第二章3-单自由度系统强迫振动-最新
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单自由度系统的 强迫振动
强迫振动：系统在持续的外界激励作用下 产生的振动
外界激励
周期激励
简谐激励
f
(t
T
)
f (t) f (t)
F0 sin t
非周期激励
强迫振动的形式
❖ 本章讨论单自由度线性系统在周期激扰（激 励或扰动）作用下的强迫振动，通常称为振 动系统对周期激扰的响应。周期激扰可以是 作用于振动系统的周期扰力，也可以是振动 系统支座的周期运动。
A 1 2
sin t
应用初始条件
❖ 由初始条件，初始位移和初始速度分别为：
x0 , x0
x0
B1 x0
A
1 2 B2n
B1
x0
A
1
2
B2
x0
n
通解表达形式
❖ 将得到的 B1, B2 代入方程的通解表达式：
x
x0
1
A
2
cosnt
x0
n
sin nt
1
A
2
cost
❖ 方程解可以写成：
❖
要是强迫振动，
迫振动，
1
A
2
cos
t
为激扰力引起的强
❖ 在 1 时 ，强迫振动的振幅随着的增大无
限增大，直到 1 时，即激扰力的频率和系
统的固有频率相等的时候，理论上的振幅趋 于无穷大，这种现象称为共振。
频率比对振幅的影响
❖
在
1
时，我们将1
A
2
cost
❖ 写成 值。
A 2
1
cos
t
，从而保证振幅为正
m
e
t
x
O
M
k 2
c
k 2
Mx cx kx me2 sint
x
O
m
y
k 2
c
k 2
t m
k x y cx y
正弦激励法的作用
❖ 对于实际的振动系统的参数测量，实际上通 常加一系列的正弦信号，通过测量系统的响 应，来获得振动系统的参数，即所谓正弦激 励法，例如正弦扫频等。
讨论简谐输入意义
F (t)
❖ 受力情况如图，其扰动力为：
l0
k
s
m
O
x
x
变量说明
❖ 扰力： F F0 cos t
❖ F0 称为扰力的力幅 ，为常值
❖ 扰力的频率 ，简称扰频，为常值
系统运动微分方程
❖ 由牛顿第二定律：
❖ mx kx F0 cost
整理得
mx kx F0 cost
❖ 这就是无阻尼振动系统在简谐扰力作用下的 运动微分方程。
对扰力引起自由振动的讨论
❖ 令初始条件：x0 0, x0 0 ，微分方程的解简化为：
x
A
1
2
cost
cos nt
❖ 可见，激扰力不但引起强迫振动，同时还要引起自
由振动，二者都是简谐振动，但频率不相等的两个
简谐振动之和已经不再是简谐振动。
频率比对振幅的影响
❖ 对于周期扰动作用下的运动，我们关心的主
2 n2 X cost n2 Acost
❖ 并令：n
，称为频率比，可得：
X
n2 A 2 n2
A1
1
2
微分方程的通解
x
B1
cosnt
B2
sin nt
A
1
2
cost
齐次解积分常数的确定
❖ 对通解求导可得
x
B1
cosnt
B2
sin nt
A
1
2
cost
x
B1n
sin nt
B2n
cosnt
❖ 曲线只表示振动系统稳态运动的情
形，亦即激扰固定在某一频率时，系统振幅 达到定值后的情形。
共振的讨论
❖ 在共振时，系统的振幅将达到无穷大，事实上，这 是不可能的：
❖ 首先，系统存在阻尼，在下节大家将会看到，微小 的阻尼就会限制振幅的无限增大。
❖ 另一方面，在振幅无限增大的过程中，线性弹簧的 假设也不再成立。
定义辅助变量
❖ 令：
n
k m
A F0
k
❖ 表示在静力条件下，系统受到一个大小为 的力作用时的位移。
F0
方程和通解的标准形式
x n2 x n2 Acost
❖ 这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据 微分方程理论，它的解由两部分组成： x x1 x2
齐次解
❖ x1代表齐次微分方程 x n2x 0 的解，简
积分常数的确定
❖ 代入微分方程：x n2 x n2 Acosnt ，
2Bn sinnt cos cosnt sin n2Acosnt
❖ 从而：
cos 0
2
B n2 Acosnt n A 2n cosnt 2
共振特解的讨论
❖ 方程的特解可以写成：
x2
n A
2
t
cos nt
❖ 可见，共振的时候，强迫振动的振幅随着时间的增大 而按比例的增大。见图2-17
x
x0
cos n t
x0
n
sin
nt
1
A
2
cost
cosnt
解的讨论
❖ 从上式可以清楚地看到，前两项是由初始条件引起 的自由振动，频率为系统的无阻尼自由振动的固有
频率 n 。
1
A
2
cost
表示系统在简谐激励下的强迫振动，与
激扰力的频率相同，振ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和初始条件无关。
❖
❖
1
A
2
cos n t
表示激扰力引起的自由振动。
❖ 对于许多机器，在正常运转时，其扰频都远远超过系 统的固有频率，所以在启动和停止的过程中，都要通 过共振区，
❖ 从中可以看出，质量m 的位移与扰力正好反
向，振幅随着 的增大而无限减小。
放大率
❖ 在静力作用下，系统的静挠度为 A，可见：
1
❖ 1 2 体现了扰力的动力作用，这个量的
❖
绝对值记为放大率：
1
1
2
放大率-频率比曲线
❖ 放大率和 频率比之
间的关系， 3
即为
2
❖
1
曲线
1
2
3
n
的意义
称齐次解，由前面的单自由度无阻尼自由振 动可得：
x1 B1 cosnt B2 sinnt B cos(nt )
特解
❖ x2 代表方程x n2x n2 Acost 的一个特解，
❖ 由激扰力的形式可知方程的特解可以表示成
❖ 为：
x2 X cost
积分常数的确定
❖ 将 x2 X cost 代入微分方程，可得：
❖ 这种情形比较简单，而所得的结论却有很重 要的工程应用 ；
❖ 任意的周期激扰，都可以通过Fourier级数， 分解成若干个正弦型激扰的和；
❖ 利用线性系统的叠加性，可得到全响应。
例子
❖ 如右图所示，物体沿垂直方 向振动，取物体无扰力下的 静平衡位置为坐标原点，铅 kx 直向下为x轴正向，建立如 图所示的坐标系。
共振时微分方程的特解
❖ 在 n的时候，方程的特解也不再为
x2 X cost
❖ 而应该表示为如下形式：，
x2 Bt cosnt
特解的导数 x2 Bcosnt Bnt sinnt
x2 2Bn sin nt Bn2t cosnt
x2 n2 x2
2Bn sin nt Bn2t cos nt n2Bt cos nt 2Bn sin nt 2Bn sinnt cos cosnt sin
强迫振动：系统在持续的外界激励作用下 产生的振动
外界激励
周期激励
简谐激励
f
(t
T
)
f (t) f (t)
F0 sin t
非周期激励
强迫振动的形式
❖ 本章讨论单自由度线性系统在周期激扰（激 励或扰动）作用下的强迫振动，通常称为振 动系统对周期激扰的响应。周期激扰可以是 作用于振动系统的周期扰力，也可以是振动 系统支座的周期运动。
A 1 2
sin t
应用初始条件
❖ 由初始条件，初始位移和初始速度分别为：
x0 , x0
x0
B1 x0
A
1 2 B2n
B1
x0
A
1
2
B2
x0
n
通解表达形式
❖ 将得到的 B1, B2 代入方程的通解表达式：
x
x0
1
A
2
cosnt
x0
n
sin nt
1
A
2
cost
❖ 方程解可以写成：
❖
要是强迫振动，
迫振动，
1
A
2
cos
t
为激扰力引起的强
❖ 在 1 时 ，强迫振动的振幅随着的增大无
限增大，直到 1 时，即激扰力的频率和系
统的固有频率相等的时候，理论上的振幅趋 于无穷大，这种现象称为共振。
频率比对振幅的影响
❖
在
1
时，我们将1
A
2
cost
❖ 写成 值。
A 2
1
cos
t
，从而保证振幅为正
m
e
t
x
O
M
k 2
c
k 2
Mx cx kx me2 sint
x
O
m
y
k 2
c
k 2
t m
k x y cx y
正弦激励法的作用
❖ 对于实际的振动系统的参数测量，实际上通 常加一系列的正弦信号，通过测量系统的响 应，来获得振动系统的参数，即所谓正弦激 励法，例如正弦扫频等。
讨论简谐输入意义
F (t)
❖ 受力情况如图，其扰动力为：
l0
k
s
m
O
x
x
变量说明
❖ 扰力： F F0 cos t
❖ F0 称为扰力的力幅 ，为常值
❖ 扰力的频率 ，简称扰频，为常值
系统运动微分方程
❖ 由牛顿第二定律：
❖ mx kx F0 cost
整理得
mx kx F0 cost
❖ 这就是无阻尼振动系统在简谐扰力作用下的 运动微分方程。
对扰力引起自由振动的讨论
❖ 令初始条件：x0 0, x0 0 ，微分方程的解简化为：
x
A
1
2
cost
cos nt
❖ 可见，激扰力不但引起强迫振动，同时还要引起自
由振动，二者都是简谐振动，但频率不相等的两个
简谐振动之和已经不再是简谐振动。
频率比对振幅的影响
❖ 对于周期扰动作用下的运动，我们关心的主
2 n2 X cost n2 Acost
❖ 并令：n
，称为频率比，可得：
X
n2 A 2 n2
A1
1
2
微分方程的通解
x
B1
cosnt
B2
sin nt
A
1
2
cost
齐次解积分常数的确定
❖ 对通解求导可得
x
B1
cosnt
B2
sin nt
A
1
2
cost
x
B1n
sin nt
B2n
cosnt
❖ 曲线只表示振动系统稳态运动的情
形，亦即激扰固定在某一频率时，系统振幅 达到定值后的情形。
共振的讨论
❖ 在共振时，系统的振幅将达到无穷大，事实上，这 是不可能的：
❖ 首先，系统存在阻尼，在下节大家将会看到，微小 的阻尼就会限制振幅的无限增大。
❖ 另一方面，在振幅无限增大的过程中，线性弹簧的 假设也不再成立。
定义辅助变量
❖ 令：
n
k m
A F0
k
❖ 表示在静力条件下，系统受到一个大小为 的力作用时的位移。
F0
方程和通解的标准形式
x n2 x n2 Acost
❖ 这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据 微分方程理论，它的解由两部分组成： x x1 x2
齐次解
❖ x1代表齐次微分方程 x n2x 0 的解，简
积分常数的确定
❖ 代入微分方程：x n2 x n2 Acosnt ，
2Bn sinnt cos cosnt sin n2Acosnt
❖ 从而：
cos 0
2
B n2 Acosnt n A 2n cosnt 2
共振特解的讨论
❖ 方程的特解可以写成：
x2
n A
2
t
cos nt
❖ 可见，共振的时候，强迫振动的振幅随着时间的增大 而按比例的增大。见图2-17
x
x0
cos n t
x0
n
sin
nt
1
A
2
cost
cosnt
解的讨论
❖ 从上式可以清楚地看到，前两项是由初始条件引起 的自由振动，频率为系统的无阻尼自由振动的固有
频率 n 。
1
A
2
cost
表示系统在简谐激励下的强迫振动，与
激扰力的频率相同，振ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和初始条件无关。
❖
❖
1
A
2
cos n t
表示激扰力引起的自由振动。
❖ 对于许多机器，在正常运转时，其扰频都远远超过系 统的固有频率，所以在启动和停止的过程中，都要通 过共振区，
❖ 从中可以看出，质量m 的位移与扰力正好反
向，振幅随着 的增大而无限减小。
放大率
❖ 在静力作用下，系统的静挠度为 A，可见：
1
❖ 1 2 体现了扰力的动力作用，这个量的
❖
绝对值记为放大率：
1
1
2
放大率-频率比曲线
❖ 放大率和 频率比之
间的关系， 3
即为
2
❖
1
曲线
1
2
3
n
的意义
称齐次解，由前面的单自由度无阻尼自由振 动可得：
x1 B1 cosnt B2 sinnt B cos(nt )
特解
❖ x2 代表方程x n2x n2 Acost 的一个特解，
❖ 由激扰力的形式可知方程的特解可以表示成
❖ 为：
x2 X cost
积分常数的确定
❖ 将 x2 X cost 代入微分方程，可得：
❖ 这种情形比较简单，而所得的结论却有很重 要的工程应用 ；
❖ 任意的周期激扰，都可以通过Fourier级数， 分解成若干个正弦型激扰的和；
❖ 利用线性系统的叠加性，可得到全响应。
例子
❖ 如右图所示，物体沿垂直方 向振动，取物体无扰力下的 静平衡位置为坐标原点，铅 kx 直向下为x轴正向，建立如 图所示的坐标系。
共振时微分方程的特解
❖ 在 n的时候，方程的特解也不再为
x2 X cost
❖ 而应该表示为如下形式：，
x2 Bt cosnt
特解的导数 x2 Bcosnt Bnt sinnt
x2 2Bn sin nt Bn2t cosnt
x2 n2 x2
2Bn sin nt Bn2t cos nt n2Bt cos nt 2Bn sin nt 2Bn sinnt cos cosnt sin