实验一 低通采样定理和内插与抽取实现

实验报告

哈尔滨工程大学教务处制

实验一：低通采样定理和内插与抽取实现一．实验目的

1. 连续信号和系统的表示方法，以及仿真方法。

2.用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，

3. 采样信号的插值和抽取等重采样实现方法。

4. 用时域采样信号重构连续时域信号的原理和方法。

5. 用MATLAB绘图函数表示信号的基本方法，实验数据的可视化表示。二．原理

1 、时域抽样定理

令连续信号xa(t)的傅里叶变换为Xa(jΩ),抽样脉冲序列p(t)傅里叶变换为P(jΩ),抽样后的信号x^(t)的傅里叶变换为X^(jΩ)若采用均匀抽样,抽样周期Ts,抽样频率为Ωs=2πfs,由前面分析可知:抽样的过程可以通过抽样脉冲序列p(t)与连续信号xa(t)相乘来完成,即满足:x^(t)=xa(t) p(t)，又周期信号f(t)傅里叶变换为：

故可以推得p(t)的傅里叶变换为:

其中:

根据卷积定理可知:

得到抽样信号x(t)的傅里叶变换为:

其表明:信号在时域被抽样后,他的频谱X(jΩ)是连续信号频谱X(jΩ)的形状以抽样频率Ω为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn

加权。因为Pn只是n的函数,所以X(jΩ)在重复的过程中不会使其形状发生变化。

假定信号x(t)的频谱限制在-Ωm~+Ωm的范围内, 若以间隔Ts对xa(t)进行抽样,可知抽样信号X^(t)的频谱X^(jΩ)是以Ωs为周期重复。显然,若在抽样的过程中Ωs<2Ωm,则X^(jΩ)将发生频谱混叠现象,只有在抽样的过程中满足Ωs>=2Ωm条件,X^(jΩ)才不会产生频谱的混叠,接收端完全可以由x^(t)恢复原连续信号xa(t),这就是低通信号抽样定理的核心内容。

2、信号的重建

从频域看,设信号最高频率不超过折叠频率:

Xa(jΩ)=Xa(jΩ) |Ω|<Ωs/2

Xa(jΩ)=0 |Ω|>Ωs/2

则理想取样后的频谱就不会产生混叠,故有:

让取样信号x^(t)通过一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器:

H(jΩ)=T |Ω|<Ωs/2

H(jΩ)=0 |Ω|>Ωs/2

滤波器只允许通过基带频谱,即原信号频谱,故:

Y(jΩ)=X^(jΩ)H(jΩ)=Xa(jΩ)

因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号:

y(t)=xa(t)

从时域上看,上述理想的低通滤波器的脉冲响应为:

根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为:

由上式显然可得:

则:

上式表明只要满足取样频率高于两倍信号最高频率,连续时间函数xa(t)就可用他的取样值xa(nT)来表达而不损失任何信息，这时只要把每一个取样瞬时值与内插函数式相乘求和即可得出xa(t),在每一取样点上,由于只有该取样值所对应的内插函数式不为零,所以各个取样点上的信号值不变。

三．实验内容

1.设计连续时间信号线性滤波器分离信号组份

已知信号()()99

0(1)cos 2(10050)m x t m m t π==++∑，试设计滤波器，分离出如下信号：

（1）m 1,2,3......50= （2）m 51,52,53......100= （3）m 40,41,42......60=

（4）m 1,2,3......40,61,62......100=

据以下采样频率：(a) 20000s f Hz = (b) 10000s f Hz = (c)30000s f Hz = 求信号频谱及相应的滤波器。

fs=30000;

低通滤波器：

fs=30000;

wp=5150*2*pi;ws=6000*2*pi;Rp=1;Rs=50; [N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s'); f=linspace(4500,6100,10000); w=f*2*pi;

[b,a]=butter(N,Wn,'s'); H=freqs(b,a,w);

magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H)); subplot(311)

plot(f,20*log10(magH));

xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅/dB'); title('Butterworth 模拟低通滤波器'); hold on ;plot([5150 5150],ylim,'r');

高通滤波器：

wp=5250*2*pi;ws=6000*2*pi;Rp=1;Rs=50;[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,' s');

f=linspace(4500,6000,1000);

w=f*2*pi;

[B,A]=lp2hp(b,a,wp);

[H1,w1]=freqs(B,A);

magH1=abs(H1);phaH=unwrap(angle(H1));

fp=wp/(2*pi);

subplot(312)

plot(w1*fp,20*log10(magH1));

xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅/dB');

title('Butterworth模拟高通滤波器');

hold on;plot([5250

5250],ylim,'r');on

带通滤波器：

wp=[4050 6050]*2*pi;ws=[3550

6550]*2*pi;Rp=1;Rs=50;[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s');

w=linspace(3550,6550,1000)*2*pi;

[b,a]=butter(N,Wn,'s');

H=freqs(b,a,w);magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H)); subplot(313)

plot(w/(2*pi),20*log10(magH)); xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅/dB'); title('Butterworth模拟带通滤波器');

hold on;plot([4050 4050],ylim,'r');plot([6050

6050],ylim,'r');