热力学统计物理课后答案12
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第二章 均匀物质的热力学性质
2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：
(),p f V T =
试证明其内能与体积无关.
解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：
(),p f V T = （1）
故有
().V
p f V T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （2） 但根据式（2.2.7），有
,T V
U p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 所以
()0.T
U Tf V p V ∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭ （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数.
2.3 求证： ()0;H S a p ⎛⎫
∂< ⎪∂⎝⎭ ()0.
U
S b V ∂⎛⎫
> ⎪∂⎝⎭ 解：焓的全微分为
.dH TdS Vdp =+ （1）
令0dH =，得
0.H S V
p T ⎛⎫∂=-< ⎪∂⎝⎭ （2） 内能的全微分为
.dU TdS pdV =- （3） 令0dU =，得
0.U S p V T
∂⎛⎫=> ⎪
∂⎝⎭ （4）
2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.
解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数S T p ⎛⎫∂
⎪∂⎝⎭和H
T p ⎛⎫
∂ ⎪∂⎝⎭描述. 熵函数(,)S T p 的全微分为 .P T
S S dS dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫
=+ ⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭ 在可逆绝热过程中0dS =，故有
.T P p
S P
S V T p T T S
p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫
⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （1） 最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.
焓(,)H T p 的全微分为
.P T
H H dH dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫
=+ ⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭ 在节流过程中0dH =，故有
.T P
p
H P
H V T V p T T H
p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫
- ⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （2） 最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）. 将式（1）和式（2）相减，得
0.p
S H T T V
p p C ⎛⎫⎛⎫∂∂-=> ⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体.
由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动
部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化.
2.9 证明范氏气体的定容热容量只是温度T 的函数，与比体积无关.
解：根据习题2.8式（2）
22,V T V
C p T V T ⎛⎫∂∂⎛⎫
= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 范氏方程（式（1.3.12））可以表为
22
.nRT n a p V nb V =-- （2） 由于在V 不变时范氏方程的p 是T 的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是T 的函数，与比体积无关.
不仅如此，根据2.8题式（3）
0202(,)(,),V
V V V V
p C T V C T V T dV T ⎛⎫
∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰ （3） 我们知道，V →∞时范氏气体趋于理想气体. 令上式的0V →∞，式中的0(,)V C T V 就是理想气体的热容量. 由此可知，范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的.
顺便提及，在压强不变时范氏方程的体积V 与温度T 不呈线性关系. 根据2.8题式（5）
2
2,V T V
C p V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 这意味着范氏气体的定压热容量是,T p 的函数.
2.16 试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率. 解：根据式（2.6.1）和（2.6.3），平衡辐射的压强可表为
41
,3
p aT = （1） 因此对于平衡辐射等温过程也是等压过程. 式（2.6.5）给出了平衡辐射在可逆绝热过程（等熵过程）中温度T 与体积V 的关系
3().T V C =常量 （2）
将式（1）与式（2）联立，消去温度T ，可得平衡辐射在可逆绝热过程中压强p 与体积V 的关系
43
pV C '=（常量）. （3）
下图是平衡辐射可逆卡诺循环的p V -图，其中等温线和绝热线的方程分别为式（1）和式（3）.
下图是相应的T S -图. 计算效率时应用T S -图更为方便.
在由状态A 等温（温度为1T ）膨胀至状态B 的过程中，平衡辐射吸收的热量为
()1121.Q T S S =- （4）
在由状态C 等温（温度为2T ）压缩为状态D 的过程中，平衡辐射放
出的热量为
()2221.Q T S S =- （5） 循环过程的效率为