小学三年级奥数--数阵图
三年级奥数.计算综合.数阵图与幻方(B级).学生版
一、数阵图定义及分类:定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.数阵:是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.三、幻方起源:幻方也叫纵横图,也就是把数字纵横排列成正方形,因此纵横图又叫幻方.幻方起源于我国,古人还为它编撰了一些神话.传说在大禹治水的年代,陕西的洛水经常大肆泛滥,无论怎样祭祀河神都无济于事,每年人们摆好祭品之后,河中都会爬出一只大乌龟,乌龟壳有九大块,横着数是3行,竖着数是3列,每块乌龟壳上都有几个点点,正好凑成1至9的数字,可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次,大乌龟又从河里爬上来,一个看热闹的小孩惊叫起来:“瞧多有趣啊,这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加,结果都等于十五!”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神,说来也怪,河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”,由于它有3行3列,所以叫做“三阶幻方”,知识框架数阵图与幻方这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图:987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解:“九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况,可见幻方在我国历史悠久.三阶幻方又叫做九宫图,九宫图的幻方民间歌谣是这样的:“四海三山八仙洞,九龙五子一枝连;二七六郎赏月半,周围十五月团圆.”幻方的种类还很多,这节课我们将学习认识了解它们.四、幻方定义:幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵,具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方,44⨯的数阵称作四阶幻方,55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样,98765432113414151612978105113216。
三年级奥数之数阵图习题
数阵图
1、把1到6这六个数分别填入下图的六个圈内,使得每个正方形顶点上的数的和都为13。
2、将2到7这六个数,填入上图的圈中,使得每条线上的三个数的和相等。
练习:请将1到7这7个数填入下图中,使得每条线上的三个数的和相等。
3、将1到9这九个数填入下图,使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等。
练习:将1到8填入下图,使两个正方形顶点上的数的和相等,并且用斜线连接的4对数的和也都相等。
4、将1到5这五个数填入上图中,使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等。
练习:在图中填上7、8、10、12,使得每个圆内的四个数的和相等。
5、将1到16填入4*4(16格)的正方形中,使每行、每列、每条对角线的和都相等。
数阵图练习
1、将6到10这五个数填入下图,使得每条边上的三个数的和相等。
2、将2到11填入下图,使得每条线段上的三个数之和相等。
3、将2到10填入下图,使得每条线上的四个数的和相等。
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三年级奥数第17次课:数阵图(二)(学生版)
【我生命中最最最重要的朋友们,请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。
学业的成功重在于考点的不断过滤,相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。
谢谢使用!!!】数阵图(二)一、考点、热点回顾上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题,这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。
1、一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题2、有多个“重叠数”的封闭型数阵图。
一般地,在m边形中,每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。
与“辐射型m-n图只有一个重叠数,重叠次数是m-1”不同的是,封闭型m-n图有m个重叠数,重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图,因为重叠数只重叠一次,所以已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。
二、典型例题例1 、将1~8这八个数分别填入右图的○中,使两个大圆上的五个数之和都等于21。
例2、将1~6这六个自然数分别填入右图的六个○内,使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
1例3 、将1~6这六个自然数分别填入右图的六个○中,使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
例4、将2~9这八个数分别填入右图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18。
例5、把1~7分别填入左下图中的七个空块里,使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
2三、习题练习1、把1~8填入下页左上图的八个○里,使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
2、把1~6这六个数填入右上图的○里,使每个圆圈上的四个数之和都相等。
3、将1~8填入左下图的八个○中,使得每条边上的三个数之和都等于15。
4、将1~8填入右上图的八个○中,使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
35、将1~7填入右图的七个○,使得每条直线上的各数之和都相等。
6、把1,3,5,7,9,11,13分别填入左图中的七个空块中,使得每个圆内的四个数之和都等于34。
7、将4、5、6、7、8、9六个数填在下图,使每条边上得三个数之和都相等,并且和为最大,和为最小呢?8、将2~9这八个数分别填入下图的○里,使每条边上的三数之和都等于1849、将1~9这九个数分别填入下图中的○里(其中9已填好),使每条直线上的三个数之和都相等。
小学奥数 数阵图(一) 精选例题练习习题(含知识点拨)
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类:1. 定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1~8的数填到下图中,使每个四边形中顶点的数字和相等。
【例 2】 将1~8这八个自然数分别填入下图中的八个○内,使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填?例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图(1)【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数,使得三条边上的三个数的和都是12,若A 、B 、C 的和为18,则三个顶点上的三个数的和是 。
CBA【例 4】 将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次),使每条边上的数字和相等.那么,每条边上的数字和是 .789fedcba 789【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈,使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等,那么A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______.BA【例 6】 如图所示,圆圈中分别填人0到9这10个数,且每个正方形顶点上的四个数之和都是18,则中间两个数A 与B 的和是________。
BA【例 7】 把2~11这10个数填到右图的10个方格中,每格内填一个数,要求图中3个22 的正方形中的4个数之和相等.那么,这个和数的最小值是多少?111098765432【例 8】 下图中有五个正方形和12个圆圈,将1~12填入圆圈中,使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等.那么这个和是多少?861102912311457【例 9】 如图,大、中、小三个正方形组成了8个三角形,现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点;再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上;最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上.⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等?⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能,请画图填上满足要求的数;如果不能,请说明理由.246824688642【例 10】 将1~16分别填入下图(1)中圆圈内,要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34,图中已填好八个数,请将其余的数填完.【例11】一个3 3的方格表中,除中间一格无棋子外,其余梅格都有4枚一样的棋子,这样每边三个格子中都有12枚棋子,去掉4枚棋子,请你适当调整一下,使每边三格中任有12枚棋子,并且4个角上的棋子数仍然相等(画图表示)。
小学奥数之数阵图解题方法(完整版)
小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类:1. 定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1~8的数填到下图中,使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,3年级,第6题 【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】 将1~8这八个自然数分别填入下图中的八个○内,使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填?【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便,先在各圆圈内填上字母,如下图(2).由条件得出以下四个算式:a+b+c=14(1) c+d+e=14 (2) e+f+g=14 (3)a+h+g=14 (4)由(1)+(3),得:a+b+c+e+f+g=28,(a+b+c+d+e+f+g+h )-(d+h )=28,d+h=(1+2+3+4+5+6+7+8)-28=8,由(2)+(4),同样可得b+f=8, 又1,2,3,4,5,6,7,8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上,d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性,不妨设b=2,f=6,d=3,h=5. a ,c ,e ,g 可取到1,4,7,8若a=1,则c=14-(1+2)=11,不在1,4,7,8中,不行.若c=1,则a=14-(1+2)=11,不行. 若e=1,则c=14-(1+3)=10,不行. 若g=1,则a=8,c=4,e=7. 说明:例题为封闭型数阵,由它的分析思考过程可以看出,确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321()(2)h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数,使得三条边上的三个数的和都是12,若A 、B 、C 的和为18,则三个顶点上的三个数的和是 。
小学奥数:数阵图(二).专项练习及答案解析
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类:1. 定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格); 第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个,老师将这9个数写在一个九宫格上,让同学选数,每个同学可以从中选5个数来求和.小刚选的5个数的和是120,小明选的5个数的和是111.如果两人选的数中只有一个是相同的,那么这个数是_____________.313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,中年级,决赛,3题 【分析】 这9个数的和:111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=()()由小刚和小明选的数中只有一个是相同的,可知他们正好把这9个数全部都取到了,且有一个数取了两遍.所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图是所求的数.那么,这个数是12011119833+-=.【答案】33【例 2】 如图1,圆圈内分别填有1,2,……,7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64,那么,中间圆圈内填入的数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,复赛,第5题,5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图(1)所示,在每个小圆圈内填上一个数,使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.(1)17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便,先在每个圆圈内标上字母,如图(2),(2)a cb49817则有a+4+9=a+b+c (1)b+8+9=a+b+c (2)c+17+9=a+b+c (3) (1)+(2)+(3):(a+b+c )+56=3(a+b+c ),a+b+c=28,则 a=28-(4+9)=15,b=28-(8+9)=11,c=28-(17+9)=2解:见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图(1)所示的圆圈内,使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填?【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便,将各圆圈内先填上字母,如图(2)所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k(A+B+C)+(A+F+G)+(A+D+E)+(B+D+F)+(C+E+G)=5k,3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k,2(A+B+C+D+E+F+G)+A=5k,2(1+2+3+4+5+6+7)+A=5k,56+A=5k.,因为56+A为5的倍数,得A=4,进而推出k=12,因为在1、2、3、5、6、7中,1+5+6=7+3+2=12,不妨设B=1,F=5,D=6,则C=12-(4+1)=7,G=12-(4+5)=3,E=12-(4+6)=2.,解:得到一个基本解为:(见图)7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数,各数互不相等,每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。
三年级奥数教程第13讲 数阵图
三年级奥数教程第13讲数阵图例1、把1~6这六个数字分别填入图13一l的六个圈内,使得每个正方形顶点上的数的和都为13.分析从1到6这六个数的和是21.而两个正方形8个顶点上的数之和是26(=13×2),比六个数的总和大5.这是因为中间两个圈内的数,都被算了两次,所以,多出来的5就是中间两个圈内的数的和.解在1到6六个数中,两个数的和为5,只可能是1+4、2+3.当中间两个圈内填1与4时,剩下的四个数,3与5、2与6配对即可以满足条件.当中间两个圈内填2与3时,剩下的四个数无法组成和相等的两对,因而无法满足条件.所以,得到如图13—2的填法.随堂练习1将3、4、6这三个数填入图13—3的三个圆圈内,使得每条边上的三个数的和等于11.例2、将2到7这六个数,填入图13—4的圈中,使得每条线上的三个数的和相等.分析与解将三条线上的三个数都相加,中间的1被加了3次,所以三条线上三个数的和为1+2+…+6+7+1+1=30.从而每条线上的和是10(=30÷3),即每条线上剩余两个圆圈内数的和是9(=10—1).由 2+7=4+5=3+6=9.可以得到如图13—5的解.随堂练习2 将1到7这七个数填入图13—6,使得每条线上的三个数的和相等.例3、将1到9这九个数填入图13—7,使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等.分析与解先来确定中心的数.设这个数为a,则4条线上12个数(中心的数出现4次,其余的数各出现一次)的和1+2+…+9+a+a+a是4的倍数,即45+3×a是4的倍数.所以a只可能是1、5、9.(1)当a=1时,2与9、4与7、8与3、5与6两两搭配填入同一条线的两个圈内即可.(2)当a=5时,l与9、2与8、3与7、4与6搭配.(3)当a=9时,1与8、2与7、3与6、4与5搭配.这样得到如图13—8所示的三个解.随堂练习3 将1~8填入图13—9,使两个正方形顶点上的数的和相等,并且用斜线连接的4对数的和也都相等.例4、将1到5这五个数填入图13-10,使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等.分析与解设处于中心圈内的数是a,因为竖线上的三个数的和等于圆周上的四个数的和,所以a等于它左、右两个数的和.同理,a等于它上、下两个数的和.从而a是最大的数5.其余四个数,2与3搭配,1与4搭配,写在同一条线上.得到的解如图13—11所示.随堂练习4 在图13一12中圆圈内填上7、8、10、12,使得每个圆内的四个数的和相等.例5、将1~6这六个数填入图13~13的六个圆圈内,使得每条边上的三个数的和相等.分析与解用字母a、b、c表示三个顶点上的数.如果l、6都在边上,那么a、b、c中有两个数的差是5(=6—1).这不可能.所以可设以a=1或6.如果a=1,那么由2+6=3+5.3+6=4+5.可得图13—14的(1),(2).如果a=6,同样可得图13—14的 (3),(4).随堂练习5 将l到16填入图13—15,使得每条线段上四个数的和相等,两个八边形八个顶点上的数的和也相等.例6、将1~16填入图13—16的正方形,使每行、每列、每条对角线的和都相等.图13—16分析与解本题也就是造一个四阶幻方.四阶幻方的造法很多,解也不惟一.下面介绍一种最简的做法,可以称为调整法.先将1~16依照次序先左后右,先上后下逐一填入图13—17(1)中得1234114154115144 567896712126799101112510118810115 13141516132316133216⑴⑵⑶图13—17四阶幻方中每行和、每列和、每条对角线的和都是 (1+2+…+16)÷4=(1+16)×16÷2÷4=34.现在图13—17(1)的两条对角线的和都已经是34,合乎要求.所以对角线上的数不要再动.先来调整行.将第一行的2、3分别与第四行的14、15对调,第二行的5、8分别与第三行的9、12对调,得图13—17(2),这个图中,不但每条对角线的和是34,每一行的和也都是34.再调整列.将图13—17(2)第一列的9、5分别与第四列的12、8对调,第二列的14、2分别与15、3对调,得图13—17(3),这个图就是一个合乎要求的幻方.随堂练习6 比较例6所得的幻方与随堂练习5的答案.有何联系?读一读……………………………………………………可能与必然上节末,说到一个游戏“数独”.数独怎么填呢?比如先看第一行,在上节末的图中,有6个空格,应填1、2、4、7、8、9这6个数字.每个空格填的数有6种可能,难以确定.如果看第二列,只有2个空格,应填2、7,每个空格有2种可能,但还不能惟一确定.可能性太多,需要逐个枚举讨论,比较麻烦.所以应先考虑可能较小的方格.最好能发现一些方格,只有一种填法,也就是说这些方格填什么数是必然的.将这些方格先填好,对填其他方格会有帮助.同时考虑几个方面的要求,可以得到必然的填法.比如中间的3×3的正方形,只有3个空格,应填2、6、8.再结合第四行已经有8,第六行也已经有8,所以8必须填在中央.接下去,因为第四行已经有6,所以6必须填在第六行,2填在第四行.现在再看第四行,只剩2个空格,应填9与3.第九列有9,所以第四行的9只能(必然)在第三列,3在第九列.同样,右中3×3的正方形中,9必然在第六行.第六行第一列必填2.左中3×3的正方形中,5必在第一列,7在第三列.第八列3必填在第九行,9必填在第二行.右上3×3的正方形中,7必填在第七列.右下3×3的正方形中,5必在第八行第七列,2必在第八行,1在第九列第七行,6在第七行第七列.右中3×3的正方形中,6在第九列,2在第七列.左下3×3的正方形中,2、3、8、6的填法都是必然的.左上3×3的正方形中,按行依次填2、1、4、7、6.右上3×3的正方形中,填4、8.中上3×3的正方形中填8、9、6、2、7、4.中下3×3的正方形中填9、3、6、4、1、7.填法都是必然的。
小学奥数5-1-3-3 数阵图(三).专项练习及答案解析
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类:1. 定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内,使得五条线上的数字和构成一个等差数列,而且这个等差数列的各项之和为55,那么这个等差数列的公差有 种可能的取值.例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯,三年级,初赛,第8题【解析】设顶点分别为A、B、C、D、E,有45+A+B+C+D+E=55,所以A+B+C+D+E=10,所以A、B、C、D、E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数(即边上的)为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1,公差为d.利用求和公式5(a1+a1+4d)2=55,得a1+2d=11,故大于等于0+1+5=6,且为奇数,只能取7、9或11,而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况,公差分别为2、1、0.【答案】2种可能【例 2】将1~9填入下图的○中,使得任意两个相邻的数之和都不是3,5,7的倍数.【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7;2的两边只能是6与9;3的两边只能是1、5或8;4的两边只能是7与9.可以先将3—1—7--写出来,接下来7的后面只能是4,4的后面只能是9,9的后面只能是2,2的后面只能是6,可得:3—1—7—4—9—2—6--,还剩下5和8两个数.由于6814+=是7的倍数,所以接下来应该是5,这样可得:3—1—7—4—9—2—6—5—8—3.检验可知这样的填法符合题意.【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l,2,3,4,5,6,7,8(1已填出).从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈,这个圆圈中若填n(n≤8)。
三年级奥数.计算综合.数阵图与幻方.学生版
数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类:定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.数阵:是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手:第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.三、幻方起源:幻方也叫纵横图,也就是把数字纵横排列成正方形,因此纵横图又叫幻方.幻方起源于我国,古人还为它编撰了一些神话.传说在大禹治水的年代,陕西的洛水经常大肆泛滥,无论怎样祭祀河神都无济于事,每年人们摆好祭品之后,河中都会爬出一只大乌龟,乌龟壳有九大块,横着数是3行,竖着数是3列,每块乌龟壳上都有几个点点,正好凑成1至9的数字,可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次,大乌龟又从河里爬上来,一个看热闹的小孩惊叫起来:“瞧多有趣啊,这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加,结果都等于十五!”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神,说来也怪,河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”,由于它有3行3列,所以叫做“三阶幻方”,这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图:987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解:“九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况,可见幻方在我国历史悠久.三阶幻方又叫做九宫图,九宫图的幻方民间歌谣是这样的:“四海三山八仙洞,九龙五子一枝连;二七六郎赏月半,周围十五月团圆.”幻方的种类还很多,这节课我们将学习认识了解它们.四、幻方定义:幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵,具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方,44⨯的数阵称作四阶幻方,55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样,98765432113414151612978105113216。
(完整版)小学三年级奥数--数阵图
数阵图(一)在神奇的数学王国中,有一类非常有趣的数学问题,它变化多端,引人入胜,奇妙无穷。
它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连其中,用毕生的精力来研究它的变化,就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么,到底什么是数阵呢?我们先观察下面两个图:左上图中有3个大圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了,1~9 九个数字被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和,以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说,数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图,可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1 把1~5这五个数分别填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了,七拼八凑就写出了右上图的答案,可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理,只有弄懂其中的道理,才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解:中间方格中的数很特殊,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“重叠数”。
也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重叠了一次,其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9,重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。
重叠数求出来了,其余各数就好填了(见右上图)。
试一试:练习与思考第1 题。
例2 把1~5 这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解:与例1 不同之处是已知“重叠数”为5,而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以,必须先求出这个“和”。
根据例1 的分析知,两条直线上的三个数相加,只有重叠数被加了两遍,其余各数均被加了一遍,所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5] ÷2=10。
小学三年级奥数数阵图二知识点与习题
数阵图 ( 二)上一讲我们讲了仅有一个“重叠数” 的辐射型数阵图的填数问题,这一讲我们讲有多个“重叠数”的关闭型数阵图。
例 1 将 1~8 这八个数分别填入右图的○中,使两个大圆上的五个数之和都等于21。
剖析与解:中间两个数是重叠数,重叠次数都是21× 2-(1+2++8)=6 。
1 次,因此两个重叠数之和为在已知的八个数中,两个数之和为 6 的只有外三个数之和为21-6=15。
假如两个重叠数为 1 与 5,那么剩下的六个数组,每组三数之和为15 的只有2+6+7=15和 3+4+8=15,1 与 5, 2 与 4。
每个大圆上另2,3,4,6,7,8 均分为两故有左下列图的填法。
假如两个重叠数为 2 与 4,那么同理可得上页右下列图的填法。
例 2 将 1~6 这六个自然数分别填入右图的六个○内,使得三角形每条边上的三个数之和都等于 11。
剖析与解:此题有三个重叠数,即三角形三个极点○内的数都是重叠数,而且各重叠一次。
因此三个重叠数之和等于11× 3-(1+2+ +6)=12。
1~6 中三个数之和等于12 的有 1,5,6;2,4,6;3,4,5。
假如三个重叠数是 1,5,6,那么依据每条边上的三个数之和等于 11,可得左下列图的填法。
简单发现,所填数不是 1~6,不合题意。
同理,三个重叠数也不可以是3,4,5。
经试验,当重叠数是2,4,6 时,能够获得切合题意的填法( 见右上图 ) 。
例 3 将 1~6 这六个自然数分别填入右图的六个○中,使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
剖析与解:与例2 不一样的是不知道每边的三数之和等于几。
因为三个重叠数都重叠了一次,由 (1+2+ +6)+重叠数之和 =每边三数之和× 3,获得每边的三数之和等于[(1+2++6)+ 重叠数之和 ] ÷3=(21+重叠数之和 ) ÷ 3=7+重叠数之和÷ 3。
因为每边的三数之和是整数,因此重叠数之和应是3 的倍数。
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类:定义:把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.数阵:是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手:第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格);第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围;第三步:运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.三、幻方起源:幻方也叫纵横图,也就是把数字纵横排列成正方形,因此纵横图又叫幻方.幻方起源于我国,古人还为它编撰了一些神话.传说在大禹治水的年代,陕西的洛水经常大肆泛滥,无论怎样祭祀河神都无济于事,每年人们摆好祭品之后,河中都会爬出一只大乌龟,乌龟壳有九大块,横着数是3行,竖着数是3列,每块乌龟壳上都有几个点点,正好凑成1至9的数字,可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次,大乌龟又从河里爬上来,一个看热闹的小孩惊叫起来:“瞧多有趣啊,这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加,结果都等于十五!”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神,说来也怪,河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”,由于它有3行3列,所以叫做“三阶幻方”,这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图:987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解:“九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况,可见幻方在我国历史悠久.三阶幻方又叫做九宫图,九宫图的幻方民间歌谣是这样的:“四海三山八仙洞,九龙五子一枝连;二七六郎赏月半,周围十五月团圆.”幻方的种类还很多,这节课我们将学习认识了解它们.四、幻方定义:幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵,具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方,44⨯的数阵称作四阶幻方,55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样,98765432113414151612978105113216。
三年级奥数有趣的数阵图解析
【篇一】数阵图就是把一些数按照一定的规则,排列成各种各样的图形,这种图形就称作数阵图。
幻方就是一种特殊的数阵图,而数独可以说是幻方的延伸。
数阵图一般分为三大类型:封闭型、辐射型和复合型。
但具体的数阵图种类繁多、新奇有趣,有一定的难度。
填数阵图时不宜乱填乱试,急于求成,要认真观察、分析数阵图的内在规律,按步骤求解。
首先要找出数阵中的关键位置(如不同线路的交点,封闭图形的顶点等),根据题目的要求,经过必要的计算,先填写这些关键位置的数;再利用已求出的一些数据和条件,通过尝试、调整,填写出其它位置上的数。
数阵图的解法往往很多,解题时一般只列举几种主要的解法。
学习数阵图,可以培养孩子的观察能力、分析能力,训练孩子思维的灵活性和严密性。
【篇二】将1-8这8个数字分别填入下图中的小圆圈内,使每个五边形上的五个数字的和都等于21:这是个封闭型的数阵图,主要有两种填法。
如下图中,红色圆圈里的数既属于左边五边形,又属于右边五边形。
每个五边形上的五个数字的和都等于21,两个五边形上10个数字总和是42,这样计算,其中红色圆圈里的数字被重复计算,即多算了一遍。
图中1-8八个数字的实际和为:1+2+3+4+5+6+7+8=36。
因此被重复计算的两个红色圆圈里的数字和为:42-36=6。
在1-8中,和为6的只有:2+4=6;1+5=6。
所以红色圆圈里可能是2和4,也可能是1和5。
先试着在红色圆圈里填上2和4(如下左图),还剩下数字1、3、5、6、7、8。
因为每个五边形上的五个数字的和都等于21,所以剩下三个数的和为:21-6=15;又因为7、8两个数的和已经是15了,所以7和8只能在不同的五边形里;填好7和8,剩下的数字凑一凑就可以了。
再尝试在红色圆圈里填上1和5(如下右图),同上理,依次填好7、8和其它的数字,可以得到第二种填法。
【篇三】将1-8填入T形图中,使横行□中所有数的和等于竖行□中所有数的和:红色方框里的数是横行和竖行重叠的数,只要横行剩下4个黑色方框里数字之和等于竖行剩下3个黑色方框里的数字和相等,那么图中横行方框中所有数的和就等于竖行方框中所有数的和。
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数阵图(一)
在神奇的数学王国中,有一类非常有趣的数学问题,它变化多端,引人入胜,奇妙无穷。
它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连其中,用毕生的精力来研究它的变化,就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么,到底什么是数阵呢我们先观察下面两个图:
左上图中有3个大圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了,1~9九个数字被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和,以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说,数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图,可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1把1~5这五个数分别填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了,七拼八凑就写出了右上图的答案,可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理,只有弄懂其中的道理,才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解:中间方格中的数很特殊,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“重叠数”。
也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重叠了一次,其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所以
(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9,
重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了,其余各数就好填了(见右上图)。
试一试:练习与思考第1题。
例2把1~5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解:与例1不同之处是已知“重叠数”为5,而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以,必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知,两条直线上的三个数相加,只有重叠数被加了两遍,其余各数均被加了一遍,所以两条直线上的三个数之和都等于
[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
因此,两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。
在剩下的四个数1,2,3,4中,只有1+4=2+ 3=5。
故有右上图的填法。
试一试:练习与思考第2题。
例3把1~5这五个数填入右图中的○里,使每条直线上的三个数之和相等。
分析与解:例1是知道每条直线上的三数之和,不知道重叠数;例2是知道重叠数,不知道两条直线上的三个数之和;本例是这两样什么都不知道。
但由例1、例2的分析知道,
(1+2+3+4+5)+重叠数
=每条直线上三数之和×2,
所以,每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。
因为每条直线上的三数之和是整数,所以重叠数只可能是1,3或5。
若“重叠数”=1,则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8。
填法见左下图;
若“重叠数”=3,则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9。
填法见下中图;
若“重叠数”=5,则两条直线上三数之和为(15+5)÷2=10。
填法见右下图。
试一试:练习与思考第3题。
练习与思考
1.将1~7这七个数分别填入左下图中的○里,使每条直线上的三个数之和都等于12。
如果每条直线上的三个数之和等于10,那么又该如何填
2.将1~9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好),使每条直线上的三个数之和都相等。
如果中心数是5,那么又该如何填
3.将1~9这九个数分别填入右图的小方格里,使横行和竖列上五个数之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法)
数阵图(二)
由以上几例看出,求出重叠数是解决数阵问题的关键。
为了进一步学会掌握这种解题方法,我们再看两例。
例4将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10。
分析与解:与例1类似,知道每条边上的三数之和,但不知道重叠数。
因为有3条边,所以中间的重叠数重叠了两次。
于是得到
(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。
由此得出重叠数为
[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。
剩下的六个数中,两两之和等于9的有2,7;3,6;4,5。
可得右上图的填法。
如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”,其他不变,那么仿照例3,重叠数可能等于几怎样填
例5将10~20填入左下图的○内,其中15已填好,使得每条边上的三个数字之和都相等。
解:与例2类似,中间○内的15是重叠数,并且重叠了四次,所以每条边上的三个数字之和等于
[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。
剩下的十个数中,两两之和等于(45-15=)30的有10,20;11,19;12,18;13,17;
14,16。
于是得到右上图的填法。
例1~5都具有中心数是重叠数,并且每边的数字之和都相等的性质,这样的数阵图称为辐射型。
例4的图中有三条边,每边有三个数,称为辐射型3—3图;例5有五条边每边有三个数,称为辐射型5—3图。
一般地,有m条边,每边有n个数的形如下图的图形称为辐射型m-n图。
辐射型数阵图只有一个重叠数,重叠次数是“直线条数”-1,即m-1。
对于辐射型数阵图,有
已知各数之和+重叠数×重叠次数
=直线上各数之和×直线条数。
由此得到:
(1)若已知每条直线上各数之和,则重叠数等于
(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。
如例1、例4。
(2)若已知重叠数,则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条
数。
如例2、例5。
(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道,则要从重叠数的可能取值分析讨论,
如例3。
练习与思考
4.将3~9这七个数分别填入左下图的○里,使每条直线上的三个数之和等于20。
5.将1~11这十一个数分别填入右上图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,并且尽可能大。
6.将1~7这七个数分别填入下图的○里,使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
答案与提示
5.提示:中心数是重叠数,并且重叠4次。
所以每条直线上的三数之和等于
[(1+2+…+11)+重叠数×4]÷5
=(66+重叠数×4)÷5。
为使上式能整除,重叠数只能是1,6或11。
显然,重叠数越大,每条直线上的三数之和越大。
所以重叠数是11,每条直线上的三数之和是22。
填法见右图。
6.解:所有的数都是重叠数,中心数重叠两次,其它数重叠一次。
所以三条边及两个圆周上的所有数之和为
(1+2+…+7)×2+中心数=56+中心数。
因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等,所以这个和应该是5的倍数,再由中心数在1至7之间,所以中心数是4。
每条边及每个圆周上的三数之和等于(56+4)÷5=12。
中心数确定后,其余的数一下还不好直接确定。
我们可以试着先从辐射型3-3图开始。
中心数是4,每边其余两数之和是12-4=8,两数之和是8的有1,7;2,6;3,5。
于是得到左下图的填法。
对于左上图,适当调整每条边上除中心数外的两个数的位置,便得到本题的解(见右上图)。