对数与对数函数说课稿

《对数与对数函数》说课稿
高一数学组苏和良
【往年考点】
1．考查对数函数的定义域与值域．
2．考查对数函数的图象与性质的应用．
3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质．
【复习指导】
复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．
基础梳理
1．对数的概念
(1)对数的定义
如果a x＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)几种常见对数
2.
(1)对数的性质
①a log a N＝N；②log a a N＝N(a＞0且a≠1)．
(2)对数的重要公式
①换底公式：log b N＝log a N
log a b(a，b均大于零且不等于1)；
②log a b＝
1
log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.
(3)对数的运算法则
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M
N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n
m log a M . 3．对数函数的图象与性质
a ＞1
0＜a ＜1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R 过点(1,0)
当x ＞1时，y ＞0当0＜
x ＜1，y ＜0 当x ＞1时，y ＜0当0＜x
＜1时，y ＞0 是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数
双基自测
1． 2 log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4
2．已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c
D ．c ＜a ＜b
3．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
4．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是
( )．
A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－1，43 C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫0，32 D ．[1,2)
解析 法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D. 法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图所示．
由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D. 答案 D
5．若log a 2
3>1，则a 的取值范围是________．
考向一 对数式的化简与求值
【例1】►求值：(1)log 89
log 2
3；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；
(3)12lg 3249－4
3lg 8＋lg 245.
[审题视点] 运用对数运算法则及换底公式．
对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定
义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化． 【训练1】 (1)若2a ＝5b ＝10，求1a ＋1
b 的值． (2)若x log 34＝1，求4x ＋4－x 的值． 解 (1)由已知a ＝log 210，b ＝log 510， 则1a ＋1
b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)由已知x ＝log 43，
则4x ＋4－x ＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝10
3.
考向二 对数值的大小比较
【例2】►已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 1
23)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜c ＜a
D ．a ＜b ＜c
[审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小．
一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中
间值来比较大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．
【训练2】 (2010·全国)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－1
2，则( )． A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a
解析 法一 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1
log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，
c ＝5－12＝1
5，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，综上c ＜a ＜b ，故选C.
法二 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，1＜log 2e ＜log 23＜2，∴12＜1log 23＜1
log 2e ＜
1；c ＝5－12＝15＜14＝1
2，所以c ＜a ＜b ，故选C.
答案 C
考向三 对数函数性质的应用
【例3】►已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．
[审题视点] a ＞0且a ≠1，问题等价于在[0,1]上恒有⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞1
2－ax ＞0
.
研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原则．研究复合函
数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法则是“同增异减”．本题的易错点为：易忽略2－ax ＞0在[0,1]上恒成立，即2－a ＞0.实质上是忽略了真数大于0的条件． 【训练3】 已知f (x )＝log 4(4x －1) (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；
难点突破4——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法
指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论． 一、与对数函数有关的求值问题 【示例】设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
lg x ，x ＞0，
x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0，
若f(f(1))＝1，则a ＝________.
二、与对数函数有关的解不等式问题
⎧21－x，x≤1，
1－log2x，x＞1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是__
【示例】设函数f(x)＝
⎩
⎨。