实变函数中南第四章_可测函数
实变函数论课后答案第四章1
实变函数论课后答案第四章1第四章第一节习题 1．证明：E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数证明：设1()ini E i f c x χ==∑，1()imi F i g d x χ==∑，这里{}1ni i E =互不相交，{}1mi i F =互不相交令ij i j K E F =⋂，1,1i n j m ≤≤≤≤ ij i j a c d =+， 1,1i n j m ≤≤≤≤则易知1111()()()()iji jn m n mi E j F i j E F i j i j f g c x d x c d x χχχ⋂====+=+=+∑∑∑∑先注意：若1m i i K K == ，i K 互不相交，则1()()imK K i x x χχ==∑ （m可为无穷大）（x K ∀∈，i ∃使i x K ∈，()1()iK K x x χχ==，,()0K x K x χ∀∉=，且i ∀，i x K ∉则()0i K x χ=）且1111(())(())()(())m m m mcc i i j i j i j i j j j j j E E F E F E F E F =====⋂⋃⋂=⋂⋃⋂111()(())(())1()()()()()mmmii cci j i j i j j j j mE EF E F E F E F j x x x x x χχχχχ===⋂⋂⋂⋂==+=+∑同理：1()1()()()mji jcj i i nF E F F E i x x x χχχ=⋂⋂==+∑11()()i j n mi E j F i j f g c x d x χχ==+=+∑∑11()()1111(()())(()())mmi j i j cci j j i j i nmm ni E F j E F E F F E i j j i c x x d x x χχχχ==⋂⋂⋂⋂=====+++∑∑∑∑11()()1111()()()()mmijcci j j i j i n m nmi j E F i j E F F E i j i j c d x c x d x χχχ==⋂⋂⋂=====+++∑∑∑∑这显然还是一个简单函数，因为 若(,)(,)i j k l ≠，则()()i j k l E F E F ⋂⋂⋂=∅ 11(())(())m mcc i j k j j j E F E F ==⋂⋂⋂=∅ ，（i k ≠） 11(())(())mmcc j i k l i i F E F E ==⋂⋂⋂=∅ ，（j k ≠） 11(())(())m mcc i j k i j i E F F E ==⋂⋂⋂=∅ ，（,i k ∀） 1()(())mc i j i j j E F E F =⋂⋂⋂=∅ ，显然，()()()iiijE F E F x x x χχχ⋂=，事实上，i j x E F ∀∈⋂，()()1()()iiiiE F E F x x x x χχχχ+==若,i j i x E F x E ∉⋂⇒∉或i x F ∉ 则()()0()iiijE F E F x x x χχχ⋂==1111(())(())()()i j i j n m n mi E j F i j E F i j i j f g c x d x c d x x χχχχ====⋅==∑∑∑∑11()i j n mi j E F i j c d x χ⋂===∑∑当(,)(,)i j k l ≠时()()()()i j k l i k j l E F E F E F E F ⋂⋂⋂=⋂⋂⋂=∅则f g ⋅也是简单函数1a R ∀∈，显然1()()i ni E i af x ac x χ==∑仍为简单函数2．证明当()f x 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时，()f x 也是12E E ⋃上的非负可测函数证明：显然()0f x ≥于1E ，且()0f x ≥于2E 表明()0f x ≥于12E E ⋃ 又1a R ∀∈，{}{}{}1212|()|()|()E E x f x a E x f x a E x f x a ⋃>=>⋃> 由于f 在1E ，2E 上分别可测，{}1|()E x f x a >和{}2|()E x f x a >均为可测集，从而由P61推论2，{}{}12|()|()E x f x a E x f x a >⋃>={}12|()E E x f x a ⋃>为可测集，再由P101Th1知f 在12E E ⋃上可测或直接用P104Th4的证明方法. 3．设mE <+∞，()f x 是E 上几乎处处有限的非负可测函数，证明对0ε>，都有闭集F E ⊂，使(\)m E F ε<，而在F 上()f x 是有界的证明：令{}0|()0E E x f x ==，{}|()E E x f x E ∞∞==，由条件f 在E 上几乎处处有限，0mE ∞=.由()f x 可测于E 上知，{}{}0|()0|()0E E x f x E x f x =≥⋂≤是可测集（P103Th2,P64Th4可测集的交仍可测）令{};0()E E x f x +=<<+∞，1;()k A E x f x k k⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1;()\;()k A E x f x k E x f x k ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭可测，1k k E A +∞+== ，且1k k A A +⊂由P64Th5 ()lim k k m E mA +→+∞=，而mE <+∞，则()m E +<+∞ 故0ε∀>，0k ∃使00()2k m E mA ε+≤-<，而0k A E +⊂故0(\)2k m E A ε+<由0E ，0k A 可测，∃闭集01k F A ⊂，01(\)8k m A F ε<，∃闭集00F E ⊂使00(\)8m E F ε<令10F F F =⋃，则F 为闭集，且在F 上00()f x k ≤≤ 由于E F ∞⋂=∅，00\\(\)E F E E E F E E E F ∞+∞+=⋃⋃=⋃⋃ 又000001\\(\)(\)E E F E E F F E F E F +++⋃=⋃⋃⊂⋃ 而011\(\)(\)k k E F E A A F ++⊂⋃，故00(\)(\)m E F mE m E E F F ∞+≤+⋃⋃0010(\)(\)m E F m E F +≤++ 01(\)(\)882842k k m E A m A F εεεεεεε+≤++≤++=+< 证毕.4．设{}()n f x 是可测集合E 上的非负可测函数序列，证明：如果对任意0ε>，都有1[|()]n n mE x f x ε∞=><+∞∑，则必有lim ()0.n n f x a e E →∞=于又问这一命题的逆命题是否成立？证明：()n f x 非负可测，令{}0|lim ()0n n E E x f x →∞==则由CH1.§1习题8的证明方法：（P11,见前面的习题解答）{}|()0x f x ≤=0111|()m k n m nE E x f x k +∞+∞+∞===⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭（一般，{}111|lim ()()||()()|n m n k n m nE x f x f x E x f x f x k +∞+∞+∞→∞===⎧⎫==-≤⎨⎬⎩⎭） 在本题的假设下，我们需证0(\)0m E E = 由De Morgan 公式0111111\|()|()cm m k n m n k n m nE E E x f x E E x f x k k +∞+∞+∞+∞+∞+∞======⎛⎫⎧⎫⎧⎫=≤⋂=>⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭ （()m f x 可测，故1|()m E x f x k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭为可测集）故而0111()|()m k n m n m E E m E x f x k +∞+∞+∞===⎛⎫⎛⎫⎧⎫-≤>⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭∑ 所以我们只用证11,|()0m n m n k m E x f x k +∞+∞==⎛⎫⎧⎫∀>=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭,k n N ∀∀∈1111|()|()|()m m m m n n m n m n m E x f x m E x f x E x f x k k k +∞+∞+∞+∞====⎛⎫⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫>≤>≤>⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭∑ 由于1[|()]n n mE x f x ε∞=><+∞∑，故1lim |()0mn m nE x f x k +∞→+∞=⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭∑ 111|()lim |()0m mn m n n m n m E x f x E x f x k k +∞+∞+∞→+∞===⎛⎫⎧⎫⎧⎫>≤>=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭∑ 故0(\)0m E E =得证，即lim ()0.n n f x a e E →∞=于逆命题一般不成立{}1|()n n E x f x ε+∞=><+∞∑的必要条件是{}lim |()0n n E x f x ε→+∞>= 当mE =+∞时，()()n f x f x →不能推出()()n f x f x ⇒于E （[0,]1n χ→于1R ，但[0,]1n χ⇒不于1R ） 当mE <+∞时，()().n f x f x a e E →于，()()n f x f x ⇒于E但不能保证{}1|()n n E x f x ε+∞=><+∞∑5． 设mE <+∞，()f x 在E 上非负可测，证明对于任意y ，{}|()y E E x f x y = 都是可测的，进而证明使0y mE >的y 最多有可数多个证明：因为()f x 在E 上可测，P103,Th2{}1,|()y R E x f x y ⇒∀∈≥都是可测集，从而{}{}{}|()|()|()E x f x y E x f x y E x f x y ==≥⋂≤也是可测集显然，11[|0][|]y y k E x mE E x mE k+∞=>=≥下证：k N ∀∈，1[|]y E x mE k≥要么是空集，要么是有限集 事实上，若0k ∃使01[|]y E x mE k ≥为无限集，则由P18,Th1,存在可数集1201,,,,[|]n y y y y E x mE k ⊂≥由于i j y y ≠时ijy y E E ⋂=∅，1i y i E E +∞=⊂ ，11101()i i y y i i i mE m E mE k +∞+∞+∞===+∞≥≥=≥=+∞∑∑矛盾 6．证明：如果()f x 是n R 上的连续函数，则()f x 在n R 任何可测子集E 上都可测.证明：1a R ∀∈，则从()f x 是n R 上的连续函数，我们易知[|,()]n a F x x R f x a =∈<是开集.事实上若0a x F ∈，0()f x a <则从()n f C R ∈，0δ∃>使0(,)x B x δ∀∈，00()()(())f x f x a f x a <+-=则0(,)a B x F δ⊂，故a F 是开集，从而可测.而E 可测，故[|()]a E x f x a F E =<=⋂作为两个可测集的交也可测，这说明()f x 在E 上可测（P103,Th2）. 7．设()f x 是1R 可测集E 上的单调函数，证明()f x 在E 上可测.证明：不妨设()f x 在E 上单调不减，即12,x x E ∀∈，若12x x <，则12()()f x f x ≤1a R ∀∈，我们来证明[|()]E x f x a =≤是可测集，这样由本节定理2知()f x 可测于E （P103）.若1a R ∈使得[|()]a E x f x a ≤=∅ ，则显然a E 可测若1a R ∈使得a E ≠∅，此时若令0sup a y E =，则要么0y =+∞，要么0y <+∞（1） 若0y =+∞，则,M a M M y E ∀∃<∈，故,x x E M ∀∈∃使x M a y x E >∈，由()f x 在E 上单调不减，我们有()()xM f x f y a ≤≤，即a E E E ⊂⊂，从而a E E =为可测集（2） 若0y <+∞，则要么0y E ∈，要么0y E ∉若0y E ∈，则0()f y a ≤，此时0(,)x E y ∀∈⋂-∞，0,x a x y E x y y ∃∈<<，由()f x 单调不减于E 知，()()x f x f y a≤< 故0(,)a E y E ⋂-∞⊂，而0a y E ∈，从而有00(,](,]a E y E E y ⋂-∞⊂⊂⋂-∞，故0(,]a E E y =⋂-∞为可测集.若0y E ∈，而0()f y a >，0a y E ∉，则0(,)x y E ∀∈-∞⋂，0,x a x y E x y y ∃∈<<0x x y y <<，()()x f x f y a ≤<则00(,)(,)a y E E y E -∞⋂⊂⊂-∞⋂ 即0(,)a E y E =-∞⋂为可测集.若0y E ∉，则0a y E ∉，同样可证0(,)a E E y E =⋂-∞⋂可测.若()f x 单调不增，则()f x -在E 上单调不减，从而可测，故(())()f x f x --=在E 上可测.8．证明n R 中可测子集E 上的函数()f x 可测的充要条件是存在E 上的一串简单函数()m x ψ使()lim ()m m f x x ψ→+∞= （x E ∈） 证明：（1）E 上的简单函数是可测的；设1()()im i E i x c x ϕχ==∑为E 上的简单函数，1,mi i i E E E == 互不相交，iE 为E 的可测子集，易知，,()iE i x χ∀是可测的（()F x χ可测F ⇔是可测集）故由P104Th5，()ii E c x χ可测，1()imi E i c x χ=∑可测，由此，若存在E 上的一串简单函数()m x ψ， ()lim()m m f x x ψ→+∞= （x E ∈）则从{}()m x ψ可测，且lim ()m m x ψ→+∞P107推论2，()f x 在E 上可测 （2）若()f x 可测，则由P107Th7，,f f +-都是非负可测的，故由定义存在简单函数列()n x ϕ+，()n x ϕ-，（12,n = ），()()n x f xϕ++，()()n x f x ϕ-- （x E ∈）显然，()n x ϕ--也是简单函数，由本节第一题，()()()n n n x x x ψϕϕ+-=-仍为简单函数，且()()n x f x ψ→ （x E ∈）.证毕.9．证明：当1()f x 是1p E R ∈，2()f y 是2q E R ∈中的可测函数，且12()()f x f y ⋅在12E E E =⨯上几乎处处有意义时，12()()f x f y ⋅是E 上的可测函数.证明：（1）若p E R ∈，q F R ∈分别是p R ，q R 中的可测集，则函数(,)()()E F f x y x y χχ=是p q R R ⨯上的可测函数，事实上，1a R ∀∈，若0a <，则{}(,)|(,)p q p q x y R R f x y a R R ∈⨯>=⨯是可测集 若1a ≥，则{}(,)|(,)p q x y R R f x y a ∈⨯>=∅是可测集 若01a ≤<，则{}(,)|(,)p q x y R R f x y a E F ∈⨯>=⨯是可测集（P72Th1）(1) 推出(2): 1c R ∀∈,p E R ∈可测,q F R ∈可测，则()()E F c x y χχ在p q R R ⨯上可测.现在来证明本题结论：1()f x 在1E 上可测，故由本节第8题结论，存在1E 上的简单函数列()()1()()n n im n n i E i x a x ϕχ==∑，()11nm n i i E E ==∑，()()n n i j E E ⋂=∅（当i j ≠）使得1()()n x f x ϕ→，1x E ∀∈同样，从2f 在2E 上可测知，存在2E 上的简单函数列()n y ψ，使2()()n y f y ψ→于2E 上.从上述（1）（2）知，()()n n x y ϕψ在p q R R ⨯上可测，且 12()()()()n n x y f x f y ϕψ→于12E E ⨯上 由上P107推论2知12()()f x f y 在p q R R ⨯上可测. 证法二（更简单）将1()f x ，2()f y 看成(,)x y 的函数1a R ∀∈，{}{}121112(,)|()(,)|()E E x y f x a E x y f x a E ⨯>=>⨯从1()f x 在1E 上可测知，{}11(,)|()E x y f x a >为p R 中的可测集，2E 可测，故{}112(,)|()E x y f x a E >⨯为p q R R ⨯中的可测集，故{}121(,)|()E E x y f x a ⨯>为p q R R ⨯中的可测集，则1()f x 作为12E E E =⨯上的函数是可测的同理，2()f y 在E 上也可测，P104Th5得12()()f x f y ⋅在E 上也可测. 10． 证明：如果()f x 是定义于n R 上的可测子集E 上的函数，则()f x 在E 上可测的充要条件是对1R 中Borel 集合B ，1()[|()]f B E x f x B -∈ 都是E 的可测子集，如果()f x 还是连续的，则1()f B -还是Borel 集（提示：用1B 表示1R 中那些使1()f B -是E 上的可测子集的B 所构成的集合族，比较1B 和1R 中的Borel 集合类B ）.证明：记{}11|()B R f B E -=⊂是上的可测子集1B ，我们来证明1B 是一个σ-代数1）∅∈1B ：1()f -∅=∅显然是E 的可测子集 2）若A ∈1B ，1()f A -是E 的可测子集，则1111111 ()(\)()\()\()c f A f R A f R f A E f A -----===也是E 的可测子集（P61推论1） 则c A ∈1B3）若i A ∈1B ，（1,2,i =） 则i ∀，1()i f A -是E 的可测子集，1111()()i i i i f A f A +∞+∞--=== 也是E 的可测子集，故1i i A +∞=∈ 1B故1B 是一个σ-代数现在，若1:f E R →是一可测函数，则1(,)[|()][|()][|()]f a b E x a f x b E x f x b E x a f x -=<<=<⋂<是为可测集（[|()]E x f x b <，[|()]E x a f x <都是可测集（P60Th2）） 则(,)a b ∈1B故1B 包含所有的1R 上的开集（由一维开集的构造），从而包含所有的Borel 集，这就证明了∀Borel 集，1()f B -是E 的可测子集 反过来，若∀Borel 集，1()f B -是E 的可测子集，则由于1a R ∀∈，(,)a -∞为开集，故是Borel 集知1(,)[|()]f a E x f x a --∞=<为可测集，故f 是E 上的可测函数.令{}11|()B R f B Borel -=⊂为集2B ，则一样：（1）∅∈2B ；（2）,c A A ∈∈22B B ；（3）121,,,i i A A A +∞=∈∈ 22B B ，故2B 也是一个σ-代数若f 连续，则(,)a b ∀ （1,a b R ∈⋃+∞）1(,)f a b -是开集（相对于E ）,从而是Borel 集，故(,)a b ∈2B ，从而2B 包含所有的Borel 集，故∀Borel 集B ，1()f B -同样为Borel 集若:n n f R R →的同胚，则f 将Borel 集映为可测集11．设()f x 是E 上的可测函数，()g y 是1R 上的连续函数，证明：[()]g f x 是E 上的可测函数（注意：如果()f x 在n R 上连续，()g y 在1R 上可测，[()]g f x 未必可测，特别是()f x ，()g y 都可测时，[()]g f x 未必可测）证明：1a R ∀∈，从g 连续知，1(,)g a -+∞显然为1R 上的开集，由1R 上的开集的构造定理知（本书上只证了有界开集，事实上，无界开集也有类似的构造），∃至多可数个互不相交的开区间n I 使11(,)mn n g a I -=+∞=（m 有限或+∞）而1f -保持集合关系不变，即1111()()mmn n n n f I f I --=== ，而f 可测，故1()n f I -可测，故11()mn n f I -= 可测，从而有1111111[|(())]()(,)((,))()()m mn n n n E x g f x a g f a f g a f I f I -----==>=+∞=+∞==可测，故()g f x 是E 上的可测函数存在反例：《实分析中的反例》，可测函数f 和连续函数g 构成不可测的复合函数f g设E 是[0,1]中具有正测度的Cantor 集，令 ([0,]([0,1]\))()([0,1]\)m x E x m E ϕ⋂= （无处稠密完备集P70,习题1）则ϕ是由[0,1]到[0,1]上的一个同胚映射，P54习题3的证明过程中（见周民强书P84），已知，若*m E <+∞，[,]E a b ⊂，*([0,])m x E ⋂是[,]a b 上的连续函数故从[0,1]\[0E ⊂知，([0,]([0,1]\))()([0,1]\)m x E x m E ϕ⋂=是连续函数：[0,1][0,1](0)0,(1)1ϕϕ==且ϕ是严格递增的因E 是完备集，故E 是自密闭集，[0,1]\E 是相对开集（或c E 是开集），[0,1]\[0,1]c E E =⋂，[0,1]c E ⋂是开集,[0,1]x y ∀∈，y x >1()()[([0,]([0,1]\))([0,]([0,1]\))]([0,1]\)y x m y E m x E m E ϕϕ-=⋂-⋂1[(,]([0,1]\)]([0,1]\)m x y E m E =⋂1[(,)((0,1)\)]([0,1]\)m x y E m E ≥⋂注意：E 是无处稠密集，故(,)z x y ∃∈，使z E ∉，(0,1)\z E ∈，(,)((0,1)\)z x y E ∈⋂由于(,)((0,1)\)x y E ⋂为开集，故0δ∃>，使(,)(,)([0,1]\)z z x y E δδ-+⊂⋂ 则[(,)((0,1)\)](,)20m x y E m z z δδδ⋂≥-+=>故()()y x ϕϕ>，即()y ϕ严格单调，从而[0,1]到[0,1]上的一个同胚映射设(0,1)\E 这一有界开集可写成互不相交的构成区间的并，1(0,1)\(,)k k k E αβ+∞== ，从而1([0,1]\)((0,1)\)()k k k m E m E βα∞===-∑，又因为([0,]([0,1]\))([0,]([0,1]\))()()([0,1]\)k k k k m E m E m E βαϕβϕα⋂-⋂-=[(,]([0,1]\)]([0,1]\)k k m E m E αβ⋂=[(,)((0,1)\)]()()([0,1]\)([0,1]\)k k k k m E m E m E αβϕβϕα⋂-==故以从ϕ是同胚，1[([0,1]\)][((,))]k k k m E m ϕϕαβ+∞==1((),())k k k m ϕαϕβ+∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭1(()())k k k ϕβϕα∞==-∑1()1([0,1]\)kk k m E βα∞=-==∑注意：()([0,1]\)[0,1][0,1]E E ϕϕϕ⋃==，且()([0,1]\)E E ϕϕ⋂=∅ 就得()[0,1](([0,1]\))1(([0,1]\))110m E m m E m E ϕϕϕ=-=-=-=（()E ϕ也是完备疏集，则同胚不能保证测度的等号！）又0mE >，故由P66第二题的解答最后知，设A 是E 的一个不可测子集（A 总是存在的！）由于()()A E ϕϕ⊂，()0m E ϕ= 则()0m A ϕ=，()A ϕ可测，而1()A A ϕϕ-=不可测.令()B A ϕ=，并在[0,1]上如下定义函数1:(){0[0,1]\x Bf f x x B∈=∈ 则f 是[0,1]上的可测函数，又g ϕ=是[0,1]到[0,1]上的连续函数，然而复合函数1[()][()]{0[0,1]\x Af g x f x x Aϕ∈==∈是不可测集A 的特征函数 所以，它是一个不可测的函数.12.证明：若12()(,,,)n f x f x x x = 是n R 上的可微函数；则 12(,,,),1,2,,n if x x x i n x ∂=∂ 都是n R 上的可测函数.证明：只证1i =的情形，其它一样证 ()f x 在n R 上可微，故0n x R ∀∈，000012001(,,,)()lim ()|n y x h f x h x x f x f y h x =→+-∂=∂ 故从0l i m ()()0,()()n n n ah g x g x a g x g x →=⇔∀→→这一原则知，n x R ∀∈000120011(,,,)()()limlim [()()]1n m m m f x x x f x m f x m g x f x x m→+∞→+∞+-∂==-∂ 这里121()(,,,)m n g x f x x x m=+ ，由于f 可微，f 连续，故()m g x 是连续的，从而可测，又f 连续，故[()()]m m g x f x -可测，故其逐点收敛的极限1()f x x ∂∂也是可测的.。
实变函数课件第四章可测函数 (2)
E Ei上,且f x在每个Ei上都可测,则f x在E上也可测.
i 1
定义3 设f x的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1，E2， ，Es ，E Ei ,使f x在每个Ei上等于常数ci，
i 1
则称f x为简单函数.
定理4 设f x ,g x 在E上可测,则下列函数( 假定它们在
作业：13
定理2 设f (x)是E R上a.e.有限的可测函数,则对任意的 0, 存在闭集F E及整个R上的连续函数g(x)(F及g(x)依赖于 )， 使得在F上g(x) f (x)，且m(E \ F) .此外还可要求
sup g(x) sup f (x) 及inf g(x) inf f (x).
注：一个函数在其定义域中的每一个孤立点都是 连续的.
定理2 可测集E Rn上的连续函数都是可测函数.
例1 区间[a,b]上的连续函数和单调函数都是可测函数.
定理3 (1)设f x是可测集E上的可测函数,而E1 E为E的 可测子集,则f x 看作定义在E1上的函数时,它是E1上的可
测函数;
(2)设f x定义在有限个可测集Ei(i 1, 2, , s)的并集
R
F
R
F
作业：P51,1，P52,2
第4节 依测度收敛
定义 设{ fn}是E Rq上的一列a.e.有限的可测函数，若 有E上的a.e.有限的可测函数f (x)满足下列关系：
对任意
0,有lim mE[| n
fn
f
| ] 0，
则称函数列{ fn}以测度收敛于f ，或度量收敛于f ，
记为fn (x) f .
(4) 对任意有限实数a,b(a b), E[a f b] 都可测(但充要性要假定f (x)是有限函数).
实变函数--ch4可测函数
记 ，则 均为 可测集，且 ，令 得 ． ，从而， 有
．
由于 ，而 是完备测度，故 ．又由于 包含R中的开集全体 ，据 Th4.1.2的推论1知， 在每个 上可测，所以 ．这样 ， 是E上的 可测函数．
12．证：(1)由于 ，有 ，
．
(2)若 ，则显然 ；
若 ，则 ．
若闭集 满足 ，则 ，复记 为E即可．
其次，由于在变换 下， 具有相同的可测性与连续性，故可进一步假定 上的有界可测函数．以下分两步证明．
(A)设 上的简单函数，可记 ， ， 两两不交、可测， ．据 Th3.4.2(2)， ，使 ，
．
记 为E的闭子集，且 ．
下证 是 上的连续函数． ，存在唯一的 ，使 ．从而
．若 ，记“ ，a.e.于E”．
依测度收敛：设 A， 是E上的可测函数， ，有 ，称 在E上依测度 收敛于 ，记 或 ．
定理4.2.1．设 ,A, 是测度空间， 是 A上的可测函数列，若 于E，则存在E上的可测函数 ，使 于E．
证：存在零测集 ，使 ， ．令 ，则 在E上可测，且 于E．
推论．若 ,A, 是完备的测度空间，则 A上的可测函数列的a.e.收敛的极限函数必是E上的可测函数．
证：记 ， A， ． 在 上取值有限，且
，有 ．据引理有
．
于是， ．
从而 ．
定理4.2.4．(叶果洛夫定理)设 ,A, 是测度空间， A， ．可测函数列 在E上a.e.收敛于a.e.有限的函数 ．则 ， A，使 上一致收敛于 ．
(称 在E上近一致收敛于 ，记为 于E．)
证：记 ，则 A， ． ，且 在 上取值有限，由引理知 ， ．
，使 ．
《实变函数》第四章 可测函数
第四章 可测函数（总授课时数 14学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构.§1 可测函数及其性质教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时——————————————————————————————1可测函数定义定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >∀∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数.2可测函数的性质性质1 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数若1ni i E E ==⋃ (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的简单函数；1()()i ni E i f x c x χ==∑ 其中1()0i iE i x E x x E E χ∈⎧=⎨∈-⎩注：Dirichlet 函数是简单函数性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ∀>∃>⋂⊂若使得对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续0lim ()()x x f x f x →=若000,0,|||()()|x x f x f x εδδε∀>∃>-<-<即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x x O f x O δεεδ∀>∃>∈∈即当时，有 00(,)((),)0,0,()x f x f O O δεεδ∀>∃>⊂即使得()f x 在0[,]x a b ∈处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取[]x E f a ∈>, 则()f x a >,由连续性假设知， 对(),0,x f x a εδ=-∃>使得(,)((),)()(,)x x f x f O E O a δε⋂⊂⊂+∞即(,)[]x x f a O E E δ>⋂⊂.令[](,)x f a x x E G O δ>∈=⋃则G 为开集，当然为可测集，且另外[][](,)(,)[]()()x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E δδ>>>∈∈⋂=⋃⋂=⋃⋂⊂所以[][](,)()x f a f a x x E E O E G E δ>>∈⊂⋃⋂=⋂，故[]f a E G E >=⋂为可测集性质4 R 中的可测子集E 上的单调函数()f x 必为可测函数。
第四章可测函数解析
第四章 可测函数教学目的：1.熟练掌握可测函数的定义及其基本性质，可测函数的一些重要性质.2.掌握通过Egoroff 定理证明Lusin 定理,它表明Lebesgue 可测函数可以用性质较好的连续函数逼近.3.掌握几乎处处收敛,依测度收敛和几乎一致收敛，以及几种收敛性之间的蕴涵关系.通过学习使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解. 重点难点：1.可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性.2.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.3.引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性.一方面, L 可测集上的连续函数是可测的,另一方面,Lusin 定理表明,Lebesgue 可测函数可以用连续函数逼近. Lusin 定理有两个等价形式.4.依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差异.Egoroff 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系.Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.§4.1 可测函数及相关性质由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.设f 是可测集D 上的函数,若对任何R ∈∀α,{}α>∈)(:x f D x 记=αD 是可测集,则称f 是可测集D 上的可测函数.我们知道,f 在D 上连续⇔R ∈∀α,{}α>∈)(:x f D x 、{}α<∈)(:x f D x 都是开集.所以由可测函数的定义,区间D 上的连续函数f 是可测函数.又如:设E 是D 的可测子集.则E 上的特征函数为=)(x f )(x E λ⎩⎨⎧=01ED x Ex -∈∈由于 {}αα>∈=)(:x f D x D⎪⎩⎪⎨⎧=D E φ0101<<≤≥ααα是可测集,所以E λ是D 上的可测函数.即定理4.1.1 可测集的特征函数是可测的.今后,在不致混淆时,将{}α>∈)(:x f D x 简记为{}α>f .类似, {}α≥f 、{}α≥f 、{}α<f 、{}α≤f 、{}α=f 等的意义同上. 问:定义中α>f 可否换成α<f ?答:可以.定理4.1.2 设函数f 定义在可测集D 上,则下面四件事等价. (i)f 在D 上可测;(ii)对任何R ∈α,{}α≥f 可测; (iii)对任何R ∈α,{}α<f 可测; (iv)对任何R ∈α,{}α≤f 可测.其证明就是利用集合的运算. 证明:(i)⇒(ii) {}α≥f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->=∞=n f n 11α ,由(i), ⎭⎬⎫⎩⎨⎧->n f 1α可测,从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧->∞=n f n 11α 可测,即{}α≥f 可测.(ii)⇒(iii){}α<f -=D {}α≥f(iii)⇒(iv){}α≤f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<=∞=n f n 11α(iv)⇒(i) {}α>f -=D {}α≤f定理4.1.3 设函数f 和g (i){}λ=f 、{}βα<<f 、{}βα<≤f 、{}βα≤≤f 、{}βα≤<f 都是可测集,其中+∞≤<≤∞-βα,λ是广义实数. (ii){}g f >是可测集.证明: (i)先设λ是实数,则{}λ=f {}λ≥=f {}λ>-f 是可测集;若∞=λ,则{}∞=f {}n f n >=∞=1可测;若-∞=λ,则{}-∞=f {}n f n -<=∞=1可测.可见, 对任何广义实数λ,{}λ=f 是可测集.对于其它集的可测性由定理3.1.2与集合的运算立即可得.(ii)分析:⇒>g f x ∃,使)()(x g x f >,若∞=)(x f ,则∞≠)(x g ,可∞-,不管怎样,f 、g 之间可以插进有理数.即:若{}1≥n n r 是有理数全体,则{}g f >{}{}{}g r r f n n n >>=∞= 1再利用函数f 和g 都是可测函数,可得右侧为可测集,即{}g f >是可测集.在数学分析中,我们已经知道连续函数对于极限运算不封闭,即连续函数的极限可能不是连续函数,只有一致收敛的连续函数列的极限函数连续,否则未必.如:n n x x f =)(,]1,0[∈x .)()(x f x f n →⎩⎨⎧=01101<≤=x x不连续.而可测函数对于极限运算是封闭的,这点也体现了它的优越性.定理 4.1.4 设{}1)(≥n n x f 是可测集D 上的一列可测函数,则函数)(sup 1x f n n ≥、)(inf 1x f n n ≥、)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞→都是可测函数. 证明:任取R ∈α,则})({sup 1α>≥x f n n })({1α>=∞=x f n n 可测.(此等式表明至少有一个α>)(x f n ,否则都α≤,就说明α为上界,由上确界是最小上界,便会得出α≤≥)(sup 1x f n n )})(inf {1α<≥x f n n })({1α<=∞=x f n n 可测.(至少有一个α<)(x f n ,否则都α≥,α为下界,其最大下界α≥≥)(inf 1x f n n ) 再由)(l i m x f n n ∞→)(s u p i n f 1x f k nk n ≥≥=、)(lim x f n n ∞→)(inf sup 1x f k nk n ≥≥=知)(lim x f n n ∞→、)(lim x f n n ∞→都是可测函数.(n x 的上极限k nk n n n x x ≥≥∞→=sup inf lim1,k nk x ≥sup ↓;n x 的下极限k nk n n n x x ≥≥∞→=inf sup lim 1,k nk x ≥inf ↑)实变函数的第一个“差不多”是可测集与开集、闭集差不多;第二个“差不多”就是可测函数与连续函数差不多. 为研究实变函数中的第二个“差不多”,前述内容中最重要的是定理4.1.4—可测函数对极限运算封闭.§4.2 可测函数的其它性质设D 是可测集,)(x p 是一个与D 中每一点有关的命题.若除了D 的一个零测子集E 外,使)(x p 对每一E D x -∈都成立,则称)(x p 在D 上几乎1xy处处成立,用a.e.表示.(即almost everywhere).例如,{}x n sin 在R 上几乎处处收敛于0或说0sin lim =∞→x n n a.e.在R(因为只有2ππ+=k x 时,极限不为0,其为可数集,当然为零测集);Cantor 集上的特征函数0)(=x C λ a.e.在]1,0[(因为Cantor 集为零测集).若说)(x f 在R 上a.e.有限,意即)(x f 不有限的点的集合为零测集. 为讲第二个“差不多” ,先讲连续函数,数学分析中求R 积分时,把曲的变成直的, 并称其为阶梯函数,此处我们称为简单函数, 它是由特征函数决定的. 设f 是可测集D 上的一个函数,若)(D f是由有限个实数1a ,2a ,…,n a 组成,并且{}k k a x f D x E =∈=)(: n k ,,2,1 =都是可测集,则我们称f 是D 上的一个简单函数.由此f 可以表示为)()(1x a x f K E k nk λ=∑=其中)(x kE λ可记作)(x k λ,为k E 上的特征函数.由可测函数定义,简单函数都是可测的.(定理3.3.4至多可数个可测集之并可测).易知,若f 、g 都是简单函数,则f λ、||f 、fg 、g f +、g f -等都是简单函数(因其值域是有限个实数),当然都是可测的.下面说明可测函数一定是简单函数的极限.定理4.2.1 设f 是可测集D 上的可测函数,则有D 上的简单函数列{}1≥k k ϕ,使对每一D x ∈,)()(x f x k →ϕ,此外(i)当0≥f 时,可使上述{}1≥k k ϕ满足对每一D x ∈,{}1≥k k ϕ单增收敛于)(x f ;(ii)当f 有界时, 可使上述{}1≥k k ϕ在D 上一致收敛于f . (即对任何0>ε,有K ,K k >∀,有εϕ<-|)()(|x f x k )提问:试举例说明,一列函数在每一点都收敛于)(x f ,但不一致收敛.答:如k k x x f =)( ]1,0[=D ,则⎩⎨⎧=01)(x f101<≤=x x ,这时)(x f k 在每一点都收敛,但不一致收敛.其原因是极限函数不连续.上述定理说明,可测函数和简单函数“差不多”.通过上图,我们形象地描述一下上述定理的证明思路.第一次:在-1和1之间取阶梯函数,每段长21; 第二次:在-2和2之间取阶梯函数,每段长221,其中-1和1之间是将第一次的段分一半,分细了,这段的一部分向上移了,所以-1和1之间的第二个阶梯函数部分比第一个大……,即)(1x ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=12111k1)(2)(211)(11-<<≤-≥x f kx f k x f 2,1,0,1-=k(k 的取法可由中间一段得出,因此时)(x f 必在-1和1之间,左等右不等,由1211-=-k 得1-=k ,由121=k得2=k ,所以2,1,0,1-=k .第二次k 的取法类似).)(2x ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=22122k2)(2)(212)(22-<<≤-≥x f kx f k x f 8,,6,7 --=k证明:对每一1≥n ,令)(x n ϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=nk nn 21 n x f k x f k n x f n n -<<≤-≥)(2)(21)(若若若 n n n n k 2,,12⋅+⋅-=(i)显然{}1≥n n ϕ是一列简单函数,现固定D x ∈.若∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n =)(ϕ,从而)()(x f x n →ϕ; 若-∞=)(x f ,则对每一1≥n ,有n x n -=)(ϕ,从而)()(x f x n →ϕ; 最后,若)(x f 是一个实数,则当n 充分大时,存在唯一的n k ,使得n n n n k n 212⋅≤≤+⋅-,并且nnn n k x f k 2)(21<≤- 于是)(x n ϕn n k 21-=,nn x x f 21)()(0<-≤ϕ.令∞→n ,即得)()(x f x n →ϕ. 特别,设f 非负.由)(x n ϕ的构造方法(如图x 轴上方),易知:)(x n ϕ单增.(ii)最后若f 有界,M 是||f 的一个上界,则当M n >时,{}n f ≥及{}n f -<都是空集,从而对一切D x ∈,有nn x f x 21)()(<-ϕ,故{}1)(≥n n x ϕ一致收敛于)(x f .注1.由可测函数的定义,f 在可测集D 上是否可测,与f 在D 上的一个零测子集上的值无关.f 可测⇔{}α>∈)(:x f D x R ∈∀α 是可测集.若0)(=E m ,D E ⊂,即使f 在E 上乱动,对{}α>∈)(:x f D x 可测没有影响.即只要f 在E D -上可测,就说f 在D 上可测(在E 上无定义也可).说明:若)(1x f )(2x f = a.e.D ,则当1f ,2f 中有一个可测时,另一个也可测.而连续函数斤斤计较,动一点则不连续.注 2.设是D 上的可测函数列, 0)(=E m ,D E ⊂.若对每一个E D x -∈,)()(x f x f n →,由定理4.1.4知f 在E D -上可测,从而由注1, f 在D 上可测.这个结论也可以说成“可测函数列{}1≥n n f 在D 上几乎处处收敛的极限f 在D 上可测”.注 3.设f 和g 都是D 上的可测函数,若对某D x ∈,∞=)(x f ,且-∞=)(x g 或-∞=)(x f 且∞=)(x g ,则)()(x g x f +就没有意义.但如果所有使)()(x g x f +没有定义的点x 的全体是零测集,则我们同样可以讨论g f +的可测性,对g f -也如此.定理4.2.2 设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的.证明思路.以f 为例.因f 是可测集D 上的可测函数,从而有简单函数列)()(x f x f n →,进而简单函数列)()(x f x f n →,所以极限函数f 可测.再如证fg 可测,由已知,因)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,)(x f n 、)(x g n 为简单函数列,所以)(x f n )(x g n 也是简单函数列,且)(x f n )(x g n )()(x g x f →,因此极限函数)()(x g x f 可测.一定注意:可测与否与零测集无关.例题4.2.1 ]1,0[上的实函数是否一定可测?答:不一定.找]1,0[中的不可测子集E ,其上的特征函数不可测.即:取不可测集合]1,0[⊂E ,令⎩⎨⎧==01)()(x x f E λE x E x -∈∈]1,0[则{}α>∈)(:]1,0[x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=]1,0[E φ0101<<≤≥ααα ——→不可测.所以)(x E λ在]1,0[上不可测.例题4.2.2 零测集上的实函数是否一定可测?答:因{}E x f E x ⊂>∈α)(:,故也是零测集,从而零测集上的实函数一定可测.例题 4.2.3 设D E ⊂,其中D 可测,0)(=E m .若f 在E D -上可测,是否f 在D 上可测?答:{}α>∈)(:x f D x ={}α>-∈)(:x f E D x {}α>∈)(:x f D x 可测. 复述定理4.2.1f 在D 上可测⇒有D 上的简单函数列)()(x f x f n →,D x ∈∀且 (i)0≥f 时,)()(x f x f n ↑→(ii)当f 有界时, )(x f n )(x f .之后三个“注”说明可测函数与零测集无关.这样,若可测函数列)()(x f x f n → a.e.,则)(x f 是可测函数.可见,对可测函数来说,总的要求是宽的.重复定理4.2.2设f 和g 都是可测集D 上的可测函数,λ是实数,则f λ、f 、fg 都是可测函数.此外若g f +和g f -几乎处处有定义,则它们也是可测的.什么叫g f +几乎处处有定义?即{}( ∞=)(x f {})-∞=)(x g {}( -∞=)(x f {})∞=)(x g 是零测集. 其证明思路:①可测函数一定是一列简单函数列处处收敛的极限. ②也可用定义.如{}αλ>f 由)0}({>>λλαf 或)0}({<<λλαf 来证. 此处用方法①最清楚.简单函数)()(x f x f n →,)()(x g x g n →,则)()(x f x f n λλ→,)()(x f x f n →, )(x f n )(x g n )()(x g x f →,)(x f n +)(x g n )()(x g x f +→ a.e.D(简单函数是处处有定义的,有限个实数是其值域,无∞±的情况,简单函数不允许取∞±)g f +在E D -可测,0)(=E m ,由注1, g f +在D 可测(即例题3).例题4.2.4 f 在D 上可测,f sin 在D 上是否可测? 答:因f 可测,则有简单函数列)()(x f x f n →D x ∈∀ 所以 )(sin )(sin x f x f n →由于n f 是简单函数,取有限个实数,当然)(sin x f n 也取有限个实数,因而n f sin 也是简单函数,所以f sin 可测.由此可见,不光可测函数的“＋、－、×、数乘、绝对值”可测,还有些复合函数也可测,但复合函数比较复杂.sin 连续故必可测.但若随便问))((x f g 可测吗?一下子说不清楚.f 、g 可测,则有简单函数f f n →、g g n →,这时))((x f g n n 也是简单函数,但))((x f g n n →))((x f g ? g 若连续,有))(())((x f g x f g n →g 若不连续,则没有))(())((x f g x f g n →,更不用说))((x f g n n →))((x f g 了.所以,连续函数的复合还连续,而可测函数的复合却不一定可测. 要点: 1.可测函数与零测集无关.2.可测函数是简单函数列处处收敛的极限.§4.3 可测函数用连续函数来逼近称F 是一个紧集,若F 的任何开覆盖存在有限子覆盖.其充分必要条件是F 是有界闭集.定理4.3.1 设F 是一个紧集,{}1≥n n f 是一列沿F 连续的函数.若{}1≥n n f 在F 上一致收敛于f ,则f 也沿F 连续(F x ∈∀,)()(lim 00x f x f Fx xx =∈→). 前面曾提到n x →⎩⎨⎧01101<≤=x x ]1,0[∈x ,由极限函数不连续⇒n x 不一致收敛.定理的证明思路与数学分析同.问: 数分怎样证明“连续函数)(x f n 在],[b a 一致收敛⇒)(x f 连续?” 证明:],[0b a x ∈∀,0>∀ε,0>∃δ,∀),(0δx x ∈=-)()(0x f x f )()()()()()(000x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-)()(x f x f n -≤+)()(0x f x f n n -+)()(00x f x f n -3ε<3ε+3ε+ε=若改为),(b a 也一样.本节中非常重要的一个结果:定理4.3.2(Egoroff)设f 和n f )1(≥n 都是测度有限的集D 上几乎处处有限的可测函数.若n f 在D 上几乎处处收敛于f ,则对任何0>ε,有D 的闭子集F,使ε<-)(F D m ,并且n f 在F 上一致收敛于f .(也称基本上一致收敛,有点象数分中的内闭一致收敛)证明:令{})()(lim )()(:1x f x f x f x f D x D n n n =∈=∞→都有限且和,则由条件知,1D 是可测集且0)(1=-D D m .令)(r nA 1D =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞=r x f x f k n k 1)()( ,2,1,=r n()(r n A 是1D 里那样的点: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-r x f x f k 1)()(与r k ,有关, r 不动,取∞+= ,1,n n k ,现在看这种集合有什么性质)对每一1≥r ,{}↑→≥1)(n r n A 1D ,且每一个)(r n A 都可测.(首先,每一个)(r n A 都是1D 子集,由{}↑≥1)(n r n A知)(1)(lim r n n r nn AA∞=∞←= ,也就是要证1)(1D A r n n =∞= ),易见)(1r n n A ∞= 1D ⊂，这是因为每个1)(D A r n ⊂,现在对1D x ∈∀,取01>r,由)()(lim x f x f n n =∞→知N∃,Nk >∀,有rx f x f k 1)()(<-,说明}1)()({rx f x f x k N n <-∈∞= ,当然1D x ∈}]1)()({[rx f x f k Nn <-∞= )(r N A =.所以)(1r nn Ax ∞=∈ ,因此⊂1D )(1r nn A ∞= ,于是得到1)(1D A r n n =∞= .即1)(lim D A r n n =∞←. 由测度性质(定理3.3.6(i)))(lim )(r n n A m ∞→)lim ()(r n n A m ∞→=)(1D m = (1)又∞<=)()(1D m D m ,所以对每一1≥r ,有r n ,使)()()(1r n r A m D m -)()(1r n rA D m -=12+<r ε (2)(对 (1)式利用极限定义,再根据测度的减法,∞<)(A m 时,)()()(A m B m A B m -=-)此时n f 在)(1r n r rA E ∞== 上一致收敛于f .(即0>∀ε有N ,N n ≥∀,E x ∈∀,有ε<-)()(x f x f n (下证)0>∀ε ,有00>r ,使ε<01r ,从而当0r n n >时,对一切)(00r n r A x ∈,有ε<<-01)()(r x f x f n .显然)(00r n r A E ⊂所以上述结论对E x ∈∀都成立.即n f 在)(1r n r rA E ∞== 上一致收敛于f .))(E D m -)(1E D m -=)()(11r n r rA D m ∞=-= ))(()(11r n r rA D m -=∞= (由)(11r n r r AD ∞=- )()(11r n r rA D -=∞= ) )()(11r n r rA D m -∑<∞= 112+∞=∑<r r ε2ε=此时有E 的闭子集F ,使2)(ε<-F E m ,则n f 在F 上一致收敛于f 且)]()[()(F E E D m F D m --=- )()(F E m E D m -+-≤ε<.思路是:几乎处处收敛→处处收敛→一致收敛→闭集上↑ ↑ ↑ ↑ D ⊃ 1D ⊃ E ⊃ F注:上述定理中要求D 测度有限即∞<)(D m .此条件非常重要.若∞=)(D m ,则没有上述定理.如:)()(),(x x f n n +∞=λ,)(0)(x f x f n =→)(∞→n .问:是否有闭集F 使1)(<-F R m 而且n f 在F 上一致收敛于0?这是不可能的.因为{}∞=≥∈1:n f R x m 做不到0→n f a.e.R引理4.3.1 设F 是R 中的闭集,函数f 沿F 连续,则f 可以开拓成R上的连续函数*f ,并且)(sup *x f Rx ∈)(sup x f Fx ∈=.n R证明:此时),(1n n n cb a F ∞== ,其中(){}n n b a ,两两不交.(f 在F 上有定义,不妨设在c F 上没有定义,故f 在端点n a ,n b 上有定义,在其内部无定义,重新定义:将端点连成线段即可) .(可能f 在c F 有定义不连续,同样重新定义) 今定义⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=)()()()(*n n b f a f x f x f 线性 -∞=∈∞=∈∈∈n n n n n n n n n n a b a x b b a x b a b a x F x 其中其中有限其中),,(),,(,),,( ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+)()()()(n n n n n n a x a b a f b f a ff*a nnn b n 1122kk显然*f 是R 上的连续函数.它是f 的开拓,且=∈)(sup *x f Rx )(sup x f Fx ∈.引理 4.3.2 设f 是可测集D 上的简单函数,则对任何0>ε,有沿D 连续的函数*f ,使{}()ε<≠*f f m .(是说简单函数和连续函数“差不多”,为可测函数与连续函数“差不多”作准备)证明:设{}n k k a D f ≤≤=1)((因f 为简单函数),其中k a 都是实数且两两不同.令{}k k k a f E == n k ,,2,1 =,则k E 可测,其中{}n k k E ≤≤1两两不相交,k nk E D 1== .对每一k ,有闭集k k E F ⊂,使F E m k k ε<-)((因可测集与闭集“差不多”)则f 沿F F k nk ==1连续.(对k nk F F x 10==∈∀ ⇒00k F x ∈⇒x 充分接近0x 时即 ⇒<),(0x x d ),(min 0,,2,10k k k n k F x d ≠=⇒00k k E F x ⊂∈所以0)(k a x f =.⇒从而)()(lim 00x f x f Fx x x =∈→.⇒即f 沿F 连续.)由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .{}())(*F D m f f m -≤≠)(11k nk k nk F E m ==-=)]([1k k nk F E m -≤=)(1k k nk F E m -∑≤=ε<(由第一章习题:-∞=n n A 1n n B ∞=1-⊂∞=n n A (1)n B ,由于在F 上,f f =*,所以可能不等的地方在F 外,即{}F D f f -⊂≠*).定理 4.3.3(Lusin)设f 是可测集D 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε有沿D 连续的函数*f 使{}()ε<≠f f m *,并且≤∈)(s u p *x f Dx )(s u p x f Dx ∈.证明:不妨设f 处处有限.先设∞<)(D m (为了应用Egoroff 定理),此时有简单函数列{}n f ,使对任何D x ∈,)()(x f x f n →.现对每一个1≥n ,由引理4.3.2,存在沿D 连续的函数*n f ,使{}()1*2+<≠n n n f f m ε,2,1=n令{}*1n n n f f E ≠=∞= ,则)(E m ∞=∑≤1n {}()11*2+∞=∑<≠n n nn ff m ε2ε=此时对每一E D x -∈(即{}*1n n n f f =∞= ),有)()(*x f x f n n = ,2,1=n从而对每一E D x -∈,)()(*x f x f n → (因∞<-)(E D m 故可用Egoroff 定理)由Egoroff 定理,,有有界闭集E D F -⊂使2)(ε<--F E D m而且*n f 在F 上一致收敛于f .由定理 4.3.1,f 在F 上连续,再由引理4.3.1,f 可以开拓成D 上的连续函数*f .此时{}()f f m ≠*)(F D m -≤()[]E F E D m --=)()(E m F E D m +--≤ε<这样我们在∞<)(D m 即D 有界的条件下证明了定理.若∞=)(D m ,令)1,[+=n n D D n ,2,1,0±±=n则∞<)(n D m .由已证,对每一n ,有n D 的闭子集n F ,使f 沿n F 连续,而且2||2)(+<-n n n F D m ε,2,1,0±±=n此时,n n F F +∞-∞== 是闭集而且f 沿n F 连续.(一般,可数个闭集的并不一定是闭集,称σF 集.如:]2,1[1nn ∞= ]2,0(=.开集是σF 集是由于]1,1[),(1nb n a b a n -+=∞= .此处n n F F +∞-∞== 是闭集是因F x n ∈∀,x x n →有F x ∈(下证)由于R x ∈,故)1,[00+∈n n x .现x x n →,故又由F x n ∈,当n 充分大时0n n F x ∈.由0n F 闭且x x n →知F F x n ⊂∈0.)由引理4.3.1,f 作为F 上函数可以开拓成D 上的连续函数*f ,并且{}()*f f m ≠)(F D m -≤)(n n n n F D m ∞-∞=∞-∞=-=)]([n n n F D m -≤∞-∞=2||2+∞-∞=∑<n n εε<对于)(sup *x f Dx ∈)(sup x f Dx ∈≤,由引理4.3.1)(sup *x f D x ∈)(sup x f F x ∈=)(sup x f Dx ∈≤而得(因D F ⊂).记住:只有Egoroff 定理限定∞<)(D m .推论:若f 是],[b a 上几乎处处有限的可测函数,则对任何0>ε,有],[b a 上的连续函数*f ,使{}()ε<≠*f f m ,并且)(max *],[x f b a x ∈)(sup ],[x f b a x ∈≤.例:⎩⎨⎧=01)(x D无理数有理数x x 处处不连续.令0)(*≡x D ,则{}()ε<=≠0)()(*x D x D m .这提供了一种方法,研究可测函数命题可以先研究连续函数,二者“差不多”.000§4.4 测度收敛)()(x f x f n Dn ∞→−→−已经学过三种,即()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧测度收敛一致收敛几乎处处收敛逐点收敛4321 {}()εδεδε<≥-⇒>∀∃>∀>∀⇔⇒∈∀>∀∃>∀=-∈∀∈∀f f m N n N f f Dx N n N E m E D x Dx n n ,,0,0,,,00)(,第四种即今天要学习的测度收敛.设f 和n f )1(≥n 都是D 上几乎处处有限的可测函数.若对任何0>δ,{}()0→≥-δf f m n ()∞→n ,则称n f 在D 上测度收敛于f .记为f f n ⇒. 例 4.4.1.对每一1≥n ,把]1,0[n 等分,得到n 个小区间],1[n kn k -,n k ,,2,1 =.令 0≡f1)()(]1,0[1≡=x x f λ)()(]21,0[2x x f λ= )()(]1,21[3x x f λ=)()(]31,0[4x x f λ= )()(]32,31[5x x f λ= )()(]1,32[6x x f λ=………………图形见演示文稿《测度收敛反例》 此时对任何0>δ{}()δ≥-f f m n {}()δ≥=n f m 0−→−()∞→n .(因n 越大,n f 等于1的区间越小)即f f n ⇒.但对任何]1,0[∈x ,{}1)(≥n n x f 中有无穷项为1,无穷项为0,可见n f 不收敛.例 4.4.2.对每一1≥n ,令)()(),[x x f n n ∞=λ,0)(≡x f ,R x ∈.此时对∀R x ∈,)()(x f x f n →,但对21=δ,})21|({|≥-f f m n })21({≥=n f m )),((∞=n m ∞=.所以n f ⇒f .以上二例说明:测度收敛与几乎处处收敛和逐点收敛没有因果关系.但还是有关系的.即定理4.4.1(Riesz)设f 和)1(≥n f n 都是可测集D 上的几乎处处有限的可测函数,则(i)若f f n ⇒,则{}1≥n n f 中有子列{}1≥k n kf 几乎处处收敛于f .(ii)若∞<)(D m ,并且n f 几乎处处收敛于f ,则f f n ⇒. 证明:(i)此时对每一1≥k ,})21|({|k n f f m ≥-)(0∞→→n ,因此有k n 使 kk n f f m k 21})21|({|<≥- ,2,1=k <<<<k n n n 21 11f 1f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f 9f 10令})21|{|(1kn pk p f f E k≥-=∞=∞= (即集合序列的上极限) 则对每一1≥p})21|{|()(k n p k f f m E m k ≥-≤∞= })21|({|k n p k f f m k≥-∑≤∞=kp k 21∞=∑< 121-=p 令∞→p 得0)(=E m .即E 为零测集. 此时 cEE D -=})21|{|(1kn pk p f f k ≥-=∞=∞= 从而对每一E D E x c-=∈,必有10≥p 使∈x }21|{|0k n p k f f k<-∞= ,即0p k ≥∀有kn x f x f k 21|)()(|<-.也即)()(x f x f kn → )(∞→k .说明kn f 在c E 上处处收敛于f ,也就是说kn f 在D 上几乎处处收敛于f .(ii) (注意条件∞<)(D m ,否则即使n f 处处收敛于f ,也未必f f n ⇒)任给0>δ,0>ε,由于∞<)(D m ,由Egoroff 定理,有D 的可测子集E 使ε<-)(E D m 并且n f 在E 上一致收敛于f .于是有N,使δ<-|)(|f x f n E x ∈∀ N n >∀此时 {}δ≥-)()(x f x f n E D -⊂故 {}()δ≥-)()(x f x f m n ()E D m -≤ε< N n > 即f f n ⇒.例4.4.3.设)()(x f x f n ⇒,)()(x g x f n ⇒,则)()(x g x f =在E 上几乎处处成立.证明:由于)()(x g x f -)()()()(x g x f x f x f k k -+-≤,故对任何自然数n ,}1|:|{n g f E x ≥-∈⊂}21|:|{n f f E x k ≥-∈ }21|:|{ng f E x k ≥-∈, 从而})1|:|({n g f E x m ≥-∈≤})21|:|({n f f E x m k ≥-∈})21|:|({ng f E x m k ≥-∈+令∞→k ,即得})1|:|({ng f E x m ≥-∈0=. 但是}:{g f E x ≠∈}1|:|{1ng f E x n ≥-∈=∞=故0}):({=≠∈g f E x m ,即)()(x g x f = a.e.于E.讲可测函数最重要的一条是其与连续函数“差不多”,即Lusin 定理.我们所说的“差不多”是{}()ε<≠f f m *而不是f f =* a.e . 不要混同.古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈 兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子 己所不欲，勿施于人——孔子 读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹 立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修 读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿 书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦 书犹药也，善读之可以医愚——刘向 莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞 发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼 鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅 立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元 非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。
4-1可测函数及其性质
E上的连续函数． 这就是说，同一个函数，将其看作
定义在某个集E 上的函数可能是连续的,若将其看作 定义在另一个集E上的函数，则可能是不连续的．
2019年2月4日6时6分
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定理 2 可测集 E R 上的连续函数 f 是可测函数． 证 对任何实数 a ，要证E [ f > a ] 是可测集．
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⑶
1 E[ f 0] E[ f a ], a 0, 1 E[ a ] E[ f 0] \ E[ f ] a 0, f 1 E[ f 0] E[ f ], a 0. a
设有理数全体为：r1 , r2 , . . . , rn , . . . ，于是有
E[ f g] ( E[ f rn ] E[ g rn ]) ,
n 1
所以E [ f > g ] 是可测集． 因为E [ f g ] = E － E [ f < g ] ， 所以E [ f g ] 是可测集．
{ x [a, b] | f ( x ) c }
必定是下述三种情况之一：区间、单点集或空集． 从而可知
{ x [a, b] | f ( x ) c }
是可测集，所以 f 是可测函数．
2019年2月4日6时6分
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定义 2 设f 在 E R 上有定义，x0 ∈E ，若对任给 ε> 0，存在 δ> 0，使得当 x ∈ U(x0 ,δ) E 时，
2019年2月4日6时6分
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若f 在 E 的每一点都连续, 则称 f 在 E 上连续．
4.2-4实变函数与泛函分析 可测函数
进一步 f(x)在
E ( E E ) ( En )
n 1
上可测。
第四章 可测函数
第四节 可测函数的收敛性 依测度收敛
子列 Riesz定理
f n f a.e.于E
叶果洛夫 逆定理
叶果洛夫定理 mE<+∞
Lebesgue定理
mE<+∞ f n f于E
子列
f n f a.u.于E
1 n
， 存在闭集
En E
1 m ( E E ) 使 且 n n f(x)在En 连续，当
令E En， 然 f(x)在 En上可测， n1
从而m( E E) 0
则m( E E) m( E En ) 1 n 0(n )
从而 f(x)在 E E 上可测，
若f n f a.e.于E ，则f n f 于E
Riesz定理
若 f n f于E 于E,则必有{fn}的子列 {fnk} ，使得 f nk f a.e.于E
子列 Riesz定理
f n f a.e.于E
叶果洛夫 逆定理 叶果洛夫定理 mE<+∞
Lebesgue定理
mE<+∞
f n f于E
1
一致收敛是函数列很重要的性质, 能保证极限过程和一些运 算的可交换性。但一般而言，收敛的函数列不一定一致收敛, 然而是基本上(a.e.)一致收敛的（叶果洛夫定理） 。
几乎处处收敛与一致收敛（叶果洛夫定理）
Th:设mE<+∞，fn在E上可测，f几乎处处有限，
若f n f a.e.于E ，则fn在E上a.e.一致收敛于f.
(0195)《实变函数》复习大纲、样题及
（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。
即或为有限集或为可数集。
（3）可数个可数集的并集是可数集。
（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。
3、常见的可数集：有理数及其无限子集。
三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。
2、掌握集之间的并、交、差、余运算。
3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。
4、理解集列的收敛、单调集列的概念。
5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。
7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。
五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。
即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。
我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。
第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。
二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。
2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。
3、开集、闭集具有对偶性。
4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。
实变函数与泛函分析要点
实变函数与泛函分析概要之蔡仲巾千创作第一章集合基本要求：1、理解集合的包括、子集、相等的概念和包括的性质.2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质.3、会求已知集合的并、交、差、余集.4、了解对等的概念及性质.5、掌握可数集合的概念和性质.6、会判断己知集合是否是可数集.7、理解基数、不成数集合、连续基数的概念.8、了解半序集和Zorn引理.第二章点集基本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念.2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念.掌握聚点的性质.3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质.4、会求己知集合的开集和导集.5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质, 掌握一批例子.6、会判断一个集合是非是开（闭）集, 完备集.7、了解Peano曲线概念.主要知识点：一、基本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原则：P0是E的聚点⇔ P0的任一邻域内, 至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn}, 使P n→P0 （n→∞）2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A⊂B, 则A་⊂B་, ·Ａ⊂·Ｂ,－Ａ⊂－Ｂ.T3：（A∪B）′=A′∪B′.3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）T1：对任何E⊂Rⁿ, Ė是开集, E´和―Ｅ都是闭集.（Ė称为开核, ―Ｅ称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集, 则CE是闭集；设E是闭集, 则CE是开集.T3：任意多个开集之和仍是开集, 有限多个开集之交仍是开集. T4：任意多个闭集之交仍是闭集, 有限个闭集之和仍是闭集.T5：（Heine-Borel 有限覆盖定理）设F 是一个有界闭集, ℳ 是一开集族{Ui}i єI 它覆盖了F （即F с∪ｉєＩUi ）, 则 ℳ 中一定存在有限多个开集U1, U2…Um, 它们同样覆盖了F （即F ⊂ｍ∪ Ui ）（i єI ）4、 开（闭）集类、完备集类.开集类：R ⁿ, Φ, 开区间, 邻域、Ė、P о闭集类：R ⁿ, Φ, 闭区间, 有限集, E ΄、E 、P完备集类：R ⁿ, Φ, 闭区间、P二、基本方法：1、判断五种点的界说；2、利用性质定理, 判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明.第三章 测度论 基本要求：1、 理解外测度的概念及其有关性质.2、 掌握要测集的概念及其有关性质.3、 掌握零测度集的概念及性质.4、 熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集, 掌握一批可测集的例子.5、 会利用本章知识计算一些集合的测度.6、 掌握“判断集合可测性”的方法, 会进行有关可测集的证明. 要点归纳：外测度：①界说：E ⊂R ⁿ Ii （开区间）∞∪ Ii כE m*（E ）=inf ∑ｉ│Ii │②性质：(1) 0≤m*E ≤+∞（非负）（2）若A сB 则m*A ≤ m*B （单调性）（3）m* （∞∪Ai ）≤∞∑m*Ai （次可列可加性）③可测集：E ⊂R ⁿ 对任意的T єR ⁿ有：m*（T ）= m*（T ∩E ）+ m*（T ∩CE ）称E 为可测集, 记为mE 其性质：1）T1：E 可测⇔∀ A ⊂E B ⊂CE 使m*（A ∪B ）= m*A+ m*B2）T2：E 可测⇔CE 可测④运算性质：设S 1、S 2可测⇒S 1∪S 2可测（T3）；设S 1、S 2可测⇒S 1∩S 2可测 （T4）；设S 1、S 2可测⇒S 1-S 2可测 （T5）.⑤S1、S2…Sn 可测⇒∪Si可测（推论3）∩Si可测（T7）⑥S1、S2…Sn…可测, S i∩S j=φ⇒∪S i可测m(∪S i)= ∑m(S i)(T6)⑦S i递增,S1⊂S2⊂S3⊂…⇒lim(∪S i)=lim mS i=Ms(T8)⑧S i递降可测, S1כS2כS3כ…当mS1<+∞⇒limm(∩S i)=lim mSn (T9)⑨可测集类:1)零测度集:可数集、可列点集、Q、[0, 1] ∩Q、Ф、P零测度集的子集是~, 有限个、可数个零测度集之并是~.2）区间是可测集 mI=│I│ 3）开集、闭集；4）Borel集界说, 设G可表为一列开集的交集, 且称G为Gδ型集如[-1, 1]；设F可表为一列闭集之并, 则称为Fσ型集, 如[0, 1]Borel集界说：从开集动身, 用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集（不超越可数次）的集合.T6：设E是任一可测集, 存在Gδ集, 使E⊂G, 且m（G-E）=0T7：设E是任一可测集, 存在Gσ集, 使F⊂E, 且m（F-E）=0可测集是存在的.第四章可测函数基本要求：1、掌握可测函数的概念和主要性质.2、掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立（几乎处处相等、几乎处处有限、几乎处处收敛…）的概念.3、掌握一批可测函数的例子.4、掌握判断函数可测性的方法, 会进行关于可测函数的证明.5、理解叶果洛夫定理和鲁金定理.6、了解依测度收敛的概念及其性质.7、理解三种收敛之间的关系.(一)基本概念1可测函数：ƒ是界说在可测集E Rⁿ上的实函数, 任意的α∈RE[ƒ>α]是可测集, 称ƒ（x）是E上的可测函数ƒ可测⇔任意的α∈R E[ƒ≧α]是可测集⇔任意的α∈R E[ƒ<α]是可测集⇔任意的α∈R E[ƒ≦α]是可测集⇔任意的α, β∈R E[α≤ƒ<β]是可测集 （ │ƒ│<+∞）几乎处处成立2连续函数、简单函数3依测度收敛、收敛 、一致收敛（二）基本结论：可测函数的性质（8个定理）（1） 充要条件（T 1）4 个等价条件（2） 集合分解T 3（2）, ƒ在Ei 之并S ∪E i 上, 且在Ei 上可测=>ƒ在S ∪E i 上可测（3） （四则运算）ƒ , g 在E 上可测ƒ+g, ƒg , │ƒ│, 1/ ƒ在E 上可测.（4） 极限运算 { ƒn }是可测函数列, 则μ=inf ƒn λ（x ）=sup ƒn 可测（T5）⇒F=lim ƒn G=──lim ƒn 可测（5） 与简单函数的关系：ƒ在E 上可测 ⇒ƒ总可以表成一列简单函数{φn }的极限函数 ƒ=lim n φn , 而且可以办到│φ1│≤│φ2│≤│φ3│≤…2.ЕгopO в定理：mE<+∞ƒn 是E 上a .e 于一个a .e 有限的函数ƒ的可测函数 ⇒ 对任意的δ>0 存在子集E δ⊂E 使得ƒn 在E δ上一致收敛且m （E-E δ）<δ3Лузин定理：ƒ是E 上a.e 有限可测函数,任意δ>0 ∃闭子集E δ⊂E 使得ƒ在E δ上连续 且m （E-E δ）<δ即在E 上a.e 有限的可测函数是：“基本上连续”的函数.4可测函数类：连续函数（T2）、简单函数、R 上单调函⇒f于列;fn ⇒f(x) 在此mE<+∞条件下,可见测度收敛弱于a.e收敛弥补定理(见复旦§3.2 T5) mE<+∞,fn 是E 上可测函数列fn ⇒f ⇔{fn} 的（任何子列）∀fn i , 总可以找到子子列（∃） fn ij →三、基本方法 ：1判函数可测（1） 集合判别法, 任意的a ∊R E[f>a] 是可测集（2） 集合分解法, E=∪E i E i ∩E j =Ф f 在E i 上可测（3） 函数分解法, f 可表为若干函数的运算时（4） 几乎处处相等的函数具有相同的可测性（§1, T 8）（5） 可测函数类2判断三种函数之间的关系第五章 积分论 基本要求：1、 了解可测分划、年夜（小）和、上（下）积分、有界函数L 可积和L 积分的概念.2、 掌握有界函数L 积分的性质.3、 理解非负函数L 积分与L 可积的概念.4、 理解一般函数的L 积分确定、L 积分与L 可积的概念.5、 掌握一般函数的L 积分的性质.6、 掌握L 积分极限定理.7、 弄清L 积分与R 积分之间的关系.8、 熟练掌握计算L 积分的方法.9、 会利用L 积分极限定理进行有关问题的证明.10、了解有界变差函数的概念及其主要性质.11、 了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质.Lebesgue 积分1、 Riemann 积分 分割、作和、取确界、求极限.2、 Lebesgue 积分界说1：E=ｎ∪Ei,各Ei 互不相交, 可测, 则称{E i }为E 的一个分划, 记作D={E i }界说2：设f 是界说在E ⊂R ⁿ（mE <∞）上的有界函数, D={E i }令B і=ｓｕ ｐｘєＥｉf （x ） bi=ｉｎ ｆｘєＥｉf （x ）年夜和S（D, f）=∞∑BimEi = S（D, f）小和ş（D, f）=∞∑bimEi=ş（D, f）ş（D, f）≤S（D, f）界说3：设f是界说在E⊂Rⁿ（mE<∞）上的有界函数上积分：–∫Ｅf（x）dx=inf{ S（D, f）}下积分：∫–Ｅf（x）dx=sup ş（D, f）若上下积分相等, 则称f 在E上可积, 其积分值叫做L积分值, 记（L）∫Ef（x）dxT1：设 f是界说在E⊂R q（mE<∞）上的有界函数, 则f在E上L 可积‹═›任意的ε＞ 0S（D, f）- ş（D, f）＜εT2：f在E上L可积⇔f在E上可测（*）对有界函数而言, L可积⇔可测T3：f, g有界, 在E上可测, f±g, fg, f/g, │f│可积T4：f在[a, b]上R可积═›L可积, 且值相等*L积分的性质：T-1（1）：f在E上L可积, 则在E的可测子集上也L可积；反之,E=E1∪E2 E1∩E2=φ E1、E2可测, 若f在E i上L可积, 则f在E上可积∫Efdx= ∫E1fdx+ ∫E2fdx （积分的可加性）（2）f, g 在E上有界可测∫E（f+g）dx=∫Efdx+∫Egdx （3）任意cєR ∫Ecfdx=c∫Efdx（4）f, g在E上L可积, 且f≤g 则∫Efdx≤∫Egdx特别地, b≤f≤B ∫Efdx є[bmE, BmE]推论1：（1）当mE=0 ∫Efdx=0（2）f=c ∫Efdx=cmE（5）f在E上可积, 则│f│可积, 且│∫Efdx│≤∫E│f│dx T-2 （1）设f在E上L可积f≥0 ∫Efdx=0 则于E （2）f在E上L可积, 则对任意的可测集A属于E使ｌｉｍｍＡ→０∫Afdx=0 （绝对连续性）则∫Efdx=∫E g dx证明思路: E=E1∪E2 E1∩E2=φ E1=E[f≠g]∫E (f- g)dx = ∫E1 +∫E2 (f- g)dx=0注:1)在零测度集上随意改变函数值,不影响积分值,甚至在E的一个零测度子集0E 上无界说亦可.2)从E 中除去或添加有限个或可数个点L 积分值不变 一般函数的积分一、 非负函数：f, E ⊂E ｑ二、 界说:f ≥0 E ⊂E ｑ mE <∞[f(x)]n={ｆｎｆ≤ｎｆ＞ｎ称[f]n 为（E 上）截断函数 性质：（1）∀ [f(x)]n 有界非负, f ≤n（2）单调 [f]1≤[f]2≤[f]3≤…（3）ｌｉｍｎ→∞[f]n=f （x ） 界说1：设f 为非负（于E ）可测（mE <∞）称∫Efdx =∫E ｌｉｍｎ→∞[f]nd x （若存在含无穷年夜）为f 在E 上的L 积分当∫E ｌｉｍｎ→∞[f]nd x 为有限时, 称f 为在E 上的非负可积函数注：①非负可积一定存在分② L 积分三、 设f 在E （mE<+∞）上可测, f ＋ f － 在E 上非负可测, 则│f │可测∫Ef ＋ dx ∫Ef －dx 存在 f= f ＋- f －∫Ef dx=∫Ef ＋ dx-∫Ef －dx界说 2：设f 在E （mE<+∞）上可测, 若∫Ef ＋ dx 和∫Ef －dx 分歧时为+∞则称f 在E 上积分确定当∫E f dx<+∞时, 则称f 在E 上L 可积注：①f 可测 f 可积②有界函数 −←+f f mE<+∞L 积分的性质：定理1-（1）：若 mE=0, 则 ∫E f dx=0（2）：f 在E 上可积⇒mE[f=+∞]=0 f 有限a .e于E同（R ）（3）：f 在E 上积分确定⇒ f 在可测子集E 1⊂E 上积分确定12E E E fdx fdx fdx=-⎰⎰⎰ E=E1∪E2(4):f 在E 上积分确定,f=g a .e 于E 则f,g 的积分确定且相等几乎处处相等的函数具有相同的可积性(值相等)同(R)(5):f,g 在E 上非负可测⇒∫E (f+g) dx=∫E f dx+∫E fgdx 同(R)(6): f,g 在E 上积分确定f ≤g ⇒∫E f dx ≤∫E fgdx L 可积性质定理2:有界可积函数性质仍成立(5条)(略)积分极限定理T-1 L 控制收敛定理设1）{fn}是E 上一列可测函数2）│fn │≤f （x ） f 为L 可积函数3）fn ⇒f （fn →f a.e 于E ）则f 是E 上L 可积函数,且ｌｉｍｎ→∞∫E fnd x=∫E fd x L 有界收敛定理 设1）{n f }是E 上一列可测函数, mE<+∞2）│n f │≤K （常数）3）n f ⇒f （n f →f a.e 于E ）则f 是E 上L 可积函数,且ｌｉｍｎ→∞∫E n f dx=∫E f dx T-2(Levi)设{n f }是E 上一列非负可测函数,n f ≤1n f +则ｌｉｍｎ→∞∫E n f dx=∫E ｌｉｍｎ→∞n f dx T-3设{n f }是E 上一列非负可测函数,则∫E ∑∞=1n n f ndx=∑∞=1n ∫E n f dx (逐项积分定理) T-4(积分的可数可加性)f 在可测集E ⊂E ｑ 上的积分确定,且E=∞∪Ei其中E i 为互不交的可测集, 则 f dx=∞∑∫E i f dx有界变差函数分划:T:a=x0 <x1<x2<…<xn=b 若E{∑│()if x-1()if x-│}为界则称f在[a,b]上是有界变差函数 ,上确界称为全变差,记V ba（f）=sup∑=ni1│f（xi）-f（xi-1）│有限闭区间上满足Lipschtz条件的f是有界变差有限闭区间上单调有限函数是有界变差V ba（f）=│f（b）-f（a）│T-2性质：1）()()b c ba a cf fV V V=+（f）可加性2）f在[a,b]上是有界变差⇒f有界3）f, g有界变差⇒f±g, f g有界变差T-3（Jordan分解）f∈V[a, b] ⇔f可分解为两个有限增函数之差有界变差函数不连续点至多可列个, f∈V[a, b],V ba（f）=0=>f=constT-4(Lebesgue)设f∈V[a, b],则1)在[a, b]上几乎处处存在导数f'(x)2)f'(x)在[a, b]上可积3)若f是增函数,有∫ｂａ f'(x)dx≤f(b)-f(a)不定积分界说1:设f在[a, b]上L可积, f∈L[a, b]∫[a,x]f dx称为f在[a, b]上的不定积分界说2:设F(x) 是[a, b]上的有界函数,∀ε>0 , ∃δ>0 [a i,b i]不交,只要∑=ni1( bi- ai)< δ就有∑=ni1│F(bi)-F(ai)│<ε,则称f 为[a, b]上的绝对连续函数(全连续函数)定理1：f∈[a, b] F（x）=∫[a,x]f dx+C为绝对连续函数绝对连续⇒一致连续且有界变差f满足Lipschtz条件⇒f全连续T2：F（x）为[a, b]上绝对连续函数, F'（x）=0 a.e于[a, b]则F（x）=constT3:f∈绝对连续函数F（x） ,使F'（x）= （x）于[a, b](只需取F（x）=∫[a,x]f dx)T4: f是[a, b]上绝对连续函数,则几乎处处有界说的F'（x）在[a, b]上可积, 且 F（x）= F（a）+ ∫[a,x]f dx即F（x）总是[a, b]上可积函数的不定积分.F是[a, b]上绝对连续函数⇔F是一可积函数的不定积分对绝对连续函数,微分再积分也还原(至多差一常数)T5:(分部积分)f在[a, b]上绝对连续,λ(x)在[a, b]上可积且 g(x)-g(a)=⎰xaλ(x)dx 则有∫ｂａf（x）λ(x)dx=f（x）λ(x)│ｂａ-∫ｂａf'（x）λ(x)dx弥补：（见南京年夜学教材）fє V[a, b], 则f（x）=φ（x）+r（x）+s（x）φ（x）为全连续；r΄（x）为奇异函数；s（x）为跳跃函数f（x）=p（x）-n（x）+f（a）p（x）为正变分；n（x）为负变分.第六章怀抱空间和赋范线性空间基本要求：1、熟练掌握怀抱空间的界说, 理解一些怀抱空间的例子.2、掌握可分空间的概念, 弄清几个罕见空间的可分性.3、了解连续映照的概念及等价条件.4、掌握完备怀抱空间、柯西点列的概念, 弄清一些罕见空间的完备性.5、掌握范数、线性赋范空间的有关概念, 一些罕见的空间范数界说.6、掌握巴拿赫空间的界说及一些罕见的例子.7、了解有限维线性赋范空间的主要性质.怀抱空间1、距离界说：1） d（x, y）≥0 当 x=y 时, d（x, y）=02）d（x, y）≤d（x, z）+d（z, y）三点不等式等价界说, 距离公理：1）d（x, y）≥0非负性；2）d（x, y）= d（x, y）对称性；3）d（x, y）≤ d（x, z）+ d（z, y）三点不等式Rｎ中罕见的三种距离：d（x, y）=[ｎΣ（ξi-ηi）²]½d（x, y）=ｎΣ│ξi-ηi│d（x, y）=max│ξi-ηi│2、可分性：界说：X是怀抱空间, N和M是X的两个子集, 如果N⊂M,N⊂M, 称集M在集N中浓密, 当N=X时, 称M为X的一个浓密子集, 如果X有一个可列的浓密子集, 则称X为可分空间.Rｎ是可分空间：坐标为有理点的全体是可列浓密子集.离散距离空间X可分充要条件X是可列集.事实上X中无浓密真子集, X中唯一的浓密只有X自己自己.反例, l∞为不成份, 按d（x, y）=sup│ξi-ηi│3、连续映照界说：设X=（X, d） Y=（Y, d）是两个怀抱空间, T是X到Y中的映照, xοєX, 如果对任意的ε>0, 存在δ>0 使d（x, xο）<δ时, d（Tx, Txο）<ε则称T在xο连续用邻域描述：对Txο的ε-邻域N, 存在xο的某个δ—邻域Nο, 使T Nο⊂NT-1：设T是怀抱空间X=（X, d）到Y=（Y, d）中映照, T在xο连续⇔当x n→xο时, 有Tx n→Txο界说2：T在X的每一点连续, 则称T是X上的连续映照, 称集合{x∣x∈X, Tx⊂M}MсY 为集合M在映照T下的像, 简记为T－１MT-2：怀抱空间X到Y中的映照T是X上连续映照⇔Y中任意开集M的原像T－１M是X中的开集（利用T－１（CM）=C （T－１M）, 可将定理中开集改成闭集）4、柯西点列界说：X=（X, d）是怀抱空间, {xn}∞ｎ＝１是Ｘ中的点列, 对∀ε>0∃Ｎ（ε）, 当ｎ, ｍ>Ｎ时, 必有ｄ（xn, xｍ）<ε则称{xn}∞ｎ＝１是Ｘ中的柯西 （Cauchy ）点列或基本点列, 如果（X, d ）中每一个柯西点列都收敛, 则称（X, d ）是完备的怀抱空间．有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备, 而l ∞是完备的怀抱空间．怀抱空间中任一收敛点列是柯西点列；反之, 怀抱空间的柯西点列未必收敛．Ｔ－１：完备怀抱空间的子空间Ｍ, 是完备空间的 <=> Ｍ是Ｘ中的闭子空间Ｐ［ａ, ｂ］（［ａ, ｂ］上实系数多项式全体作为Ｃ［ａ,ｂ］的子空间）是不完备的怀抱空间．５、等距同构界说：设（X, d ）, （～Ｘ, ～ ｄ）是两个怀抱空间, 如果存在从X 到～Ｘ上的保距映照T, 则称（X, d ）与（～Ｘ, ～ ｄ）等距同构, 此时T 称为～Ｘ上的等距同构映照T ：（怀抱空间完备化定理）设（X, d ）是怀抱空间, 那么一定存在完备怀抱空间（～Ｘ, ～ ｄ） 使（X, d ）与（～Ｘ, ～ ｄ）的某个浓密子空间W 等距同构, 而且～Ｘ在等距同构下是唯一的.即若（ˆX , ˆd ）也是一个完备的怀抱空间, 且X 与ˆX的某个浓密子空间等距同构, 则（～Ｘ, ～ ｄ）与（ˆX , ˆd ）等距同构. T ´：设X=（X, d ）是怀抱空间, 那么存在唯一的完备怀抱空间～Ｘ=（～Ｘ, ～ ｄ）, 使X 为～Ｘ的浓密子空间6、压缩映照界说：X 是怀抱空间, T 是X 到X 的映照, 如果存在一个数α,0<α<1, 使对所有的x, y єX 成立d （Tx, Ty ）≤α d （x, y ） 则称T 为压缩映照T-1（压缩映照定理）设X 是完备的怀抱空间, T 是X 上的压缩映照, 那么T 有且仅有一个不动点（方程Tx=x, 有且只有一个解）注：本定理在方程的解的存在性和唯一性证明中起重要作用.T-2设f (,)x y 在带状域：a ≤x ≤b -∞‹y ‹+∞ 中处处连续, 且处处有关于y 的偏导y f (,)x y , 如果还存在常数m 和M, 满足0＜m ＜y f '(,)x y ≤M, m <M 则方程f (,)x y =0在区间[a, b]上必有唯一的连续函数y =φ（x ）作为解： f （x, φ（x ））≡0 x є [a, b]证明过程作映照A ：A φ=φ-M 1f （x, φ（x ））7、线性空间X 是线性空间, Y 是X 的非空子集, 任意x, y єY 及任意αєR=>x+y єY αx єYY 是X 的子空间, X 和{0}是平凡子空间. 线性相关, 无关概念M 是X 的非空子集, M 中任意有限个向量线性组合全体记为spanM 称为由M 张成的包界说：X 是线性空间, M 是X 中线性无关子集, 若spanM=X, 则称M 的基数为X 的维数, 记为dimX, M 称为X 的一组基, M 的基数是有限时, 则称为有限维线性空间, 如果X 只含有零元素, 则称X 为0维线性空间.8、线性赋范空间界说：设X 为实（复）线性空间, 如果对每一个向量x єX, 有一个确定的实数, 记为║x ║ 与之对应, 而且满足：i ║x ║≥0 且║x ║=0 <=>x=0ii ║αx ║=α║x ║其中α为任意实（复）数iii ║x+y ║≤║x ║+║y ║ x, y єX则称║x ║为向量x 的范数, 称X 按范数║x ║成为线性赋范空间{xn}∞ｎ＝１是Ｘ中的点列, 如果存在x єX, 使║xn -x ║→0 （n →∞）则称{xn}∞ｎ＝１依范数收敛于x, 记为xn →x （n →∞）或ｌｉｍｎ→∞xn= x令d （x, y ）=║x-y ║ 是由范数导出的距离, 由此观之线性贱范空间实际上是一种特殊的怀抱空间. 若d 由║·║导出, 对任意的αєR, x, y єX, 有：（a ） d （x-y, 0）= d （x, y ）； （b ）d （αx, 0）=|α| d （x, 0）反之, X 是线空间, d 是距离, 满足（a ）和（b ）, 那么一定可以在X 上界说范数║x ║使d 是由范数导出的距离, ║x ║=d （x, 0）║x║是x的连续函数, 事实上, 任意x, yєX, 由范数条件2）和3）易证| ║y║-║x║|≤║y-x║, 所以, 当║xn -x║→0时║xn║→║x║完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间（Banach Spaces）1）Rｎ║x║=（ｎΣ|ξi| ²）½构成Banach空间2）C[a, b] ║x║=sup|x（t）| 构成Banach空间3）∞ℓ:║x║=sup|ξi|构成Banach空间4）L ｐ[a, b] ║f║p=（∫ｂａ|f（x）|ｐdx）1/p构成Banach空间 p≥1证明需用到引理1 和2引理1：（Hölder不等式）设p>1, 1/p+1/q=1, fє Lｐ[a, b] g є Lｑ[a, b]那么f, g在[a, b]上L可积且成立：∫ｂａ|f（x）g（x）|dx≤║f║p║g║q引理2：（Minkowsky不等式）设p≥1, f, gє Lｐ[a, b], 那么f+gє Lｐ[a, b] 且成立：║f+g║p≤║f║p+║g║pT-2：Lｐ[a, b] （p≥1）是Banach空间5）lｐ║x║=（ｎΣ|ξi|ｐ）1/p是Banach空间T-3设X是n维线性赋范空间, （e1, e2, …en）是X的一组基,则存在常数M和Mˊ使对一切 x=ｎΣξi e i成立M║x║≤(ｎΣ|ξi| ²）½≤M′║x║推论1:设在有限维线性空间上,界说了范数║x║和║x║1那么必存在常数M和Mˊ使得M║x║≤║x║1≤M′║x║界说2:设R是线性空间,║x║1和║x║2是R上两个范数,如果存在正数c1,c2,使对一切xєR,成立: c1║x║2≤║x║1≤c2║x ║2则称(R, ║x║1)和(R, ║x║2)是拓扑同构的推论2:任何有限维赋范线性空间都和欧氏空间拓扑同构,相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构.第七章线性赋范空间和线性连续泛函基本要求：1、理解线性算子、线性泛函的概念.2、掌握线性有界算子的概念和有关性质, 以及二者这间的关系.3、了解算子的范数的概念, 熟悉一些线性有界算子的例子, 并知道无界算子是存在的.4、了解线性有界算子空间的概念和性质.5、掌握共轭空间的概念和性质, 知道一些特殊空间的共轭空间.算子界说：线性赋范空间X到Y的映照T被称为算子, 如果Y是数域, 则被称为泛函线性算子和线性泛函 T1：设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间, D(Đ)是X的线性子空间, T为D到Y中的映照, 如果对任意的x, y ∈D , 及数α, 成立：T（x+y）=Tx+Ty （1） T（αx）=αTx （2）则称T为D到Y中的线性算子, 其中D称为T的界说域, 记为D （T）, T D称为T的值域记为R(T), 当T取值于实（或复）数域时, 称T为实（或复）线性泛函几种罕见的线性泛函： 1、相似算子Tx=αx当α=1时, 恒等算子, 零算子；2、P[0, 1]是[0, 1]上的多项式全体, 界说微分算子, 若t0∈[0, 1],对∀x∊P[0, 1], 界说f（x）=x´（t0）则f是P[0, 1]上的线性泛函.3、积分算子 x∈C[a, b] Tx（t）=∫ｔａx()τdτf x=∫ｂａx()τdτ则f是由积分线性性质知T为线性泛函, 若令()C[a, b]中的线性泛函4、乘法算子 Tx（t）=tx（t）5、Rｎ中的线性变换是线性算子线性有界算子界说：设X和Y是两个线性赋范空间, T是X的线性子空间D（T）到Y中线性算子, 如果存在常数c, 使对所有x∈D（T）, 有：║Tx║≤c║x║, 则称T是D（T）到Y中的线性有界算子, 当D（T）=X时, 称T为X到Y中的线性有界算子,简称为有界算子.否则, 称为无界算子.T-1：设T是线必性赋范空间X到线性赋范空间Y中的线性算子, 则T为有界的充要条件是T是X 上的连续算子.T-2：设X是线性赋范空间, f是X上线性泛函, f是X上连续泛函的⇔f的零空间ℕ（f）是X中的闭子空间.界说：T为线性赋范空间X的子空间D（T）到线性赋范空间Y中线性算子, 称║Tx║=s u p ║Tx║/║x║为算子T在D（T）上的范数x≠0,x∈D（T）引理：T是D（T）上线性有界算子, 成立║T║=s u p ║Tx║/║x║=║Tx║=s u p ║Tx║/║x║x∈D（T）,║x║=1 x∈D（T）,║x║≤1 线性算子空间和共轭空间X和Y是两个线性赋范空间,以ℬ(X→ℬ(X→Y)时,α是所讨论的数域中的数时,界说ℬ(X→Y)中加法运算如下:对任意的x∈X,令(A+B)x=Ax+Bx(αA)x=αAx则ℬ(X→Y)依照如上加法和数乘运算和算子范数构成线性赋范空间.T:当Y是Banach空间时,ℬ(X→Y)也是Banach空间一般地,设X是线性赋范空间,如果在X中界说了两个向量的乘积,而且满足║xy║≦║x║║y║ x,y∈X 则称X为赋范代数,当X完备时,则称X为Banach代数,由T知,当X完备时,ℬ(X→Y)是Banach代数.共轭空间:设X是线性赋范空间,令X′暗示X上线性连续泛函全体所成的空间,称X为共轭空间.T:任何线性赋范空间的共轭空间是Banach空间.界说:设X和Y是两个线性赋范空间,T是X 到Y中的线性算子,而且对所有的x∈X,有║Tx║=║x║则称T是X 到Y中的保距算子, 如果Ｔ又是映照到Ｙ上的, 则称Ｔ是同构映照, 此时称Ｘ与Ｙ同构．第八章内积空间和希乐伯特空间基本要求：1、掌握内积空间, 希乐伯特空间的概念, 熟悉一些具体例子.2、理解内积与其诱导范数之间的关系.3、理解许瓦兹不等式和平行四边形法则.4、了解凸集的概念, 掌握正交的有关概念.5、掌握直交补空间的界说与性质.6、理解投影算子的概念, 掌握投影算子的性质.内积空间和希尔伯特空间界说：设Ｘ是复线性空间, 如果对Ｘ中任何两个向量ｘ,ｙ, 有一复数‹ｘ, ｙ›与之对应, 而且满足下列条件:ⅰ≺x,y ≻≥0 ≺ｘ, ｙ≻=0当且仅当x=0,x∈X;ⅱ≺αｘ+βｙ,z≻=α≺ｘ, z≻+β≺ｙ,z≺ x y z∈X,αβ∈C(复数)ⅲ≺ｘ, ｙ≻=≺ｙ,x≻ x,y ∈X则称≺ｘ, ｙ≻为x与y的内积,X为内积空间内积引出的范数‖x‖=√‹ｘ, ｘ›引理(Schwarz不等式)设X按内积≺ｘ, ｙ≻成为内积空间,则对X 中任意向量x,y,成立不等式∣≺ｘ, ｙ≻∣≤‖x‖‖y‖当且仅当x与y线性相关时取等号.易得出:范数不等式‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖内积导出的范数‖x‖构成线性赋空间,若完备,则称Hilbert空间.满足平行四边形法则. ‖x+y‖２+‖x-y‖２=2（‖x‖２+‖y‖２）（内积空间范数的特征性质）如 L２[a, b] l２是Hilbert空间, 当p≠2时 l p不成为内积空间C[a, b]按范数‖x‖=ｍａｘａ≤ｔ≤ｂ∣x（t）∣不成为内积空间极化恒等式（内积与范数关系式）（内积可用范数暗示）﹤x, y﹥=1/4（‖x+y‖２-‖x-y‖２+i‖x+iy‖２-i‖x-iy‖２）当X 为实内积空间时, ﹤x, y﹥=1/4（‖x+y‖２-‖x-y‖２）由Schwarz不等式, 立得﹤xn, yn﹥→﹤x, y﹥界说：设X是怀抱空间, M是X的非空子集, x是X中一点, 称infy∈M d（x, y）为点x到M的距离, 记作d（x, M）在线性赋范空间中 d（x, M）=infy∈M‖x-y‖设X是线性空间, x, y是X 中的两点, 称集合{z=αx+（1-α）y；0≦α≦1} 为X中联结点x和y的线段, 记为[x, y], 如果M是X 的子集, 对M中任意两点x, y必有[x, y]⊂M则称M为X中的凸集定理：（极小化定理）设Ｘ是内积空间, Ｍ是Ｘ中非空凸集, 而且按Ｘ中由内积导出的距离完备, 那么, 对每一个x∈X,存在唯一的y∈M, 使‖x-y‖= d（x, M）推论1：设X是内积空间, M是X 的完备子空间, 则对每个x∈X, 存在唯一的y∈M, 使‖x-y‖= d（x, M）（应用于微方、现代控制论、迫近论）界说：设X是内积空间, x, y是X中两向量, 如果﹤x, y﹥=0 则称垂直或正交, 记为x⊥y如果X的子集A中每个向量与子集B中每个向量正交, A⊥B x⊥y ⇒‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2引理1：设X是内积空间, M是X的线性子空间, x∈X, 若存在y∈M使‖x-y‖= d（x, M）, 那么x-y⊥M界说2：直接和：Y和Z是X的子空间, 对每一个xєX, 存在唯一的yЄY, Zєz 使x=y+z, 则称x为y和z的直接和.y和z称为一对互补子空间.Z称为Y的代数补子空间. 易知互补子空间必线性无关.界说3：设X 是内积空间, M是X 的子集, 称集合M⊥={xєM│x⊥M}为M在X 中直交补 M⊥是X 中闭线性子空间定理2：设Y是Hilbert空间的闭子空间, 那么成立 X=Y+Y⊥直接和记作：X=Y⊕Z x=y+z, y是x在Y中的直交投影.投影算子 Px=y 具有性质：ⅰ①P是X到Y上的线性有界算子, 且当Y≠{0}时, ‖P‖=1②PX=Y, PY=Y, PY┴=0③P2=P P是投影算子⇔ P=P*=P2设X是内积空间, M是X的子集, 记（M⊥）⊥=M⊥⊥显然有 M⊂M⊥⊥反之有：引理2：设Y是Hilbert空间X的闭子空间, 则成立 Y=Y⊥⊥引理3：设M是Hilbert空间X中非空子集, 则M是线性包SpanM 在X中浓密的充要条件是M⊥={0}界说4：设M是内积空间中不含零的子集, 若M中向量两两直交, 称M为X中直交系, 又若M 中向量范数为1, 则称M为X 中的就范直交系.直交系的基赋性质：①‖x1+x2+...+x n‖2=‖x1‖2+‖x2‖2+...‖x n‖2②直交系M 是X 中线性无关子集界说5:设X 是线性赋范空间,x i , i=1,2,...是X 中一列向量,α1,α2,...αn 是一列数,作形式级数∞ ∑αi x i 称S n =n ∑αi x i 为n项部份和若存在x єX,使S n →x 则称级数收敛,并称x 为其和,记作x=∑∞=1i αi x i界说6:设M 为内积空间X 中就范直交系, x єX,称数集 {﹤x, e ﹥│e єM}为向量x 关于就范直交系M 的富里叶系数集,而称﹤x, e ﹥为x 关于e 的Fourier 系数引理:设X 是内积空间,M 是X 中就范直交系,任取M 中有限个向量e 1,e 2,...e n 那么:(1) ‖x-n ∑﹤x, e i ﹥e i ‖2=‖x ‖-n ∑│﹤x, e i ﹥│2≥0 (2) ‖x-n ∑αi e i ‖≥‖x-n ∑﹤x, e i ﹥e i ‖≥其中αi 为任意的n个数定理(Bassel 不等式)设{e k }是内积空间X 中的有限或可列就范直交系,那么对每一个x єX,成立不等式∞ ∑│﹤x, e i ﹥│2≤‖x ‖2 若上式等号成立,则称为Parseval 等式引理：设{ e k }为Hilbert 空间X 中可列就范直交系, 那么成立：（1）∞ ∑αi e i 收敛的充要条件是∞ ∑│αi │2收敛（2）若x=∞ ∑αi e i 则αi =﹤x, e i ﹥ i=1,2,...故x=∞ ∑﹤x,e i ﹥e i(3) 对任意的x єX,级数∞ ∑﹤x, e i ﹥e i 收敛推论1: 设{ e k }是X 中可列就范直交系, 则对任意的x єX , lim n →∞﹤x, e n ﹥=0界说:设M 是内积空间X 的就范直交系,如果 spanM=X 则称M 是X 中的完全就范直交系.定理:设M 是Hilbert 空间X 中就范直交系, M 完全的充要条件是M ┴={0}定理:M 是Hilbert 空间X 中完全就范直交系的充要条件是, 对所有x єX,Parseval 等式成立.满足定理条件的M X 中的x 可展成x=∞ ∑﹤x, e ﹥e称为向量x关于就范直交系M的Fourier展开式.推论2: (Cтeклов定理)M是Hilbert空间X中就范直交系,若Parseval等式在某个浓密子集N上成立,则M完全.引理3:设{xi}是内积空间X中有限或可列个线性无关向量,那么必有X中就范直交系{e1,e2,...},使对任何正整数n,有span{e1,e2,...e n}= span{x1,x2...x n}本定理的证明过程称为Gram-Schmidt正交化过程定理4；每个非零Hilbert空间必有完全就范直交系.界说5：设X和～Ｘ是两个内积空间, 若存在X到～Ｘ的映照T, 使对任意的x, y∈X以及数α, β, 满足T（αx+βy）=αTx+βTy‹Tx, Ty›=‹x, y›则称X和同构, 并称T为X 到～Ｘ上的同构映照定理5：两个Hilbert空间X与～Ｘ同构的充要条件是X与～Ｘ有相同的维数.推论3：任何可分的Hilbert空间必和某个Rｎ或l２同构定理（Riesz定理）设X是Hilbert空间, f是X上线性连续泛函, 那么存在唯一的z∈X, 使对每一个x∈X 有f（x）=‹x, z›而且‖f‖=‖z‖对每个y∈X令Ty=fy其中fy为X上如下界说的泛函：fy（x）=‹x, y › , x∈X显然fy是X上线性连续泛函, 由Riesz定理, T是X到X٭上的映照, X٭是X上线性连续泛函全体所成的Banach空间, 又‖Ty‖=‖y‖.易看出, 对任意的x, y∈X以及数α, β, 成立：T（αx+βy）= αTx+βTy （٭）事实上, 对任何z∈X, 有T（αx+βy）（z）=‹z, αx+βy›=αTx（z）+βTy（z）=（αTx+βTy）（z）所以（٭）成立.称满足（٭）的映照T是复共轭线性映照,Ty= fy 是X到X٭上保范共轭线性映照,称为复共轭同构映照,若存在H空间X到～Ｘ上的复共轭同构映照,则称X与～Ｘ是复共轭同构,此时将X当做～Ｘ,当X是H空间时,X=X٭,即X是自共轭的.定理：设X和Y是两个H空间, A∈ℬ(X→Y), 那么存在唯一的A٭∈ℬ(X→Y), 使对任何的x∈X, y∈Y, 成立‹ Ax, y›=‹x,创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日 A ٭y › 且‖A ‖=‖A ٭‖界说：设A 是H 空间X 到H 空间Y 中的线性有界算子, 则上定理中算子A ٭为A 的Hilbert 共轭算子, 简称共轭算子.共轭算子有下列基赋性质：①（A+B ）٭=A ٭+B ٭②（αA ）٭=α A ٭③ （A ٭）٭=A④‖AA ٭‖=‖A ٭A ‖=‖A ‖ A ٭A=0等价于A=0⑤ 当X=Y 时, （AB ）٭=B ٭A ٭界说：T 为H 空间X 到X 中的线性有界算子, 若T=T ٭, 则称T 为X 上的自伴算子；若TT ٭=T ٭T, 则称T 为X 上正常算子；若T 是X 到X 上的一对一映照, 且T ٭=T －１, 则称T 是X 上的酉算子. 引理：T 为复内积空间X 上线性有界算子, 那么T=0⇔对一切x ∈X,成立 ≺ Tx, x ≻=0定理：设T 为复H 空间X 上线性有界算子, 则T 为自伴算子的⇔对一切的x ∈X,≺ Tx, x ≻ 是实数.自伴的和与差仍为自伴, 下面有：定理：T1和T2是H 空间X 上两个自伴算子, 则T1·T2自伴的充要条件是T1·T2=T2·T1定理：设{Tn}是H 空间X 上一列自伴算子, 而且ｌｉｍｎ→∞Tn=T, 那么T 仍为X 上自伴算子.定理：设U 及V 是H 空间X 上两个酉算子, 那么（1）U 是保范算子, 即对任何x ∈X, 成立 ‖Ux ‖=‖x ‖；（2）当X ≠{0}时, ‖U ‖=1（3）U －１是酉算子；（4）UV 是酉算子；（5）若Un, n=1, 2, …是X 上一列酉算子, 且Un 收敛于有界算。
可测函数及其性质(最新版)
证明：由于
f (x 1 f ( x x) f ( x) n ) f ( x) f ' ( x) lim lim 1 x o n x n
从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f `(x)是可测函数. 利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
(4)先证f 是可测函数。（ a 0） R,
2
E[ f 2 a ] E[ f a ] E[ f a ], 所以E[ f 2 a ]是可测集。
a（<0） R, E[ f 2 a ] E , 所以E[ f 2 a ]是可测集， 1 因此f 2是可测函数。fg [( f g) 2 ( f g) 2 ], 所以fg也是 4 可测函数。
i 1
n
E ( x)
i
1 xEi 0 xE Ei
注：[0,1]上的Dirichlet函数是简单函数。
例（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 x0 E 处连续
若 0, 0, 使得f (U ( x , ） E ) U ( f ( x ), )
一般情况，a R, E[ f g a] E[ f - g +a],
由（1）知-g是可测函数，所以-g +a也是E上的可测函数。 由引理可知，E[ f - g +a]是可测集，即E[ f g a]是可测集， 因此f g是E上的可测函数。
E[ f 0] E[ f 1 / a ], a 0 (3)E[1 / f a ] E[ f 0] \ E[ f ], a 0 E[ f 0] E[ f 1 / a ], a 0
实变函数复习要点
2011实变函数复习要点第一章 集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。
2. 对等和基数及其性质。
3. 可数集合的概念及其性质。
4. 不可数集合的概念及例子。
~（二）考核要求 1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。
2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。
De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=c cA A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。
?例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。
例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。
（2）综合应用：集合的对等的证明 例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。
4. 可数集合 -（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。
（2）综合应用：可数集合的性质。
5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。
第二章 点集 （一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。
2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。
|3. 开集、闭集及其性质。
4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。
（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。
2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。
如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系?如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。
实变函数第四章第一节
E[ E[
f >a]
= ∪ E
n =1 ∞
∞
1 [ f ≥a+ ] n
E[
f ≥a]
= ( ∪ E [a≤
n =1
∞
f <a+n]
) ∪ E[
f <b]
f = +∞ ]
f ≥a]
= ∩ E
n =1
证明：首先 上可测， 证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意 ∈R 在 上可测 因为对任意a∈
E[ f 2 >a] = {
E E[ f >
a]
∪E[ f <−
a]
a<0 a≥0
再利用f(x)g(x) ={(f(x)+g(x))2 - (f(x) -g(x))2}/4即可 再利用 即可
作业： 上的可测函数,则 作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数 则f(x) -g(x) ,f(x)/g(x) 是 上的可测函数 为E上的可测函数 上的可测函数
r∈Q
从而 E[ f > a − g ] = ∪ ( E[ f > r ] ∩ E[ g > a − r ] )可测
r∈Q
类似可证： 上可测函数， 为可测集。 类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 E[ f > g ] 为可测集 是 上可测函数
若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) g(x)仍为E上的可测函数。 f(x),g(x)是 上的可测函数, g(x)仍为 仍为E
n =1 n =1
∞
( a-1/n
第四章 ,第一节 可测函数的定义及其简单性质
1可测函数定义
定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取
)，
若 a R, E[ f a] 可测，则称f(x)是E上的可测函数。
例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子 集，有限并，可数并仍为零集
Th1.可测函数的等价描述
⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则f(x)在E上可测 ( 即(1) a R, E[ f a]可测)
（2）E[ f
E[ f a] E[ f
a]
E,
a], a 0 a0
(3)E[ f
E[
f
1 a
]
E[
f
0] E[ f 1 ] a
0] \ E[ f ]
1
a0 a0
E[ f
0] E[ f
] a
a0
(4)E[ f
•
g
a]
E
\
E[
f
{(E[ f 0] • g a] E
若 lim xx0
f (x)
f (x0 )
() ( ) ( )
即 0, 0,当| x x0 | 时，有| f (x) f (x0 ) |
即 0, 0,当x U (x0, )时，有f (x) U ( f (x0 ), )
即 0, 0,使得f (U (x0, )) U ( f (x0 ), )
f(x) 在 x0 [a,b] 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
Th2 可测集E上的连续函数定为可测函数 证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
存在x的某邻域U (x,x ) 使得U(x,x ) E E[ f a]
令G
可测函数及其性质(最新版)
第一节 可测函数及其性质
一. 可测函数定义
二. 可测函数的等价描述 三. 可测函数的性质 四. 可测函数与零集的关系 五. 可测函数与简单函数的关系
一. 可测函数定义
定义1：设f(x)是可测集E上的实函数(可取
)，
若 a R, E[ f a] 可测，则称f(x)是E上的可测函数 例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。
即 0, 0,当x U ( x , )时，有f ( x) U ( f ( x ), )
0 0
即 0, 0, 使得f (U ( x , )) U ( f ( x ), )
0 0
结论：可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数 证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
f 是可测函数 E[ f a]是可测集 E[ f a] E \ E[ f a]
f是可测函数和（3）等价
1 E [ f a ] E[ f a ] n 1 n
1 ]是可测集 n E[ f a]是可测集 (1)成立 f ( x)是可测函数 E[ f a
四. 可测函数与零集的关系
1：几乎处处成立
设 是一个与集合E中点有关的命题, 如果存在 M E且mM 0, 使得 在E \ M 上恒成立, 则称
在E上几乎处处成立, 记作 a.e.于E.
例1：
| tan x | a.e.于 R
例2： [0,1] 上的狄利克雷函数 D( x) 0 a.e. 于 [0,1].
0 0
若 f 在E上每一点都连续, 则称 f 在E上连续.
对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f ( x)在x0 (a, b)处连续
实变函数讲义(中文版)
n
(Hale Waihona Puke i =1))为积分值，定义并讨论新积分的性质(即第
五章内容)。 以上所述， 既是 Lebesgue 创立新积分的原始思路， 也是传统教材介绍 Lebesgue 积分定义的普遍方法。 鉴于人们在研究可测函数时发现：可测函数的本质特征是正、负部函数的下方 图形均为可测集。结合 Riemann 积分的几何意义，使我们自然想到：与其说测度推 广了定义域的长度（面积、体积）概念后使得我门作大、小和更加灵活多样，以达 推广积分的目的，不如说由于定义域与实数域的乘积空间的面积（体积）概念的推 广,使得大量的象 Dinichni 函数那样图形极其不规则的下方图形可以求面积 （体积） 了，从而拓宽了可积范围。于是我们在本教材中采取直接规定其测度之差为积分值 （如果差存在的话）的办法，该定义简单、明了、直观。既有效地避免了分划、大 （小）和、确界概念的繁琐，又成功地回避了先在测度有限，函数有界条件下讨论 积分性质，然后推广到测度无限，函数无界的一般情形的重复、哆嗦。
n 2 n +1 k =1 n → +∞ → n 处处
UE
k
下的小
和 s(f, Tn )， 即 ∫ fdx = lim mG (Φ n , E ) = lim s( f , Tn ) 。 这与定义(R)积分的分割、 求和、
E n→∞ n→∞
取极限三大步骤基本相似；区别仅在于(R)积分直接将定义域分成区间，(L)积分可 能是通过将值域分成区间后反过来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。”不 仅是达前后呼应的目的，更重要的是展示了数学新体系形成过程中的“提出问题、 分析问题、克服障碍解决问题、最后完善方法、简化思路”数学创新过程。
1≤i ≤ n
(完整版)《实变函数》第四章可测函数
第四章可测函数(总授课时数14 学时)由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨论其性质和结构.§ 1 可测函数及其性质教学目的本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征. 本节难点可测函数与简单函数的关系.授课时数4学时1 可测函数定义定义：设f(x) 是可测集E上的实函数(可取)，若a R,E[f a]可测，则称f (x)是E 上的可测函数.2 可测函数的性质性质1零集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质2简单函数是可测函数n若E E i ( E i可测且两两不交) ，f (x) 在每个E i 上取常值c i ，则称f (x)是E上的i1简单函数；n1 x E i f(x)i 1c i E i(x) 其中E i(x)0 x E Ei注：Dirichlet 函数是简单函数性质 3 可测集E上的连续函数f (x) 必为可测函数设f (x)为E上有限实函数，称f(x)在x0 E处连续若0,0,使得f (O(x0, ) E) O(f(x0), )对比：设f (x) 为a,b 上有限实函数，f(x)在x0 (a,b)处连续若lim f(x) f (x0 ) x x0即0, 0,当|x x0 | 时，有| f (x) f (x0) |即0, 0,当x O(x0, )时，有 f (x) O( f (x0), )即0, 0,使得f(O(x0, )) O(f(x0), )f(x)在x0 [a,b] 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：任取x E f a , 则f x a, 由连续性假设知，对f (x) a, x 0, 使得f (O(x, x) E) O(f (x), ) (a, )即O(x, x) E E[f a].令G O(x, x)则G为开集，当然为可测集，x E[ f a ] x且另外G E (xE O(x, x)) E x E(O(x, x) E) E[f a]x E[ f a] x E[ f a ]所以E[f a] (x E O(x, x)) E G E ，[ f a ]故E[ f a] G E 为可测集性质 4 R中的可测子集E上的单调函数f(x) 必为可测函数。
实变函数论教案第四章
第四章 可 测 函 数为了建立新的积分,我们已经对n R 中的一般集合定义了测度概念. 在本章中我们将定义可测函数的概念，讨论可测函数的性质. 我们会看到,可测函数类是包含连续函数类的一种范围相当广泛的函数类。
这个函数类对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的. 我们还要讨论可测函数与连续函数的关系，从而进一步研究可测函数的结构。
最后研究可测函数的几种不同类型的收敛概念及其相互关系，使我们对可测函数有较深刻的理解。
§1 可测函数及其性质教学目的:使学生了解可测函数的原始定义及等价命题，掌握其运算性质。
本节重点：可测函数的定义及性质，几乎处处的概念。
在本书引言中指出，定义新的积分需要研究什么样的函数()f x ，使得对任何实数,a b ，点集{:()}x a f x b <≤都有“长度”，即都是可测集.可测函数的概念就是由此产生的。
因为本章讨论的函数可以取值±∞，所以在给出可测函数概念之前，我们要介绍有限函数的概念和包含±∞在内的实数运算的规定.设n E R ⊂，称()f x 是E 上的有限函数，是说对任意的x E ∈，函数值()f x 都是有限实数。
包含±∞在内的实数运算作如下规定：（i ）()()+∞++∞=+∞,()()-∞+-∞=-∞;（ii)对任意的有限实数a ,()a ++∞=+∞，()a +-∞=-∞;（iii ）对任意的0b >,0c <，b ⋅+∞=+∞，()b ⋅-∞=-∞，c ⋅+∞=-∞，()c ⋅-∞=+∞;（iv ）()()()()+∞⋅+∞=-∞⋅-∞=+∞，()()()()+∞⋅-∞=-∞⋅+∞=-∞。
而()()+∞-+∞，()()+∞+-∞,()()-∞--∞，()()-∞++∞，+∞+∞，+∞-∞，-∞+∞，-∞-∞，认为是没有意义的. 0()⋅±∞在一般情况下，也是不允许的.定义 4.1.1 设()f x 是定义在可测集n E R ⊂上的函数，如果对任何有限实数a ,[]{:,()}E f a x x E f x a >=∈>都是可测集,则称()f x 为定义在E 上的可测函数，或者说，()f x 在E 上可测。
4-3实变函数
鲁津定理
上几乎处处有限的可测函数， 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 ∀ε > 0, ∃闭集F ⊂ E， 为 上几乎处处有限的可测函数 使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。 且 在 上连续。 上连续 （去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数） 去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数） 即：可测函数“基本上”是连续函数 可测函数“基本上”
鲁津定理的证明
(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换 当 为一般可测函数 为一般可测函数时
f ( x) g ( x) = 1+ | f ( x) |
g ( x) ( f ( x) = ) 1− | g ( x) |
为有界可测函数， 则g(x)为有界可测函数，应用 即得我们的结果 为有界可测函数 应用(2)即得我们的结果 连续函数类关于四则运算封闭） （连续函数类关于四则运算封闭）
注：(1)鲁津定理推论 (1)鲁津定理推论 上几乎处处有限的可测函数， 若f(x)为 E ⊂ R 上几乎处处有限的可测函数， 为 则 ∀ε > 0, ∃闭集F ⊂ E，及R上的连续函数 上的连续函数g(x) 上的连续函数 使得在 上 维空间也成立） 使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε（对n维空间也成立） 且 （ 维空间也成立
F c = ∪(ai , bi )
i
ai
biBiblioteka ∀ ε > 0 , 及每个 φ n ( x )，存在闭集 Fn ⊂ E ， 使 m ( E − Fn ) <
∞
ε
2n
且 φ n ( x ) 在 Fn 上连续
令 F = ∩ Fn，则 F ⊂ E ，且 m ( E − F ) ≤
n =1
二,实变函数与泛函分析课后习题答案book版1
有限，故mE[| fi| = +∞] = 0(i = 1, · · · , N). 而
∪∞ E[| fi| = +∞] = E[| fi| > k]
k=1
(1.11)
且
E[| fi| > k] ⊇ E[| fi| > k + 1].(i = 1, · · · , N)
(1.12)
从而，
lim mE[| fi| > k] = mE[| fi| = +∞] = 0.
证明： f (x)不可测.若0 ∈ E,则E[ f ≥ 0] = E不可测.若0 E,则E[ f > 0] = E不可 测.综上，f (x)为不可测函数.
当x ∈ [0, 1]时，| f (x)| = x是连续函数，所以| f (x)|在[0, 1]上是可测的.
习题 1.1.4 设 fn(x)(n = 1, · · · , )是E上a.e.有限的可测函数列，而{ fn} a.e.收敛于有 限函数 f,则对于任意的ϵ > 0, 存在常数c与可测集E0 ⊂ E, m(E − E0) < ϵ,使在E0上 对一切n有| f (x)| ≤ c.这里mE < ∞.
fn(x) → f (x) a.e.于E(n → ∞).
(1.4)
从而由叶戈洛夫定理，对δ
=
mE 4
>
0, ∃Eδ
⊂
E,使得
(i)m(E
−
Eδ)
<
δ
=
mE 4
,
即mEδ
>
3 mE;
4
(1.5)
第一章 可测函数
3
(ii)在Eδ上一致收敛于 f (x).
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lim f n 和 lim f n 是可测函数即可
n n
注意：函数列收敛与函数列收敛于 f 之间的不同
⒌ 可测函数与简单函数的关系
可测函数 f ( x) 总可表示成一列简单函数的极限 若 f ( x) 是 E 上的可测函数,则 f ( x) 总可表示成一列简单函数 { n ( x)} 的极限
的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征.
本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时
—————————————————————— f ( x) 是可测集 E 上的实函数(可取 )，若 a R, E[ f a ] 可测，则称 f ( x) 是 E 上的可测函数.
E[ a f b ] E[ f a ] E[ f b ]
对前面等式的说明
E[ f a ] E
n 1
1 [ f a ] n
( E
n 1
1 [ f a ] n
)，
1 1 [a, ) (a , ) ( [a , )) n 1 n 1 n n 1 1 (a, ) [a , ) ( (a , ) ) ， n 1 n 1 n n
第 3 页（共 15 页）
《实变函数》教案
若 f ( x), g ( x) 是 E 上的可测函数,则 f ( x) g ( x), f ( x) g ( x), f ( x) g ( x),
f ( x) / g ( x) 仍为 E 上的可测函数.
证明： 只要证 a R, E f g a E f a g 可测， 任取 x E f a g ， 则 f x a g x 从而
——————————————————————————————
作业：P98 3, 4, 6
练习题
1 任何点集 E 上的常值函数 f ( x) c, x E 是可测函数，对吗？ ，反之，若 a R , E[ f a ] 可 2 已知“若 f ( x) 在 E 上可测，则 a R , E[ f a ] 可测”
即 O( x , x ) E E[ f a ] .令 G 且另外
xE[ f a ]
O( x , x ) 则 G 为开集，当然为可测集， (O( x , x ) E ) E[ f a ]
G E ( O( x , x ) ) E
xE[ f a ]
r Q, 使 f ( x) r a g ( x), 即 x ( E[ f r ] E[ g a r ] )
rQ
从而
E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] ) ，
rQ
反之
rQ
( E[ f r ] E[ g a r ] ) E[ f a g ]
证明：利用（1）与（4） ， （2）与（3）互为余集，以及
E[ f a ] E
n 1
1 ， [ f a ] n
E[ f a ] ( E[ a f a n ] ) E[ f ] ，
n 1
E[ f a ] E
n 1
1 ， [ f a ] n
f ( x) lim n ( x) ，而且还可办到 | 1 ( x) || 2 ( x) |
n
k x E[ k f k 1 ] 2n 2n 2n n ( x) n x E[ f n ] k 0,1,2,, n2n 1
注：当 f ( x) 是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛
E [ I a , ) 当I a {x | f ( x ) a} E[ f a ] E ( I a , ) 当I a {x | f ( x ) a}
⒊可测函数的等价描述
⒈定义：设 f ( x) 是可测集 E 上的实函数，则 f ( x) 在 E 上可测 （即（1） a R, E[ f a ] 可测）
lim sup f n ( x) inf sup{ f m ( x)}
n n mn
( x) inf{ f n ( x)}
lim inf f n ( x) sup inf{ f m ( x)}
n n m n
E[ a ] E[ fn a ]
n 1
E[ a ] E[ fn a ]
(2) a R, E[ f a ] 可测 (3) a R, E[ f a ] 可测 (4) a R, E[ f a ] 可测
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《实变函数》教案
(5) a, b R, a b, E[ a f b ] 可测（充分性要求 | f ( x) | ）
E[ f a ] E
n 1
1 [ f a ] n
( E
n 1
1 [ f a ] n
)
⒋ 可测函数的性质
⑴ 可测函数关于子集、并集的性质 若 f ( x) 是 E 上的可测函数, E1 E , E1 可测，则 f ( x) 限制在 E1 上也是可测函数； 反之，若 E En , f ( x) 限制在 En 上是可测函数，则 f x 在 E 上也是可测函数。
《实变函数》教案
即 0, 0,当 | x x0 | 时，有 | f ( x) f ( x0 ) | 即 0, 0,当x O( x0 , )时，有f ( x) O( f ( x0 ), ) 即 0, 0, 使得f (O( x0 , ) ) O( f ( x0 ), )
n 1
推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函 数） 。 对上式的说明：
第 4 页（共 15 页）
《实变函数》教案
( x) inf{ f n ( x)} ， E[ a ] E[ f
n 1
n a ]
比较：
E[ f a ] E
若 0, 0, 使得f (O( x0 , ) E ) O( f ( x0 ), )
对比：设 f ( x) 为 a, b 上有限实函数， f ( x)在x0 (a, b)处连续
若 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
第 1 页（共 15 页）
也成立，从而 E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] ) 可测
rQ
类似可证：设 f x , g x 是 E 上可测函数，则 E[ f g ] 为可测集. 若 f x , g x 是 E 上的可测函数,则 f x g x 仍为 E 上的可测函数. 证明：首先 f
xE[ f a ]
所以
E[ f a ] ( O( x , x ) ) E G E ，
xE[ f a ]
故 E[ f a ] G E 为可测集 性质 4
R 中的可测子集 E 上的单调函数 f ( x) 必为可测函数。
证明：不妨设 f 单调增，对任意 a R 令 I a inf{x | f ( x) a} . 由 f 单调增知下面 的集合为可测集
从而 f ' x 是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故 f ' x 是可测函数.利用了 可测函数列的极限函数仍为可测函数. 例 设 f n 是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集.
n n
证明：发散点全体为 E[lim f n lim f n ] ；收敛点全体为 E[lim f n lim f n ] 再利用
作业：若 f x , g x 是 E 上的可测函数,则 f x g x , f x / g x 为 E 上的可 测函数 ⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭. 若 f n x 是 E 上的可测函数,则下列函数仍为 E 上的可测函数.
( x) sup{ f n ( x)}
n 1
E1[ f a ] E[ f a ] E1
E[ f a ] En[ f a ]
n 1
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性 即： 设 f ( x) g ( x) a.e. （almost everywhere）于 E ， f ( x) 在 E 上可测， 则 g ( x) 在 E 上也可测 若 m E f g 0 ,则称 f ( x) g ( x) 在 E 上几乎处处成立,记作 f ( x) g ( x) a.e. 于 E . 证明：令 E1 E f g , E2 E f g ，则 mE1 0 ，从而 g ( x) 在 E1 上可测， 另外 f ( x) 在 E2 上可测，从而 g ( x) 在 E2 上也可测 ，进一步 g x 在 E E1 E2 上也 可测. 注：用到了可测函数关于子集、并集的性质 ⑵ 可测函数类关于四则运算封闭
简单函数；
f ( x) ci Ei ( x)
i 1
n
其中 Ei ( x)
1 x Ei 0 x E Ei
注：Dirichlet 函数是简单函数 性质 3 可测集 E 上的连续函数 f ( x) 必为可测函数
设 f ( x) 为 E 上有限实函数，称 f ( x) 在 x0 E 处连续
2
x 在 E 上可测，因为对任意 a R
E E[ f 2 a ] E [f E[ f a0 a0 a]
a]
再利用 f x g x