高中--含绝对值的函数

含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类：

1．形如)(x f y =的函数，由于0

)(0)()()()(<≥⎩⎨⎧-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到；

2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0

3．函数解析式中部分含有绝对值，如a x x y a x y -+=+-=2,1等，这种函数是普通的分段函数，一般先去绝对值，再做出图像进行研究．

【自我检测】

1．函数13-=x y 的单调增区间为 _．

2．函数x y lg =的单调减区间为_______．

3．方程a x =-1有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是___________．

4． 函数x

a y =在)0,(-∞上是增函数，则a 的取值范围是___________．

5．函数11++-=x x y 的值域为___________．

6．函数q px x x x f ++=)(是奇函数的充要条件是___________．

二、课堂活动：

【例1】填空题：

（1）已知函数f （x ）＝log a | x |在（0，＋∞）上单调递增，则f （－2） f （a ＋1）．（填写“<”，

“＝”，“>”之一）．

（2）函数2ln -=x y 的图像与函数1=y 的图像的所有交点的横坐标之和为________．

（3）函数x y 21log =的定义域为],[b a ，值域为[0,2]，则b -a 的最小值为_______．

（4）关于函数)0(1lg )(2≠+=x x

x x f ，有下列命题：①其图像关于y 轴对称；②)(x f 的最小值为lg2；③)(x f 的递增区间为（-1,0）；④)(x f 没有最大值．其中正确的是_____________（把正确的命题序号都填上）．

【例2】设a 为实数，函数R x a x x x f ∈+-+=,1)(2

（1）若函数)(x f 是偶函数，试求a 的值；

（2）在（1）的条件下，求)(x f 的最小值．

【例3】 设函数a R x a x x x f ,(2)(2∈-+=为常数）

（1） a =2时，讨论函数)(x f 的单调性；

（2） 若a >-2，函数)(x f 的最小值为2，求a 的值．

三、课后作业

1．函数12+=x y 关于直线___________对称．

2．函数b a x x x f ++=||)(是奇函数，则=a ________；=b __ _．

3．关于x 的方程a x x =+-232有4个不同实数解，则a 的取值范围是__________．

4．函数2x x y -=的递减区间是_ ______．

5．函数)4(log )(2+-=x x f 的值域为__________．

6．函数x

x x x y cos cos sin sin +=的值域是___________． 7．已知01a <<，则方程|||log |x a a x =的实数解的个数是___________．

8．关于x 的方程0121=++-m x 有唯一实数解，则m 的值为___________．

9．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21x f x x -=+，若对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，都有()()10f t a f t +-->恒成立，则实数a 的取值范围是 .

10．已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ，若1234x x x x <<<，

且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则1234

1111x x x x +++= . 11．已知函数12)(,)(2++=-=ax x x g a x x f （a 为正常数），且函数)(x f 与)(x g 的图像在y 轴上的截距相等．

（1） 求a 的值；

（2） 求函数)(x f +)(x g 的单调递增区间．

12．已知函数2

|43|y x x =-+.

（1）研究函数的单调性；（2）求函数在[0,]t 上的值域（t>0）.

13．（已知函数b ax ax x g ++-=12)(2

（0>a ）在区间[2,3]上有最大值4和最小值1．设()()g x f x x

=． （1）求a 、b 的值；

（2）若不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围；

（3）若()03|

12|2|12|=--⋅+-k k f x x 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．

参考答案：

【自我检测】 1.⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞,31 2.)0,(-∞ 3.),0(+∞ 4.（0,1） 5.),2[+∞ 6.0=q .

课堂活动 例1.（1）< ；（2）4 ；（3）

4

3；（4）①②④ . 例2.（1）由R x x f x f ∈∀=-对)()(成立得0=a ；（2）0≥x 时，1)(2++=x x x f 是增函

数，最小值为1)0(=f ，由)(x f 是偶函数，关于y 轴对称可知，函数)(x f 在R 上的最小值为1)0(=f . 例3.（1）2=a 时，1

1222222)(222

<≥⎩⎨⎧+--+=-+=x x x x x x x x x f ，结合图像知，函数)(x f y =的单调增区间为),1[+∞，减区间为]1,(-∞；

（2）2

222)(22a

x a x a x x a x x x f <≥⎩⎨⎧+--+=，12,2->∴->a a ，结合图像可得 当2≥a 时函数)(x f y =的最小值为1)1(-=a f =2，解得a =3符合题意； 当22<<-a 时函数)(x f y =的最小值为24

)2(2

==a a f ，无解； 综上，a =3.