数学模型第四版课后规范标准答案姜启源版
姜启源编数学模型第四版
一般模型 x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力. • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比. • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t).
x(t) f (x, y) x u(t), 0
tm~传染病高潮到来时刻
tm
1
ln
1 i0
1
t i 1 ?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
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模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染. SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
di
dt
i(1 i)
i
i[i (1 1 )]
i(0) i0
/
~ 日接触率 1/ ~感染期
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数.
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模型3
di/dt
di i[i (1 1 )]
dt
接触数 (感染期内每个
病人的有效接触人数)
i
i
>1
i0
>1
1
1-1/
接触率
N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
di
i(1 i)
dt
i(0) i0
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模型2
i
di
i(1 i)
dt
i(0) i0
Logistic 模型
1
i(t)
姜启源第四版数学模型-第7章
F(x)0
x N(1E),x0
平衡点
0
r1
稳定性判断 F (x 0 ) E r , F (x 1 ) r E
E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0 x0稳定,x1不稳定
E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0 x0不稳,定 x1稳定
x2 1 2 2 2
A
fx1 gx1
fx2 P0
g x2
2 p q 0
p
(
f x1
g) x2
P0
q
det
A
p>0且q>0
p<0或q<0
平衡点 P0稳定(对(2),(1)) 平衡点 P0不稳定(对(2),( Nx22
x1(t)f(x1,x2) x2(t)g(x1,x2) (1)
x (t)f(x0,x0)x ( x0)f(x0,x0)x ( x0)
1
x 1 1 2 1 1
x2 1 2 2 2
x (t)g(x0,x0)x ( x0) g(x0,x0)x ( x0) (2 )
2
x 1 1 2 1 1
过度 支出 S(E)cE r
=0 临界强度Es
pN/2cpN(c/Np2c/N) Es Es1E*经济学捕捞过度
pNE S(E)
pNE/2 S(E)
cpN/2 (p2c/N)
T(E)
Es Es2 E*生态学捕捞过度 0
Es1 E*
Es2 r
E
捕鱼业的 在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模. 持续收获 用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,
f (x , x ) 0
数学建模_姜启源第四章__数学规划模型
DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?
(约束条件不变) x1系数范围(64,96)
64.000000 8.000000 16.000000 x2系数范围(48,72) RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
模型求解
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2
结果解释
每天销售168 千克A2 和19.2 千克B1， 利润3460.8（元） 8桶牛奶加工成A1，42桶 牛奶加工成A2， 将得到的24千克A1全部 加工成B1 除加工能力外均 为紧约束
30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间， 应否投资？现投资150元，可赚回多少？
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
在B(20,30)点得到最优解 最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得。
数学模型第四版(姜启源)作业对于6.4节蛛网模型讨论下列问题：【范本模板】
对于6。
4节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定。
如果设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与6.4的结果进行比较。
（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 决定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。
解:（1)设1+k y 由1+k x 和k x 的平均值决定，即价格函数表示为：)2(11k k k x x f y +=++ 则 0),2(0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),(001>-=-+ββy y x x k k消去y, 得到 012)1(22x x x x k k k +=++++αβαβαβ ,k=1，2，….该方程的特征方程为022=++αβαβλλ与6.4节中 )2(11-++=k k k y y g x 时的特征方程一样， 所以0〈αβ〈2, 即为0p 点的稳定条件。
（2）设 )2(11k k k x x f y +=++ )2(11-++=k k k y y g x ， 则有 0),2(0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),2(0101>-+=--+ββy y y x x k k k 消去y ，得到0123)1(424x x x x x k k k k +=++++++αβαβαβαβ 该方程的特征方程为02423=+++αβαβλαβλλ令λ=x ,αβ=a ， 即求解三次方程0a 2ax ax 4x 23=+++ 的根 在matlab 中输入以下代码求解方程的根x ：syms x asolve(4*x^3+a*x^2+2＊a*x+a==0,x)解得 1x = （36＊a^2 — 216＊a — a^3 + 24＊3^（1/2）＊（-a^2＊（a — 27））^（1/2)）^（1/3）/12 — a/12 + (a*(a — 24))/（12＊（36*a^2 — 216＊a — a^3 + 24*3^（1/2)＊(-a^2＊（a — 27）)^（1/2))^(1/3）)；2x = -（2＊a*(36*a^2 - 216＊a — a^3 + 24＊3^（1/2）＊（—a^2＊(a - 27））^（1/2）)^（1/3） — 3^（1/2)*a*24＊i — 3^（1/2）*（36＊a^2 — 216＊a — a^3 + 24＊3^(1/2）＊(—a^2*(a — 27））^(1/2))^(2/3）*i - 24＊a + 3^(1/2)＊a^2*i+ (36*a^2 - 216＊a - a^3 + 24＊3^（1/2）*(-a^2＊（a — 27）)^（1/2）)^（2/3) + a^2)/（24*(36*a^2 — 216*a - a^3 + 24＊3^(1/2)＊（-a^2*（a — 27））^（1/2）)^（1/3））；3x =—（2＊a*（36*a^2 - 216*a — a^3 + 24＊3^（1/2)*(-a^2*（a - 27))^（1/2))^(1/3) + 3^(1/2)＊a ＊24*i + 3^（1/2）*(36＊a^2 - 216＊a — a^3 + 24*3^(1/2）＊(-a^2*(a - 27））^（1/2))^(2/3)*i — 24＊a - 3^（1/2)＊a^2＊i + (36＊a^2 - 216＊a - a^3 + 24*3^(1/2）*(-a^2＊（a - 27))^(1/2))^（2/3) + a^2）/（24＊（36＊a^2 — 216＊a — a^3 + 24*3^（1/2）*（—a^2*(a -27）)^(1/2）)^(1/3））；其中1x 为实根，2x 与3x 为一对共轭虚根。
数学模型课后答案姜启源
数学模型课后答案姜启源【篇一：姜启源《数模》习题选解】方案模型构成：以阈值0,1分别标记“不在”和“在”，记第k次渡河前此岸的人阈值为xk，猫阈值为yk，鸡阈值为zk，米阈值为wk，将四维向量sk=(xk,yk,zk,wk)定义为状态，xk,yk,zk,wk=0,1。
安全渡河条件下的状态集合为允许状态集合，记作s。
以穷举法得到s：s={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),( 0,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0)} 记第k次渡船上四个对象（人、猫、鸡、米）的阈值分别为ak,bk,ck,dk，并将四维向量ek=(ak,bk,ck,dk)定义为决策。
允许决策集合记作e={(a,b,c,d)|0≤b+c+d≤1，a=1，b,c,d=0,1}因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以，状态sk随决策ek变化的规律是sk+1=sk+(-1)kek该式称状态转移律，该问题就转换成多步决策模型：求决策∈?? ??=1,2,?,?? ，使状态∈??按照转移律，由初始状态s1=(1,1,1,1)经有限步n到达状态sn+1=(0,0,0,0)。
模型求解：本解答试尝用图解法，由于无法利用平面来表达四维坐标系，所以采取其投影即三维空间的方法来构建模型。
把人的阈值xk抽离出来，分别标记0系坐标系（即当xk=0时，(yk,zk,wk)的空间坐标），和1系坐标系，可允许状态点如下标示（红色点）：由于a=1是恒成立的，所以，决策是0系坐标系和1系坐标系的点集间的连接，而非任意坐标系内部的连接。
如图1所示，两正方体中心重合，且对应顶点的连线通过中心，称为二合正方体（四维空间不具有包性，即a/b两正方体并没有包含的关系）。
二合正方体的一个顶点为（a,b），称为共顶点，即二合正方体共有8个共顶点。
(完整版)数学模型(第四版)课后详细答案
数学模型作业六道题作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。
解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV。
我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。
至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。
我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。
即：V=k 1L 3，因此，模型为：……………………………模型一33111M V k l K L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K 1=0.014591，所以模型为：31M 0.014591 L =上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。
因此，有必要改进模型。
如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k 2d 2L ，因此，模型为：身长/cm 36.831.843.836.832.145.135.932.1质量/g 76548211627374821389652454胸围/cm24.821.327.924.821.631.822.921.6t h i ng sin………………………………模型二22222M V k d K d L L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：表1实际数据M 76548211627374821389652454模型一M 1727.165469.2141226.061727.165482.6291338.502675.108482.619模型二M 2729.877465.2481099.465729.877482.9601470.719607.106483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。
笔记-数学模型(第四版) 姜启源等编
dx kx 当 t 0 得微分方程： dt x(0) x0
解微分方程
dx kdt x 1 x dx kdt ln( x) kt c1 x ce kt , c x0 x x0 e kt
dm dm 由死亡率的定义可得： dr ( r , t ), (r , t )dr m m
解得
( r ,t ) dr m( ) ln(m) | (r , t )dr , e m( )
t 时刻年龄为 的人的存活时间之和为： h( ) 所以时刻 t 年龄为 的人的期望寿命为：
P174 习题 4 1.设 x(t ), y (t ) 分别为 t 时刻甲乙双方的兵力，满足下列微分方程
x ay , (1) y bx, (2) x ( 0) x 0 , y ( 0) y 0 a 4, x 0 y 0 则当乙方取胜时，乙方的剩余兵力是多少？战斗时间 b 是多少？ （2） 若甲方在战斗开始后，有后备兵力以不变的速率 r 增援，试重新建立模 型， 讨论如何判断双方的胜负
0
( r , t ) dr
0
d
解：
设 t 时刻年龄为 的人的数目随时间变化的规律为： m m( r ), r 0
dm dm 由死亡率的定义可得： dr ( r , t ), (r , t )dr m m
解得
( r ,t ) dr m( ) ln(m) | (r , t )dr , e 0 0 m(0)
2.试推导 logistic 人口增长模型.即设时刻 t 的人口为 x(t ) ，单位时间内人口的 增量与 x(1
姜启源编《数学建模》第四版 第十二章：马氏链模型
需求不超过存量,需求被售
需求超过存量,存量被售
[ j P ( D j S i ) iP ( D i S i ) ] P ( S i ) n n n n n
i 1 j 1
0 . 632 0 . 285 0 . 896 0 . 263 0 . 977 0 . 452 0.857
状态与状态转移
1 , 第 n 年健康 状态概率 a ( n ) P ( X i ), i n 状态 X n 2 , 第 n 年疾病 i 1 , 2 ,n 0 , 1 ,
转移概率 p P ( X j X i ), i , j 1 , 2 , n 0 , 1 , ij n 1 n
a (n) 1
i 1 i
k j 1
k
转移概率 p P ( X j X i ), p 0 , p 1 ,i 1 , 2 , , k ij n 1 n ij ij
基本方程
a ( n 1 ) a ( n ) p ,i 1 , 2 , , k i j ji
1. 正则链 ~ 从任一状态出发经有限次转移 能以正概率到达另外任一状态 (如例1) .
N 正则链 N , P 0
正则链 w , a ( n ) w ( n )w ~ 稳态概率
w 满足 wP w
0 .8 0 .2 例 1 . P 0 . 7 0 . 3
背景与问题
钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金.
一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架. 存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时， 才订购3架供下周销售；否则，不订购. • 估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大? 以及每周的平均销售量是多少?
数学模型第四版姜启源
盟军(英)
盟军(美一) 强化
盟军 缺口 (预备队)
原地 待命
德军 撤退 进攻
东进 盟 军 (美三 )
双方应该如何决策 ？
模型假设
? 博弈参与者为两方（盟军和德军）
? 盟军有3种使用其预备队的行动：强化缺口，原地 待命，东进；德军有 2种行动：向西进攻或向东撤退 .
? 博弈双方完全理性 ，目的都是使战斗中己方获得
(p*, q*): 混合(策略)纳什均衡(Mixed NE) 最优值均为 2/5
模型评述
?? 0 M ??1
0 ?? 0?
?占优(dominate) ：盟军的行动 2占优于1
??? 1 1?? （前面的非常数和博弈 M' 类似）
?混合策略似乎不太可行 ! 但概率可作为参考. ----现实：盟军让预备队原地待命（行动 2），而德军
O
x
vb=vs 1 vs
单一价格战略效率为
1x
? ? ? ? x 0 (vb ? vs )dvsdvb ? 3x(1 ? x) ? 3 / 4
? ?1 0
vb 0
(vb
?
vs )dvs dvb
x＝0.5
效率最大 (3/4)
线性价格战略
卖方报价 ps(vs) ＝ as+csvs; 买方报价 pb(vb) ＝ab+cbvb．
多个决策主体
博弈模型 合作博弈
决策主体的决策 行为发生直接相 互作用 (相互影响 )
博弈模型 (Game Theory)
非合作博弈
静态、动态 信息完全、不完全
军事、政治、经济、企业管理和社会科学中应用广泛
11.1 进攻与撤退的抉择
背 ? 1944年6月初，盟军在诺曼底登陆成功 . 景 ? 到8月初的形势：
姜启源编《数学模型》第四版第三章简单的优化模型
C C 0, 0 T Q
为与不允许缺货的存贮模型 相比，T记作T´, Q记作Q´.
T
2c1 c2 c3 rc2 c3
Q
2c1r c3 c2 c2 c3
允许 T ' 2c1 c2 c3 rc2 c3 缺货 2c1r c3 模型
Q'
不允许 缺货 模型
T
要 求
不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系.
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. • 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元. 每天费用5000元 • 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元. 平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元. 平均每天费用2550元
Δ t / t dt r S (t , r ) Δ r / r dr t
60 S (t , r ) 3 40 r 60
2
2.5
r
3
生猪每天增加的体重 r 变大1%，出售时间推迟3%.
敏感性分析
4r 40g 2 t 估计r=2， g=0.1 rg
研究 r, g微小变化时对模型结果的影响. 3 20g • 设r=2不变 t , 0 g 0.15 g t 对g的（相对）敏感度
r B
模型建立
b b t1 , t 2 t1 x
b
假设1）
姜启源版《数学模型》第四章习题第7题lingo求解
姜启源版《数学模型》第四章习题第7题一、问题重述某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。
从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm 。
现有一客户需要15根290mm 、28根315mm 、21根350mm 和30根455mm 的钢管。
为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm 。
为了使总费用最小，应如何下料？二、基本假设1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm 的钢管。
2、假设每次切割都准确无误。
3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。
5、假设钢管余料价值为0。
6、假设一切运作基本正常不会产生意外事件。
7、每一根钢管的费用都一样，为一常值。
三、符号说明四、模型建立根据题目要求，不妨假设x 1≥x 2≥x 3≥x 4，于是得到目标函数：min ()4110.1i i M x i ==+∑约束条件如下：1234x x x x ≥≥≥……（4.1）需求量的约束：41,1,2,3,4i ijj i x rD j =≥=∑……（4.2）每一种切法不能超过限制1850，余料不超过100(即产品加起来不小于1750）4117501850,1,2,3,4ij j j r len i =≤≤=∑……（4.3）极限情况下，根数的范围：44411118501850j j j j i i j j D len D x len ===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥≤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥∑∑∑……（4.4） 一根原料钢管最多生产5根产品：415,1,2,3,4ijj ri =≤=∑钢管根数和切割方法都为非负整数：,ij i r Z x Z ++∈∈五、模型求解model :!数学模型132页题7;sets : !定义4种切割模式，每种模式用x(i)根管材; qiegemoshi/m1..m4/:x;!定义四种长度，每种有需求;changdu/cd1..cd4/:len,demand;!定义切法矩阵，行为模式，列为需要的长度类型;links(qiegemoshi,changdu):r;endsets!目标函数，每种切割模式按切割频率增加10%的费用; min =@sum (qiegemoshi(i):x(i)*(1+i*0.1)); !假设4种切法，一种比一种切得少;@for (qiegemoshi(i)|i#lt#4:x(i)>=x(i+1)); !需求量的约束;@for (changdu(j):@sum(qiegemoshi(i):r(i,j)*x(i))>=demand(j));!整数约束;@for(qiegemoshi(i):@gin(x(i)));@for(links(i,j):@gin(r(i,j)));!每一种切法不能超过限制1850，余料不超过100(即产品加起来不小于1750）;@for(qiegemoshi(i):@sum(changdu(j):r(i,j)*len(j))>=1750);@for(qiegemoshi(i):@sum(changdu(j):r(i,j)*len(j))<=1850);!极限情况下，最多22根，最少19根;@sum(qiegemoshi:x)>=19;@sum(qiegemoshi:x)<=22;!一根原料钢管小于5根产品;@for(qiegemoshi(i):@sum(changdu(j):r(i,j))<=5);data:demand=15 28 21 30;len=290 315 350 455;enddataend在lingo11中运行，得到如下结果：Local optimal solution found.Objective value: 21.50000Objective bound: 21.50000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 155Total solver iterations: 20017Variable Value Reduced Cost X( M1) 14.00000 -0.1000000 X( M2) 4.000000 0.000000 X( M3) 1.000000 0.1000000 X( M4) 0.000000 0.2000000 LEN( CD1) 290.0000 0.000000 LEN( CD2) 315.0000 0.000000 LEN( CD3) 350.0000 0.000000 LEN( CD4) 455.0000 0.000000 DEMAND( CD1) 15.00000 0.000000 DEMAND( CD2) 28.00000 0.000000 DEMAND( CD3) 21.00000 0.000000 DEMAND( CD4) 30.00000 0.000000 QIEFA( M1, CD1) 1.000000 0.000000QIEFA( M1, CD2) 2.000000 0.000000QIEFA( M1, CD3) 0.000000 0.000000QIEFA( M1, CD4) 2.000000 0.000000QIEFA( M2, CD1) 0.000000 0.000000QIEFA( M2, CD2) 0.000000 0.000000QIEFA( M2, CD3) 5.000000 0.000000QIEFA( M2, CD4) 0.000000 0.000000QIEFA( M3, CD1) 2.000000 0.000000QIEFA( M3, CD2) 0.000000 0.000000QIEFA( M3, CD3) 1.000000 0.000000QIEFA( M3, CD4) 2.000000 0.000000QIEFA( M4, CD1) 1.000000 0.000000QIEFA( M4, CD2) 0.000000 0.000000QIEFA( M4, CD3) 3.000000 0.000000QIEFA( M4, CD4) 1.000000 0.000000即采用三种方式进行切割，具体切割方法及切割根数如下表所示，总共需要19根钢管。
数学建模姜启源第四版第九章--概率模型
dG
n
(ab)n(p n) (bc)p(r)dr
dn
0
(ab)n(p n)n(ab)p(r)dr
n
(b c)0p (r)d r (a b )np (r)drdG 0 dn Nhomakorabean
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b
b c
9.6 航空公司的预订票策略 问题 预订票业务～航空公司为争取客源开展优质服务
4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统.
模型建立
• 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n
为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？
• 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp
• 预先订票的乘客如果未能按时登机，可以乘坐下一 班机或退票，无需附加任何费用.
• 若公司限制预订票的数量等于飞机容量，由于会有订 了机票的乘客不按时来，致使飞机不满员而利润降低.
• 如果不限制预订票数量，若持票按时来的乘客超过飞 机容量，必然引起不能走乘客的抱怨, 给公司带来损失 .
• 公司需要综合考虑经济利益和社会声誉，确定预订票 数量的最佳限额 .
题, 如是否有考试作弊、赌博、偷税漏税等.
即使无记名调查也很难消除被调查者的顾虑, 极有 可能拒绝或故意做出错误的回答, 难以保证数据的 真实性, 使得调查结果存在很大的误差.
以对学生考试作弊现象的调查和估计为例, 建立 数学模型研究敏感问题的调查和估计方法.
问题及分析
设计合理的调查方案来提高应答率, 降低不真实回答 率, 尽量准确地估计有过作弊行为的学生所占的比例 .
数学模型(第四版)课后详细答案
数学模型作业六道题 作业一1. P56.8 —垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量 给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计 鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式： M=p V 。
我们假定鱼池中是同一种 鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。
至于鱼的体积问题，由于是同一种 类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。
我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成 正比。
即：V=k i L 3，因此，模型为:利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数 K i ，如下图1所示:□ Equition: UNKTLED Workfile; 123::31\*1 諭][Pror][口bject] [Print][Mame|[Frea«]旦tinatdForecast]甌:Dependent Variable: Y Method: I east SquaresDate-05/11/13 Trne;16;16Samplv; 1 8Included ob5e[v<itcins;8Coefficient Std Errort-StatisticProb.X0.014591 0.0C0232 62.9T 072 O.QOOOR-squanedAd listed R-squared S-E. of rearession Sum squared residLog IlkfilihODd DurtJin-Wats^n stat0.988135 0.988135 37r 22294 9698.B32 -39.75279 2.076976Mean dependert var S.D. dependentvar Akaike info criteionSchwarz criterion Hannan-Quinn triter765.3750 341.7258 10.18820 101S313 10.12122图1从图1结果可以得到参数K=0.014591，所以模型为:上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。
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.
再由初始条件，得
又由
其解为
(1)
即乙方取胜时的剩余兵力数为
又令
注意到 .
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援.则
相轨线为
此相轨线比书图11中的轨线上移了 乙方取胜的条件为
《数学模型》作业解答
第六章（2008年11月20日）
1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．
S取最大值.
由 解得
此时 ＝20 ＝350（元）
2.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
货物
体积
（立方米/箱）
重量
（百斤/箱）
利润
（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.
A
B
C
3 2 2
3 3 3
4 5 5
4 4 3
5 5 5
6 6 7
总计
10 10 10
15 15 15
2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.
解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑 到 时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 两边积分，得
《数学模型》作业解答
故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T = ，能节约费用约53．33元.
《数学模型》作业解答
第四章（2008年10月28日）
1.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用 原料1千克, 原料5千克；一件乙产品用 原料2千克, 原料4千克.现有 原料20千克, 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？
②当 ， ，(1)有两个相等的实根，平衡点为 .
， 不能断定其稳定性.
但 及 均有 ，即 ． 不稳定；
③当 ， 时，得到两个平衡点：
，
易知： ， ， ，
平衡点 不稳定，平衡点 稳定
(2)最大持续产量的数学模型为
即 ，
易得 此时 ，
但 这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量 ，且尽量接近 ，但不能等于 ．
《数学模型》作业答案
第二章(1)（2012年12月21日）
1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;
（2）. §1中的Q值方法；
相轨线为
此相轨线比书图11中的轨线上移了 乙方取胜的条件为
第五章2（2008年11月14日）
6.模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为 ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.
解:设给药速率为
(1)快速静脉注射: 设给药量为 则
（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：
1 2 3 4 5
A
B
C
235117.578.3 58.75 …
333166.511183.25 …
43221614410886.4
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为 , ,所获利润为 则问题的数学模型可表示为
这是一个整线性规划问题.
用图解法求解.
可行域为：由直线
及 组成 直线 在此凸四边形区域内平行移动.
易知：当 过 与 的交点时， 取最大值
由 解得
.
3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.
（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 时段的价格 由第 和第 时段的数量 和 决定，如果仍设 仍只取决于 ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.
记
① 令 ，得 ， ．
平衡点为 . 又 ， ．
平衡点 是稳定的，而平衡点 不稳定.
②最大持续产量的数学模型为：
由前面的结果可得
，令
得最大产量的捕捞强度 ．从而得到最大持续产量 ，此时渔场鱼量水平 ．
3．设某渔场鱼量 (时刻 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：
其中 为固有增长率, 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数 .
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:用 表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
现求(1)的解: (1)的系数矩阵为
.
再由初始条件，得
又由
其解为
(1)
即乙方取胜时的剩余兵力数为
又令
注意到 .
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援.则
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.
解：先考虑N=10的分配方案，
方法一（按比例分配）
分配结果为：
方法二（Q值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
第10个席位：计算Q值为
最大，第10个席位应给C.分配结果为
方法三（d’Hondt方法）
解：考虑灭火速度 与火势 有关，可知火势 越大，灭火速度 将减小，我们作如下假设: ，
分母 而加的.
总费用函数
最优解为
5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本 随时间增长，设 ， .又设单位时间的销售量为 .今将销售期分为 两段，每段的价格固定，记作 .求 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为 ，再求 的最优值.
令 ， 解得
由 ， 得
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．
对于允许缺货模型，每天平均费用为：
令 ， 得到驻点：
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．
2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数 ，销售速率为常数 ， ．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间 一边生产一边销售，后来的一段时间 只销售不生产，画出贮存量 的图形.设每次生产准备费为 ，单位时间每件产品贮存费为 ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论 和 的情况.
解：按分段价格，单位时间内的销售量为
又 .于是总利润为
=
=
, 得到最优价格为:
在销售期T内的总销量为
于是得到如下极值问题：
利用拉格朗日乘数法，解得：
即为 的最优值.
第三章3（2008年10月21日）
6.某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？
解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S
则此问题的数学模型为：
max S=20x+30y
s.t.
这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解
可行域为：由直线 ：x+2y=20, :5x+4y＝70
y
以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.
直线 ：20x+30y=c在可行域内
平行移动.
易知：当 过 与 的交点时， x
(1)分别就 ， ， 这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．
(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．
解：设时刻t的渔场中鱼的数量为 ，则由题设条件知： 变化规律的数学模型为
记
(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：
由 ，得 ．
即
，
(1)的解为：
①当 ， ，(1)无实根，此时无平衡点；
1 ．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;
2 ．试确定捕捞强度 ,使渔场单位时间内具有最大持续产量 ,求此时渔场鱼量水平 .
解：1 ． 变化规律的数学模型为
记 ,令 ，即 ----（1） ， （1）的解为：
① 当 时，（1）无实根，此时无平衡点；
② 当 时，（1）有两个相等的实根，平衡点为 .
， 不能断定其稳定性.
但 及 均有 ，即 不稳定；
③ 当 时，得到两个平衡点：
，
易知 ， ，
平衡点 不稳定 ，平衡点 稳定.
2 ．最大持续产量的数学模型为：
即 ， 易得 此时 ，但 这个平衡点不稳定.
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量 ,且尽量接近 ,但不能等于 .
《数学模型》第七章作业
（2008年12月4日）
1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：
此方法的分配结果为：
此方法的道理是：记 和 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）. 是每席位代表的人数，取 从而得到的 中选较大者，可使对所有的 尽量接近.
再考虑 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：