第八讲 排列组合进阶

m m 最不易记忆的是 Cn 的公式， 这里给出其记法： 分子是从 n 开始往下连乘 m 个 （其实就是 An ） ，
5 分母是从 1 开始往上连乘 m 个（其实就是 m ! ）. 例子： C100 =
100 ´ 99 ´ 98 ´ 97 ´ 96 . 1´ 2 ´ 3´ 4 ´ 5
m n- m 2 8 = Cn = C10 对 Cn 的理解：为什么 C10 ？考虑其意义：从 10 名同学中挑选 2 名同学做值日， 2 8 = C10 就等于从 10 名同学中选 8 名同学歇着，所以 C10 .
1 1 ´ C11 = 132 种 【答案】 C12
【点评】堆有顺序，每堆中的物品不同且规定了数量的问题. 这是最简单的分堆问题，依次将每一堆的 组合数相乘即可，哪堆先算哪堆后算都不会影响最后结果，故选择一个好算的顺序即可，比如本 题可先给第 2 个小朋友 1 根， 再给第 3 个小朋友 1 根， 最后剩下 10 根自动分给第 1 个小朋友即可.
【点评】前三种是本节课涉及到的内容，挡板法是重点. 最后一种题目难度过大，不多做介绍.
【具体题目和方法】 【第一单元 1】有七个同学 A、B、C、D、E、F、G； （3）把他们排成两排，第一排 3 人，第二排 4 人，有多少种排法？
3 4 7 A4 A7 5040 【答案】 A7
【点评】分排排列与全排列没有区别，其根本原因在于排列正是一种强调“有顺序”的问题：只要各 个位置是不同的、有顺序的，方法数并不会因为位置具体的形状、大小的改变而改变.
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第八讲
排列组合进阶
以排列组合为代表的计数问题是和“行程”并列的丢分最多的版块，其特点是“上手易，得分难” ， 计数问题对学生思维的全面性和严密性要求很高，要求同学们能平心静气仔细体会，不可急于求成. 【重要知识点】 排列概念： （1）全排列：把 n 个东西放入 n 个不同的 位置，有 Ann = n ! = 1´ 2 ´ 3´´ n 种方法； ．．． ， （2）选排列：把 n 个东西放入 m 个不同的 位置，或把 m 个东西放入 n 个不同的 位置（ n > m ） ．．． ．．． 有 Anm = n ´ (n - 1) ´ (n - 2) ´´ (n - m + 1) 种方法. 组合概念： （1）从 n 个东西中不计先后顺序地 挑出 m 个（ n > m ） ，组成一堆，有 ．．．．．．．
【点评】其中的捆绑法与插空法是思路完全相反的两种方法，是本节课的重点，在后面的【具体题目 和方法】中会详细介绍.
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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 组合问题中的特殊方法： 分堆问题 堆有顺序，每堆中的物品不同且规定了数量 堆无顺序，每堆中的物品不同且规定了数量 堆有顺序，每堆中的物品相同但没有规定数量 堆无顺序，每堆中的物品没有规定数量 方法 分步组合即可 分步组合，若有相同个数的堆，则要除以重复数 挡板法 整数分拆，分类讨论
【第一单元 2】有七个同学 A、B、C、D、E、F、G； （2）如果 A 和 B 都不能站在两端，有多少种排法？
5 2400 【答案】 A52 A5
【点评】优先考虑特殊元素的位置， A 有 5 种， A 站好后， B 有 4 种，故这两个“搞特殊”的人有
A52 = 5 ´ 4 = 20 种站法. 其他没有特殊要求的人，全排列即可.“谁搞特殊，就先搞定谁”.
6 = 720 种方法；组间互换有 720 种方法，但组内也有能互换的位置：A、 六组元素的排列，有 A6 B 2 6 = 2 种方法，故共有 A22 A6 1440 种方法. 的位置可互换，有 A2
（3）插空法：B、C 有不能相邻的特殊要求，但排列的基本就是按顺序排列，故先将无要求
5 120 种方法，此时为了 B、C 不相邻的要求，将 B、C“嵌入” 的 A、D、E、F、G 排好，有 A5
2 2 3 2 = 12 种方法. 共有 A2 A3 A4 144 种方法. 缝隙不能插人），丙、丁有 A4
【点评】由前面的分析可看出：捆绑法是先排捆绑的人，插空法是最后插不相邻的人. 本题是捆绑与插 空的综合，排列的顺序正是先捆绑，后插空. 下面将按 4 种不同的类别来介绍分堆组合问题. 【拓展】现有 12 支不同的铅笔，分给 3 位不同的小朋友，第一位小朋友给 10 支，另两位各 1 支， 有多少种不同的分法？
【第一单元 3】有七个同学 A、B、C、D、E、F、G； （1）如果 A 和 B 必须相邻，有多少种排法？ （3）如果 B 和 C 不能相邻，有多少种排法？
6 1440 ； A55 A62 3600 【答案】 A22 A6
【分析】 （1）捆绑法：先将 A、B 看作一个不可分割的小组，则问题变为了（A、B） 、C、D、E、F 这
【第二单元 3】现有 12 支不同的铅笔： （2）分成 3 堆，一堆 10 支，另两堆各 1 支，有多少种不同的分法？
1 1 C11 2 66 种 【答案】 C12
【点评】堆无顺序，每堆中的物品不同且规定了数量的问题. 这一类问题与上一类问题做法相同，但要
n 注意：若有物品数相同的堆，则会出现重复；有 n 堆物品数量相同，结果就重复了 An 倍. 例如本 1 1 ´ C11 = 132 的话，则有一种方法是先拿了 1 根红笔做一堆，后拿了 1 根 题中，若计算方法数为 C12
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互换；插空法解决元素不相邻问题， “既然排队时闹矛盾，那就惩罚它们最后再排队”. 注意缝隙 个数比已排好的元素个数多 1 个. 【第三单元 1】 （1）6 名同学排队，甲、乙两人必须相邻，丙、丁两人不能相邻，有几种排法？
2 3 2 A3 A4 144 种 【答案】 A2 3 6 种方法，不要忘记甲、乙可以组内 【分析】先排（甲、乙）和另外两个无要求的人这 3 组，有 A3 2 2 种方法；此时 3 组人已排好，出现 4 个缝隙（甲、乙由于要相邻，故其间的 位置互换，有 A2
总结（2） 、 （3）的过程就是：不是“每堆至少 1 个”怎么办？多了减，少了加. 【第二单元 5】（2）10 个相同的球放进 3 个相同的盒子，每个盒子至少 2 个，共有多少种不同的 放法？ 【答案】枚举法： 10 2 2 6 2 3 5 2 4 4 3 3 4 ；共 4 种 【点评】 堆无顺序， 元素也相同的分堆问题. 这一类问题一般是做整数的无顺序分拆， 题目难度较大. 本 题是简单的，因为数较小，且多了一个“每盒至少 2 个”的限制条件. 分堆问题是非常重要的一类组合计数问题，题目有难度，其中的“挡板法”是一种重要的思 路. 本节课中，重点内容是以前未接触过的“捆绑法” 、 “插空法”和“挡板法”. 这节课是学而思十二级体系中最后一节专门讲授排列、组合问题的讲次，希望孩子能够根据 自己的接受水平多做练习. 组合计数问题是熟能生巧的.
挡板数 堆数-1 在“每堆至少 1 个”的条件下，答案就是 C空隙数 = C物品数-1 .
（2）条件是“每人至少 3 个” ，如何变成“每人至少 1 个”呢？答案是先每人给两个即可. 每 人先给 2 个，还剩 15 - 4 ´ 2 = 7 个小球，分给这 4 个小朋友，此时的条件就是“每人至少 1 个”
蓝笔做一堆，其余一堆；还有一种方法是先拿了 1 根蓝笔做一堆，后拿了 1 根红笔做一堆，其余 一堆. 由于堆并无顺序，所以这两种情况其实是相同的，但方法数却算了 2 遍，故知 132 并不是正
1 1 2 C11 A2 132 2 66 种. 确的答案. 正确答案应为 C12
【第二单元 4】（1）一部电视剧共 10 集，要在 5 天播完，每天至少播 1 集，安排播出方法共多 少种可能？ （2）有 15 个相同的小球，分给 4 名小朋友，每人至少有 3 个，共有多少种分法？ （3）奶奶家有 6 个鸡蛋，要在 5 天内吃完，共多少种可能？
已排好的队伍的缝隙即可（因为缝隙与缝隙之间一定不相邻），如下图：
A
DEBiblioteka FG已排好 5 个元素，故有 6 个“缝隙”可供 B、C“嵌入”，所以 B、C 的方法数是 A62 = 30 种，故 共有 A55 A62 3600 种方法.
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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 【点评】捆绑法解决元素相邻问题， “既然相邻，就没必要把它们分开”. 注意除了组间互换还有组内

解决排列组合问题的常用思想： （1）优先解决特殊元素（大部分问题都是如此，个别问题需要最后考虑特殊元素，下文会提到） ； （2）正难则反思想（第二单元例 2） ； （3）分类讨论.

排列问题中的特殊方法： （1）捆绑法（解决相邻元素排列问题） ； （2）插空法（解决不相邻元素排列问题） ； （3）除法，除以重复数（解决定序排列问题、简单圆排列问题）.
3 4 20 ； C10 210 【答案】 C94 126 ； C6
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2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结 【点评】堆有顺序，每堆中的物品相同但未规定数量的问题. 专门解决这一类问题的方法是挡板法. 挡
板法的标志性语句是“每堆至少 1 个” （例如第（1）题中的“每天至少播一集” ） ，没有这句话时 、 （3）题）. 无法直接使用挡板法，需要先将问题转化（第（2） （1）如何将 10 个一字排开的东西分成 5 份？答案是插 4 个挡板. 故答案是 C94 126 . 挡板法
-1 3 了. 故答案是 C741 = C6 = 20 种.
（3）隐含条件是“每天至少 0 个” ，如何变成“每天至少 1 个”呢？答案是每天再多吃 1 个 即可. 每天多吃 1 个，就共有 6 + 1´ 5 = 11 个鸡蛋，此时的条件就是“每天至少 1 个”了. 故答案
5-1 4 是 C11 -1 = C10 = 210 种.
m Cn = m An n ´ (n - 1) ´ (n - 2) ´´1 种方法； = m! 1´ 2 ´ 3´´ m
0 1 n m n- m = 1 ， Cn = n ， Cn = 1 ， Cn = Cn （2）一些简单的公式： Cn .
【点评】有些新报名的同学没有加乘原理和排列组合初步的基础，故而在这里我们先复习一下： 首先要记住：排列（A）的特点是有顺序，而组合（C）的特点是无顺序. 其次，排列与组合的公式都是由乘法原理推得的.