第二章3-单自由度系统强迫振动-最新
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单自由度强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和 激振下的强迫振动
所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。
设激励为 F(t)=F0sinwt ，这 里 w为激振频率，利用牛顿定 律并引入阻尼比x 可得到
F0 x 2wnx x w x sin wt m
2 n
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
xwnt
上述解的第一部分代表由初始条件引
起的自由振动;
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
7
第二部分
X 0e
xwnt
xwn sin w cos sin wd t sin cos wd t wd
代表由干扰力引起的自由振动。 这两部分都是衰减振动，随时间的推移而消
失，称为瞬态响应或暂态响应；
最后只剩下第三部分
X 0 sin(w t ) ，代表
与激振力同形式的等幅的强迫振动，称为稳态响 应，这才是我们最关心的。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
8
若为余弦激励, 则响应（解）为：
x0 xwn x0 xe sin wd t x0 cos wd t wd xw t xwn cos w sin X 0e sin wd t cos cos wd t wd
第3章 单自由度系 统强迫振动
第3章 单自由度系统强迫振动
1
系统在外部激励作用下的振动称为受
迫振动或强迫振动。
自由振动只是系统对初始扰动 ( 初始
条件)的响应。由于阻尼的存在,振动现象
很快就会消失。
单自由度系统在简谐激励下的受迫振动
它与鼓励同频，但有一个相位差 ψ
简谐鼓励下的全解、瞬态振动和稳态振动
可见，对于工程实际来说，更关心的是稳态振动， 因为瞬态振动只在振动开场后的一段时间内才有 意义。
By substituting the particular solution to
be determinx e2 d( t) B sω it n ψ into
对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差 0或π 。因此， 每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。
2.
粘性阻尼力
FR
cdx dt
做的功
W R T 0 F R d d x t( t)d t T 0 c2 B 2 c2 o (t s)d t
微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解
d d2t2 x2nd dx tpn 2x0
x ( 0 x 0 和 v ) ( 0 v 0 )
齐次解: x1(t)
d d2 t2 x2nd dx tpn 2xhsin t
x ( 0 x 0 和 v ) ( 0 v 0 )
特解: x2(t)
有阻尼系统在简谐鼓励下，运动微分方程的全解 x x 1 (t) x 2 (t)
2
品质因子与半功率带宽
在 ＝1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对 称的。放大因子为 Q 2 的两个点称为半功率点。 对应于这两个点的鼓励频率分别为1 和2 ，它们
的差 21 称为半功率带宽。利用放大因
子
的表达式，可以求得两个半功1 率 点2对2应pn的频率
比，即外鼓励频率，Q注1意到pn
可得
2
zZ sin t() Z m 2Y
(km 2)2(c)2
tankcm 2
Response of a damped system under the harmonic motion of the base
简谐鼓励下的全解、瞬态振动和稳态振动
可见，对于工程实际来说，更关心的是稳态振动， 因为瞬态振动只在振动开场后的一段时间内才有 意义。
By substituting the particular solution to
be determinx e2 d( t) B sω it n ψ into
对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差 0或π 。因此， 每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。
2.
粘性阻尼力
FR
cdx dt
做的功
W R T 0 F R d d x t( t)d t T 0 c2 B 2 c2 o (t s)d t
微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解
d d2t2 x2nd dx tpn 2x0
x ( 0 x 0 和 v ) ( 0 v 0 )
齐次解: x1(t)
d d2 t2 x2nd dx tpn 2xhsin t
x ( 0 x 0 和 v ) ( 0 v 0 )
特解: x2(t)
有阻尼系统在简谐鼓励下，运动微分方程的全解 x x 1 (t) x 2 (t)
2
品质因子与半功率带宽
在 ＝1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对 称的。放大因子为 Q 2 的两个点称为半功率点。 对应于这两个点的鼓励频率分别为1 和2 ，它们
的差 21 称为半功率带宽。利用放大因
子
的表达式，可以求得两个半功1 率 点2对2应pn的频率
比，即外鼓励频率，Q注1意到pn
可得
2
zZ sin t() Z m 2Y
(km 2)2(c)2
tankcm 2
Response of a damped system under the harmonic motion of the base
单自由度体系的强迫振动
2）求荷载的频率
2πn 62.83s1
60
3）求动荷因数
Kd
1
2
1
2
1
1 ( 62.83)2
56
3.86
4）求最大竖向位移
ymax
y
W st
Kd
ysFt
Wl 3 48EI
Kd
Fl3 48EI
l3 48EI
(W
Kd
F)
7.26mm
5）求最大应力
max
W st
Kd
F st
l 4WZ
(W
Kd1 ysFt
Wl 3 3EI
K d1
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd1F )
7.2 mm
y2max
y
W st
Kd2
ysFt
Wl 3 3EI
Kd2
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd2
F)
6.3 5 m m
4）求两种情况中的最大弯矩。最大弯矩发生在固定
端处。最大弯矩由两部分组成：第一部分是由重力引
纯强迫振动任一时刻质点的位移为
y(t)
F
m(2
2
)
sint
F
m2 (1
2 2
)
sint
令
ysFt
F11
F
m 2
y(t)
ysFt
1
1
2 2
sint
最大动位移为
ydmax
ysFt
1
1
2 2
ysFt Kd
式中：Kd——动荷因数，即 K d
ydmax
y
F st
结构力学单自由度体系强迫振动
只能用“万能”解法的情况 1）动载不作用在质点上时的动内力 2）动载不作用在质点上时非质点处的动位移
FP sin t
m
y
FP sin t
m (m 2 A) sin t
(FP m 2 A)sin t
m ( FP )sin t
FP
m
FP sin t
m
y
FP sin t
(m 2 A)sin t
和差化积
sin
sin
2sin
2
cos
2
cos
cos
2cos
2
cos
2
cos
cos
2sin
2
sin
2
三、一般动荷载作用
1. FP (t)是一般动力荷载，特解不易找出。
2.
••
微分方程为：y(t) 2 y
FP t
m
3. 特解可利用瞬时冲量作用下的振动导出。
动量 K mv
m
u
0 FPo sin (t )d
t
0 sin (t )d ]
u
FPo [cos(t u) cost] m 2
yst
2 sin
u
2
sin (t
u) 2
阶段Ⅱ：(13（1t9)≥ u ）
FP(t)
FP0
u
阶段Ⅱ： （ t ≥u ）
yt
2
yst
s
in
u
2
s
in
t
u 2
yt
m a x
2
FI
3 40
FP
sin
t
FP sinθt
A
EI
第2章 单自由度系统的受迫振动题解
习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。
解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
第二章3-单自由度系统强迫振动
积分常数的确定
x x Acosnt ， 代入微分方程：
2 n 2 n
2Bn sin nt cos cosnt sin Acosnt
2 n
从而：
cos 0
2
2 n A cos nt n A B 2n cos nt 2
方程解可以写成：
A x x0 cos nt sin nt cos t cos nt 2 n 1 x0
解的讨论
从上式可以清楚地看到，前两项是由初始条件引起 的自由振动，频率为系统的无阻尼自由振动的固有 频率 n 。
A cos t 2 1
表示系统在简谐激励下的强迫振动，与
激扰力的频率相同，振幅和初始条件无关。
A cos nt 2 1
表示激扰力引起的自由振动。
对扰力引起自由振动的讨论
令初始条件：x 0, x 0 ，微分方程的解简化为： 0 0
A x cos t cos nt 2 1
可见，激扰力不但引起强迫振动，同时还要引起自 由振动，二者都是简谐振动，但频率不相等的两个
齐次解的讨论
当 1 时，由前面的单自由度阻尼自由振 动可得： x1 e t B1 cos d t B2 sin d t
n
，
2 1 n 其中：d
，称为衰减振动的圆频率。
特解的讨论
由于激励为简谐的，根据微分方程的理论， x2 X cos t 上述微分方程有如下形式的特解： x2 X2 cos t x2 X sin t ， 将 x2 X cos t ， 2 2 代入 x 2n x n x n Acos t 可得：
203单自由度体系强迫振动(力学)
d y (t ) = v0 (τ )
ω
FP (τ ) d τ sin ω ( t − τ ) = sin ω ( t − τ ) mω
（3）将时刻 t 之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加 ） 1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) d τ mω
1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) dτ mω
动位移、 ※动位移、动内力幅值计算
计算步骤: 计算步骤: 1. 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 2. 计算动力系数； 计算动力系数； 3. 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 动内力幅值。 动内力幅值。
y (t ) = − F θ F sin ω t + sin θ t 2 2 2 2 m (ω − θ ) ω m (ω − θ )
伴生自由振动
稳态受迫振动
（2）※稳态受迫振动分析 ） 稳态受迫振动分析
y ( t ) = A sin θ t
y (t ) = µy st sin θt
动位移一定比 静位移大吗？ 静位移大吗？
F =µ sin θt 2 mω = µδ 11 F sin θt F =µ sin θt k11
F F y st = = = Fδ 11 2 k11 mω
动力系数 µ 的讨论
重要的特性： 重要的特性：
1 θ µ= , β = 2 ω 1− β
1. 当θ/ω→0时, µ →1，荷载变化 时 ， 如何减小 得很慢，可当作静荷载处理。 得很慢，可当作静荷载处理。 3 振幅？ 振幅？ 2. 当0< θ/ω <1时, µ >1，并且随 时 ， 2 θ/ω的增大而增大。 的增大而增大。 的增大而增大 。 3. 当θ/ω →1时, µ →∞。即当荷载 时 1 θ 频率接近于自振频率时， 频率接近于自振频率时，振幅会 ω 无限增大。称为“共振” 无限增大。称为“共振”。通常 0 1 2 3 称为共振区。 把0.75< θ/ω <1.25称为共振区。 称为共振区 4. 当θ/ω >1时, µ 的绝对值随 时 的绝对值随θ/ω 的增大而减小。 很大时， 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。 很大时 荷载变化很快，结构来不及反应。
ω
FP (τ ) d τ sin ω ( t − τ ) = sin ω ( t − τ ) mω
（3）将时刻 t 之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加 ） 1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) d τ mω
1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) dτ mω
动位移、 ※动位移、动内力幅值计算
计算步骤: 计算步骤: 1. 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 2. 计算动力系数； 计算动力系数； 3. 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 动内力幅值。 动内力幅值。
y (t ) = − F θ F sin ω t + sin θ t 2 2 2 2 m (ω − θ ) ω m (ω − θ )
伴生自由振动
稳态受迫振动
（2）※稳态受迫振动分析 ） 稳态受迫振动分析
y ( t ) = A sin θ t
y (t ) = µy st sin θt
动位移一定比 静位移大吗？ 静位移大吗？
F =µ sin θt 2 mω = µδ 11 F sin θt F =µ sin θt k11
F F y st = = = Fδ 11 2 k11 mω
动力系数 µ 的讨论
重要的特性： 重要的特性：
1 θ µ= , β = 2 ω 1− β
1. 当θ/ω→0时, µ →1，荷载变化 时 ， 如何减小 得很慢，可当作静荷载处理。 得很慢，可当作静荷载处理。 3 振幅？ 振幅？ 2. 当0< θ/ω <1时, µ >1，并且随 时 ， 2 θ/ω的增大而增大。 的增大而增大。 的增大而增大 。 3. 当θ/ω →1时, µ →∞。即当荷载 时 1 θ 频率接近于自振频率时， 频率接近于自振频率时，振幅会 ω 无限增大。称为“共振” 无限增大。称为“共振”。通常 0 1 2 3 称为共振区。 把0.75< θ/ω <1.25称为共振区。 称为共振区 4. 当θ/ω >1时, µ 的绝对值随 时 的绝对值随θ/ω 的增大而减小。 很大时， 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。 很大时 荷载变化很快，结构来不及反应。
第三讲单自由度系统的强迫振动
ti t
1-1振动系统简介1・2单自由度 系统1・3多自由度系统1-4连续 振动系统
1.5随机振动
系统在外部激励下所做的振动。
•谐波激励•周期激励•任意激励
1•简谐激励下的强迫振动指激励是时间的简谐函数，它在工 程结构的振动中经常发生，通常由旋转机械失衡造 成。
2•简谐激励下的强迫振动理论是分析周期激励以及非周 期激 励下系统响应的基础。
女口二曲3® x（t）=Bsin
只要虚部：
（cot一0）
这是响应的通常形式。B为振幅，卩为相位差。
特点1・系统对简谐激励的稳态响应是等同于激振频率而相位滞 后于激 振力的简谐振动。
2•稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数
运动的方式（初始条件）无关。
稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数质量刚度阻尼和激振力频率及力幅而与系统进入濒响函数是指系统输出的fourier变换与输入的fourier变换之2频响函数在振动系统中是响应与激励的fourier变换之比表示响应与激励之间的幅值相位关系随激振频率变化的规律ps44频响函数的特性曲线主要有
3•通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的关系，可以估 计测定系统的振动参数，从而确定系统的振动特性。
质量•弹簧系统，激励为:
叫sin抄
则振动微分方பைடு நூலகம்与初始条件:
+fct二厂sin6
0
■"一JB = j\£J（1-久）2
k1—才［佻入+（2八）2
=如・
*乱1_刊+（2刘
=Be^（p
X
=BeJcot
复数解为：
1-1振动系统简介1・2单自由度 系统1・3多自由度系统1-4连续 振动系统
1.5随机振动
系统在外部激励下所做的振动。
•谐波激励•周期激励•任意激励
1•简谐激励下的强迫振动指激励是时间的简谐函数，它在工 程结构的振动中经常发生，通常由旋转机械失衡造 成。
2•简谐激励下的强迫振动理论是分析周期激励以及非周 期激 励下系统响应的基础。
女口二曲3® x（t）=Bsin
只要虚部：
（cot一0）
这是响应的通常形式。B为振幅，卩为相位差。
特点1・系统对简谐激励的稳态响应是等同于激振频率而相位滞 后于激 振力的简谐振动。
2•稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数
运动的方式（初始条件）无关。
稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数质量刚度阻尼和激振力频率及力幅而与系统进入濒响函数是指系统输出的fourier变换与输入的fourier变换之2频响函数在振动系统中是响应与激励的fourier变换之比表示响应与激励之间的幅值相位关系随激振频率变化的规律ps44频响函数的特性曲线主要有
3•通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的关系，可以估 计测定系统的振动参数，从而确定系统的振动特性。
质量•弹簧系统，激励为:
叫sin抄
则振动微分方பைடு நூலகம்与初始条件:
+fct二厂sin6
0
■"一JB = j\£J（1-久）2
k1—才［佻入+（2八）2
=如・
*乱1_刊+（2刘
=Be^（p
X
=BeJcot
复数解为：
结构动力学-单自由度系统的振动
Fi= -my
F(t)
2 1 F1=1
2 F2=1 1
δ11 δ12
2021/6/24
Δ1F=δ11Fi
Δ1F=δ12F(t)
17
（2）按叠加原理建立运动方程： 位移协调
y 11Fi( t ) 12F( t ) 11( my ) 12F( t )
变换得：y 2 y 12 F( t ) 0.6875 F( t )
0.00265 0.00511 0.00776m
M max M stw M stf
Wl
4
Fl 4
2021/6/24
20 4 3.866 10 4 58.66kN m
15
4
4
❖ 例2：
图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷
载 F(t) F sint 作用在距离左端l/4处，若
令： yst
p
m 2
p k
p
1 12 / 2
yst 为最大静位移，表示将荷载最大值P当作 静荷载作用时结构所产生的位移；
为动力放大系数或动力系数，表示最大动 位移[ y(t)]max与最大静位移 yst 的比值。
则有： 2021/6/24 y( t ) yst sint
9
动力系数 与频率比值的关系： 动力系数 是频率比值 / 的函数，变化规 律如图所示，其中横坐标为 /，纵坐标为 的绝对值。
因此：在研究共振时的动力响应，阻尼的影 响不容忽视。
2021/6/24
30
（3）在阻尼体系中，共振时的动力系数虽然
接近于最大的动力系数 max，但并不等于这个
最大值。
求最大响应时的 值：
可求 对 / 的导数并令其等于零。对于阻 尼比 1 2的实际结构，响应峰值频率为：
单自由度系统强迫振动
1.2单自由度系统强迫振动一、实验目的1． 理解与掌握单自由度系统强迫振动的基本知识2． 测定带有集中荷重的悬臂梁系统，在自由端部位移激励下引起的强迫振动的振幅频率特性曲线；借助幅频特性曲线，求出系统的固有频率n ω及阻尼常数ζ 3． 初步了解振动测试的仪器设备和工程实验建模方法二、实验内容1． 调节信号源和功率放大器，使系统产生共振 2． 测量系统对应的频率和振幅3． 绘制幅频曲线，得出系统的频率、阻尼等参数三、实验装置和设备单层框架系统实验装置（可视为悬臂梁），如图1所示。
扫频信号源（含功率放大器）DH-1301，激振器JZQ-2 力传感器F.Sen ，加速度传感器A.Sen ，电荷放大器DLF-3 数字式示波器TDS-210图1TDS-210DH-1301DLF-3JZQ-2F.SenA.Sen四、实验原理 1．理论知识单自由度系统在有持续激励时的振动，这类振动称为强迫振动，强迫振动是工程中常见的现象。
激励的来源可分为两类，一类是力激励，它可以是直接作用于机械运动部件上的惯性力，也可以是旋转机械或往复运动机械中不平衡量引起的惯性力，另一类是由于支撑运动而导致的位移激励/速度激励以及加速度激励。
如图2所示的弹簧质量系统为对象，以静平衡位置为坐标原点，根据力系平衡原理，建立动力学方程如下：t F kx x c xm ωsin 0+−−=&&& （2.1） t F kx x c xm ωsin 0=++&&& （2.2） t F x m k x m cxωsin 0=++&&& （2.3）令m k n =2ω，mcn =2 （2.4） nnωζ=（2.5）得到t mF x x n xn ωωsin 202=++&&& （2.6）式（2.6）的稳定解为)sin(φω−=t B x（2.7）将式（2.7）带入式（2.6），求出待定系数B ，得到2222204)(ωδωω+−=n m F B （2.8） 利用共振法得到系统的固有频率n ωn m f f B →→max（2.9） n n f πω2=（2.10）通过幅频特性曲线，如图3所示，利用半功率带宽原理得到系统的阻尼系数ζ 半功率带宽：12f f f −=Δ（2.12）阻尼比ζ：nn f ff f f 2212Δ=−=ζ （2.13）10 36B /B mf (Hz) 10.707n f 1f 2f图32． 实验方法一个单层框架结构组成的悬臂梁系统，固定端固定在底板上，自由端与激振器连接，测试系统，如图3所示，扫频信号发生器（含功率放大器）可调节激振器的激振力的频率和幅值，激振频率由扫频信号发生器直接读得，悬臂梁端部的振幅利用压电加速度传感器（压电加速度传感器是利用振动对压电晶体产生压电效应来测量振动的），经电荷放大器转化并放大，由数字式示波器读得。
燕山大学振动理论习题答案
k123
k1k23 k1 k23
2k 3
k1234
k123k4 k123 k4
1k 2
（1） mg
k1234 x0 ， x0
2mg k
（2）
xt
x0
cosnt
，
xm a x
2x0
4mg k
2-7 图 2-7 所示系统，质量为 m2 的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮 绕轴的转动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统 的固有频率。
2π l a
h 3g
2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为 R, 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图 2-3 所示。 试求
其摆动的固有频率。
图 2-3
图 2-4
2-4 如图 2-4 所示，一质量 m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下 列情况
系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
n
ke m
2-5 试求图 2-5 所示系统中均质刚性杆 AB 在 A 点的等效质量。已知杆的质量为 m，A
端弹簧的刚度为 k。并问铰链支座 C 放在何处时使系统的固有频率最高？
图 2-5
图 2-6
2-6 在图 2-6 所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知 m=50kg，k1 9800 N m ， k2 k3 4900 N m ， k4 19600 N m 。试问： （1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
E P02
2
k (1 2 )2 (2)2
证明
E T c2B2 cos(t )dt cB2 0
单自由度系统强迫振动
静力偏移
频率比
相对阻 尼系数
2 2
影响振幅的主要因素：
B0的影响：
它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值H静止地作 用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅B与激振力幅值 H成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。
的影响：
频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明
粘滞阻尼力每周所做的功与振 幅的平方成正比，与振动频率 也成正比
将非粘滞阻尼每周做的功表示成：
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1）干摩擦阻尼 干摩擦力一般是常力F,但方向始终与运动方向相反， 当质量从静平衡位置移动到最大偏移位置时，即在1/4周 期内，干摩擦力做功为FB,在以后每1/4周期内都如此。 干摩擦力在一个周期内所做的功：
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
结论：当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平稳，振幅较小；反 之，当阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以， 品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统 中，为了过共振时比较平稳，希望品质因子小些，带宽宽些。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
相频特性曲线
例1 实验测出了具有粘滞阻尼的单自由系统的固有频率 励作用下发生位移共振的频率 。试求系统的固有频率 c和对数衰减率 。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
频率比
相对阻 尼系数
2 2
影响振幅的主要因素：
B0的影响：
它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值H静止地作 用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅B与激振力幅值 H成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。
的影响：
频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明
粘滞阻尼力每周所做的功与振 幅的平方成正比，与振动频率 也成正比
将非粘滞阻尼每周做的功表示成：
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1）干摩擦阻尼 干摩擦力一般是常力F,但方向始终与运动方向相反， 当质量从静平衡位置移动到最大偏移位置时，即在1/4周 期内，干摩擦力做功为FB,在以后每1/4周期内都如此。 干摩擦力在一个周期内所做的功：
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
结论：当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平稳，振幅较小；反 之，当阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以， 品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统 中，为了过共振时比较平稳，希望品质因子小些，带宽宽些。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
相频特性曲线
例1 实验测出了具有粘滞阻尼的单自由系统的固有频率 励作用下发生位移共振的频率 。试求系统的固有频率 c和对数衰减率 。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
机械振动第2章-单自由度系统强迫振动
画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1
0
0.2
0.5
1.0
4.0 2.0
4.0 1.0 0.5 0.2
0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
2 n
h sin(t
)
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 Asin(nt )
设特解为： x2 bsin(t ) b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
b
2
sin(t
)
b
2 n
s
in(t
)
h
s
in(t
)
解得：
b h
2 n
2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解：
b 2 sin(t ) 2nb cos(t ) n2b sin(t ) h sint
将右端改写为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
hsint hsin[t ) ]
hcos sin(t ) hsin cos(t )
可整理为：
[b(
2 n
2)
h cos ]sin(t
)
[2nb
mx kx kesint
x s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
自振周期和频率
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
简谐强迫振动共39页文档
A F0 / k 即 系 统 在 静 力 条 件 下 受 一 个 大 小 为 F0 的 力 作 用 时 的 位
移，它是与时间无关的常量。引入这个参数的目的是要 比较静力位移和动力位移，以揭示静力学与动力学的差 别。另外，还可以使一些振动参数无量纲化，便于理论 分 析 。 对 式 (2.4-1)整 理 ， 得
第2章 单自由度系统—简谐强迫振动
系统在简谐激励下的响应
a
b
c
Theory of Vibration with Applications
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动
系统在简谐激励下的响应
从图中可以看出
(1) 系 统 发 生 的 运 动 是 频 率 为 d 的 简 谐 振 动 x1 (t) 和 频 率 为 的 简 谐 振 动 x2 (t) 的 组 合 运 动 ；
根据线性常微分方程理论，运动方程(2.4-2)的特解可以写成如下形式
x X cos(t ) (2.4-3)
式中， X 是响应的振幅， 是位移相对激励的相角，均是与时间无关的常
数。将式（2.3-3）代入式(2.4-2)可以得到
Theory of Vibration with Applications
x1
x 0
2
n
x1
2 n
x1
x0 X cos,
0
2 n
A
x0
cost x0 X
sin
（2.4-5）
可以得到
x1
e nt x0
X
cos cosdt
x0
X
sin
n x0
d
X
cos sin dt
Theory of Vibration with Applications
移，它是与时间无关的常量。引入这个参数的目的是要 比较静力位移和动力位移，以揭示静力学与动力学的差 别。另外，还可以使一些振动参数无量纲化，便于理论 分 析 。 对 式 (2.4-1)整 理 ， 得
第2章 单自由度系统—简谐强迫振动
系统在简谐激励下的响应
a
b
c
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第2章 单自由度系统—简谐强迫振动
系统在简谐激励下的响应
从图中可以看出
(1) 系 统 发 生 的 运 动 是 频 率 为 d 的 简 谐 振 动 x1 (t) 和 频 率 为 的 简 谐 振 动 x2 (t) 的 组 合 运 动 ；
根据线性常微分方程理论，运动方程(2.4-2)的特解可以写成如下形式
x X cos(t ) (2.4-3)
式中， X 是响应的振幅， 是位移相对激励的相角，均是与时间无关的常
数。将式（2.3-3）代入式(2.4-2)可以得到
Theory of Vibration with Applications
x1
x 0
2
n
x1
2 n
x1
x0 X cos,
0
2 n
A
x0
cost x0 X
sin
（2.4-5）
可以得到
x1
e nt x0
X
cos cosdt
x0
X
sin
n x0
d
X
cos sin dt
Theory of Vibration with Applications
单自由度体系强迫振动.ppt
1
2 2
yst
1
2 2
,
于是有:
C2 0
于是有:
y(t)
yst
1
1
2 2
(sint sin t)
10 12
yst (sint sin t)
强迫振动的过程可分为两个组成部分,第一部分按荷载 频率作纯强迫振动,第二部分按自振频率作自由振动。 振动开始时两种振动并存，称为“过渡阶段”或“瞬 态”，由于实际振动中存在阻尼力，故经过一段时间后， 将只剩下第一部分仍在振动，第二部分则“衰减”掉了， 这一
§10-3 单自由度体系的强迫振动
强迫振动---动荷载引起的振动,又称受迫振动。
3.1 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼)
一.运动方程及其解
Fp(t) Fp sint
my(t) k11 y(t) Fp sint FP(t) m
y(t)
或
y(t)
2
y(t)
Fp
s in t 10
11
l
EI
m
3.1 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼)
=1
FP
运动方程
振幅
y(t) 12FP sint 11(my)
my(t) 1 y(t) 12 FP sin t
11
11
令
Fp
12 11
FP
A
Fp
m 2
Fp11
12 11
FP11
12FP
yst
my(t
稳态解
)
1
11
y (t )
y(t) Fp
Fp
m 2
sin t s in t
仍是位移动力系数 是内力动力系数吗?
单自由度系统强迫振动(悬臂梁)
单自由度系统强迫振动（悬臂梁）一、实验目的 １、 测定带有集中荷重的悬臂梁系统，在自由端部位移激励下引起的强迫振动的振幅频率特性曲线；借助幅频特性曲线，求出系统的固有频率及阻尼常数； ２、 初步了解振动测试的一些仪器设备及测试方法。
二、实验装置及原理 １、 实验装置 一个单层框架结构的悬臂梁系统，固定端固定在底板上，自由端与激振器连接，其简图如图１所示。
这个系统可看作如图２所示的，有阻尼的单自由度弹簧质量系统。
其中： ｍ：为悬臂梁系统的等效质量； ｋ：为悬臂梁系统的等效弹簧常数； ｃ：为悬臂梁系统的阻尼常数； ｘ（ｔ）：为激振器激振器（谐振动）位移，ｘ（ｔ）＝Ａｓｉｎωｔ。
２、 实验原理 图３ 测试系统的框图如图３所示。
信号发生器可调节激振器的激振频率，激振器的激振频率由计数器读得，悬臂梁自由端的幅值由传感器经电荷放大器转换并放大，由电压表读得。
三、实验步骤 １、 开机，注意开机顺序依次为：信号发生器、功率放大器、频率计数器和测振仪。
２、 调节信号发生器（其振幅一般保持不变）和功率放大器，使激振器以较小的振幅激振；激振器然后调节信号发生器的频率，从１０－４０Ｈｚ扫频，使振幅达到最大，即找到系统的共振频率，再轻微调节功率放大器的振幅峰Ｆ０，使共振时的位移达到所需振幅。
３、 然后从低频段各点扫描，找出各点频率下对应的位移振幅，频率间隔根据不同情况选取（最好以位移振幅选取），并把各点数据记录表中和填入方格纸中，完成幅频曲线的绘制。
４、 检查幅频曲线的正确与否，偏差较大时，重新找取相应点的数据。
根据图示幅频曲线，由如下关系式计算系统的固有频率和阻尼常数。
５、 关机，把功率放大器的振幅调至最小，然后关闭仪器的电源，关机顺序正好与开机顺序相反。
四、实验数据记录及计算结果 序号 频率 振幅 １ ２ …． 按照幅频曲线，运用半功率原理得到： 10 36Frequency Response Function CurveA /A maxf (Hz)1固有频率：m n f f =， 带宽：12f f f −=∆ 相对阻尼系数：nf f2∆=ζ 五、实验要求 １、 实验前必须带好方格纸，在实验过程中，将所测数据填入方格纸中，画出曲线的草图，并让老师检查方可离开。
单自由度系统自由衰减振动和强迫振动(zu)
单自由度系统的自由衰减振动 和强迫振动的特征参数测量
力学基础教学实验中心
单自由度系统的自由衰减振动和强迫振动的特征参数测量
重庆大学力学基础教学实验中心振动实验室
概Hale Waihona Puke 模拟技术 被测对象传感器
述
振动测试有两种主要技术路线：
示波器
放大器
调理电路
记录仪
分析与显示 CPU A/D转换
数字技术(虚拟仪器)
单自由度系统的自由衰减振动和强迫振动的特征参数测量
单自由度系统的自由衰减振动和强迫振动的特征参数测量
重庆大学力学基础教学实验中心振动实验室
四、实验测试框图
1、在不变激励力的条件下,按照一定的频率增量， 调节激振力的频率ρ，并测量相应的响应值，画 出幅—频特性响应曲线。 2、根据幅—频特性曲线的最大值点Bmax，求系统的 固有频率f。根据半功率点求阻尼系数ξ。
单自由度系统的自由衰减振动和强迫振动的特征参数测量
重庆大学力学基础教学实验中心振动实验室
五、实验数据及结果
固有频率f
ρa
ρb
固有频率：
阻尼比ξ
f 0
阻尼比：
( b a ) 2 0
单自由度系统的自由衰减振动和强迫振动的特征参数测量
重庆大学力学基础教学实验中心振动实验室
六、单自由度自由衰减振动实验步骤
系统微分方程的解为：
x x1 x 2 Ae
nt
sin(
n t 0 ) B sin( pt )
2 2
稳态响应：
x x 2 B sin( pt )
2 2 2 2 2
其中： H ( ) B / h 1 / ( n ) 4 n p
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x
x0
cos n t
x0
n
sin
nt
1
A
2
cost
cosnt
解的讨论
❖ 从上式可以清楚地看到，前两项是由初始条件引起 的自由振动，频率为系统的无阻
2
cost
表示系统在简谐激励下的强迫振动，与
激扰力的频率相同，振幅和初始条件无关。
❖
❖
1
A
2
cos n t
表示激扰力引起的自由振动。
F (t)
❖ 受力情况如图，其扰动力为：
l0
k
s
m
O
x
x
变量说明
❖ 扰力： F F0 cos t
❖ F0 称为扰力的力幅 ，为常值
❖ 扰力的频率 ，简称扰频，为常值
系统运动微分方程
❖ 由牛顿第二定律：
❖ mx kx F0 cost
整理得
mx kx F0 cost
❖ 这就是无阻尼振动系统在简谐扰力作用下的 运动微分方程。
❖ 对于许多机器，在正常运转时，其扰频都远远超过系 统的固有频率，所以在启动和停止的过程中，都要通 过共振区，
❖
要是强迫振动，
迫振动，
1
A
2
cos
t
为激扰力引起的强
❖ 在 1 时 ，强迫振动的振幅随着的增大无
限增大，直到 1 时，即激扰力的频率和系
统的固有频率相等的时候，理论上的振幅趋 于无穷大，这种现象称为共振。
频率比对振幅的影响
❖
在
1
时，我们将1
A
2
cost
❖ 写成 值。
A 2
1
cos
t
，从而保证振幅为正
❖ 曲线只表示振动系统稳态运动的情
形，亦即激扰固定在某一频率时，系统振幅 达到定值后的情形。
共振的讨论
❖ 在共振时，系统的振幅将达到无穷大，事实上，这 是不可能的：
❖ 首先，系统存在阻尼，在下节大家将会看到，微小 的阻尼就会限制振幅的无限增大。
❖ 另一方面，在振幅无限增大的过程中，线性弹簧的 假设也不再成立。
共振时微分方程的特解
❖ 在 n的时候，方程的特解也不再为
x2 X cost
❖ 而应该表示为如下形式：，
x2 Bt cosnt
特解的导数 x2 Bcosnt Bnt sinnt
x2 2Bn sin nt Bn2t cosnt
x2 n2 x2
2Bn sin nt Bn2t cos nt n2Bt cos nt 2Bn sin nt 2Bn sinnt cos cosnt sin
m
e
t
x
O
M
k 2
c
k 2
Mx cx kx me2 sint
x
O
m
y
k 2
c
k 2
t m
k x y cx y
正弦激励法的作用
❖ 对于实际的振动系统的参数测量，实际上通 常加一系列的正弦信号，通过测量系统的响 应，来获得振动系统的参数，即所谓正弦激 励法，例如正弦扫频等。
讨论简谐输入意义
单自由度系统的 强迫振动
强迫振动：系统在持续的外界激励作用下 产生的振动
外界激励
周期激励
简谐激励
f
(t
T
)
f (t) f (t)
F0 sin t
非周期激励
强迫振动的形式
❖ 本章讨论单自由度线性系统在周期激扰（激 励或扰动）作用下的强迫振动，通常称为振 动系统对周期激扰的响应。周期激扰可以是 作用于振动系统的周期扰力，也可以是振动 系统支座的周期运动。
❖ 这种情形比较简单，而所得的结论却有很重 要的工程应用 ；
❖ 任意的周期激扰，都可以通过Fourier级数， 分解成若干个正弦型激扰的和；
❖ 利用线性系统的叠加性，可得到全响应。
例子
❖ 如右图所示，物体沿垂直方 向振动，取物体无扰力下的 静平衡位置为坐标原点，铅 kx 直向下为x轴正向，建立如 图所示的坐标系。
2 n2 X cost n2 Acost
❖ 并令：n
，称为频率比，可得：
X
n2 A 2 n2
A1
1
2
微分方程的通解
x
B1
cosnt
B2
sin nt
A
1
2
cost
齐次解积分常数的确定
❖ 对通解求导可得
x
B1
cosnt
B2
sin nt
A
1
2
cost
x
B1n
sin nt
B2n
cosnt
对扰力引起自由振动的讨论
❖ 令初始条件：x0 0, x0 0 ，微分方程的解简化为：
x
A
1
2
cost
cos nt
❖ 可见，激扰力不但引起强迫振动，同时还要引起自
由振动，二者都是简谐振动，但频率不相等的两个
简谐振动之和已经不再是简谐振动。
频率比对振幅的影响
❖ 对于周期扰动作用下的运动，我们关心的主
积分常数的确定
❖ 代入微分方程：x n2 x n2 Acosnt ，
2Bn sinnt cos cosnt sin n2Acosnt
❖ 从而：
cos 0
2
B n2 Acosnt n A 2n cosnt 2
共振特解的讨论
❖ 方程的特解可以写成：
x2
n A
2
t
cos nt
❖ 可见，共振的时候，强迫振动的振幅随着时间的增大 而按比例的增大。见图2-17
A 1 2
sin t
应用初始条件
❖ 由初始条件，初始位移和初始速度分别为：
x0 , x0
x0
B1 x0
A
1 2 B2n
B1
x0
A
1
2
B2
x0
n
通解表达形式
❖ 将得到的 B1, B2 代入方程的通解表达式：
x
x0
1
A
2
cosnt
x0
n
sin nt
1
A
2
cost
❖ 方程解可以写成：
❖ 从中可以看出，质量m 的位移与扰力正好反
向，振幅随着 的增大而无限减小。
放大率
❖ 在静力作用下，系统的静挠度为 A，可见：
1
❖ 1 2 体现了扰力的动力作用，这个量的
❖
绝对值记为放大率：
1
1
2
放大率-频率比曲线
❖ 放大率和 频率比之
间的关系， 3
即为
2
❖
1
曲线
1
2
3
n
的意义
定义辅助变量
❖ 令：
n
k m
A F0
k
❖ 表示在静力条件下，系统受到一个大小为 的力作用时的位移。
F0
方程和通解的标准形式
x n2 x n2 Acost
❖ 这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据 微分方程理论，它的解由两部分组成： x x1 x2
齐次解
❖ x1代表齐次微分方程 x n2x 0 的解，简
称齐次解，由前面的单自由度无阻尼自由振 动可得：
x1 B1 cosnt B2 sinnt B cos(nt )
特解
❖ x2 代表方程x n2x n2 Acost 的一个特解，
❖ 由激扰力的形式可知方程的特解可以表示成
❖ 为：
x2 X cost
积分常数的确定
❖ 将 x2 X cost 代入微分方程，可得：