第八讲 排列组合进阶
数学广角之排列组合课件
高阶练习题3
用加法原理和乘法原理解决生活中的实际问 题。
06
总结与回顾
本章重点回顾
01
02
03
04
排列的定义与计算公式
组合的定义与计算公式
排列与组合的差异和联 系
排列组合在实际问题中 的应用
学习心得分享
通过学习排列组合，我深入理 解了数学中的问题时，排列组合 提供了有效的数学模型，使问 题得以简化。
详细描述
在解决排列组合问题时，我们可以使用排列数公式（A_n^m = n * (n - 1) * ... * (n - m + 1)）和组合数 公式（C_n^m = n! / [m!(n-m)!]），其中 n 表示总的选择项数，m 表示要选择的项数。通过将具体数值 代入公式，我们可以得到结果。
插板法
数学广角之排列组合课件
• 引言 • 排列组合的基本概念 • 排列组合的应用场景 • 排列组合的解题技巧 • 练习题与解析 • 总结与回顾
01
引言
主题简介
排列组合是数学中的重要概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） 的所有不同排列和组合。
排列是指按照一定的顺序重新排列元素，而组合则是指不考虑顺序地选取元素。
总结词
插板法是一种形象的方法，通过将 n 个相同元素分成 m 份，用插板将它们 隔开，从而计算出组合数。
详细描述
插板法的原理是将 n 个相同的元素看作是放 置在一条直线上，用 m-1 块插板将它们隔 开，形成 m 份，每一份至少有一个元素。 这样，从 n 个元素中选择 m 个元素的方法 数就是 m 的阶乘除以 (m-1) 的阶乘。
排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，例如在统计学、计算机科学、 物理学等领域。
五年级秋季第8讲《排列组合进阶》课后答案.尖子班
5. 12 个苹果分给 4 个人，每人至少 1 个，则共有___种分法. [插板法] ★
【解= 析】 C131
1= 1×10 × 9 3× 2×1
165
复习巩固 1. 如果在乘电动扶梯的同时小明匀速向上走需 18 秒到达楼上，如果在乘电动扶梯的同时小明逆着匀速向下
走需 36 秒到达楼下（千万别模仿！），那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒? 【解析】设扶梯共 72 级,则小明顺行速度为 4 级/秒,逆行速度为 2 级/秒,由和差问题可得小明的速度为
）÷ （
）
【解析】
工作总量=（ 工作效率
）× （ 工作时间 ）
工作效率=（ 工作总量 ）÷ （ 工作时间 ）
工作时间=（ 工作总量 ）÷ （ 工作效率 ）
2、⑴一项工程 5 天完成，平均每天完成整体的几分之几？
1
⑵一项工程每天完成 ，几天可以完成全工程？
4
【解析】
1
⑴
5
⑵4
3、 （1）一项工程，甲单独做 5 天完成，则他每天完成（ ），3 天完成的工作量是（ ）。
(4+2)÷2=3 级/秒.扶梯不动时,小明需要的时间为 72÷3=24 秒.
2. A 的数字和为 14,B 的数字和为 12,A+B 的数字和最少为______. 【解析】A 和 B 的数字之和为 26,他们和的数字之和一定除以 9 余 8.因此理论最小值为 8.构造如下:77+66=143
3. 如下图,面积为 49 的梯形 ABCD 中,AB:CD=2:5,则三角形 COD 的面积为______.
同类型的节目连续演出，那么共有___种不同的出场顺序. [捆绑法] ★★
【解析】要求同类型的节目连续演出，则可以应用“捆绑法”．先对舞蹈、演唱、小品三种节目做全排列， 再
排列组合进阶
排列组合进阶1.4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法？2.4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？3.将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻．请问共有多少种不同的排列方法？4.6名小朋友、、、、、A B C D E F站成一排，若，A B两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若、A B两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？5.学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？6.a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？7.甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？8.芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？9.平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？10.在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？11.某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？例1如图，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，每部分只染一种颜色且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？练1如图，把A、B、C、D这四部分用4种不同的颜色染色，每部分只染一种颜色且相邻的部分不能使用同一种颜色．请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？例2某市实行垃圾分类处理．每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、其他．现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一．（1）要求相邻两个垃圾桶颜色不同，一共有多少种染色方法？（2）要求相邻两个垃圾桶颜色不同且回收易拉罐的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？练2麦兜很挑食，只吃带有鱼丸或粗面的搭配．一天它和3位同学来餐厅吃东西，一开口就要鱼丸粗面，结果老板说没有．这个时候，由于时间太晚，餐厅快打烊了，只能做牛肚河粉、鱼丸油面、羊肉米线和牛肉拉面各一份，请问：它们四只小猪各点一份，有几种点法？例3卡莉娅、墨莫、小高和大头4名同学竞选班委．有班长、学习委员、生活委员三个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任．（1）有多少种可能的选举结果？（2）如果班长必须由卡莉娅来担任，有多少种可能的选举结果？（3）如果生活委员只能在墨莫和大头之中选，有多少种可能的选举结果？（4）如果学习委员不能由小高担任，有多少种可能的选举结果？练3甲、乙、丙、丁、戊5个人竞选班委．有班长、副班长、纪律委员、卫生委员四个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任：（1）一共有多少种可能的选举结果？（2）如果副班长只能在甲、丁和戊中选，有多少种可能的选举结果？（3）如果卫生委员不能由乙、丙担任，有多少种可能的选举结果？例4甲、乙、丙、丁四个人要住进A、B、C、D四间房间，每个房间住一个人．其中甲不住A房间，丙只住D房间．请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？练4甲、乙、丙、丁四个人要住进A、B、C、D四间房间，每个房间住一个人．其中甲只住A或B房间，丙只住A、B或C房间．请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？。
《8.2.3 排列组合的应用》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《排列组合的应用》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“排列组合的应用”。
排列与组合是数学中的基础概念，广泛应用于日常生活和各类实际问题中。
本课将通过具体实例，让学生掌握排列与组合的基本原理，并学会在现实生活中运用这些原理解决问题。
二、学习目标1. 理解排列与组合的基本概念，掌握其计算方法。
2. 学会分析实际问题中的排列与组合问题，并能够运用所学知识进行解决。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
4. 增强学生对于数学学习的兴趣和信心。
三、评价任务1. 通过课堂小测验，评价学生对排列与组合基本概念的理解及计算能力。
2. 通过小组合作完成实际问题案例分析，评价学生运用所学知识解决问题的能力及合作能力。
3. 通过课后作业，评价学生对本课知识的掌握程度及数学应用能力的提升情况。
四、学习过程1. 导入新课通过生活中的实例（如安排日程、购物组合等）引入排列与组合的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 概念讲解讲解排列与组合的定义、计算方法及基本原理，强调其在实际生活中的应用。
3. 实例分析通过具体问题，引导学生分析问题中的排列与组合情况，并运用所学知识进行解决。
4. 课堂互动鼓励学生提问，对学生的学习疑问进行解答，加深学生对知识的理解。
5. 课堂小测验进行课堂小测验，检验学生对排列与组合基本概念及计算方法的掌握情况。
6. 总结反馈根据小测验结果，对学生的学习情况进行总结，并给予针对性的反馈和建议。
五、检测与作业1. 完成课本上的相关练习题，巩固所学知识。
2. 小组合作，完成一个实际问题案例分析，运用所学知识解决问题。
3. 撰写学习心得，反思本课学习过程及收获，提出自己的疑问和建议。
六、学后反思1. 学生应反思自己在课堂上的学习情况，包括对知识的理解、对问题的分析能力以及与同学的互动情况等。
2. 学生应思考如何在日常生活中运用所学知识，解决实际问题。
3. 学生可就本课学习过程中遇到的疑问或困难进行思考，寻求解决方法或向老师请教。
排列组合ppt课件
排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。
数学排列组合常用方法与技巧精讲
比赛分组
在大型体育赛事中，如何将参赛选手或队伍分成若干小 组进行预赛是一个重要的排列组合问题。例如，在篮球 比赛中，将参赛队伍分成若干小组进行循环赛，需要考 虑队伍之间的实力对比和小组内比赛的公平性。
彩票中的排列组合问题
彩票选号
彩票选号是一个典型的排列组合问题。彩票号码由一 组数字组成，每个数字都有特定的范围和出现概率。 彩民需要从指定范围内选择一定数量的数字，并按照 一定的顺序排列，以获得中奖的机会。
不同元素问题
总结词
解决不同元素问题时，需要全面考虑 所有元素的排列或组合情况。
详细描述
在排列组合问题中，如果所有元素都 是不同的，需要全面考虑所有元素的 排列或组合情况。可以采用全排列或 全组合的方法进行计算。
插空法
总结词
插空法是一种解决排列组合问题的常用方法，通过在已排好的元素之间插入新元素来满足题目的要求 。
详细描述
特殊元素优先法是指在解决排列组合问题时，优先考虑特殊元素或特定位置的选取和排 列。这种方法的关键在于识别出问题中的特殊元素或特定位置，然后优先处理它们，从
而简化问题并提高解题效率。
分组法
总结词
将问题中的元素按照一定的规则进行分 组，然后对分组后的元素进行排列组合 ，可以解决一些复杂的问题。
答案
$A_{5}^{2} - 1 = 24$
解析
先从5个元素中取出2个元素进行排 列，再减去特定元素不在首位的排 列方式。
题目
在7个不同元素中取出4个元素进行 组合，其中某个特定元素必须包含在 内，有多少种不同的组合方式？
答案
$C_{6}^{2} = 15$
解析
先从7个元素中取出2个元素进行组 合，再减去特定元素不在首位的组 合方式。
第8讲 排列组合进阶
（1）336 （2）56
练习2
（1）在一次趣味知识竞答活动中，主持人要求在10道题中任选2 题作答，请问选手有几种选题方法？
（2）在一次趣味知识竞答活动中，主持人要求在10道题中任选2 题分别作答，请问选手有几种答题方法？
例题3
从50名同学中选3名作为语、数、英三科的课代表，有多少种不 同的情况？
第八讲
六年级寒假B版课件
排列组合进阶
数学教研组 编写
知识要点：
乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, 则完成这件事共有
…； 第m个步骤有nm种方法,
n1 n2 nm
必须通过每一步骤,
种不同的方法 .
才算完成这件事，
知识要点： 例如，若一个男人有三顶帽子和两 件背心，问他可以有多少种打扮？
火车有两班
甲地 回答是 3 + 2 种方法
乙地
轮船有三班
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
知识要点：
乘法原理和加法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
知识要点：
排列：一般地，从n个不同的元素中任取出m个 （m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
知识要点： 排列数公式: 从n个不同元素取 m个
（1 mn)的不同排列总数为：
pnm
n(n 1)(n 2)
(n m 1)
n! (n m)!
m = n时称全排列
Pnn pn n(n 1)(n 2) 21 n!
知识要点：
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题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。
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例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
排列组合ppt课件高中
进阶练习题
题目：在数字"202X"中，各位数字相加和为10，称该 数为"如意四位数"，用数字0，1，2，3，4，5组成的
无重复数字且大于202X的"如意四位数"有____个．
输标02入题
01
答案：12
03
答案：10
04
题目：在数字``202X''中，各位数字相加和为10，称该数 为``如意四位数''，用数字0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字且大于202X的``如意四位数''有____个．
确定元素
确定题目中涉及的元素，并理 解元素之间的关系。
确定限制条件
理解题目中的限制条件，如是 否可以重复、是否需要排序等
。
建立数学模型
根据问题类型、元素和限制条 件，建立相应的数学模型。
常见题型解析
排列问题
如“5个人排成一排，有多少种不同的排法？”这类问题需要斟酌到顺序，使用排列公式 $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$进行计算。
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），依照一定的顺序排成 一列，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个排列。
排列的计算公式
P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表 示阶乘。
排列的特性
排列与取出元素的顺序有关，元素 相同但顺序不同是不同的排列。
组合的定义
01
02
03
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（不放回） 进行排列，得到的排列数记为$A_{n}^{m}$ 。
组合数定义
排列组合ppt课件
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
(完整版)排列组合经典课件
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素 进行排队再相把不相独邻元独素插入独中间相和两端
练习题
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节 目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么 不同插法的种数为（ ）
练习题
1. 同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区
域不同色,现有4种可选颜色,则
不同的着色方法有_7_2__种
3
14 2
5
练习题 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种?
练习题
5个男生3个女生排成一排,3个女生 要排在一起,有多少种不同的排法?
共有A
6 6
A
3 3
=4320种不同的排法.
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
十一.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2
3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.
有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有__C_52__种
还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
部编版数学五年级上册第8讲.排列组合进阶.超常体系
第8讲四年级春季排列组合初步五年级暑假枚举法进阶五年级秋季排列组合进阶五年级秋季几何计数进阶五年级春季概率初识介绍捆绑法，插板法，插空法等计数方法.漫画释义知识站牌有10个年轻人到一家饭馆去吃饭,为座位该如何安排的问题发生了争吵.饭馆的老板给他们提了一个建议，他们便停止了争吵，并非常愿意接受老板的建议.老板的建议是：“假如你们今天按一个排列的次序坐，明天来吃午饭时，再按另一个次序入座.这样，当你们10个人的次序都变换完了，再也不会有新的次序出现的时候，从那天起，我免费供应你们最好的午餐.”但一连过了几个月，新的次序还没有排完，这些年轻人仔细一算，才知道，要这样吃下去根本吃不到免费的午餐.为什么？答案：10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800种3628800/365≈9942年如果要想排到不再有新的次序，需要轮上差不多9942年.所以根本吃不到免费午餐.1.熟悉排列组合常用的几种方法2.灵活运用排列组合的特点用对应的方法解决对应的题目.排列组合公式：1.排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+2.全排列公式：!(1)(2)21n n A n n n n ==⨯-⨯-⨯⨯⨯ 3.组合数公式：(1)(2)(1)!mn n n n n m C m ---+=4.关于组合数的几个重要结论：01n n n C C ==m n m n n C C -=0122n n n n n n C C C C ++++= 排列组合常用的方法：1.优限法（特殊位置/元素优先考虑）2.捆绑法（相邻问题）3.插空法（不相邻问题）4.大除法（有相同元素排列，圆圈排列，平均分组等问题）5.插板法（相同元素分组问题）6.排除法（正难则反）7.对应法（化归策略）经典精讲教学目标课堂引入第8讲1.已知：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ ，如255420A =⨯=.试计算下面几题：34____A =；26_____A =；310____A =；35_____A =.2.已知：!(1)(2)21n n n A n n n ==--⨯ ，如333!3216A ==⨯⨯=.试计算下面几题：4!___=；5!____=；6!____=；7!___=.3.已知：(1)(2)(1)!!m mn nA n n n n m C m m ---+== ，如225554102!21A C ⨯===⨯.试计算下面几题：24___C =；35___C =；27____C =；36____C =.4.已知：m n m n n C C -=，如2355C C =.试计算下面几题：34___C =；45___C =；57___C =；98100___C =.【分析】1.24，30，720，602.24，120，720，50403.6，10，21，204.4，5，21，4950例1：优限法例2：捆绑法例3：插空法例4：大除法例5，6：插板法例7：对应法例8：排列组合综合4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：⑴甲不在中间也不在两端；⑵甲、乙两人必须排在两端；⑶男、女生分别排在一起；⑷男女相间．【分析】⑴先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随意排，也就是8个元素全排列的问题，有888765432140320A =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)选择．由乘法原理，共有640320241920⨯=(种)排法．知识点回顾例题思路⑵甲、乙先排，有22212A =⨯=(种)排法；剩下的7个人随意排，有7776543215040A =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，共有2504010080⨯=(种)排法．⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有22212A =⨯=(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有44432124A =⨯⨯⨯=(种)和5554321120A =⨯⨯⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，共有2241205760⨯⨯=(种)排法．⑷先排4名男生，有44432124A =⨯⨯⨯=(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，一共有241202880⨯=(种)排法．4个男生2个女生共6人站成一排合影留念，有___种不同的排法;要求2个女生紧挨着有___种不同的排法;如果要求2个女生紧挨着排在正中间有____种不同的排法.【分析】4⑴男2女6人站成一排相当于6个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，确定第一个位置的人，有6种选择；第二步，确定第二个位置的人，有5种选择；第三步，排列第三个位置的人，有4种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择．根据乘法原理，一共有654321720⨯⨯⨯⨯⨯=种排法．⑵法1：分为三步：第一步：4个男的先排，一共有432124⨯⨯⨯=种不同的排法；第二步：2个女的排次序一共有2种方法；第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有5个位置可插．根据乘法原理，一共有2425240⨯⨯=种排法．法2：将2个女生当成一个人，这样就相当于5个人排队，共有5!120=种排法，但2个女生还可以左右换位置，所以共有2×120=240种排法.（3）根据题意分为两步来排列．第一步，先排4个男生，一共有432124⨯⨯⨯=种不同的排法；第二步，将2个女生安排完次序后再插到中间一共有2种方法．根据乘法原理，一共有24248⨯=种排法．【铺垫】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?【分析】把4个空车位看成一个整体，与8辆车一块进行排列，这样相当于9个元素的全排列，所以共有99362880A =．【巩固】A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位同学在操场排成一列，其中学生B 与C 必须相邻．请问共有多少种不同的排列方法？【分析】法1:七人排成一列，其中B 要与C 相邻，分两种情况进行考虑．若B 站在两端，B 有两种选择，C 只有一种选择，另五人的排列共有55A 种，所以这种情况有5521240A ⨯⨯=种不同的站法．若B 站在中间，B 有五种选择，B 无论在中间何处，C 都有两种选择．另五人的排列共有55A 种，所以这种情况共有55521200A ⨯⨯=种不同的站法．所以共有24012001440+=种不同的站法．法2:由于B 与C 必须相邻，可以把B 与C 当作一个整体来考虑，这样相当于6个元素的全排列，另外注意B 、C 内部有2种不同的站法，所以共有6621440A ⨯=种不同的站法．例2第8讲6名小朋友A 、B 、C 、D 、E 、F 站成一排.（1）若A 、B 两人必须相邻，一共有____种不同的站法；（2）若A 、B 两人不能相邻，一共有____种不同的站法；（3）若A 、B 、C 三人不能相邻，一共有____种不同的站法.（学案对应：带号1）【分析】（1）若A 、B 两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法总数为2525A A ⨯=2×120=240（种）（2）法1：排除法.A 、B 两个人不能相邻与A 、B 两个人必须相邻是互补的事件，因为不加任何条件的站法总数为66A =720（种），所以A 、B 两个人不能相邻的站法总数为720-240=480（种）．法2：插空法.先排C ，D ，E ，F 四人，共有4！=24种排法，这时四人共产生了5个空位（包含两端），在这5个空位上选2个位置站人，一定不会相邻.因此共有2524480A ⨯=种站法.（3）注：此题若用排除法，需要排除三人相邻及任意两人相邻的情况，不是特别简单.插空法.343!624144A ⨯=⨯=【巩固】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有____种不同的放法.【分析】四盆黄花摆好后，剩下5个位子可插进红花，选三个位置将三盆红花插入，35543==10321C ⨯⨯⨯⨯，所以有10种选择.【巩固】学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？【分析】要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里．因为有3名女阶乘与双阶乘阶乘(factorial )是基斯顿·卡曼(Christian Kramp ,1760～1826)于1808年发明的运算符号.阶乘，也是数学里的一种术语,指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数.如：!(1)(2)21n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯ 另外，数学家定义，0！=1.通常我们所说的阶乘是定义在自然数范围里的，小数没有阶乘，像0.5！，0.65！，0.777！都是错误的.双阶乘用“!!m ”表示.当m 是自然数时，表示不超过m 且与m 有相同奇偶性的所有正整数的乘积.如：(21)!!135(21)n n -=⨯⨯⨯⨯- (2)!!2462n n=⨯⨯⨯⨯生，考虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位．则站法总数为：3434A A 624144⨯=⨯=（种）（1）6名小朋友A 、B 、C 、D 、E 、F 站成一排.若A 必须在B 的前面（可以不相邻），则有____种站法；若A 在B 的前面（可以不相邻），B 在C 的前面（可以不相邻），则共有____种站法.（2）6名小朋友A 、B 、C 、D 、E 、F 站成一圈，共有____种站法.（旋转后相同算一种）（3）6名小朋友A 、B 、C 、D 、E 、F 平均分成三组，每组两个人，共有___种分法.（组与组不做区分）（学案对应：超常1）【分析】（1）A 在B 前面，可认为全排列后，除去AB 之间的排列方式，即6!3602!=种.A ，B ，C定序时，可需要在全排列的基础上，除去ABC 之间的排列方式，即6!1203!=种.（2）法1：可先固定一人，其他人就只有5！=120种站法.法2：6人站一圈，共有6！种站法，但每种站法都可以旋转6次，因此要除以6才是不同实质的站法.答案为6!1206=.（3）法1：6人中先选2人作为第一组，再剩下4人中选2人作为第二组，最后的2人作为第3组，因为组与组不做区分，因此要除以组数的全排列.答案为222642153!C C C ⨯⨯=法2：随意排6个人，共有6！种排法，将人按2人一组截开，组内人可以互换，三个组也可以互换，因此共有6!152!2!2!3!=⨯⨯⨯种分法。
部编版数学五年级上册第8讲.排列组合进阶.优秀A版
C92
9 8 2 1
36
(种)．
例4
（学生版仅有第 1 题） （1）6 名小朋友 A、B、C、D、E、F 站成一排. 若 A 必须在 B 的前面（可以不相邻），则有____ 种站法；若 A 在 B 的前面（可以不相邻），B 在 C 的前面（可以不相邻），则共有____种站法. （2）6 名小朋友 A、B、C、D、E、F 站成一圈，共有____种站法.（旋转后相同算一种） （3）6 名小朋友 A、B、C、D、E、F 平均分成三组，每组两个人，共有___种分法.（组与组不做 区分 ）
第8 讲
第八讲 排列组合进阶
知识站牌
四年级春季 排列组合初步
五年级秋季
几何计数进阶 五年级秋季
排列组合进阶 五年级暑假 枚举法进阶
五年级春季 概率初识
介绍捆绑法，插板法，插空法等计数方法.
漫画释义
第 9 级下 优秀 A 版 教师版 1
课堂引入
有 10 个年轻人到一家饭馆去吃饭,为座位该如何安排的问题发生了争吵.饭馆的老板给他们提 了一个建议，他们便停止了争吵，并非常愿意接受老板的建议.老板的建议是：“假如你们今天按一 个排列的次序坐，明天来吃午饭时，再按另一个次序入座.这样，当你们 10 个人的次序都变换完了， 再也不会有新的次序出现的时候，从那天起，我免费供应你们最好的午餐.” 但一连过了几个月，新的次序还没有排完，这些年轻人仔细一算，才知道，要这样吃下去根本吃不 到免费的午餐.为什么？ 答案：10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800 种 3628800/365≈9942 年 如果要想排到不再有新的次序，需要轮上差不多 9942 年.所以根本吃不到免费午餐.
=4320 种站法；小明在两端，即小明有 2 个位置可以站，共 2 6!1440 种站法.（特殊元素， 特殊位置优先考虑）
高中数学(排列组合)课件PPT
知识清单 知识点二 排列
3.排列数公式
Pnm
(n
n! m)!
n (n
1) (n
m 1)
4.全排列公式
Pnn n!
记住下列几个阶乘数：0!=1,1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720.
知识清单
知识点三 组合
1.组合 一般地，从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素为一组，称为从n个不 同的元素中任意取出m个元素的一个组合. 2.组合数 我们把从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，称为
知识清单
知识点二 排列
1.排列 一般地，从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一 列，称为从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列. 2.排列数 我们把从n个不同的元素中任意取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，称为从n
个不同的元素中任意取出m个元素的排列数，记作 Pnm.
例
典例精析
例
典例精析
例
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
同学们！再见！
课后一定要多练习哦！
从n个不同的元素中任意取出m个元素的组合数，记作 Cnm
知识清单 知识点三 组合
3.组合数公式
Cnm
Pnm Pmm
n! m!(n m!)
n(n 1) (n m 1) m (m 1) 21
4.组合数的性质
Cnm Cnnm
Cnr1 Cnr Cnr1
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
高中 数学
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5 分母是从 1 开始往上连乘 m 个（其实就是 m ! ）. 例子： C100 =
100 ´ 99 ´ 98 ´ 97 ´ 96 . 1´ 2 ´ 3´ 4 ´ 5
m n- m 2 8 = Cn = C10 对 Cn 的理解：为什么 C10 ？考虑其意义：从 10 名同学中挑选 2 名同学做值日， 2 8 = C10 就等于从 10 名同学中选 8 名同学歇着，所以 C10 .
1 1 ´ C11 = 132 种 【答案】 C12
【点评】堆有顺序，每堆中的物品不同且规定了数量的问题. 这是最简单的分堆问题，依次将每一堆的 组合数相乘即可，哪堆先算哪堆后算都不会影响最后结果，故选择一个好算的顺序即可，比如本 题可先给第 2 个小朋友 1 根， 再给第 3 个小朋友 1 根， 最后剩下 10 根自动分给第 1 个小朋友即可.
【点评】前三种是本节课涉及到的内容，挡板法是重点. 最后一种题目难度过大，不多做介绍.
【具体题目和方法】 【第一单元 1】有七个同学 A、B、C、D、E、F、G； （3）把他们排成两排，第一排 3 人，第二排 4 人，有多少种排法？
3 4 7 A4 A7 5040 【答案】 A7
【点评】分排排列与全排列没有区别，其根本原因在于排列正是一种强调“有顺序”的问题：只要各 个位置是不同的、有顺序的，方法数并不会因为位置具体的形状、大小的改变而改变.
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结
第八讲
排列组合进阶
以排列组合为代表的计数问题是和“行程”并列的丢分最多的版块，其特点是“上手易，得分难” ， 计数问题对学生思维的全面性和严密性要求很高，要求同学们能平心静气仔细体会，不可急于求成. 【重要知识点】 排列概念： （1）全排列：把 n 个东西放入 n 个不同的 位置，有 Ann = n ! = 1´ 2 ´ 3´´ n 种方法； ．．． ， （2）选排列：把 n 个东西放入 m 个不同的 位置，或把 m 个东西放入 n 个不同的 位置（ n > m ） ．．． ．．． 有 Anm = n ´ (n - 1) ´ (n - 2) ´´ (n - m + 1) 种方法. 组合概念： （1）从 n 个东西中不计先后顺序地 挑出 m 个（ n > m ） ，组成一堆，有 ．．．．．．．
【点评】其中的捆绑法与插空法是思路完全相反的两种方法，是本节课的重点，在后面的【具体题目 和方法】中会详细介绍.
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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 组合问题中的特殊方法： 分堆问题 堆有顺序，每堆中的物品不同且规定了数量 堆无顺序，每堆中的物品不同且规定了数量 堆有顺序，每堆中的物品相同但没有规定数量 堆无顺序，每堆中的物品没有规定数量 方法 分步组合即可 分步组合，若有相同个数的堆，则要除以重复数 挡板法 整数分拆，分类讨论
【第一单元 2】有七个同学 A、B、C、D、E、F、G； （2）如果 A 和 B 都不能站在两端，有多少种排法？
5 2400 【答案】 A52 A5
【点评】优先考虑特殊元素的位置， A 有 5 种， A 站好后， B 有 4 种，故这两个“搞特殊”的人有
A52 = 5 ´ 4 = 20 种站法. 其他没有特殊要求的人，全排列即可.“谁搞特殊，就先搞定谁”.
6 = 720 种方法；组间互换有 720 种方法，但组内也有能互换的位置：A、 六组元素的排列，有 A6 B 2 6 = 2 种方法，故共有 A22 A6 1440 种方法. 的位置可互换，有 A2
（3）插空法：B、C 有不能相邻的特殊要求，但排列的基本就是按顺序排列，故先将无要求
5 120 种方法，此时为了 B、C 不相邻的要求，将 B、C“嵌入” 的 A、D、E、F、G 排好，有 A5
2 2 3 2 = 12 种方法. 共有 A2 A3 A4 144 种方法. 缝隙不能插人），丙、丁有 A4
【点评】由前面的分析可看出：捆绑法是先排捆绑的人，插空法是最后插不相邻的人. 本题是捆绑与插 空的综合，排列的顺序正是先捆绑，后插空. 下面将按 4 种不同的类别来介绍分堆组合问题. 【拓展】现有 12 支不同的铅笔，分给 3 位不同的小朋友，第一位小朋友给 10 支，另两位各 1 支， 有多少种不同的分法？
【第一单元 3】有七个同学 A、B、C、D、E、F、G； （1）如果 A 和 B 必须相邻，有多少种排法？ （3）如果 B 和 C 不能相邻，有多少种排法？
6 1440 ； A55 A62 3600 【答案】 A22 A6
【分析】 （1）捆绑法：先将 A、B 看作一个不可分割的小组，则问题变为了（A、B） 、C、D、E、F 这
【第二单元 3】现有 12 支不同的铅笔： （2）分成 3 堆，一堆 10 支，另两堆各 1 支，有多少种不同的分法？
1 1 C11 2 66 种 【答案】 C12
【点评】堆无顺序，每堆中的物品不同且规定了数量的问题. 这一类问题与上一类问题做法相同，但要
n 注意：若有物品数相同的堆，则会出现重复；有 n 堆物品数量相同，结果就重复了 An 倍. 例如本 1 1 ´ C11 = 132 的话，则有一种方法是先拿了 1 根红笔做一堆，后拿了 1 根 题中，若计算方法数为 C12
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互换；插空法解决元素不相邻问题， “既然排队时闹矛盾，那就惩罚它们最后再排队”. 注意缝隙 个数比已排好的元素个数多 1 个. 【第三单元 1】 （1）6 名同学排队，甲、乙两人必须相邻，丙、丁两人不能相邻，有几种排法？
2 3 2 A3 A4 144 种 【答案】 A2 3 6 种方法，不要忘记甲、乙可以组内 【分析】先排（甲、乙）和另外两个无要求的人这 3 组，有 A3 2 2 种方法；此时 3 组人已排好，出现 4 个缝隙（甲、乙由于要相邻，故其间的 位置互换，有 A2
总结（2） 、 （3）的过程就是：不是“每堆至少 1 个”怎么办？多了减，少了加. 【第二单元 5】（2）10 个相同的球放进 3 个相同的盒子，每个盒子至少 2 个，共有多少种不同的 放法？ 【答案】枚举法： 10 2 2 6 2 3 5 2 4 4 3 3 4 ；共 4 种 【点评】 堆无顺序， 元素也相同的分堆问题. 这一类问题一般是做整数的无顺序分拆， 题目难度较大. 本 题是简单的，因为数较小，且多了一个“每盒至少 2 个”的限制条件. 分堆问题是非常重要的一类组合计数问题，题目有难度，其中的“挡板法”是一种重要的思 路. 本节课中，重点内容是以前未接触过的“捆绑法” 、 “插空法”和“挡板法”. 这节课是学而思十二级体系中最后一节专门讲授排列、组合问题的讲次，希望孩子能够根据 自己的接受水平多做练习. 组合计数问题是熟能生巧的.
挡板数 堆数-1 在“每堆至少 1 个”的条件下，答案就是 C空隙数 = C物品数-1 .
（2）条件是“每人至少 3 个” ，如何变成“每人至少 1 个”呢？答案是先每人给两个即可. 每 人先给 2 个，还剩 15 - 4 ´ 2 = 7 个小球，分给这 4 个小朋友，此时的条件就是“每人至少 1 个”
蓝笔做一堆，其余一堆；还有一种方法是先拿了 1 根蓝笔做一堆，后拿了 1 根红笔做一堆，其余 一堆. 由于堆并无顺序，所以这两种情况其实是相同的，但方法数却算了 2 遍，故知 132 并不是正
1 1 2 C11 A2 132 2 66 种. 确的答案. 正确答案应为 C12
【第二单元 4】（1）一部电视剧共 10 集，要在 5 天播完，每天至少播 1 集，安排播出方法共多 少种可能？ （2）有 15 个相同的小球，分给 4 名小朋友，每人至少有 3 个，共有多少种分法？ （3）奶奶家有 6 个鸡蛋，要在 5 天内吃完，共多少种可能？
已排好的队伍的缝隙即可（因为缝隙与缝隙之间一定不相邻），如下图：
A
DEBiblioteka FG已排好 5 个元素，故有 6 个“缝隙”可供 B、C“嵌入”，所以 B、C 的方法数是 A62 = 30 种，故 共有 A55 A62 3600 种方法.
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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 【点评】捆绑法解决元素相邻问题， “既然相邻，就没必要把它们分开”. 注意除了组间互换还有组内
解决排列组合问题的常用思想： （1）优先解决特殊元素（大部分问题都是如此，个别问题需要最后考虑特殊元素，下文会提到） ； （2）正难则反思想（第二单元例 2） ； （3）分类讨论.
排列问题中的特殊方法： （1）捆绑法（解决相邻元素排列问题） ； （2）插空法（解决不相邻元素排列问题） ； （3）除法，除以重复数（解决定序排列问题、简单圆排列问题）.
3 4 20 ； C10 210 【答案】 C94 126 ； C6
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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 【点评】堆有顺序，每堆中的物品相同但未规定数量的问题. 专门解决这一类问题的方法是挡板法. 挡
板法的标志性语句是“每堆至少 1 个” （例如第（1）题中的“每天至少播一集” ） ，没有这句话时 、 （3）题）. 无法直接使用挡板法，需要先将问题转化（第（2） （1）如何将 10 个一字排开的东西分成 5 份？答案是插 4 个挡板. 故答案是 C94 126 . 挡板法
-1 3 了. 故答案是 C741 = C6 = 20 种.
（3）隐含条件是“每天至少 0 个” ，如何变成“每天至少 1 个”呢？答案是每天再多吃 1 个 即可. 每天多吃 1 个，就共有 6 + 1´ 5 = 11 个鸡蛋，此时的条件就是“每天至少 1 个”了. 故答案