同余模定理
模运算的性质与计算
模运算的性质与计算模运算（也叫取模运算）是数学中的一个重要运算，它在计算机科学、密码学以及其他领域中有广泛的应用。
模运算的性质和计算方法是我们学习数学和计算机科学时需要深入理解的内容。
本文将介绍模运算的定义、性质以及几种常见的计算方法。
一、模运算的定义和性质1. 定义：对于整数a和正整数n，a对n取模（记作a mod n）的结果是a被n除的余数。
2. 基本性质：a. 对于任意整数a和正整数n，模运算的结果始终是非负整数。
b. 如果a mod n = b mod n，那么我们称a和b是模n同余的（记作a ≡ b (mod n)）。
c. 同余关系是模运算最基本的性质之一，对于任意整数a，都有a ≡ a (mod n)，即a mod n 和自身同余。
d. 对于任意整数a、b、c和正整数n，如果a ≡ b (mod n) 且b ≡ c (mod n)，则有a ≡ c (mod n)。
这意味着同余关系具有传递性。
e. 如果a ≡ b (mod n)，那么对于任意的正整数m，都有a + m ≡ b + m (mod n) 和 a - m ≡ b - m (mod n)。
这说明在模运算下，加减法仍然保持同余。
f. 如果a ≡ b (mod n)，那么对于任意的正整数m，都有a * m ≡ b * m (mod n)。
这说明在模运算下，乘法仍然保持同余。
但需要注意的是，除法不一定满足这个性质。
二、模运算的计算方法1. 直接计算法：对于给定的整数a和正整数n，我们可以通过将a除以n并取余数来得到a mod n的值。
例如，如果a = 17、n = 5，那么有17 mod 5 = 2。
2. 同余定理：同余定理是模运算计算中常用的方法之一。
根据同余定理，如果a ≡ b (mod n) 并且c ≡ d (mod n)，那么a + c ≡ b + d (mod n)和a * c ≡ b * d (mod n)。
利用同余定理，我们可以减少大数的计算量。
同余定理公式
同余定理公式
中国古代数学家张丘建在《九章算术》中提出了同余定理，它是一种有用的数学定理，用
于解决模数运算中的问题。
同余定理的公式是：若a ≡ b (mod n)，则a和b在模n下同余。
同余定理的公式表明，当两个数a和b模n同余时，它们之间的差值可以被n整除。
这
意味着，如果a和b模n同余，那么a-b可以被n整除，即a-b=kn，其中k是一个整数。
同余定理的应用非常广泛，它可以用来解决模数运算中的问题。
例如，假设有一个模数运
算问题，要求求出满足条件a ≡ b (mod n)的所有整数a和b。
这时，可以使用同余定理的
公式来解决这个问题。
除此之外，同余定理还可以用来解决求余数的问题。
例如，假设有一个求余数的问题，要
求求出a除以n的余数。
这时，可以使用同余定理的公式来解决这个问题，即a ≡ b (mod n)，其中b就是a除以n的余数。
此外，同余定理还可以用来解决求模的问题。
例如，假设有一个求模的问题，要求求出a
除以n的模。
这时，可以使用同余定理的公式来解决这个问题，即a ≡ b (mod n)，其中b
就是a除以n的模。
另外，同余定理还可以用来解决求最大公约数的问题。
例如，假设有一个求最大公约数的问题，要求求出a和b的最大公约数。
这时，可以使用同余定理的公式来解决这个问题，即a ≡ b (mod n)，其中n就是a和b的最大公约数。
总之，同余定理是一种有用的数学定理，它可以用来解决模数运算、求余数、求模和求最大公约数等问题。
它的公式是：若a ≡ b (mod n)，则a和b在模n下同余。
小学奥数之 同余问题(含详细解析)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
同余模定理-概述说明以及解释
同余模定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述同余模定理是数论中的一个基本概念，它与同余的关系密切相关。
在数学中，同余是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相等。
同余模定理则是对同余关系的一种整理和归纳，它展示了同余关系的一些重要性质和运算规则。
同余模定理不仅在数学领域具有重要意义，而且在计算机科学中也有广泛的应用。
同余模定理具体包括几个重要的方面，包括同余关系的定义、等价关系的性质、同余运算的基本规律等。
通过学习同余模定理，我们可以更好地理解和应用数论中的同余概念，进行更加深入的数论研究。
本篇文章将首先介绍同余模的概念，包括同余关系的定义和性质。
接着，我们将探讨同余模的一些重要性质，如传递性、对称性和反射性等，以及同余运算的基本规律。
最后，我们将深入探讨同余模定理在数学和计算机科学中的应用领域，如密码学、编码理论和算法设计等。
通过本文的学习，读者将能够全面了解同余模定理的基本概念和重要性质，掌握同余运算的基本规律，并对同余模定理在数学和计算机科学中的应用有更深入的认识。
同余模定理的研究不仅拓展了数论的理论体系，而且对于解决实际问题，提高计算效率具有重要意义。
在未来的发展中，同余模定理有望在更多领域中发挥作用，并推动数学和计算机科学的发展进步。
1.2文章结构文章结构部分的内容：文章正文分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分概述了文章的主题，介绍了同余模定理的概念和重要性。
同余模定理是数论中重要的概念之一，它描述了整数之间的特定关系。
本文将对同余模的概念、性质和应用进行详细讨论。
正文部分将从三个方面介绍同余模：同余模的概念、同余模的性质和同余模的应用。
首先，我们将详细解释同余模的定义和运算规则，了解同余模的基本概念。
其次，我们将探讨同余模具有的一些重要性质，如传递性、互反性和可加性等，这些性质对于解决数论问题具有重要意义。
最后，我们将介绍同余模在密码学、编程和计算机科学等领域的应用，这些应用充分展示了同余模定理的实际意义和价值。
数论之余数三大定理
第十四章数论之余数三大定理概念一般地，如果a是整数，b是整数〔b≠0〕,假设有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全(2)当0商三大余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c 的余数。
2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
3.同余定理假设两个整数a、b被自然数m除有一样的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：假设两个数a，b除以同一个数m得到的余数一样，那么a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)例题1. 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。
2. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
3. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
4. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，被除数、除数、商与余数之和为2113，那么被除数是多少？5. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？6. 〔真题〕三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商一样，所得的余数也一样，这三个数是_______，_______，_______。
7. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。
同余定理的趣味历史与演变
同余定理的趣味历史与演变数学作为一门古老而又饱含智慧的学科，其中有一条被誉为“同余定理”的重要规则。
同余定理是数论中的基础概念，它的历史起源可以追溯到古代。
本文将带领读者领略同余定理的趣味历史与其在数学发展过程中的演变。
一、同余定理的历史起源同余定理的理论基础最早可以追溯到公元前二世纪的中国汉朝。
在《九章算术》中，它首次得到了系统的阐述和运用。
当时，人们发现了一种数与另一个数之间能够保持某种特定关系的模型。
这种数学模型被称为“同余”。
尽管当时的表述方式与现代的数学语言不同，但同余定理的思想内容已经初步形成。
同余定理的发展并不止步于汉朝，随着时间的推移，它逐渐传入了其他的数学文明。
在印度、阿拉伯和欧洲等地，同余定理得到了更深入的研究和推广。
二、同余定理的基本概念同余定理是关于整数运算的一种特定规则，它描述了两个整数在模一个给定的非零整数下的关系。
若两个整数除以一个固定的整数所得的余数相等，我们就说这两个整数对于这个给定的整数是同余的。
以更具体的例子来说明，假设我们有两个整数a和b，它们对于一个非零整数m来说，如果a除以m的余数与b除以m的余数相等，即(a mod m) = (b mod m)，那么我们可以说a和b在模m下是同余的。
三、同余定理的运用与特性同余定理不仅在数学理论中具有重要的地位，而且在实际问题中也有广泛的应用。
在离散数学、密码学、计算机科学等领域，同余定理都发挥着重要的作用。
同余定理具有一些有趣的特性。
首先，同余关系可以构成一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
这一点在同余定理的证明中显得尤为重要。
其次，同余关系还可以运用于简化运算。
例如，在进行大数阶乘的计算中，可以使用同余定理来减少计算量。
这是因为同余关系可以保持模运算的性质。
四、同余定理的演变与现代数学随着数学的不断发展，同余定理也在不断演变和推广。
在现代数论中，同余定理已经成为一门独立的数学学科，并发展出了更深奥的理论和更广阔的应用。
常用数学公式
常用数学公式数学是一门基础学科，它涉及到了很多的公式和定理。
在数学的各个分支中，有一些公式是非常常用的，几乎在每个数学问题中都会用到。
下面是一些常用的数学公式：1. 二次方程的根：对于二次方程ax²+bx+c=0，它的根可以通过求根公式来得到。
对于实数根，公式为：x=(-b±√(b²-4ac))/2a。
对于复数根，公式为：x=(-b±i√(4ac-b²))/2a。
2. 同余定理：如果两个整数a和b除以正整数m得到的余数相同，那么称a与b关于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
同余定理包括加法同余定理、乘法同余定理和幂同余定理。
3.欧拉公式：对于任何一个凸多面体，它的面数F、顶点数V和边数E之间有着如下关系：F+V=E+2、这个公式被称为欧拉公式，是立体几何中非常重要的公式。
4.边界值定理：对于连续函数f(x)和定义在[a,b]上的连续函数g(x)，如果在(a,b)内f(x)≤g(x)，那么必然存在一些点c∈(a,b)，使得f(c)=g(c)。
5.泰勒展开：如果函数f(x)在x=a处存在各阶导数，则对于任意整数n，函数f(x)在x=a处的n阶泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)，其中R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)为余项。
6. 复数的欧拉公式：对于任意一个复数z，它可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。
这个公式被称为复数的欧拉公式。
7.向量叉乘的模长：对于二维向量a=(a₁,a₂)和b=(b₁,b₂)，它们的叉乘的模长为，a×b，=，a₁b₂-a₂b₁。
8. 三角函数的和差公式：sin(a±b)=sinacosb±cosasinb，cos(a±b)=cosacosb∓sinasinb，tan(a±b)=(tana±tanb)/(1∓tana*tanb)。
同余
a 用a modm表示余数r，则 a [ ]m ( a m odm ) m
定理3 整数a, b模m 同余 a modm=b modm
ab (modm) m|a-b a modm=b modm
a=b+km
性质：
(1) ( 2) ( 3)
[(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm
(r r ) a b (q q)m
m a b的充分必要条件是 m r r. 但因为 0 r r m ， 因此，
且 m r r 的充分必要条件是 r r 0 ，所以 m a b 的充分必 要条件是 r r 0. 这就是定理的结论.
2
2003
2
22 1 4 4(mod 7).
故第 22003 天是星期二。 定理5 若 x y(mod m),
ai bi (mod m),
0 i k, 则 0 i k.
a0 a1 x ak x k b0 b1 y bk yk (mod m).
故 3 n, 9 ｜ n.
k 定理7 设 n ak 1000 a11000 a0 , 0 ai 1000. 则7或11,或
13 n 7或11或 13 a0 a2 - a1 a3 .
例4 设 n 637693.
例5 设n 75312289.
定理10 设a b ( mod m) . 若d | m, 则a b ( mod d) .
同余的运算法则
同余的运算法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同余的概念最早出现在数论领域，是一种描述整数间的模运算关系的数学概念。
同余的运算法则涉及到模运算的一系列性质和规律，对于解决一些数论问题和密码学中的加密算法起着至关重要的作用。
本文将介绍同余的概念及其运算法则，并讨论其在数学和应用方面的重要性。
1. 同余的定义在数论中，我们通常使用符号“≡”表示同余关系。
如果两个整数a和b除以一个正整数m的余数相等，即a除以m和b除以m的余数相等，我们就说a与b关于模m同余，记为a≡b(mod m)。
简单来说，同余就是指两个数除以同一个数的余数相等。
12和22关于模5同余，因为12除以5的余数为2，22除以5的余数也为2，即12≡22(mod 5)。
2. 同余的运算法则在模运算中，同余有着一系列的运算法则。
我们可以根据这些法则来简化模运算的计算，并处理一些复杂的数论问题。
（1）同余的传递性如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么可以推出a≡c(mod m)。
这就是同余关系的传递性，即如果两个数与同一个模同余，那么它们之间也是同余的。
举例来说，如果5≡15(mod 10)且15≡25(mod 10)，那么可以推出5≡25(mod 10)。
（2）同余的对称性和反对称性（3）同余的加法和乘法性质对于同余关系来说，加法和乘法都具有良好的性质。
（4）同余的幂运算性质如果a≡b(mod m)，那么对于任意正整数n，有a^n≡b^n(mod m)。
即同余数的幂运算后依然同余。
（5）同余的逆元如果a在模m下存在逆元，即存在整数b使得ab≡1(mod m)，那么我们称b是a的逆元。
对于素数模m来说，任意整数a在模m下都有逆元。
同余的概念在数论和密码学领域有着广泛的应用。
（1）同余在数论中的应用在数论中，同余可以用来证明一些整数性质和解决一些数论问题。
在证明费马小定理和欧拉定理等定理时就会用到同余的性质。
在密码学中，同余的概念有着重要的应用。
六年级同余数问题知识点
六年级同余数问题知识点同余数问题是六年级数学中较为重要的一个知识点，它涉及到数字的整除性质和模运算等概念。
通过学习同余数问题，孩子们不仅可以培养逻辑思维和数学运算能力，还可以拓宽数学思维的广度，为今后的数学学习打下坚实的基础。
下面将介绍六年级同余数问题的相关知识点。
1. 同余数的定义在数学中，我们用“a≡b(mod n)”来表示“a与b对于模n同余”，即a除以n所得的余数与b除以n所得的余数相等。
另外，模n的余数也可以用“[a]n”来表示。
2. 同余数的性质(1) 若a≡b(mod n)，则a+k*n≡b(mod n)，其中k为任意整数。
(2) 若a≡b(mod n)，且b≡c(mod n)，则a≡c(mod n)。
(3) 若a≡b(mod n)，则a的加、减、乘、除的运算结果与b的加、减、乘、除的运算结果对模n同余。
(4) 若a≡b(mod n)，则对a和b的比较运算结果与对模n的比较运算结果相同。
3. 同余数问题的解决方法(1) 列举法：通过列举题目中所给的数，找出满足同余关系的数对，并确定它们能够满足题目的要求。
(2) 推理法：通过对同余关系的性质进行推理，得出问题的解。
(3) 定理法：运用同余定理进行问题的求解。
常用的同余定理有欧拉定理和费马小定理等。
4. 同余数问题的应用同余数问题不仅在数学中具有重要的地位，也广泛应用于密码学、通信工程、分组密码等领域。
通过同余数问题的研究，人们可以建立起一套完善的密码系统，保护个人信息的安全性。
5. 同余数问题的习题(1) 求解同余方程：给定一个同余方程a*x≡b(mod n)，求解未知数x的取值范围。
(2) 判断同余关系：对于给定的两个数a和b，判断它们是否满足a≡b(mod n)的同余关系。
(3) 应用问题：类似数字游戏的应用题目，涉及到时间、积分和货币等实际问题。
通过学习六年级的同余数问题，孩子们不仅可以锻炼数学思维和逻辑推理能力，还可以在应用题中培养数学运用的能力。
数论之余数三大定理
数论之余数三⼤定理第⼗四章数论之余数三⼤定理概念⼀般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a ＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上⾯的除法算式为⼀个带余除法算式。
这⾥：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完(2)当0全商三⼤余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
3.同余定理若两个整数a、b被⾃然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，⽤式⼦表⽰为：a≡b ( mod m )，左边的式⼦叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到⼀个⾮常重要的推论：若两个数a，b除以同⼀个数m得到的余数相同，则a，b的差⼀定能被m 整除⽤式⼦表⽰为：如果有a≡b ( mod m )，那么⼀定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)例题1. ⽤某⾃然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。
2. 甲、⼄两数的和是1088，甲数除以⼄数商11余32，求甲、⼄两数。
3. ⼀个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
4. 有两个⾃然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？5. ⽤⼀个⾃然数去除另⼀个⾃然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个⾃然数各是多少？6. （真题）三个不同的⾃然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
7. ⼀个⾃然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个⾃然数是_________。
数论之余数三大定理
第十四章数论之余数三大定理观点一般地，假如a是整数，b是整数（b≠0）,如有a÷b=q⋯⋯r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我称上边的除法算式一个余除法算式。
里：当r0：我称a能够被b整除，q称a除以b的商或完整商当r0：我称a不可以够被b整除，q称a除以b的商或不完全商三大余数定理余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分除以c的余数之和，或个和除以的余数。
余数的乘法定理a与b的乘除以c的余数，等于a,b分除以c的余数的，或许个除以c所得的余数。
同余定理若两个整数a、b被自然数m除有同样的余数，那么称a、b于模m同余，用式子表示：a≡b(modm)，左的式子叫做同余式。
同余式作：a同余于b，模m。
由同余的性，我能够获得一个特别重要的推：若两个数a，b除以同一个数m获得的余数同样， a，b的差必定能被m整除用式子表示为：假如有a≡b(modm)，那么必定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)例题用某自然数a去除1992，获得商是46，余数是r，求a和r。
甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少1.（真题）三个不一样的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商同样，所得的余数也同样，这三个数是_______，_______，_______。
一个自然数，除以11时所获得的商和余数是相等的，除以9时所获得的商是余数的3倍，这个自然数是_________。
有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。
假如把书所有分给第一组，那么每人4本，有节余；每人5本，书不够。
假如把书全分给第二组，那么每人3本，有节余；每人4本，书不够。
同余
或21+X+Y=36，X-Y+13=22
X+Y=6，X-Y=-2，或X+Y=15，X-Y=9， 解得X=2，Y=4。
例3 ：求111 被7除的余数。
50
解：∵111111被7整除，
∴
11 1
50
≡11（mod 7）≡4（mod 7）
即余数为4。
例4：求( 257
解： ( 257
i0
( 1 ) a i (mod
i
7)
n
即有7|a的充要条件是 7| 对模11和13同理可证。 注：这里用的是1000进制。
( 1) a i
i
i0
例1:1234567891011…2005 除以3的余数是多少.
解:因为一个数除以3的余数,即其各位数字和 除以3 的余数.所以所求余数
解:两边关于9同余,则有8*3 所以错误. 5,不成立
例判断 28997*39495=1114523641 5是否正确
解:两边关于9同余,则有8*3 所以错误. 5,不成立
定义：称k0 ,k1,…km-1叫做模m的剩余类，设 a0,a1…am-1是m个整数，并且其中任何两数都不 在一个剩余类里，则a0,a1…am-1叫做模m的一个 完全剩余系(简称完系)
第三章 同余
§1 同余的概念及其基本性质
在日常生活中，我们常接触到一些周 期为正整数性的问题.例如：问火车下午2 点从金华出发,30小时后到广州,则到广州 是几点?就是24去除30所得的余数6加2,即 晚上8点到广州,这就是同余问题.今天是星 期一,问过了100天后是星期几等……．,现 在同余理论已发展成为初等数论中内容丰
b. 由同余的定义可知: 相等必同余，同余未 必相等，不同余肯定不相等,这是一种很好 的方法，尤其在证明不相等时非常有用。
初中数学重点梳理：同余式
同余式知识定位数论是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常发比例，其中同余理论是初等数论中的重要内容之一，其同余式概念及应用，剩余系概念要熟练掌握。
本文归纳总结了同余的若干性质，将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、同余概念定义1：给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m 同余，记作a≡b(modm)，并读作a同余b，模m。
（1）若a与b对模m同余，由定义1，有a=mq1＋r，b=mq2+r．所以a-b=m(q1-q2)，即m｜a-b。
反之，（2）若m｜a-b，设a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m-1，则有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即r1＝r2。
于是，我们得到同余的另一个等价定义：定义2：若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余．2、同余定理定理1：（1）a≡a(modm)．（2）若a≡b(modm)，则b≡a(modm)．（3）若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)．定理2：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．证：由假设得m｜a-b，m｜c-d，所以m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(a-b)＋b(c-d)，即a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．由此我们还可以得到：若a≡b(modm)，k是整数，n是自然数，则a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，a n≡b n(modm)．定理3：若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，则a≡b(modm)．定理4： 若n ≥2，a ≡b(modm 1)，a ≡b(modm 2)，…………a ≡b(modm n )，且M=[m 1，m 2，…，m n ]表示m 1，m 2，…，m n 的最小公倍数，则a ≡b(modM)3、剩余类和完全剩余系全体整数集合可按模m 来划分：当且仅当()mod a b m ≡时，a 和b 属于同一类。
数学mod的定理
数学mod的定理
在数学中，模运算（mod）是指取余数的操作。
例如，10 mod 3 等于1，因为10除以3余1。
模运算有许多应用，因为它们可以用来解决很多数学问题，包括密码学和计算机科学中的一些问题。
模运算有许多有用的定理和性质。
其中一些是：
1. 同余定理：如果a和b除以m的余数相同，那么a和b就是模m同余的，记作a≡b(mod m)。
2. 模加法性质：如果a≡b(mod m)并且c≡d(mod m)，那么a+c ≡b+d(mod m)。
3. 模乘法性质：如果a≡b(mod m)并且c≡d(mod m)，那么ac ≡bd(mod m)。
4. 模逆元：如果a和m互质，那么a在模m意义下有一个逆元b，满足ab≡1(mod m)。
这些定理和性质可以用来简化模运算的计算和分析，并用于设计密码和保护计算机系统的安全性。
因此，了解模运算的定理和性质对于理解现代数学和计算机科学领域中的许多问题非常重要。
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小学奥数教程：同余问题_全国通用(含答案)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-（）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
同余关系的消去原则
同余关系的消去原则先说明一些基本概念：- 同余关系：设a、b、n为整数，若n，(a-b)，则称a与b在模n意义下是同余的，记作a≡b(mod n)。
读作"模n意义下a与b同余"。
- 模运算：模运算是整数在除模意义下的数学运算。
设a、b、n为整数，a÷n得到商q和余数r，则a=bq+r，记作a≡r(mod n)。
读作"a模n等于r"。
-模n剩余类：模n剩余类，即模n下的所有同余数的集合。
下面给出同余关系的消去原则的定义：消去原则：设a、b、c、n为整数，若a≡b(mod n)且c≡b(mod n)，则有a≡c(mod n)。
即如果a与b模n同余，c与b模n同余，那么a与c也模n同余。
消去原则的证明：根据同余关系的定义，a≡b(mod n)意味着n，(a-b)，即a-b=kn（k为整数）。
同理，c≡b(mod n)意味着n，(c-b)，即c-b=mn（m为整数）。
将两个等式相加，得到a-b+c-b=(a+c-2b)=kn+mn=(k+m)n，即a+c-2b=ln（l为整数）。
进一步变化等式，得到a+c=ln+2b=(l+2k)n。
由此可见，a+c与2b模n同余，同理2c与2b模n同余，即a+c≡2b(mod n)。
再利用同余的传递性，即若a≡b(mod n)且b≡c(mod n)，则a≡c(mod n)，可以得出结论。
结论：a+c≡2b(mod n)，即a与c模n同余。
综上所述，消去原则得证。
消去原则的应用：1.在解决数论问题中，可以利用消去原则将问题转化为更简单的形式，以便进行计算和推理。
2.在代数中，可以利用消去原则对方程进行化简，减少计算量。
3.在密码学中，消去原则是一种重要的工具，用于研究和构造加密算法。
4.在计算机科学中，消去原则被广泛应用于模运算、同余哈希等领域。
总结：同余关系的消去原则是数论中的一条重要定理，它表明在模n意义下，两个同时与模n同余的整数之差也同时与模n同余。
数论中的同余关系
数论中的同余关系数论作为数学的一个分支，研究的是整数及其性质。
其中，同余关系是数论中一个重要的概念。
本文将就数论中的同余关系进行探讨，以便深入理解这一概念。
1. 引言在数论中，同余是指两个整数除以一个给定的正整数所得的余数相等。
形式化定义为：对于整数a、b和正整数m，如果m|(a-b)，即m能被a-b整除，那么就称a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)，读作“a 同余于b模m”。
同余关系具有如下性质：(1) 自反性：对于任意整数a和正整数m，a≡a(mod m)；(2) 对称性：对于任意整数a、b和正整数m，如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)；(3) 传递性：对于任意整数a、b、c和正整数m，如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)。
2. 同余关系的性质同余关系具有一些重要的性质，这些性质对于解决数论问题非常有用。
(1) 同余的基本性质：- 同余关系是等价关系。
即满足自反性、对称性和传递性。
- 设a≡b(mod m)，那么对于任意的整数k，a+km≡b(mod m)。
- 设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)和ac≡bd(mod m)。
(2) 同余的运算性质：- 加法性质：设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)。
- 减法性质：设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a-c≡b-d(mod m)。
- 乘法性质：设a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)。
(3) 欧拉定理：欧拉定理是数论中的一个重要结果，描述了同余关系与指数运算之间的关系。
- 设a和m是两个互质的正整数，那么a^φ(m) ≡ 1(mod m)，其中φ(m)表示小于m且与m互质的正整数的个数。
3. 同余方程同余关系在解决某些问题时，经常涉及到同余方程的求解。
同余方程是指形如ax ≡ b(mod m)的方程，其中a、b和m都是整数，求解的目标是找到整数x满足这个方程。
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余有三种说法都是等价的,分别为:
•
(1) a和b是模d同余的.
•
(2) 存在某个整数n,使得a=b+nd .
•
(3) d整除a-b.
•
可以通过换算得出上面三个说话都是正确而且是等价
的.
定律
• 同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结 合律,交换律,传递律….如下面的表示:
•
1)a≡a(mod d)
• (a+b)%c=(a%c+b%c)%c;
• (a*b)%c=(a%c*b%c)%c; • 具体做法是： • 先求1%3 = 1 • 再求（1*10+2）%3 = 0 • 再求 （0*10+3）% 3 = 1 • 那么就间接得到123%3=0，这是显然正确的 • 而且不难发现， （1*10+2）*10+3 = 123 • 这是在10进制下的做法，千进制也同理，*10改为*1000就
• 把数字往大进制转换能够加快运算效率。 若用十进制则耗费很多时间，会TLE。
• 千进制的性质与十进制相似。
• 2、 高精度求模。 • 主要利用Kt数组和同余模定理。 • 例如要验证123是否被3整除，只需求模123%3 • 但当123是一个大数时，就不能直接求，只能通过同余模
定理对大数“分块”间接求模
同余模定理
定义
• 所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除， 有相同的余数。d数学上的称谓为模。如a=6,b=1,d=5,则 我们说a和b是模d同余的。因为他们都有相同的余数1。
•
数学上的记法为：
•,所有的n都对d同商,比如时钟
上的小时数,都小于12,所以小时数都是模12的同余.对于同
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• 题目描述： • 给定一个大数K，K是两个大素数的乘积的
值。(4 <= K <= 10^100 ) • 再给定一个int内的数L (2 <= L <= 10^6 ) • 问这两个大素数中最小的一个是否小于L，
如果小于则输出这个素数。
解题思路
• 1、 Char格式读入K。把K转成千进制Kt， 同时变为int型。
可以了
对于大数的求余，联想到进制转换时的方法，得到 举例如下，设大数 m=1234,模n 就等于
((((1*10)%n+2%n)%n*10%n+3%n)%n*10%n+4%n)% n
大数求余的简单模板
• #include<stdio.h>//大数求余，其中n(除数）不是大数 char a[1000]; int main() int i,j,k,m,n; { while(scanf("%s%d",a,&n)!=EOF) { m=0; for(i=0;a[i]!='\0';i++) m=((m*10)%n+(a[i]-'0')%n)%n; printf("%d\n",m); } return 0; }
•
2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
•
3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)
•
如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则
•
4)a+b≡x+m （mod d）
•
5)a-b≡x-m (mod d)
•
6)a*b≡x*m (mod d )
•
应用
• (a+b)%c=(a%c+b%c)%c; • (a*b)%c=(a%c*b%c)%c;