几何元素间的相对关系——平行问题.

2011秋季机械制图---吴志军

平面ABC为所求
分析包含已知平面的垂线的平面⊥已知平面作图步骤过点A作直线⊥已知平面
包含该垂线作平面
27
5.4 平面上的最大斜度线
定义：平面上与投
影面夹角最大的直线，称为最大斜度线。特点：最大斜度线与该面上的投影面平行线垂直；最大斜度线与其投影的夹角即该面与该投影面的夹角。
4
2.平面在三投影面体系中的投影特性
①投影面平行面的投影平行于某一个投影面的平面——投影面平行面： •平面平行于V—正平面例2：正平面 Z •平面平行于H—水平面 a’ a” •平面平行于W—侧平面 c' c”
V W X b’ O b” YW
H
a
b
c
YH
正平面的投影特性：平行于V：在V上投影反映实形； 5 垂直于H、W：在H、W上投影积聚，且分别平行于OX和OZ轴。
b' PV 3' 2' l' 6' k' 4' e' b e 3 k 5 a 2 l (4) 6 f
f' c'
5' (1') X a' 1 d
O
c
•利用辅助面法求AB与△DEF的交点K ①所做的辅助面为垂直面 •利用辅助面法求EF与△ABC的交点L ②辅助面所包含的直线是任选的
QH
③交线在两平面图形的公有区内 •连接KL，即△ABC与△DEF的交线 ④若所做的辅助面与交线平行， •利用重影点判断可见性交点在无穷远处，应重选辅助面 •完成△ABC与△DEF各边的轮廓
1' L c' kl 4 1
△ZKL
.
3
l d
c

初中数学知识归纳立体几何中的平行关系分析

初中数学知识归纳立体几何中的平行关系分析立体几何是数学中的一个分支，它研究的是三维空间中的各种几何形体。

在立体几何中，平行关系是一个非常重要的概念。

本文将对初中数学中与立体几何中的平行关系相关的知识进行归纳和分析。

一、平行线与平面在初中数学中，我们学习到了平行线与平面的概念。

平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。

而平面是一个无限大的且无厚度的二维空间。

平行线与平面之间的关系是，如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都平行。

二、平行四边形平行四边形是指具有两对对立边分别平行的四边形。

在初中数学中，我们学习到了平行四边形的性质。

首先，平行四边形的对边是相等的。

也就是说，如果一条直线与一个平行四边形的一条边平行，那么这条直线与这个平行四边形的对边也平行。

其次，平行四边形的对角线互相平分。

也就是说，平行四边形的对角线的交点是对角线的中点。

三、平行关系与立体图形在立体几何中，平行关系不仅仅适用于平面图形，也适用于立体图形。

例如，在长方体中，对立的两个面是平行的。

这是因为长方体的所有侧面都是矩形，而矩形中的对立边是平行的。

同样地，在正方体中，每个面都与相邻的四个面平行。

这是因为正方体的所有侧面都是正方形，而正方形中的对立边也是平行的。

四、平行线与平面的应用平行线与平面的概念在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们常常需要考虑平行线与平面的关系，以确保建筑物的结构稳定。

另外，在地理测量中，平行线与平面的概念也被用于测量地球上的经度和纬度。

总结起来，平行关系是立体几何中的一个重要概念，涉及到平行线与平面以及平行四边形等内容。

了解和应用平行关系的知识，不仅可以帮助我们更好地理解立体几何中的各种几何形体，还可以在实际生活中应用于建筑设计、地理测量等领域。

通过深入学习和掌握这些知识，我们可以提高数学思维和解决实际问题的能力。

第三章基本几何元素的投影(3-2)

c
B
CD
A
ac
b d
H
济南大学图学中心
二、直线上的点 a
k● b
a k●
b
§3.2 直线的投影 a 判断点K是否在线段AB上。
●k b
因k不在a b上，故点K不在AB上。
另一判断法是
因ak:kb≠ ak:kb 故点K不在AB上。
济南大学图学中心
二、直线上的点
§3.2 直线的投影
例:试在直线AB上取一点C，使AC:CB=1:2，求作C点。
济南大学图学中心
§3.2 直线的投影
三、两直线的相对位置关系——平行、相交、交叉
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
d
a
X
c
a
c
bd
对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。
结论：AB//CD
济南大学图学中心
§3.2 直线的投影
三、两直线的相对位置关系——平行、相交、交叉
c
b
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
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§3.2 直线的投影
2、交叉垂直的两直线的投影
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
济南大学图学中心
§3.2 直线的投影
四、直角投影定理
例：过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ为任意长度。
a′
b′
X a
b
O
济南大学图学中心
§3.2 直线的投影
四、直角投影定理题意分析：有无穷多解，可任意做一解。
b′ a′
X a
b
O
水平线（实长）
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大学机械制图-CAD-及其答案4几何元素间的相对关系市公开课特等奖市赛课微课一等奖PPT课件

与投影面倾角反应该平面与投影面倾角。 2．平面上对某投影面最大斜度线与该平面上对某投影面平行线相互垂直。 3．平面上投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影面
及侧面投影面三组最大斜度线。（1）平面上对水平投影面最大斜度线（2）平面上对正面投影面最大斜度线（3）平面上对侧面投影面最大斜度线
例题6 例题7 例题8 例题9
第70页
P
D A C
S
E1
a
E
第71页
（1）平面上对水平投影面最大斜度线 EF
F A
B E
P AB平行于 H， EF垂直于 AB
第72页
（2）平面上对正面投影面最大斜度线 CD
D B
A CP
AB平行于V， CD垂直于 AB
第73页
（3）平面上对侧面投影面最大斜度线 MN
第38页
2 用辅助平面求交线
当相交两几何元素都不垂直于投影面时，则不能利用积聚性求交点和交线。
第39页
用辅助平面求交点
第40页
例：已知直线CD、EF、GH，要求作一条直线AB平行于CD，且与EF、DH相交。
第41页
用辅助平面求交线
第42页
用辅助面三面共点法求交线
第43页
第44页
两迹线平面相交
第54页
[例题8] 试过定点K作特殊位置平面法线。
h
h
h
h
（a）
h
（b）
h
（c）
第55页
[例题9] 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于该平面。
e
f
e f
第56页
[例题11] 试过点N作一平面，使该平面与V面夹角为60 °，与 H面夹角为45 °。

全套机械制图教学课件-7 垂直问题

5
2.一几何元素处于垂直位置 2.一几何元素处于垂直位置
作线⊥ 作线⊥ 作面⊥ 作线⊥ 作线⊥线作面⊥线作线⊥面作线⊥面作面⊥ 作线⊥ 作线⊥面作面⊥面
多解, 多解, 水平线
水平面
垂直于面的水平线
垂直于面的水平线
垂直于面的正平线
结论: 结论:
多解, 多解, 过垂直于面的正平线的所有面
.
l1 L1⊥L2
l3
l1
L1⊥L3
l3 . l2 l1 L1⊥(L1× L1⊥(L1×L2)
7
例:已知面及点,求点与面的距离 . 已知面及点,
PV 2' a' b' 4' d'
做KD⊥△ KD⊥△ 求KD与△的交点L KD与的交点L 求KL实长 KL实长判断可见性
.l'
k' 3' b k 2
① 投影面垂直线的垂线投影面垂直线的垂面均平行于该投影面投影面垂直面的垂线 ② 直线垂直于平面直线的投影垂直于平面的迹线
6
三.一般情况 1.直线与平面垂直 1.直线与平面垂直
例如: 例如:一条水平线和一条正平线
定理:若直线垂直于平面上两条相交直线, 定理:若直线垂直于平面上两条相交直线,则该直线与
c'
. b'
a' d'
分析: 分析: CD‖V : a'b'与c'd' 垂直相交. b 与 d 垂直相交. 解题步骤: 解题步骤: 过a' 做a'b'⊥c'd',交c'd' 于b' 'b'⊥c ', ⊥c'd 'd 求线 CD上点 B 的水平投影 b CD上点连ab ,则 AB 为所求

精品制图课件- - 几何元素间的相对位置关系

c'
l2' (k1k')'k2'
b'
a'
l1'
d'
X
O
k1
b
c a (l1)l2 l
k2
d
不相交，也不平行——交叉
《机械制图》
第1章绪论
15
5.2.2 直线与平面、平面与平面相交
• 有一个几何元素垂直于投影面的情况
⑴．直线与平面相交
例: d'
b'
例:
相交的核
2' b' 1'
( 1)’ 2’
a'
k'
• △与 P 相交于直线 MN • MN与 EF共面于P,交于K
例:
b'
2‘≡ 3' ( ) m' k'
1'
e'
a'
f'
X
n' c'
O
b
f
m
3
k
c
• K既在EF上，又在△上，交点K即为△与EF的交点。
B P
M
E
K
C
N
(n )
A
步骤： a 2
≡1 e PH
F
① 含已知线 EF作辅助面 P（垂直面）
② 求 P与已知面的交线 MN ③ 求MN与EF的交点 K ，即所求 ④ 利用重影点判断可见性
作面面
多解，水平面垂直于面垂直于面垂直于面多解，
水平线
的水平线的水平线的正平线过垂直于面
结论:
的正平线的所有面
①投影面垂直线的垂线投影面垂直线的垂面

工程制图课程案例-第5章-直线与平面及两平面相对位置

➢5. 1 平行问题
• 直线与平面平行 • 两平面平行
⒈ 直线与平面平行
A
B 若：AB∥CD
C
则：AB∥P
D
几何条件：
P
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：
判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
[例1] 试判断直线AB是否平行于定平面
g f
f g
结论：直线AB不平行于定平面
[例2] 过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
d
n
c m
a
●
X
b
d
n
a
●
m
c
有无数解
[例3] 过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。
b
正平线
d
c m
n
a
●
X
c
a
d
m●
n
b
唯一解
[例4] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
的一切直线。
n
V C
A
k a
e
c b
d
E
X
O
B
D
a
kd
ec
b
H
n
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属
于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直
于属于该平面的正平线的正面投影。
n
V
f
A
C
E
D
a
B Xd
a d H
c b
f c b

第五章直线、平面的相对位置

第五章直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行；2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交；3)垂直关系：直线与平面垂直，两一般位置直线垂直和两平面垂直。

§1 平行关系1.1 直线与平面平行直线与平面平行的几何条件是：如果平面外的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线平行于该平面。

由于ef∥bd，e′f′∥b′d′，即EF∥BD，且BD是ABC平面上的一直线，所以，直线EF平行于ABC平面。

［例1］试过K点作一水平线，使之平行于△ABC先在△ABC上作一水平线，如直线AD（ad，a′d′）；再过点K（k，k′），作k′l′∥a′d′，kl∥ad，则直线KL（kl，k′l′）为所求。

［例2］试过K点作一正平线，使之平行于P平面因PV 是P平面上特殊的正平线，所以过点K（k，k′）作KL∥PV ，即作k′l′∥PV ，kl∥X轴，则直线KL（kl，k′l′）为所求。

［例3］试过K 点作一铅垂面P(用迹线表示)，使之平行于AB 直线由于铅垂面的H投影为一直线，故若作铅垂面平行于AB 直线，则P H 必平行于ab 。

因此，过k 作P H ∥ab ；过P X 作P V ⊥X 轴，则P 平面为所求。

1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。

AB∥A1B1，BC∥B1C1，所以，平面ABC和平面A1B1C1相平行两平行平面和第三个平面相交，其交线一定互相平行。

因此，两平行平面的同面迹线一定平行。

如图所示，P面平行于Q面，则PV ∥QV，PH∥QH。

如果两平面的两对同面迹线分别互相平行，则不能肯定两平面是互相平行的如果平面的两条迹线是相交直线，则该两平面平行如果平面的两条迹线是平行直线时，则一般要看第三个投影才能确定P平面平行于Q平面P平面不平行于Q平面［例1］过点K作一平面，使之与AB、CD两平行直线表示的平面平行1：在AB、CD平面上，作一条和AB、CD不平行的辅助线，如AC（ac，a′c′）；2：过k作kl∥ab，过k′作k′l′∥a′b′；3：过k作km∥ac，过k′作k′m′∥a′c′，则平面LKM即为所求。

几何元素间的相对位置-平行、相交、垂直

m
f c
n
f
n
判断平面的可见性----利用重影点原理判别
(1 ′) 2′
1
2
例：求两平面的交线并求MN并判别可见性。
⑴ a b e ● m(n) f c
d a d
●
●
n
e c
空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，其正面投影都积聚成直线。交线为正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。作图 ① 求交线 ② 判别可见性
线与该平面平行。
应用： (1)判别已知线面是否平行； (2) 作与已知平面平行的直线； (3) 包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
例：过M点作直线MN平行于平面ABC。
b
c
●
n
Abc为平面内 a 的任一直线
a
b
m
●
●
n
●
c
m
试想:可作多少条这样的直线MN?
无数条!
例：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
示意图
n
两平面相交，判别可见性
3 4 2 3 4( ) 1 1
(2 ) 利用重影点判别可见性
[例题6]
试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线
EF相交
。
分析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。
K F H E
作图 PV m 1 2 n
第三章几何元素间的相对位置关系
§3-1 平行问题---直线与平面平行 • 两平面平行
§3-2 相交问题---直线与平面的交点 • 两平面的交线
§3-3 垂直问题-----直线与平面垂直 • 两平面垂直

机械工程图学习题集加详细答案第3章

第三章几何元素间相对位置
二、回答问题
1、属于平面的投影面平行线的投影特性？
答：具有投影面平行线的投影特性、满足直线从属于平面的几何特性、与相应的迹线平行。

2、空间两直线平行的投影特性是什么？
答：两直线空间平行同面投影也平行，空间长度之比等于各同面投影长度之比。

3、两直线垂直其投影特性是什么（即直角投影定理）？答：两直线互相垂直（相交垂直或交叉垂直），其中一条直线平行于某投影面时，则两条直线在该投影面中的投影仍互相垂直，即反映直角；反之，若两直线（相交或交叉）在同一投影面中的投影互相垂直（即反映直角），且其中一条直线平行于该投影面，则两直线空间必互相垂直。

二、回答问题
4、直线与平面垂直及两平面垂直的几何定理、投影特性
是什么？解决哪些问题？
答：
1）如果一条直线和一平面内两条相交直线都垂直，那么
这条直线垂直于该平面。

反之，如果一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。

2）若一直线垂直于一平面，则包含这条直线的一切平面都垂直于该平面。

3）投影特性：两种垂直关系最终都归结为两直线的垂直
问题，应用两直线垂直的投影特性解决此类问题。

4）可以解决各种位置线与线、线与面、面与面的垂直问题。

高中数学知识点总结立体几何中的平行四边形与平行线

高中数学知识点总结立体几何中的平行四边形与平行线立体几何是数学中的重要分支之一，涉及到空间中的图形、体积和面积等概念。

其中，平行四边形和平行线是立体几何中的基础知识点之一。

本文将对高中数学中的平行四边形和平行线进行总结和探讨。

一、平行四边形的性质平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。

它有着多种性质和特点，下面将就其中几个重要的性质进行介绍。

1.1 对角线性质平行四边形的对角线互相平分，并且对角线相交于一点。

对角线的长度相等。

1.2 边对角线关系平行四边形的两个相邻边和对角线所成的角也是相等的。

1.3 对边关系平行四边形的对边是平行的，且对边的长度相等。

二、平行线的基本性质平行线是指在同一个平面内不相交且永远保持相同距离的线。

在平行线的研究中，有一些基本的性质需要掌握。

2.1 平行线之间的夹角关系当两条直线被一条平行线所截断时，所得到的对应角相等；同位角相等；内错角互补；同旁内角相等。

2.2 平行线的性质平行线具有传递性，即如果有三条线段中的两条线段分别与第三条线段平行，则这两条线段也是平行的。

2.3 平行线的夹角和内错角关系平行线之间的夹角和内错角关系是立体几何研究中的重要性质。

这些关系包括同旁内角相等、内错角互补等。

三、平行四边形的应用平行四边形在实际生活和工作中有着广泛的应用。

下面将介绍平行四边形的一些常见应用。

3.1 建筑工程中的应用平行四边形在建筑工程中有着重要的应用，如房屋的平行四边形结构，地板砖的平行四边形铺设等。

3.2 画面构图中的应用在绘画和摄影中，平行四边形经常被用于构建画面和摄影构图，通过利用平行四边形的对称性和稳定感，可以创造出美观而有力的画面效果。

四、平行线的应用平行线在实际生活中也有着广泛的应用，下面将介绍其中一些重要的应用。

4.1 道路设计中的应用在道路设计中，平行线被广泛用于车道和马路的规划，通过保持道路的平行性，可以提高交通效率和安全性。

4.2 制图中的应用在制图中，平行线和平行四边形经常被用于绘制各种图形，如平行线方格纸、平行四边形地图等。

直线与平面平面与平面的相对关系PPT课件

作X1 平行于a' b'
a1
d1 b1
c1 e1
f1 作X2轴垂直于a1b1
θ
f'2
d'2
第61页/共76页
（四）把一般位置平面变为投影面垂直面 [例题8] 求平面与H面的夹角α [例题9] 求平面与V面的夹角β [例题10] 求平面ABC与直线DE的交点 [例题11] 求两平行平面A BC与 DFE的距离 [例题12] 求平面ABC与平面DEF的交线 [例题13] 求平面ABC与平面DEF的交线
§2.5.1 直线与平面、平面与平面的平行
一、直线与平面相互平行二、平面与平面相互平行
第1页/共76页
一、直线与平面相互平行
1. 直线与一般面相互平行 2. 直线与投影面垂直面相互平行
第2页/共76页
1. 直线与一般面相互平行
(1)直线与一般面相互平行直线与平面平行的几何条件：当平面
外一直线平行于平面内一已知直线时，则直线与该平面平行。 (2) [例题1]
二、一般位置直线与投影面垂直面相交
1. 直线与投影面垂直面相交 2. [例题3] 求四棱锥与正垂面Q的截交线
第14页/共76页
1. 一般位置直线与投影面垂直面相交
c'
c 一般位置直线与投影面垂直面相交时，该面的积聚投影与直线的同面投影的交点，就是所求交点的同面投影。
第15页/共76页
2. [例题3] 求四棱锥与正垂面Q的截交线。
a1 b1
第52页/共76页
a1 b1
（三）把一般位置直线变为投影面垂直线
[例题3] 把一般位置直线变为投影面垂直线 [例题4] 求两平行线的距离 [例题5] 求点C到直线AB的距离 [例题6] 求两直线AB与CD的公垂线 [例题7] 求两相邻斗壁的夹角

立体几何中的平行四边形与平行线

立体几何中的平行四边形与平行线立体几何是研究空间中的图形和物体的学科，它涉及到各种形状、线段、角度等概念。

其中，平行四边形和平行线是立体几何中的两个重要概念。

本文将探讨平行四边形和平行线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。

一、平行四边形的定义和性质平行四边形是指四边形的对边两两平行。

具体而言，如果一个四边形的对边AB和CD平行并且相等，对边AD和BC也平行并且相等，则该四边形为平行四边形。

平行四边形具有以下性质：1. 对角线的关系：平行四边形的对角线互相平分。

2. 相邻角的关系：平行四边形的相邻内角和为180度。

3. 边长和角度关系：平行四边形的对边相等，并且对边之间的角度相等。

4. 对角线长度关系：平行四边形的对角线长度满足对角线定理，即对角线平方和等于边长平方和的两倍。

根据平行四边形的定义和性质，我们可以利用这些性质来解决一些几何问题。

例如，在证明题目中给定的条件下，我们可以利用平行四边形的性质来证明某些线段或角度的等于关系。

二、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内，没有交点的两条直线。

具体而言，如果两条直线L1和L2在同一个平面内，且它们没有交点，那么称L1与L2平行。

平行线有以下性质：1. 平行线的判定：如果两条直线L1和L2上分别有两个点A、B和C、D，且直线AB与直线CD平行，则可以判定直线L1与L2平行。

2. 平行线的夹角关系：平行线之间的夹角相等。

3. 平行线的性质推论：基于平行线的性质，我们可以推导出其他结果，比如同位角、内错角等角的性质。

平行线在几何学中的应用非常广泛。

例如，在平面几何中，我们可以利用平行线的性质来证明三角形的相似性、平行四边形的性质等。

三、平行四边形与平行线的联系平行四边形和平行线之间存在密切的联系。

如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边必然平行。

反之，如果一个四边形的对边平行，那么它是平行四边形。

在证明平行四边形的性质时，我们常常需要利用平行线的性质。

空间直线的位置关系与距离计算

空间直线的位置关系与距离计算直线是空间中最基本的几何元素之一，它在三维空间中具有重要的位置关系和距离计算方法。

在本文中，我们将探讨空间直线之间的位置关系，并介绍如何计算它们之间的距离。

一、直线的位置关系1. 平行关系：两条直线在平面或空间中没有交点，且方向相同或相反，则它们被称为平行直线。

当直线在平面中时，我们可以通过斜率来确定两条直线是否平行。

然而，在空间中，直线的平行性需要根据它们的方向向量来判断。

若两条直线的方向向量平行，则它们是平行直线。

2. 垂直关系：两条直线在平面或空间中相交，且相交角度为90度，则它们被称为垂直直线。

同样，在平面中，我们可以通过斜率来判断直线的垂直性。

在空间中，我们需要比较它们的方向向量的内积。

若两条直线的方向向量的内积为零，则它们是垂直直线。

3. 相交关系：除了平行和垂直关系以外，两条直线在平面或空间中可能相交于某一点。

在平面中，我们可以通过解方程组求解直线的交点。

在空间中，我们可以通过将直线的参数方程联立求交点的坐标。

二、直线间的距离计算直线间的距离是指直线上的两点之间的最短距离。

计算直线间的距离可以通过以下步骤进行：1. 确定两条直线上的两点：选择两条直线上的点A和B，其中A位于第一条直线上，B位于第二条直线上。

2. 求解最短距离连线的方向向量：通过将点A和点B相连，并得到连线的方向向量。

3. 求解最短距离连线的参数方程：利用点A作为参照点，得到最短距离连线的参数方程。

4. 求解最短距离：将第二条直线的参数方程代入最短距离连线的参数方程，求解参数，得到最短距离的数值。

举例来说，假设有直线l1和直线l2，它们的参数方程分别为：l1：x = a1 + t1m1, y = b1 + t1n1, z = c1 + t1p1l2：x = a2 + t2m2, y = b2 + t2n2, z = c2 + t2p2其中，(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)分别为直线的坐标点，m1, n1, p1, m2, n2, p2分别为直线的方向向量的分量。

03几何元素间的相对关系

例子
（四）平面上的最大斜度线
• 平面上和某投影面倾角最大的直线，称为该平面对某投影面的最大斜度线。 • 特性 1.平面对某投影面的最大斜度线与平面内该投影面的平行线相垂直。 2.平面对某投影面的最大斜度线与该投影面的夹角，就是平面与该投影面的夹角。
• 证明
求平面倾角
（五）综合问题求解
有无数解
n
c m
●
b
n a
●
c
m
例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。
b cm
●
n
正平线
a a
c m
●
n
b
唯一解
⒉ 两平面平行
① 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。 ② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。
投影法基础
第四章几何元素间的相对关系
直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。（一）、平行问题
包括
⒈ 直线与平面平行
直线与平面平行平面与平面平行
定理：
若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解？ a b
b
如何判别？可通过正面投影直观地进行判别。
⑵
b e m f ● a e
● ● ●
空间及投影分析
n 1 ● 2 c h 平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef 的交点m 、 b c与f h的交点 n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。
⑴
a b e ● m(n)

4几何元素间的相互关系OK

h
g k d f b
c
X
g f k
结论：两平面不垂直。
a c
O
b d
1）求直线的实长及对水平投影面的夹角角
b
b
B |zA-zB| a X a X C O b
AB ab
|zA-zB|
A
a
b
a AB AB ab |zA-zB|
|zA-zB |
2）求直线的实长及对正面投影面的夹角角
a
给题
a
例3 BE为最大斜度线，求 ABC平面与水平投影面的夹角α。 b
BE
d a e
be
c α
e a d
c
b
例4 : 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 °，与H面的夹角为45 °。
n
X O
n
分析平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角
A
C
E
两平面垂直两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
例12 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
h
f c a X d f a d c b h k g b O k
g
例13 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
2
1
c e
两一般位置平面相交求交线的方法 B F K A 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。
L E
C
D
作题步骤 c k
PV e b
2 1
X f
l
b 2
l

机械制图与CAD(含习题集)( (3)

共有点，故交点K的正面投影k′必在直线的积聚性投影上，可直接得到k′。交点又在平面ACD上，可通过在平面ACD上作辅
助线的方法，作出交点K的水平投影k。由于正垂线EF在正面积聚，可不必判断可见性。在水平投影上，直线EF有一部分被平
面ACD遮挡，交点K是直线可见部分和不可见部分的分界点。从正面投影知，直线段FK在平面ACD的下方（也可用重影点法比较交叉直线段FK与CD的上下位置来间接判断），因此直线段FK
水平线DⅢ平行，平面ABC上的正平线BⅠ和平面DEF上的正平线 DE平行，并且水平线和正平线相交，因此可判断平面ABC与平面DEF平行。
第3章几何元素间的相对位置图3－6 两平面平行
第3章几何元素间的相对位置
【例3－4】如图3－7所示，已知平面ABCD和平面外一点 E的两面投影，试过点E作平面平行于平面ABCD。分析要保证所作平面平行于平面ABCD，必须作出一对相交直线与已知平面ABCD平行。如图3－7（b）所示，为作图方便，可过点E作相交直线分别与平面ABCD上的CD和AD平行。
第3章几何元素间的相对位置图3－1 直线平行于平面
第3章几何元素间的相对位置图3－2 直线平行于特殊平面
第3章几何元素间的相对位置
【例3－1】如图3－3（a）所示，试判断直线DE是否平行于平面ABC。
解欲判别直线与平面是否平行，就应判断是否在平面上可否作一条与该直线平行的直线。如图3－3（b）所示，作图步骤如下：
的水平投影不可见部分应用虚线画出。直线段KE的水平投影可见，应用粗实线画出。
第3章几何元素间的相对位置
解如图3－9（b）所示，其作图步骤如下：（1）根据交点K的共有性，在直线的积聚性投影上直接找到交点的正面投影k′；