第二章 线性规划
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第二章线性规划
线性规划要研究的两类问题中都包含有约束条件和目 标函数。用数学的方式描述，规划的目的就是在给定 的限制条件（或称约束条件）下，求目标函数的极值 问题（包括极小值和极大值）。
2
线性规划的数学模型
3
解： 设产品 的产量为：1 , 产品 的产量为：x2 x
4
5
6
7
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
15
2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
3x1 2 x2 4 x3 3
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
剩余变量
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
xs 3x1 2 x2 4 x3 3
当约束条件是“ ”型的不等式时，只要将该约 束条件左端减去一个非负的剩余变量即可化为等式。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价 值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。有时也将松 29 弛变量和剩余变量统称为松弛变量。
2x1+x2=4 D C
x1+2x2=5 B 4x1+3x2=9 O A x1
16
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
第二章线性规划
解：设产品 A、B 的产量分别为x , y 。则，数学模型为：
m inZ 2 x 3 y x 125 x y 350 2 x y 600 x, y 0
例3 营养问题
某公司饲养试验用的动物以供出售。已知这些动物的生长 对饲料中的三种营养元素特别敏感，分别称为营养元素A 、B、C。已求出这些动物每天至少需要700克营养元素 A,30克营养元素B，而营养元素C每天恰好为200克。现有 五种饲料可供选择，各种饲料的营养元素及单价如下表22所示，为了避免过多使用某种饲料，规定混合饲料中各 种饲料的最高含量分别为：50、60、50、70、40克。求满 足动物需要且费用最低的饲料配方。
最优解必定可在可行域的某个顶点上 取得。
QM软件求解两个变量的LP问 题的方法。（演示）
Step1 Step2 Step3 Step4
1 A B C 价 格 3 1 0.5 2
2 2 0.5 1 7
3 1 0.2 0.2 4
4 6 2 2 9
5 18 0.5 0.8 5
需 求 700 30 200
解：设 x j
j 1,2 ,3,4 ,5 为每天混合饲料内包含的
第 j 种饲料的数量 （克） 则营养问题的数学模型为： 。
m inZ 2 x1 7 x 2 4 x3 9 x 4 5 x5 3x1 2 x 2 x3 6 x 4 18x5 700 x 0.5 x 0.2 x 2 x 0.5 x 30 2 3 4 5 1 0.5 x1 x 2 0.2 x3 2 x 4 0.8 x5 200 x 50, x 60, x 50, x 70, x 40 2 3 4 5 1 x j 0, j 1,2,3,4,5,
第二章 线性规划基本内容
x1 0, x2 0, x3符号无限制
，x3 x4 x5 ， 解： 令 z z ，x1 x1 其中 x4 , x5 0 ，
则标准化后有
2 x2 3 x4 3 x5 max z x1 x2 s.t. x1 x4 x5 2 x2 x1 x4 x5 x2 3 x4 3 x5 3 x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0 x1
40 3x1 10x 2 300 (0,30) A x1 , x 2 0 4 x1 5 x 2 200
B(20,24)
3 x1 10 x 2 300
C(1000/29,360/29) 0 D E (40,0) (50,0) 100 x1
在 B 点获得最大值，z=4280
x2
凸集
定义 2.2.1： 设 S R n 是 n 维欧氏空间的点集， 若对任意 x S , y S 的 和 任 意 [0,1] 都 有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定义 2.2.2：设 S 为凸集 x S ，如果对任意 y, z S 和 0 1 ，都 有 x y (1 ) z ,则称 x 为 S 的顶点。 定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集的交还是凸集
（1）若 x k 0 ，令 x k x k
（2）若 中
xk
为符号无限制变量，则 。
xk xk xk
，其
, xk 0 xk
例1
max z 70x1 120x 2 s.t. 9 x1 4 x 2 360 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
2 线性规划
第一节 线性规划问题及其数学模型
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约
束方程的影响是独立于其他变量的，目标函 数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应 取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都 是确定的参数。线性规划问题不包含随机因 素。
约 束 方 程
约束条件
变量约束
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定
比例性假定：决策变量变化引起的目标函数
的改变量和决策变量的改变量成比例，同样， 每个决策变量的变化引起约束方程左端值的 改变量和该变量的改变量成比例
≥0
=
≥0
第一节 线性规划问题及其数学模型
标准型的简缩形式
max Z
c x
j j 1
n
j
s .t
n aij x j bi , i 1,2 , , m j 1 x j 0 , i 1,2 , , m
第一节 线性规划问题及其数学模型
或
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x p bi , x p 0
剩余变量
练习
例:将下列线性规划问题划为标准形式： min Z = x1+3x2
s.t.
6x1+7x28 -x1+3x2-6 x1-x2=3 x10
可行域无界
x1+2x2 10 x2 0 x1
可行域无界
x2
x1 0
第二章线性规划
线性规划研究的问题主要有以下两类。 (1) 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何统筹规划这些有限资源完成最大 任务。 (2) 给定一项任务，如何运筹规划，合理安排，以最少资源来完成它。 线性规划要研究的两类问题中都有一个限制条件：第一类问题是给出一定量的人力、 物力和财力等资源；第二类问题是给定一项任务。这种限制条件可以用一组线性方程组或 线性不等式组来描述。限制条件所要达到的结果称为“目标”，第一类问题的目标是利用有 限资源完成最大任务，第二类问题的目标是以最少资源完成给定任务。可以用一个线性函 数来描述这种目标，称这个线性函数为目标函数。 由此可见，各类问题尽管限制条件与目标不相同，但规划的目的就是使这些资源发挥 最大限度的作用，从而完成最多最大的任务。换句话说，也就是资源的最优利用问题。用 数学形式表示的话，规划的目的就是在给定的限制条件(或称约束条件)下，求目标函数的极 值问题(包括极小值和极大值)。 下面用一个例题来说明线性规划问题的特点。
0.1x1 0.17x2 0.14x3 0.22x4 0.07x5 ≥140 000 平均信用度不低于 6，即
非负约束，即
(11x1 8x2 10x3 4x4 10x5 ) /(5106 ) ≥6 xi ≥ 0 ， i =1, 2, 3, 4, 5
综上所述，该问题的数学模型可以表示为
16
第二章 线性规划
三、人力资源问题的数学模型
例 2-4 某商场因为每天顾客的数量不同，所以每天需要的营业员人数也不同。经过统 计分析，商场对营业员的需求量如表 2-5 所示。按照规定，营业员每周工作五天后，连续 休息两天。问：应如何安排营业员的作息，既能满足工作需要，又使得雇佣的营业员人数 最少？
表 2-3 产品规格
产品名称 X
0.1x1 0.17x2 0.14x3 0.22x4 0.07x5 ≥140 000 平均信用度不低于 6，即
非负约束，即
(11x1 8x2 10x3 4x4 10x5 ) /(5106 ) ≥6 xi ≥ 0 ， i =1, 2, 3, 4, 5
综上所述，该问题的数学模型可以表示为
16
第二章 线性规划
三、人力资源问题的数学模型
例 2-4 某商场因为每天顾客的数量不同，所以每天需要的营业员人数也不同。经过统 计分析，商场对营业员的需求量如表 2-5 所示。按照规定，营业员每周工作五天后，连续 休息两天。问：应如何安排营业员的作息，既能满足工作需要，又使得雇佣的营业员人数 最少？
表 2-3 产品规格
产品名称 X
最优化方法：第2章 线性规划
Z=CBB-1b+(σm+1,
σm+k ,
xm+1
σn
)
CB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0，故当λ→+∞时，Z→+∞。
用初等变换求改进了的基本可行解
假设Ｂ是线性规划 maxZ=CX,AX=b,X 0的可行基，则
AX=b
(BN)
XB XN
b
(I,B-1 N)
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
单纯形法简介
考虑到如下线性规划问题 maxZ=CX AX=b X 0
其中Ａ一个m×n矩阵，且秩为m，ｂ总可以被调整为一 个m维非负列向量，Ｃ为n维行向量，Ｘ为n维列向量。
根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶 点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。
非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定 Z=CBB-1b 是否已经达到最大值，只需将
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=CX=(CBCN
)
XB XN
=CBXB +CNXN =CB (B-1b-B-1NXN )+CNXN
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
第2章 线性规划(对偶问题)
对偶问题（或原问题）
目标函数为 Min W
n个
约束条件
＝
m个
变量
0 0 无约束
约束条件右端项cj 价值系数bi 约束条件的系数矩阵AT
例：
• 写出下面线性规划问 题的对偶问题：
• 1.
max Z 2x1 x2 3x3 x4
x1 x2 x3 x4 5
s.t.
2x1 x2 3x3
原问题（对偶问题）
目标函数 限定向量 价值向量 技术系数 约束条件 变量数目 约束条件个数 变量正负
对偶问题（原问题）
目标函数 价值向量 限定向量 技术系数 对偶变量 约束条件个数 对偶变量数目 约束条件
非对称形式的对偶问题
• 在原线性规划问题为Max型，且变量非负 的前提下：
1. 原问题约束条件是“”型
x1
x3
x4
1
4
x1, x3 0, x2 , x4无约束
• 解：根据上述对偶关 系，可以写出原问题 的对偶问题：
min W 5 y1 4 y2 y3
y1 2 y2 y3 2
s.t.
y1 y1
y2 1 3y2 y3
3
y1
y3
1
y1 0, yLeabharlann 0, y2无约束例：y1
0,
y3
0,
y2无约束
对偶的基本性质
• 原问题： Max Z=CTX
• 对偶问题： Min W=bTY
s.t. AXb X0
s.t. ATY C Y0
• ①对称性：对偶问题的对偶是原问题； • ②弱对偶性：若X是原问题的可行解，Y是
对偶问题的可行解，则CTX bTY
• 弱对偶性的证明： AX’ b X’TAT bT X’TATY’ bTY’
第二章 线性规划的图解法
x2
AB
z
C
D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
12
❖ 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
❖ 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
❖
2 x1 + x2 ≤ 400
❖
x2 ≤ 250
❖
x1 , x2 ≥ 0
❖最优解： x1 =50 x2 = 250
❖例2：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台
- (c1 / c2 ) ， 当 -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 时，原最优解仍是最优解。
❖假设产品Ⅱ的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100
❖假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 +
▪ 4.无可行解。若在例1的数学模型中 再增加一个约束条件4x1+3x2≥1200， 则可行域为空域，不存在满足约束条 件的解，当然也就不存在最优解了。
例3.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同 ，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料 需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总 共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万 元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A ，B两种原料，使得购进成本最低？
❖-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
AB
z
C
D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
12
❖ 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
❖ 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
❖
2 x1 + x2 ≤ 400
❖
x2 ≤ 250
❖
x1 , x2 ≥ 0
❖最优解： x1 =50 x2 = 250
❖例2：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台
- (c1 / c2 ) ， 当 -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 时，原最优解仍是最优解。
❖假设产品Ⅱ的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100
❖假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 +
▪ 4.无可行解。若在例1的数学模型中 再增加一个约束条件4x1+3x2≥1200， 则可行域为空域，不存在满足约束条 件的解，当然也就不存在最优解了。
例3.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同 ，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料 需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总 共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万 元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A ，B两种原料，使得购进成本最低？
❖-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
2-1线性规划引论-(1) [运筹学]
![2-1线性规划引论-(1) [运筹学]](https://img.taocdn.com/s3/m/e8b076084431b90d6c85c7c1.png)
min Z cij xij ;
aij xij ai (i 1, 2, m, 对机床A i 加工机时的限制); j 1 m s.t. xij b j ( j 1, 2, n, 对零件B j的需要量必须保证); i 1 xij 0(i 1, 2, m; j 1, 2, n).
11
min Z x1 x2 xn ;
例4 运输问题
某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、 货运成本如下表所示。
编队形式 航线号 船队 类型 1 1 2 3 2 4 1 — 4 27 20 1 2 — 2 4 4 36 72 20 40 拖轮 1 A型 驳船 2 B型 驳船 — 货运成本 （千元／队） 36 货运量 （千吨） 25
解：
当产销平衡（即 ai b j）时，设xij 表示由产地A i 运往销地B j (i 1,2, , m; j 1,2, , n)的运量，
i 1 j 1
m
n
则问题的数学模型为：求xij (i 1,2, , m; )
minZ cij x ij ;
i 1 j 1
编队形式
x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 30 2x1 + 2x3 ≤34 4x2 + 4x3 + 4x4 ≤52 25x1 + 20x2 xj ≥ 0 j = 1,2,3,4 ＝200 40x3 + 20x4 ＝400
船队 用单纯形法可求得： A型 B型 类型 1 2 3 4 拖轮 1 1 2 1 2 — 4
a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 n x n b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 21 1 s.t. a x a x a x b m 2 2 mn n m m1 1 x j 0 ( j 1, 2 , , n )
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0
2
x1
x2
4
(4)无可行解（约束条件有矛盾） 如：
0 x1 x2
结论： ①约束集合一定是凸条边形（二维）； ②若有最优解，则一定可在多边形顶点获得。
§3单纯形法
单纯形法的基本思路是：根据问题的标准，从可行域中某个基本可行 解（一个顶点）开始，转换到另一个基本可行解（顶点）；并且使目标 函数达到最大值时，问题就得到了最优解。即 初始顶点(可行域一顶点)…
那么，约束方程 即 --------有无穷解
令则 那么，约束方程组的解 ，将其称为问题的基本解。 注意：基本解不一定是可行解，若,则称为问题的基本可行解，对应于 基本可行解的基矩阵，称为可行基。
4、最优解：对应于某一可行基，使目标函数获得最优值的基本可行 解，称为最优解。最优解所对应的基矩阵称为最优基。
最优解，最优值 2、两阶段法 前面介绍了大M法，但在电子计算机求解含有人工变量的线性规划 问题时，只能用很大的数代替M，这就可能造成计算上的错误。故再介 绍两阶段法。 第一阶段：不考虑原问题是否存在基可行解；给原问题加入人工变 量，并构成仅含人工变量的目标函数和要求实现最小化，然后用单纯形 法求解上述模型，若得到，这说明原问题存在基可行解，可以进行第二 阶段计算。否则，原问题无可行解，应停止计算。 第二阶段：将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量，将目标 函数行的系数换为原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始 表。 例6 试用两阶段法求解。
如果为最优解，则最优值为 判断定理：（对标准型maxZ来讲） （1）若所有，则为最优解。 （2）若所有,且有某个，则LP问题有无穷多个最优解。 （3）若有某个，则不是最优解。 （4）当时，若有一个，且对一切都有,则有无界解(或无最优解)。
3、基变换：确定新的基矩阵的过程
（1）换入变量的确定 选择中的最大者所对应的变量作为换入变量，即
为（-M）（M为任意大的正数），这样目标函数实现最大化时，必需把
人工变量换出。 例5 试用大M法求解 解：化为标准型
CB XB b
3 -1 -1 0 0 -M -M x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 x4 11
1 -2 1 1 0 0 0
11
-M x6 3
-4 1 2 0 -1 1 0
3/2
单纯形法计算中用规划确定换出变量时，有时存在两个以上相同的 最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，这就出 现了退化解，当出现退化时，进行多次迭代，而基从，又返回到，即出 现计算过程的循环，使永远达不到最优解。为解决这个问题我们介绍勃 兰特规则：
（1）当存在两个或两个以上最大检验数时，选取中下标最小的非基
0 x4 12
3 0 0 1 -2
4
-1 x2 1
0 1 0 0 -1
-
-1 x3 1
-2 0 1 0 0
-
1
-1
3 x1 4
1 0 0 1/3 -2/3
-
-1 x2 1
0 1 0 0 -1
1
-1 x3 1
0 0 1 2/3 -4/3
-
-1/3 -1/3 原问题的最优解为：,最优值为
二、退化（极少出现）
§1 线性规划的数学模型及解的性质
一、数学模型（一般形式）
例1 已知某市有三种不同体系的建筑应予修建，其耗用资源数量及 可用的资源限量如下表，问不同体系的面积应各建多少，才能使提供的 住宅面积总数达到最大？
造价
钢材
水源
砖(块/m2) 人工（工
（元/m2） （kg/m2） （kg/m2）
日/m2）
砖混结 构 大板结 构 大模结 构 资源限 量
解：第一阶段：
CB XB b
00 000 1 1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 x4 11
1 -2 1 1 0 0 0
11
1 x6 3
-4 1 2 0 -1 1 0
3/2
1 x7 1
-2 0 [1] 0 0 0 1
1
6 -1 -3 1
0 x4 10
3 -2 0 0 0 0 -1
-
1 x6 1
举例说明：
约束矩阵 若取基矩阵 则非基矩阵 基变量,非基变量
∴基本解为 是基本可行解 若取基矩阵 则
-----基本可行解 注意：基本可行解与可行域的顶点坐标是一一对应的。
§2 图解法---主要解决二维线性规划问题
一、按约束条件，绘出解的可行域图形
(20,24) 0
90
40 50
100 x1
40 x2
二、标准型
（一）问题的标准形式：
其中 注意：任何一个一般型都可转化为一个标准型。
（二）标准型的表示方法：
1、和式形式：
2、矩阵形式：
其中 -------价格系数向量 -------资源向量（限定系数向量） -----------约束条件系数矩阵 --------决策变量
3、向量形式：
其中 为约束条件系数矩阵A的第j列。
变量为换入变量，即； （2）当按规则计算时，存在两个或两个以上最小比值时，选取下标
最小的基变量为换出变量。
三、单纯形法小结
类型
Max
min
检验数
判别
一切，最优
一切，最优
确定进基变量
确定出基变量
有唯一最优解
一切
一切
则 注意：松驰变量、剩余变量的价值系数取为0，而人工变量的价值系数 取值为大M。
2、检验 基本可行解 对应的目标函数值
对任意可行解 变化为 即 将其代入目标函数得：
非基变量价值系数 基变量价值系数
当时，的最大值是 即为最优解。 这里，我们称每个为检验数。 当 检验数
第个基变量的价格系数 第个非基变量的价格系数
（三）一般型化为标准型的方法
1、 引进新的目标函数, 则可化为
2、不等式约束
① 引进新的非负决策变量, 使得
称为松弛变量，在目标函数中，其价格系数为0。 ② 引进新的非负决策变量,使得 称为剩余变量，在目标函数中，其价格系数为0。 3、若，即
可变为 4、若某个变量无非负限制，称为自由变量。 令
例3 将下列问题化为标准型 解：标准型为
3.4
–1.2
0 0 1 -3.12 1.16 1 0 0 0.4 -0.2 0 1 0 -0.12 0.16
-1.36 -0.52
90 40 30
30.77 20 100
§4单纯形法的进一步讨论
一、人工变量法
1、大M法
在一个线性规划问题的约束条件中加入人工变量后，要求人工变量
对结目标函数值不受影响，为此我们假定人工变量在目标函数中的系数
例：（按上例） 解：
7 12 0 0 0
0 360 0 200 0 300
0 240 0 50 12 30
0 84 7 20 12 24
最优解为 最优值为
9 4 10 0 4 5 01 0 3 [10] 0 0 1
7 12
7.8 0 1 0 -0.4 [2.5] 0 0 1 -0.5 0.3 1 0 0 0.1
②存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或不等 式来表示。
③都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目 标函数）来表示；按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。其一般形 式为：
目标函数 约束条件 可行解：满足约束条件的一组决策变量，称为可行解。 最优解：使目标函数取得最大（小）值的可行解，称为最优解。 最优值：目标函数的最大（小）值，称为最优值。
二、单纯形表：（将上述过程列成表格,便于理解）
对每一个可行基，作一个单纯形表，包括①基可行解②检验数③和 主元素。
…… …… 10 … 0 … 0 1 …0 …
0 0…0 …
列中填入基变量，这里是 列中填入基变量的价值系数，与基变量一一对应，这里是 列中填入约束方程组右端的常数； 行中填入各变量的价值系数 列的数字是在确定换入变量后，按规则计算出来的比值； 行为检验数行，对应各非基变量的检验数。
0 [1] 0 0 -1 1 -2
1
0 x3 1
-2 0 1 0 0 0 1
-
0 -1
13
0 x4 12 0 x2 1 0 x3 1
[3] 0 0 1 -2 2 -5 0 1 0 0 -1 1 -2 -2 0 1 0 0 0 1
0
01 1
最优解为 第二阶段：
CB XB b
3 -1 -1 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
≤ ≤≤ ≤
一、单纯形法的求解步骤
（1）寻找初始可行基,并计算初始基本可行解； （2）检验基本可行解是否最优； （3）寻找更好的可得基； （4）重复（2），（3）。
1、初始可行基的确定 i)若A中含有阶单位矩阵,则取。此时， 是可行基
ii)若中不含有m阶单位矩阵，就采用人造基的方法。即增加人工变 量把原问题化为含有的等价问题。（下一节重点讲） 例： 因为系数数阵A中不含有单位矩阵，需增加人工变量化为
（2）换出变量的确定：用最小比值规则（θ规则）
设
则取为换出变量 当时， 则取为换出变量，称为主元素 （3）新基矩阵的确定
如： 解： 取初始基矩阵 那么 基可行解 检验数： 不是最优解，换入变量为
换出变量为（基变量中的第3个变量），主元素为 增广矩阵变换：
新的基矩阵 新基可行解 检验数：
不是最优解。
105
12
110
210
137
30
190
122
25
180
11000万元 2000万千克 15000万块 14700万块