人教版八年级上册 13.4 将军饮马模型浅解 讲义

将军饮马问题

将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。

将军饮马故事

“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”

原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B 地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？

模型一：一条定直线，同侧两定点

在直线l的同侧有两点,在L上求一点P，使得值最小。

一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。A’B即为最短距离。

理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到’P。所以’。这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。

例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离1=2千米，1=1千米，且A1B1=4千米。

（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？

（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？

模型二：一条定直线，一定点，一动点• A

• B • B

• A

•

A’•B’

•

A’

•

B’

L L

•A

•B

如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点B

，在直线L 上找一点P ，使得值最小。

做法：做A 点关于l 的对称点A`点，

再过A`点做垂直k 于B 点，交l 于P 点，

此时值最小。

理由：对称后，``点到直线k 的最短距离

为垂线段A`B ，故的最小值为

A`B 。

模型三：一定点，两条定直线

如图，在∠ 内有一点 P ，在 和 各找

一个点 M 、N ，使得△ 周长最短（题 眼）。

一般做法：作点 P 关于 和 的对称点

P1、P2。连接 P1P2。P1P2 与 、 的交点即为

所求点。P1P2 即为最短周长。

理由：对称过后，1M ，2N 。所以12。所以问

题就化成了求 P1 到 P2 的最短距离，直接相连

就可以了。

模型四：两定点，两条定直线

如图，点P ，Q 为∠内的两点，分别在，上做

点A ，B ，是四边形的周长最小。

一般做法：分别做点关于，的对称点P``,连

接P`Q`分别交，于两点，此时四边形的周长最小，

最小周长为`Q`。

理由：做完对称后，由对称性可知，`A ，

`B ，P`，B ，Q`四点共线时，四边形的周长等于P```Q`。

练习题：

1.如图，点P 是∠内一点，点M ，N 分别在，上运动，若∠30度，4，则三角形周长的最小值为多少。

2..如图，正方形的边长为8，M 在上，且2，N 是上一动点，则的最小值是多少？

3.如图所示，在边长为6的菱形中,∠600，E 为的中点，F 是 上一动点，则的最小值是多少？

4.

如图， 中，＝4， ，P 为上一点，过点P 作，交于D 。连结，问点P 在上何处时， ⊿ 面积最大？ A B C D M N

A B C D E F ABC