ( x z, y)dx x 2 f1' ( x z, y) dx dz x 2 f 2' ( x z, y)dy
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2016年)设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)=( )A．6。
B．8。
C．14。
D．15。
正确答案：C解析：利用方差和期望的关系公式计算，即D(X)=E(X2)-[E(X)]2。
根据方差和期望之间的关系D(XY)=E(X2Y2)-[E(XY)]2，E(XY)=E(X)E(Y)=1，E(X2Y2)=E(X2)E(Y2)=3×5=15，则D(XY)=14。
故选C。
2．(2001年)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( )A．-1。
B．0。
C．D．1。
正确答案：A解析：掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X+Y=n，从而Y=n-X。
由方差的定义：D(X)=E(X2)-[E(X)]2，所以D(Y)=D(n-X)=E(n-X)2-[E(n-X)]2=E(n2-2nX+X2)-(n-E(X))2=n2-2nE(X)+E(X2)-n2 +2nE(X)-[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2=D(X)。
由协方差的性质：Cov(X，c)=0(c为常数)；Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)，所以Cov(X，Y)=Cov(X，n-X)=Cov(X，n)-Cov(X，X)=0-D(X)=-D(X)，由相关系数的定义，得3．(2008年)设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则( )A．P{Y=-2X-1}=1。
B．P{Y=2X-1}=1。
C．P{Y=-2X+1}=1。
D．P{Y=2X+1}=1。
正确答案：D解析：由ρXY=1可知，存在实数a(a＞0)，b，使得Y=aX+b，则可排除A、C。
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2016年考研数学三真题及答案【篇一：2016考研数学三真题(word版)】答题纸指定位置上。
（1）设函数y?f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则（）a.函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点b.函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有3个拐点c.函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有1个拐点d.函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点ex（2）已知函数f(x,y)?，则（） x?ya.fx??fy??0b.fx??fy??0c.fx???fy???fd.fx???fy???f（3）设jk?di(i?1,2,3)，其中d1??(x,y)0?x?1,0?y?1?，d2?(x,y)0?x?1,0?y?d3??(x,y)0?x?1,x2?y?1?则（）a.j1?j2?j3b.j3?j1?j2c.j2?j3?j1d.j2?j1?j3（4）级数为??n?1?（） n?k)（k为常数）a.绝对收敛b.条件收敛c.发散d.收敛性与k有关（5）设a,b是可逆矩阵，且a与b相似，则下列结论错误的是（） a.a与b相似1我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！ ttb.a与b相似c.a?a与b?b相似d.a?a与b?b相似222（6）设二次型f(x1,x2,x3)?a(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3的正负惯性指数分别?1?1tt?1?1为1,2，则（）a.a?1b.a??2c.?2?a?1d.a?1或a??2（7）设a,b为两个随机变量，且0?p(a)?1,0?p(b)?1，如果p(ab)?1，则（） a.p(ba)?1 b.p(ab)?0c.p(a?b)?1d.p(ba)?1（8）设随机变量x与y相互独立，且x~n(1,2),y~n(1,4)，则d(xy)=（）a.6b.8c.14d.15二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
（9）已知函数f(x)满足x?0?2，则limf(x)?__________. x?0（10）极限lim112n(sin?2sin???nsin)?___________. n??n2nnn22（11）设函数f(u,v)可微，z?z(x,y)由方程(x?1)x?y?xf(x?z,y)确定，则dz|(0,1)?__________.（12）设d?{(x,y)||x|?y?1,?1?x?1}，则2?y??xedxdy?___________.d2??100??1（13）行列式00?43200?_________. ?1??12我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！（14）设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为__________.三、解答题：15-23小题，共94分。
请将解答写在答题纸指定位置上。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分） 1求极限lim(cos2x?2xsinx)x。
x?0（16）（本题满分10分）设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数q?q(p)，需求弹性??p(??0)，p为单价（万元）。
120?p（Ⅰ）求需求函数的表达式；（Ⅱ）求p?100万元时的边际效益，并说明其经济意义。
（17）（18）（本题满分10分）设函数f(x)连续，且满足（19）（本题满分10分） ?x0f(x?t)dt??(x?t)f(t)dt?e?x?1，求f(x)。
0xx2n?2求幂级数?的收敛域及和函数。
n?0(n?1)(2n?1)?（20）（本题满分11分）11?a??1?0?????0a?，???1?，且方程组ax??无解，设矩形a??1?a?11a?1??2a?2?????求：（1）求a的值（2）求方程组aax?a（21）（本题满分11分） tt?的通解.?0?11???已知矩阵a??2?30??000???（Ⅰ）求a（Ⅱ）设3阶矩阵b?(?1,?2,?3)满足b?ba。
记b100?(?1,?2,?3)，将?1,?2,?3分3我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！ 299别表示为?1,?2,?3的线性组合。
（22）（本题满分11分）设二维随机变量(x,y)在区域d?(x,y)|0?x?1,x?y?2上服从均匀分布，令?1,x?y.u??0,x?y.?（i）写出(x,y)的概率密度；（ii）问u与x是否相互独立？并说明理由；（iii）求z?u?x的分布函数f(z).（23）（本题满分11分）?3x2,?设总体x的概率密度f(x,?)???3?0?0?x??其中??(0,??)为未知参数，x1,x2,x3为来自x的简单随机样本，令t?max(x1,x2,x3).。
（1）求t的概率密度；（2）确定a，使得e(at)??.4我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！【篇二：2016考研数学(一、二、三)真题及答案解析】>2016考研数学（一）真题及答案解析考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）设?xn?是数列下列命题中不正确的是（）（a）若limxn?a，则limx2n?limx2n?1?an??n??n??（b）若limx2n?limx2n?1?a，则limxn?an??n??n??（c）若limxn?a，则limx3n?limx2n?1?an??n??n??（d）若limx3n?limx3n?1?a，则limxn?an??n??n??【答案】（d）（2）设y?特解，则（a）a??3,b?2,c??1 （b）a?3,b?2,c??1 （c）a??3,b?2,c?1 （d）a?3,b?2,c?1 【答案】（a）【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出a??3,b?2,c??1。
故选a。
（3）若级数（）（a）收敛点，收敛点（b）收敛点，发散点（c）发散点，收敛点（d）发散点，发散点【答案】（a）【解析】因为级数???12x1e?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y???ay??by?cex的一个23?axnn?1n在x?2处条件收敛，则x?x?3依次为幂级数?na(x?1)nn?1n的?axnn?1n在x?2处条件收敛，所以r?2，有幂级数的性质，?na(x?1)nn?1?n的收敛半径也为r?2，即x??3，收敛区间为?1?x?3，则收敛域为?born to win?1?x?3，进而x?x?3依次为幂级数?nan(x?1)n的收敛点，收敛点，故选a。
n?1（4）下列级数发散的是（）（a）n?n8n?1?（b）n?1?1?)n(?1)n?1（c）?lnnn?2?（d）n! ?nn?1n?【答案】（c）【解析】（a）sn?u1?u2?...?un?12n?2?...?n， 888112n7111n817nsn?()2?3?...?n?1?sn??2?...?n?n?1?sn?(1?()n) ?n，88888888849888limsn?存在，则收敛。
n??49?111?)?3??3收敛，所以（b）收敛。
(b)un?nn?12n2n?(?1)n?1(?1)n?1?(?1)n?1（c）?，因为?分别是收敛和发散，所以????,?lnnn?2lnnn?2lnnn?2n?2lnnn?2lnn?(?1)n?1发散，故选（c)。
?lnnn?2?n!u?n?（d)un?n,limn?1?lim??e?1?1，所以收敛。
?n??n?1nn??un?? n?111??1?????（5）设矩阵a?12a,b??，若集合???1,2?，则线性方程组ax?b有无穷????22???14a??????多解的充分必要条件为（）（a）a??,??? （b）a??,??? （c）a??,??? （d）a??,??? 【答案】（d）【解析】ax?b有无穷多解?r?a??ra?3,?a?0，即(a?2)(a?1)?0，从而??a?1或a?2?111?1??11当a?1时，a???121????11????1??41???010???1??2????000??2?3??2??从而?2?3??2=0??=1或?=2时ax?b有无穷多解?111?1??1111当a?2时，a???122?????????011???1??1442????????000??2?3??2??从而?2?3??2=0??=1或?=2时ax?b有无穷多解所以选d.（6）二次型f(xx2221,x2,3)在正交变换x?py下的标准形为2y1?y2?y3，其中p?(e1,e2,e3)，若q?(e,1?e,3)e2，f(x1,x2,x3)在正交变换x?qy下的标准型为（（a）2y22y21?y2?3 （b）2y2221?y2?y3 （c）2y2?y2212?y3 （d）2y2221?y2?y3【答案】（a）【解析】由已知得f(xtapy?2y2y221,x2,x3)?ytp1?2?y3，q?pe23e2(?1)，从而f(x)?ytqtaqy?ytett1,x2,x32(?1)e23ptape23e2(?1)y??ytee22?100?2(?1)23ptape23e2(?1)y?2y21?y2?y3，其中e?1?23?00，?010?????100?e?1)???0?10?2(均为初等矩阵，所以选a。
?0??（7）若a,b为任意两个随机事件，则（a）p(ab)?p(a)p(b) （b）p(ab)?p(a)p(b) （c）p(ab)?p(a)?p(b)2（d）p(ab)?p(a)?p(b)2【答案】（c））【解析】排除法。
若ab??，则p(ab)?0，而p(a),p(b)未必为0，故p(a)p(b)?p(ab),p(a)?p(b)?p(ab)，故b,d错。
2若a?b，则p(ab)?p(a)?p(a)p(b)，故a错。
（8）设总体x?b(m,?),x1,x2,x3为来自该总的简单随机样本，为样本均值，则?n?e??(xi?)2?? ?i?1?（a）(m?1)n?(1??)（b）m(n?1)?(1??) （c）(m?1)(n?1)?(1??) （d）mn?(1??)【答案】（b）【解析】2??1ne?x??es2?dx?m?(1??)???i??n?1i?1?n2???e???xi????m(n?1)?(1??)?i?1?二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上)．．．．ln(cosx)?_____. 2x?0x1【答案】?2（9）limsinxlncosx??1limsinx??1 【解析】lim?limx?0x?0x22x2x?0xcosx2?(10) ?2???x?dx?_______.??2?1?cosx??2【答案】4【解析】????sinxsinx?2?sinx?2222?x?dx???dx??????dx?2?xdx????2?0?1?cosx??1?cosx1?co sx4??2222?z(11) 若函数z?z(x,y)有方程e?xyz?x?cosx?2确定，则dz(0,1)?_______.【答案】?dx【解析】对e?xyz?x?cosx?2两边分别关于x,y,z求偏导，并将(0,1)这个代入，得到z(0,1)??1,born to win?z?x?z?y(0,1)?0，所以dz(0,1)??dx。