电工技术基础第二章正弦交流电路2
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《电工电子技术》——正弦交流电路
A = a + bj
ϕ
矢量的模（实部和虚部平方和的均方根）为： 矢量的模
| A |= a 2 + b 2
矢量与实数轴的夹角称为辐角 辐角，即 辐角
b ϕ = arctan a
矢量模 |A| 和辐角 ϕ 与复数实部和虚部的关系为：
实部 虚部
a =| A | cos ϕ
b =| A | sin ϕ
A = a + jb =| A | (cos ϕ + j sin ϕ )
二、单一电感正弦交流电路电压与电流之间的关系
d u = L ( I m sin wt ) = wLI m sin( wt + 90°) = U m sin( wt + 90°) dt
1 电压与电流之间的频率关系 电感元件两端的端电压与通过其上的电流是同频率的正 弦电量。 2 数值关系 电压与电流的有效值表达式为：
ψu O
ψi
wt
ψi
ϕ
u
wt
（a)
u 同相于
（a) u 反相于 i
2.2 正弦量的相量表示法
相量表示法就是用复数形式来表示正弦电量，并以此为基础， 相量表示法 形成了在电路分析和计算中广泛应用的相量计算法。
2.2.1复数及复数运算 复数及复数运算
一、复数 复数的代数表示形式为： 复数的代数表示形式
第2章 正弦交流电路 章
2.1 正弦交流电的基本概念 2.2 正弦量的相量表示法 2.3 单一参数交流电路 2.4 R、L、C串联交流电路 、 、 串联交流电路 2.5 阻抗的串联与并联 2.6 功率因数的提高及有功功率的测量 2.7 三相交流电路
2.1 正弦交流电的基本概念
2.1.1正弦交流电的一些基本概念 正弦交流电的一些基本概念 在实际工程中所遇到的电流、电压，在大多数情况下， 其大小和方向都是随时间的变化而变化的，这类电量称 为交流电 交流电。因为交流电的大小随时都在变，所以某一时 交流电 刻的电量称为交流电的瞬时值 瞬时值， 瞬时值 交流电量一般用小写字母来表示，如用 i 表示交流 电流，用 u 表示交流电压。
电工-第二章-正弦交流电路课件
U m 2U 2 220 311(V)
因为电容器承受的最大电压已经超过了它的耐压值，故 该电容器不能在220V的交流电路中使用。 例2-5已知 解：
U
u U m sin t
Um 2 310 2
U m 310 V
f 50 Hz
求电压的有效值U和t=0.125s时的瞬时值。
图2-4正弦电量的初相角
例2-2判断图3-5中正弦电量波形图的初相角，并写出 对应的瞬时值表达式。
。
解：在图3-5（a）中，正弦电量的零点与计时起点重合， 其初相角i=0。其对应的表达式为i=Imsint。 在图3-5（b）中，正弦电量的零点在计时起点之前，其 i 0 初相角为 i
其对应的表达式为
一个周期所对应的电角度为360°，用弧度表示是 2π，则角频率为2πf
ω
t
如上图，角频率、频率和周期的关系为：
1 f T
上式表示，三者之间的关系，只要知道其中的一个，则其余 的均可求出。
2 T
2f
例2-1： 某正弦交流电的频率f=50Hz，求其周期T 和角频率
解
T 1 1 0.02(s) 20(ms) f 50
称为电流最大值相量， I 称为电流有效值相量。 间函数。 I
m
u U m sin(t u )
称为电压最大值相量， 式中，U m
e Em sin(t e )
m
U U m m u U U
U E
u
m
称为电压有效值相量。 U m u
2.2
正弦交流电的相量表示法
在正弦交流电路中，所有的电流和电压都是同频率的 正弦量，故正弦量的角频率不用考虑。复数正好能反映 同频率正弦量的两个要素，故同频率正弦量的运算可以 转化为复数运算。 用复数表示正弦量的方法称为相量表示法，简称相量法， 又称符号法。
因为电容器承受的最大电压已经超过了它的耐压值，故 该电容器不能在220V的交流电路中使用。 例2-5已知 解：
U
u U m sin t
Um 2 310 2
U m 310 V
f 50 Hz
求电压的有效值U和t=0.125s时的瞬时值。
图2-4正弦电量的初相角
例2-2判断图3-5中正弦电量波形图的初相角，并写出 对应的瞬时值表达式。
。
解：在图3-5（a）中，正弦电量的零点与计时起点重合， 其初相角i=0。其对应的表达式为i=Imsint。 在图3-5（b）中，正弦电量的零点在计时起点之前，其 i 0 初相角为 i
其对应的表达式为
一个周期所对应的电角度为360°，用弧度表示是 2π，则角频率为2πf
ω
t
如上图，角频率、频率和周期的关系为：
1 f T
上式表示，三者之间的关系，只要知道其中的一个，则其余 的均可求出。
2 T
2f
例2-1： 某正弦交流电的频率f=50Hz，求其周期T 和角频率
解
T 1 1 0.02(s) 20(ms) f 50
称为电流最大值相量， I 称为电流有效值相量。 间函数。 I
m
u U m sin(t u )
称为电压最大值相量， 式中，U m
e Em sin(t e )
m
U U m m u U U
U E
u
m
称为电压有效值相量。 U m u
2.2
正弦交流电的相量表示法
在正弦交流电路中，所有的电流和电压都是同频率的 正弦量，故正弦量的角频率不用考虑。复数正好能反映 同频率正弦量的两个要素，故同频率正弦量的运算可以 转化为复数运算。 用复数表示正弦量的方法称为相量表示法，简称相量法， 又称符号法。
电工学第2章正弦交流电路
电感元件的功率波形
当 p>0 时，表明电感元件吸收能量并作负 载使用，即将电能转换成磁场能量储存起来；
当p<0时，表明电感元件发出能量并作电源 使用，即将原储存的磁场能量又转换成电能还给 电源。 由图中可见，电感元件吸收的能量和释放 的能量是相等的，电感元件实际上是不消耗电 能的，从其电感的平均功率等于零的推导也可 看出这点。
=
T
Im
1 T 2 2 I m sin tdt T 0 1 T 1 cos 2 t dt T 0 2
cos2 tdt =
I=
Im
1 2T
T
0
1 dt 2T
T
0
Im 0.707I m 2
正弦量电流的最大值与有效值之间有
系，即：
2 的关
I m 2I
Um 2U ; Em 2E
若用相量来表示电感元件上电压与电流的 相量关系，则有：
根据
i 2 I sin t; u 2 LI sin( t 90)
I Ie ; U Ue
U I
j 0
j 90
LIe j 90
Ie
j 0
j L
电感元件上欧姆定律的相量形式 ： U 旋转因子j＝90°
XL与电感L、频率f成正比。f 越高，电感线圈 对高频电流的阻碍越大。在直流电路中，由于f=0 时，XL=0，电感视为短路。 根据
i 2 I sin t; u 2 LI sin( t 90)
可知在电感元件的交流电路中，电压u 超前 电流i 90º、频率相同。其电路图、波形图、相 量图如下所示：
j
e
当 p>0 时，表明电感元件吸收能量并作负 载使用，即将电能转换成磁场能量储存起来；
当p<0时，表明电感元件发出能量并作电源 使用，即将原储存的磁场能量又转换成电能还给 电源。 由图中可见，电感元件吸收的能量和释放 的能量是相等的，电感元件实际上是不消耗电 能的，从其电感的平均功率等于零的推导也可 看出这点。
=
T
Im
1 T 2 2 I m sin tdt T 0 1 T 1 cos 2 t dt T 0 2
cos2 tdt =
I=
Im
1 2T
T
0
1 dt 2T
T
0
Im 0.707I m 2
正弦量电流的最大值与有效值之间有
系，即：
2 的关
I m 2I
Um 2U ; Em 2E
若用相量来表示电感元件上电压与电流的 相量关系，则有：
根据
i 2 I sin t; u 2 LI sin( t 90)
I Ie ; U Ue
U I
j 0
j 90
LIe j 90
Ie
j 0
j L
电感元件上欧姆定律的相量形式 ： U 旋转因子j＝90°
XL与电感L、频率f成正比。f 越高，电感线圈 对高频电流的阻碍越大。在直流电路中，由于f=0 时，XL=0，电感视为短路。 根据
i 2 I sin t; u 2 LI sin( t 90)
可知在电感元件的交流电路中，电压u 超前 电流i 90º、频率相同。其电路图、波形图、相 量图如下所示：
j
e
电工电子技术基础第2章 正弦交流电路
I2 530A
i1
i2
由KCL得
I I1 I2 10 60 530
(5 j8.66) (94.33 j2.5)
9.33 j6.16 11.18 33.43A
I是总电流对应的相量，于是总电流为
i 11.18 2 sin(t 33.43)A
第2章 正弦交流电路
2.4 正弦交流电路中的电阻、电感和电容
有效值计算公式为：
U 1 T u2dt T0
第2章 正弦交流电路
当周期量为正弦量时，有
I Im 2
U Um 2
注意：
i i = Im sin（ωt +ψ）
＋
T/2
Tt
π
2π ωt
－
①交流电压、电流表测量的数据均为有效值。
②交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值。
幅值、有效值决定正弦量的大小。 三、初相位
四、相位差
相位差 ：同频率的两个正弦量的相位之差；显然，相位 差即初相之差。 =(ωt-ψu)-(ωt-ψi)=ψu-ψi 定义域：
-π ～ π
讨论
(a)
(b)
(c)
>0：ψu>ψi ，说明在相位上 u 比 i 超前 角，如图(a)。
<0：ψi<ψu，说明在相位上 i 比 u 滞后 角，如图(a)。
u Im( A) Im(Umψ e jωt )
可见正弦量与复数在正弦交流稳态电路中，各个电流或电压响应 与激励为同频率的正弦量，所以，在正弦量的三要素中， 只需要确定振幅和初相两个要素。故可以用一个特殊的 复数来表示正弦量。
复数 Umψ Um 最大值相量
复角——正弦量初相位
0.7(360 210) 0.7150A
i1
i2
由KCL得
I I1 I2 10 60 530
(5 j8.66) (94.33 j2.5)
9.33 j6.16 11.18 33.43A
I是总电流对应的相量，于是总电流为
i 11.18 2 sin(t 33.43)A
第2章 正弦交流电路
2.4 正弦交流电路中的电阻、电感和电容
有效值计算公式为：
U 1 T u2dt T0
第2章 正弦交流电路
当周期量为正弦量时，有
I Im 2
U Um 2
注意：
i i = Im sin（ωt +ψ）
＋
T/2
Tt
π
2π ωt
－
①交流电压、电流表测量的数据均为有效值。
②交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值。
幅值、有效值决定正弦量的大小。 三、初相位
四、相位差
相位差 ：同频率的两个正弦量的相位之差；显然，相位 差即初相之差。 =(ωt-ψu)-(ωt-ψi)=ψu-ψi 定义域：
-π ～ π
讨论
(a)
(b)
(c)
>0：ψu>ψi ，说明在相位上 u 比 i 超前 角，如图(a)。
<0：ψi<ψu，说明在相位上 i 比 u 滞后 角，如图(a)。
u Im( A) Im(Umψ e jωt )
可见正弦量与复数在正弦交流稳态电路中，各个电流或电压响应 与激励为同频率的正弦量，所以，在正弦量的三要素中， 只需要确定振幅和初相两个要素。故可以用一个特殊的 复数来表示正弦量。
复数 Umψ Um 最大值相量
复角——正弦量初相位
0.7(360 210) 0.7150A
电工第02章正弦交流电路
电工电子学(III)
例题分析
例： 已知：i1=15sin(314t+45o)A,i2=10sin(314t-30o)A, （1）试问i1与i2的相位差是多少？（2）在相位上i1 与i2谁超前？谁滞后？
解（1）i1 45o i1 i2
i2 30o
12 4o5 ( 3o0 )7o5
两个同频率的正
Um i, u
弦交流电往往具有不 同的相位和初相位，
u
Im i
0
t
如图中的ωt+ψi与ψi>0 和ωt+ψu与 ψu > ψi> 0 所示.
i
u
图中， ψi 和ψu分别为u和i 的初相。
电工电子学(III)
初相位与相位差(4)
相位差 我们称两个同频率的正弦交流电在相 位上的差值称为相位差,用φ表示。
正弦量的这些表示方法都不利于计算，所 以，在电路分析中，我们希望寻求更为简便的 表示方法，以方便电路的分析与计算。
电工电子学(III)
正弦量的相量表示法
因为正弦量具有三个要素，它们完全可以表达 对应的正弦量的特点和共性。所以，利用三要 素，我们可以找到多种表示正弦量的方法。其 中最形象的方法之一就是相量表示法。
e1 ac e2 bd CAB AejA BejB
CejC
C AB CAB
e e jC
j(AB)
电工电子学(III)
复数的运算
AejA DAB BejB
D DejD Aej(AB) B
A D AB
B
e e jD j(AB)
位
i
uU msin t (u)V(tu) u
那么，如何画出这两个正弦函数，如何比较它们 的关系呢？
例题分析
例： 已知：i1=15sin(314t+45o)A,i2=10sin(314t-30o)A, （1）试问i1与i2的相位差是多少？（2）在相位上i1 与i2谁超前？谁滞后？
解（1）i1 45o i1 i2
i2 30o
12 4o5 ( 3o0 )7o5
两个同频率的正
Um i, u
弦交流电往往具有不 同的相位和初相位，
u
Im i
0
t
如图中的ωt+ψi与ψi>0 和ωt+ψu与 ψu > ψi> 0 所示.
i
u
图中， ψi 和ψu分别为u和i 的初相。
电工电子学(III)
初相位与相位差(4)
相位差 我们称两个同频率的正弦交流电在相 位上的差值称为相位差,用φ表示。
正弦量的这些表示方法都不利于计算，所 以，在电路分析中，我们希望寻求更为简便的 表示方法，以方便电路的分析与计算。
电工电子学(III)
正弦量的相量表示法
因为正弦量具有三个要素，它们完全可以表达 对应的正弦量的特点和共性。所以，利用三要 素，我们可以找到多种表示正弦量的方法。其 中最形象的方法之一就是相量表示法。
e1 ac e2 bd CAB AejA BejB
CejC
C AB CAB
e e jC
j(AB)
电工电子学(III)
复数的运算
AejA DAB BejB
D DejD Aej(AB) B
A D AB
B
e e jD j(AB)
位
i
uU msin t (u)V(tu) u
那么，如何画出这两个正弦函数，如何比较它们 的关系呢？
电工学-第2章正弦交流电路
或 I U
L
定义： XL L 2 f L 感抗(Ω)
则: U I X L
XL 2 π fL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路
交流：f
XL
电感L具有通直阻交的作用
电工技术 李春茂 编著 电子科技大学出版社 2013
XL ω L2 π f L
感抗XL是频率的函数
根据： i 2I sinω t
T
UI sin (2ω t ) dt 0
To
L是非耗 能元件
电工技术 李春茂 编著 电子科技大学出版社 2013
分析：瞬时功率 ：p i u UI sin2 ωt
u i
结论：
纯电感不消
o
ωt 耗能量，只和
i
+
u
i u
i u
i u+
- ++-
p
可逆的能量 转换过程
+ p <0 + p <0
o
p >0
定义：
XC
1 ωC
1 2π fC
ωC
容抗（Ω）
则: U I XC
XC
1 2π f
C
直流：XC ，电容C视为开路
交流：f
XC
所以电容C具有隔直通交的作用
电工技术 李春茂 编著 电子科技大学出版社 2013
XC
1 2π fC
容抗XC是频率的函数
由：u 2Usinω t
I , XC
XC
1 ωC
I U (2 π f C)
2j
电工技术 李春茂 编著 电子科技大学出版社 2013
可得: ej ψ cosψ jsin ψ
电工技术第二章 正弦交流电路共143页
U Um 2
E Em 2
值。 交流设备名牌标注的电压、电流均 为有效值。
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线 路上?
~ 220V
电器
最高耐压 =300V
有效值 U = 220V
电源电压
最大值 Um = 2 220V = 311V
该电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以
一、正弦量的三要素
i
1、频率与周期
O T
t
周期T：变化一周所需的时间 （s）
频率f：
f1 T
（Hz）
角频率：
ω
2π T
2πf
（rad/s）
* 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz
* 高频炉频率：200 ~ 300 kHZ
* 中频炉频率：500 ~ 8000 Hz * 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GMHz
I 0 U 0
第三节 单一参数的交流电路
一、电阻电路 1. 电压与电流的关系
i
根据欧姆定律： uiR
设 uUm sin ωt
+
u
R
_
iuU m siω nt 2Usiω nt
RR R
Im siω n t2Isiω n t
① 频率相同
I
相量图
U
②大小关系：I U
R
③相位关系 ：u、i 相位相同
相位差 ： u-i 0
相量式：
II 0o U U0o IR
2. 功率关系
(1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i 2 Isinω t
u 2Usinω t
小写
解: (1) 相量式
第2章正弦交流电路精品PPT课件
山东大王职业学院
电工电子技术
正弦量的相量图表示法
按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线 段画出的若干个相量的图形，称为相量图。
注意
不同频率的正弦量之间不存在相位差的概念。相位差 不得超过±180°!
山东大王职业学院
电工电子技术
思考
回答
何谓正弦量的三 要素？它们各反 映了什么？
耐压为220V的电容器 ，能否用在180V的正 弦交流电源上？
正弦量的三要素是指它的最大值、
何谓反相？同相 ？相位正交？超
角频率和初相。最大值反映了正弦
山东大王职业学院
电工电子技术
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。 例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
其有效值相量为：
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
山东大王职业学院
电工电子技术
1. 正弦交流电的频率、周期和角频率
ω=4πrad/s
1秒钟
f=2Hz
单位是 每秒弧度
单位是赫兹
T=0.5s
单位是秒
正弦量一秒钟内经历的循环数称为频率，用f 表示。
正弦量变化一个循环所需要的时间称周期，用T表示。
正弦量一秒钟内经历的弧度数称为角频率，用ω表示。
显然
三者是从不同的角度反映的 同一个问题：正弦量随时间变 化的快慢程度。
电工电子技术
2.1 正弦量的三要素
大小和方向均随时间变化的电压或电流称为交流电。如
电工电子技术基础第2章 正弦交流电路
图2.11 电流的磁场效应
实验1（见图2.12（a））：通电导线AB 在磁场中沿水平方向由左向右作切割磁 力线的运动时，与之相连的回路中的电 流表指针即发生偏转；AB向相反方向运 动时，电流表指针向相反方向偏转；AB 运动停止，电流表指针偏转停止；AB沿 垂直方向平行于磁力线运动时，电流表 指针不动。
V/div微调开关—垂直输入灵敏度选 择开关及微调开关，表示屏幕上Y轴方向 每一小格代表的电压信号幅度。
3．X轴系统
t/div微调开关—扫描时间选择开关，代 表屏幕上X轴方向每一小格代表的时间。 扩展×10开关—扫描扩展开关，按下为 常态，拉出时，X轴扫描。
内外开关—触发源选择开关，置于“内” 时，触发信号取自本机Y通道；置于“外”时， 触发信号直接由同轴插孔输入。 AC、AC（H）、DC开关—触发信号耦合 开关。
高频、触发、自动开关—触发方式开关， “高频”在观察高频信号时使用，“触发”在 观察脉冲信号时使用，“自动”在观察低频信 号时使用。
2.1.2 用示波器观察交流信号
表示交流电的物理量—正弦交流电的三要素 （1）反映交流电大小（幅度）的物理量。 最大值—交流信号瞬时能达到的最大幅 度（见图2.5），对应于表达式中的Um。
拓展与延伸 电磁感应与交流电的产生 （1）“电生磁”现象（见图2.11）。1820 年丹麦物理学家奥斯特发现了电流的磁效 应—通电导线周围存在磁场。置于通电导 线下方的小磁针的指向会受到通电导线磁 场的影响：改变电流方向，小磁针会指向 相反方向，切断导线中的电流，小磁针恢 复正常指向。
（2）“磁生电”现象。1831年英国科学 家法拉第发现了电磁感应现象。
实验2（见图2.12（b））：将条形磁铁插 入空心线圈时，电流表指针发生偏转；将 条形磁铁拔出时，电流表指针向相反方向 偏转；条形磁铁停止运动，电流表指针即 不偏转。
汽车电工技术基础(上册)课件第2章 正弦交流电路
有效值 I =16.8 A
目录
2.1 正弦交流电路的基本概念 2.2 单相正弦交流电路 2.3 三相正弦交流电路
2.2 单相正弦交流电路
2.2.1 电阻元件的交流电路
1. 电压与电流的关系
根据欧姆定律 u iR 设 u Umsinω t
i
+
u
R
_
i u Umsinω t 2U sinω t
U 10
I
A 318mA
X L 31.4
（2）当 f = 5000Hz 时
X L 2πfL 2 3.14 5000 0.1Ω 3140Ω
U 10
I
A 3.18mA
X L 3140
所以电感元件具有通低频阻高频的特性。
Q U I I2XL U2 XL
单位：var
2.2.2 电感元件的交流电路
分析： 瞬时功率 p i u UI sin2ωt
ui ui
结论：
O
ωt 纯电感不消
i
+
u
-i u
-i u
i u+
可逆的能量 p - + + -
转换过程
+ p <0 + p <0
O
p >0
p >0
耗能量，只和 电源进行能量 交换（能量的 吞吐)。
ψ1 ψ2 0
u
i
电流超前电压
u
i
ψ1 ψ2 90 电流超前电压 90
ui u i
O
t
电压与ψ电1 流ψ同2 相 0
ui u i
O
t
O
90°
ωt
ψ1 ψ2 180
电工学第二章 正弦交流电路
返回
例2：在如图所示的电路中，设：
i
i1 i2
i1 I1m sin( ωt φ1 ) 100 sin( ωt 45)A i2 I 2m sin( ωt φ2 ) 60 sin( ωt－30)A
求总电流 i 。
[解](1)用复数形式求解，根据基尔霍夫电流定律：
jφ jφ j 45 j 30 I m I1m I 2 m I1m e I 2 m e 100e 60e
1 因此电感元件中存储的磁场能量为： Li 2 2
返回
2.3.3 电容元件
对于右图中的电路，电容元件有：
dq du i C dt dt
电容的单位为法[拉](F)。 对上式两边乘以u并积分得：
1 2 u id t C u d u C u 0 0 2
t
t
因此电容元件中存储的电场能量为：
返回
常见的频率值 各国电网频率：
有线通讯频率： 无线通讯频率：
中国和欧洲国家采用50Hz 美国、日本等国家采用60Hz
300 - 5000 Hz
30 kHz - 3×104 MHz
高频加热设备频率： 200kHz - 300 kHz
例1：已知f=50Hz,求T 和ω。
[解]T=1/ f =1/50=0.02s, ω =2π f =2×3.14×50＝314rad/s
注意： 相量用上面打点的大写字母表示。
返回
相量图
把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图, 它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。
U
ψ２ ψ１
Ι
比电流相量 I 超前 角 电压相量 U
例2：在如图所示的电路中，设：
i
i1 i2
i1 I1m sin( ωt φ1 ) 100 sin( ωt 45)A i2 I 2m sin( ωt φ2 ) 60 sin( ωt－30)A
求总电流 i 。
[解](1)用复数形式求解，根据基尔霍夫电流定律：
jφ jφ j 45 j 30 I m I1m I 2 m I1m e I 2 m e 100e 60e
1 因此电感元件中存储的磁场能量为： Li 2 2
返回
2.3.3 电容元件
对于右图中的电路，电容元件有：
dq du i C dt dt
电容的单位为法[拉](F)。 对上式两边乘以u并积分得：
1 2 u id t C u d u C u 0 0 2
t
t
因此电容元件中存储的电场能量为：
返回
常见的频率值 各国电网频率：
有线通讯频率： 无线通讯频率：
中国和欧洲国家采用50Hz 美国、日本等国家采用60Hz
300 - 5000 Hz
30 kHz - 3×104 MHz
高频加热设备频率： 200kHz - 300 kHz
例1：已知f=50Hz,求T 和ω。
[解]T=1/ f =1/50=0.02s, ω =2π f =2×3.14×50＝314rad/s
注意： 相量用上面打点的大写字母表示。
返回
相量图
把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图, 它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。
U
ψ２ ψ１
Ι
比电流相量 I 超前 角 电压相量 U
电工学 第2章 正弦交流电路
u= u1 +u2 = 2U sin t
U U2
u2 2U2 sin t 2
u1 2U1 sin t 1
同频率正弦量的 相量画在一起， 构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。
2.1正弦交流电的基本概念
数学表达式：
i I m sin t
i
Im
波形图：
t
：角频率（弧度/秒）
：电流幅值（最大值）
东 北 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 吴 春 俐
三要素:
Im
(特征量)
： 初相位角
一、周期、频率、角频率(表示变化快慢) i
t
T
1. 周期 T： 变化一周所需的时间 2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：赫兹(Hz)
热效应相当
T
0
i R dt I RT
2
2
交流
直流
则有
1 T 2 I i dt 0 T
可得
（均方根值）
当i
I m sin t 时，
Im I 2
有效值电量必须大写，如：U、I
当i
I m sin t 时，
可得
Im I 2
瞬时值i可写为：
i 2 I sin t
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所 以不能用。
三、相位、初相位、相位差(表示变化进程)
i 2 I sin t ：正弦量的相位角或相位 （t ）
课件第2部分正弦交流电路
有效值: U I ω L
或 I U
L
定义： XL L 2 π f L 感抗(Ω)
则: U I X L
XL 2 π fL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路
交流：f
XL
电感L具有通直阻交的作用
2020/6/8
26
XL ω L2 π f L
感抗XL是频率的函数
根据： i 2I sinω t
2020/6/8
1
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦电压与电流 2.2 正弦量的相量表示法 2.3 单一参数的交流电路 2.4 电阻、电感与电容元件串联交流电路 2.5 阻抗的串联与并联 2.6 复杂正弦交流电路的分析与计算 2.7 交流电路的频率特性 2.8 功率因数的提高 2.9 非正弦周期交压和电流
I , XL
I U
2 π fL X L
O
f
u 2I ω Lsin ( ωt 90 )
可得相量式：I I 0
U U 90 Iω L 90
则：
UI
U I
90 jL
U jIω L I(jX L )
U超前 I90
U
I
相量图
电感电路复数形式的欧姆定律
2020/6/8
27
2. 功率关系
i 2I sinω t u 2I ω Lsin ( ω t 90 )
相量 U Uψ
必须 小写
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
2020/6/8
12
2.正弦量用旋转有向线段表示
设正弦量: y
u
Umsin(
t ψ)
u
u0ω
O
x
u1
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2020年8月21日星期五 规定： | | (180°)
14
iu
0＜ ＜180°
iu
－180°＜ ＜ 0°
O
ωt
O
ωt
u 超前于 i
u 滞后于 i
iu
= 0°
iu
= ±180°
O
ωt
O
u 与 i 同相位
2020年8月21日星期五
ωt
u 与 i 反相
15
例 已知： i sin1000 t 30
3. 角频率 ω： 正弦量每秒变化的弧度 单位：弧度/秒
f 1 T
2 2 f
T
2020年8月21日星期五
5
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
* 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率： 30 kHz - 3×104 MHz
2020年8月21日星期五
新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入相量的复数运算法。
相量
复数表示法 复数运算
2020年8月21日星期五
21
二、正弦量的相量计算法
将有效值相量 U 放到复平面上，可如下表示：
j
模
U
U a2 b2
bU
a
+1 tg 1 b
u1 2U1 sin t 1 u2 2U2 sin t 2
U 2
U 同频率正弦量的 相量画在一起，
构成相量图。
2
1 U1
2020年8月21日星期五
U U1 U 2
20
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所
以不能用。
2020年8月21日星期五
11
正弦量三要素之三： 相位、初相位
i 2I sin t
（t ）：正弦量的相位角或相位
： t = 0 时的相位，称为初相角或初相。
i
t
说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点，
2020年8月21日星期五常用于描述多个正弦波相互间的关系。 12
其最大值为
注意
Um311V
Um537V
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。
2020年8月21日星期五
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②测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
Im
t
ψ
i = Imsin(ωt +ψ)
I 瞬时值最大值
角频 率
初相位：
m
最大值
正弦量的三要 ： 角频率（弧度/秒）
素
： 初相位
2020年8月21日星期五
4
正弦量三要素之一 -- 频率或周期 i
t
T
描述变化周期的几种方法
1. 周期 T： 变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒..
2. 频率 f： 每秒内变化的次数 单位：赫兹，千赫兹 ...
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦交流电的基本概念 2.2 正弦量的相量表示法 2.3 单一参数的交流电路 2.4 RLC串、并联电路及功率因素的提高
2020年8月21日星期五
1
第2章 正弦交流电路 重点
一、记住基本概念： a 正弦量的三要素 b 用复数表示正弦
量—相量表示法。 二、分析简单的电路：
7
热效应相当
有
效
值
T i2R dt I 2RT
概0
念
交流
直流
有效值
电量必须大写 如：U、I
则有 I 1 T i2dt
T0
（均方根值）
当 i Im sin t 时， 可得
I Im 2
2020年8月21日星期五
8
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2
U
m
或
Um 2U
若交流电压有效值为 U=220V ， U=380V
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
2020年8月21日星期五
17
一、 正弦量的相量表示法
（用来表示正弦量的复数称为相量 ）
(a) 旋转矢量 +j
(b) 正弦交流电
ω
ωt1
ωt2
ψ
O
O
+1
ψ
ωt
ωt1
正弦交流电可以用 一个固定矢量表示
ωt2 +j
Im
最大值相量 Im 有效值相量 I
2020年8月21日星期五
最大值： Im 1A
I 1 0.707 A 2
频率：
1000 rad/s f 1000 159 Hz
2 2
初相位： 30
2020年8月21日星期五
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2.2 正弦量的相量表示法
正弦量的表示方法：
i
波形图
t
瞬时值表达式 i 2sin1000 t 30
相量法
必须
重点 小写
③区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的 符号。
i, Im , I , u,Um ,U
2020年8月21日星期五
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问题与讨论
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于
220V 的线路上?
~ 220V
电器 最高耐压 =300V
有效值 U = 220V
电源电压
最大值 Um = 2 220V = 311V
注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
= /2
i
一般规定：| | 。
o
=0
2020年8月21日星期五
t
=
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二、同频正弦量间的相位差(初相差)
i1 i2
t
1
2 i1 Im1 sin t 1 相位差 i2 Im2 sin t 2
t 2 t 1 21
计算电压 、电流、功率、功率因数。
2020年8月21日星期五
2
2.1正弦交流电的基本概念
正弦量:大小和方向随时间按正弦规律变化的 物理量（电压、电流、电动势等）
i Im
t
ψ
i Im sin t i
u Um sin t u
e Em sin t e
2020年8月21日星期五
3
一、正弦量的三要素 i
6
正弦量三要素之二 -- 瞬时值、幅值与有效值
瞬时值 i Im sin t
I 为正弦电流的最大值 m
最大值
电量名称必须大
写,下标加 m。 如：Um、Im
在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电
表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效
值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。
2020年8月21日星期五
I ψ
+1 O
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正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
u1 2U1 sin t 1
U 2
u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U2 U1
2
1
U1
相位： 2 1
U1 落后于 U 2
？ U
领先 2 落后
U1
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同频率正弦量相加 -- 平行四边形法则