线性代数第一章n阶行列式【哈工大版】学习资料

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大一线性代数行列式知识点

大一线性代数行列式知识点线性代数是大学数学课程中的重要内容之一，而线性代数中的行列式更是一个关键的概念。

行列式具有广泛的应用，在矩阵运算、方程求解、向量空间等方面都发挥着重要的作用。

本文将介绍一些大一学生常见的线性代数行列式知识点，包括行列式的定义、性质以及计算方法。

一、行列式的定义行列式可以看作是一个方阵的一个具体的实数值。

对于一个n阶方阵A，行列式的定义如下：det(A)=∑(−1)^σP(a1,σ(1))a2,σ(2)...an,σ(n)其中，det(A)表示方阵A的行列式，σ表示一个置换，P表示这个置换的奇偶性，a1, a2, ..., an表示A的元素。

二、行列式的性质行列式具有许多重要的性质，下面将介绍其中一些常见的性质。

1. 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。

这意味着行列式的值不受行、列次序的影响，只取决于方阵中元素的值。

2. 互换某两行（列）的位置，行列式的值变号。

这个性质说明了方阵中交换两行（列）的位置对行列式的值有影响。

3. 方阵中某行（列）的元素都乘以一个数k，行列式的值乘以k。

这个性质说明了方阵某行（列）的元素乘以一个数k对行列式的值有影响。

4. 方阵中某行（列）的元素表示为两个数之和，可以将行列式分成两项之和。

这个性质可以用于简化行列式的计算。

三、行列式的计算方法计算行列式的值是线性代数中的重要技能之一，下面将介绍两种常见的计算行列式的方法。

1. 代数余子式法代数余子式法是一种逐步缩小行列式规模的计算方法。

具体步骤如下：- 选定方阵A的第一行（列）；- 对于第一行（列）的每个元素aij，计算其代数余子式Mij；- 根据公式det(A) = ∑((-1)^(i+j))aijMij，计算行列式的值。

2. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种从行或列展开的计算方法。

具体步骤如下：- 选定方阵A的第一行（列）；- 对于每个选定的元素aij，计算其余子式Aij；- 根据公式det(A) = ∑((-1)^(i+j))aijAij，计算行列式的值。

哈尔滨工业大学数学系第一章行列式

a11a22-a12a21
=
a11 a12 a21 a22 a11 b1 a21 b2 a11 a12 a21 a22
返
二阶行列式
a11 a12 符号为二阶矩阵称形如 a21 a22 的符号为二阶矩阵 a11 a12 的行列式,简称二阶行列式. 简称二阶行列式的行列式简称二阶行列式 a21 a22
2 3 =11≠0 解: D= 1 7 9 3 =75 D1= -4 7 2 9 =-17 D2= 1 -4
x=75/11 y=-17/11
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33+a12a23a31 +a13a21a32 -a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31
= ∑(-1)t(p1p2…pn) aP11aP22
bnPn aPnn = D
性质(2) 换行 (列) 换号（即 D1= - D ） a11 a12 … a1n r r b11 b12 … b1n i j b21 b22 … b2n D= a21 a22 … a2n
… … … … … … … … … …
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
返
三阶线性方程组
a11x1+a12x2 +a13x3 =b1 a21x1+a22x2 +a23x3 =b2 a31x1+a32x2 +a33x3 =b3 a11 a12 a13 若 D= a21 a22 a23 ≠0 a31 a32 a33

线性代数教学课件第一章行列式第一节n 阶行列式

b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
为了便于记忆，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行，
纵排叫列，aij叫行列式的元素，元素aij 的第一个
下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 13
二阶行列式的计算
行列式中的横排叫行，纵排叫列，叫元素. 三阶行列式所表示的代数和可利用下图所示的对角线法则来记忆，实线上三元素之积取正号，虚线上三元素之积取负号.
16
对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
28
同理可得下三角行列式
a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann
a11a22 ann .
29
特殊情况:
a11 0 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 0 a33 0 0 a11a22 ann . 0 0 0 0 ann
这种行列式称为对角行列式.
30
类似可证：
关，如方程 x2 1 0
在有理数范围和实数范围均无解，但在复数
范围有解：x i
5
因此同一问题在不同的数集内可有不同的结果. 另一方面，有理数、实数和复数有许多共同的关于加、减、乘、除的运算性质, 为了把具有这些共同运算性质的数集统一处理，便引入以下数域的概念.
定义1.1 设F是至少含有两个不同复数的数集，若中任意两个数（可以相同）的和、差、积、商（除数非零）仍为F中的数，则称F是一个数域(field of numbers). 若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F中，则称F关于这一运算封闭. 因此，F为数域当且仅当至少含有两个不同数且关于加、减、乘、除（除数非零）的运算封闭.

线性代数课程课件-第一节n阶行列式的定义

行列式性质3
如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。
行列式转置性质
行列式D的转置行列式DT等于 D，即DT=D。
行列式性质2
把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。
行列式性质4
如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。
n阶行列式的运算规则
01
行列式按行（列）展开法则
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
02
克拉默法则
如果线性方程组系数行列式D≠0，则该线性方程组有唯一解，且解向量
可由系数行列式的各列元素唯一确定。
03
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取k行（列），1≤k≤n-1，由这k行（列）的元素
性质
范德蒙德行列式的值等于$prod_{1 leq j < i leq n} (x_i - x_j)$，即所有不同两行对应元素之差的乘积。若$x_i = x_j$（$i neq j$），则范德蒙德行列式的值为零。
04 n阶行列式的性质与运算
n阶行列式的性质
行列式性质1
互换行列式的两行（列），行列式变号。
主对角线
从左上角到右下角的连线称为主对角线，主对角线上的元素称为主对角元素。
n阶行列式的性质
01
02
03
04
行列式转置
行列式行与列互换，其值不变。
行列式性质
对换行列式的两行（列），行列式变号。
行列式的数乘性质
某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外
面。
行列式的加法性质
若行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零。

线性代数 n阶行列式

t 01 0 01 3 4 4 5
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
t n 1 n 2 2 1
a11 a12 a22 a1 n

0 0
a2 n 1 12n a a a 11 22 nn a11a22 ann . 0 ann
1 2 3 4
例5
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 4 0 0 3 2 5 0 4 1 1 4 5 8 160. 6 8
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积; 4、一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
5、 a1 j1 a2 j2 anjn 的符号为 1 j1 j2 jn
其中 j1 j2 jn 为自然数 1， 2，，n 的一个排列.
D
a11 a21 an1
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．例如
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．设排列为对换 a 与 b a1 al ba b1 bm a1 al ab b1 bm 除 a,b 外，其它元素的反序数不改变. 当a b 时
0 1

1

2

2

t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，

线性代数第一章行列式第四节对换

排列各占一半. 排列变为a ··mlbab1 · b . 显然, ·al 和 · · · · · · 排列变为a1 · albab1 1·ba. 显然, m排列 a1 ·排列 a1 · · · · 个不同的证明b 设在全部设在全部 n 阶排列中有这个不同证明 n 阶排列中有 s而 a , b s而 a , b · · b1 · bm 经对换后的逆序数并不改变, · · 1 · bm 经对换后的逆序数并不改变, 推论奇排列和 t 个不同的偶排列,需证 s = t. 奇排列和两个元素的逆序数改变为: = t. t 2 奇排列变成标准排列的对换次数为个不同的偶排列,需证 s 当a<b时,经对换后两个元素的逆序数改变为: 当a<b时,经对换后 a 奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 当a>b时的逆序数增加把而个奇排列最左边的两个数对换,则 1 s b 的逆序数不变; 当a>b时,经把 s 的逆序数增加 1 而 b 的逆序数不变; 个奇排列最左边的两个数对换,则 s 个
一种表示法. 排列改变奇偶性. 对于行列式的任一项
(1) a1 p1 aipi a jp j anpn ,
t
其中 1i j n 为自然数排列，t 为排列
p1 pi p j pn
的逆序数，对换元素 aipi 与 a jp j 成
(1)t a1 p1 a jp j aipi anpn ,
对换模型 a 的逆序数不变而 b 的逆数减少 1. 对换后个不同的偶排列, 所以 ≤ 所以对换后 a 的逆序数不变而s b 的逆数减少 s1. 所以 s ≤ 奇排列变成了 s 奇排列变成了个不同的偶排列, t .
三、n 阶行列式的等价定义
利用定理 1 一个排列中的任意两个元素对换, 下面来讨论行列式定义的另

《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题1-习题课

00 00
x 1
0 0 x 1
00
x 1 0 0
0 0 (1)nn( x a1) 0 x
00
0 1
00 0x
证法二：按第一列展开，得
Dn=xDn-1+an 再根据上面的递推公式可得结果。
c1 xc2 xn1cn
证法三：Dn
0
1 0
0
x 1
00 00
0
00
0
0
an
例2 计算
1111
abcd D
a2 b2 c2 d 2
a4 b4 c4 d 4
解：构造
1111 1 abcd x
f (x) a2 b2 c2 d 2 x2
a3 b3 c3 d 3 x3
a4 b4 c4 d 4 x4
（这是一个范德蒙行列式）
=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) 另外f(x)按最后一列展开，可得
1
11
1
an
an1 an Dn1
an1 an (a1a2 an2 an1Dn2 )
方法三：升级法。看例1
11
1 11
1
解：原式= 0 1 a1
1
1
a1
0
01
1 an 1 0
an
1 aa c1

i
n 2
1 ai 1
ci
n 1
i1 i
1
1

0
a1
0
5. 行列式按行（列）展开
1 ) 余子式与代数余子式２）关于代数余子式的重要性质
a A n ki k 1

线性代数1-3 n阶行列式的计算

311 131 113
1234 2341 3412 4123
例7 计算行列式 1 a a 0 0 0 1 1a a 0 0
D5 0 1 1 a a 0 . 0 0 1 1a a 0 0 0 1 1a
解：将行列式的其它行加到第一行得
a 0 0 0 1 1 1a a 0 0 D5 0 1 1 a a 0 0 0 1 1a a 0 0 0 1 1a
3 2 0 ... 0 0
1 3 2 ... 0 0
3Dn1 2 ... ... ... ... ... ... 3Dn1 2Dn2
0 0 0 ... 3 2 0 0 0 ... 1 3
3 2 0 ... 0 0 1 3 2 ... 0 0
即
Dn 3Dn1 2Dn2
1
0 0 0 y
1 1 1 y
第一章行列式
1
xy 2 x 1
1
1 1 y
1
1 x 1 0 1 y 0
1 1 y
1
1 1 1

xy2
x

0
0
y 0
1 y 0 x
1 y
1
1
y

xy 2 x( y 2 xy2 ) x 2 y 2
13
第一章行列式
Dn Dn1 2n
第一章行列式
Dn 2n Dn1 2n (2n1 Dn2 )

0
a xa
0 0
a 0 xa 0
a 0 0 xa
( x a)n1[ x (n 1)a].
第一章行列式
行列式的每一行的n个元素之和相等时常用此法.

线性代数课件--01n阶行列式的定义及性质-PPT精品文档

（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
课件 12
三阶行列式的计算对角线法则
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
a a a a a a a a a 12 23 31 13 21 32 11 22 33 a a a a a a a a a . 13 22 31 12 21 33 11 23 32
4
二、二阶行列式的定义
定义由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表 a a 11 12
a a 21 22 ( 4 )
表达式 a a a a 称为数表（ 4 ）所确定的 11 22 12 21 a 11 a 12 行列式，并记作 ( 5 ) a 21 a 22
即
a 11 a 12 a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
注意红线上三元素的乘积冠以正号，黄线上三元素的乘积冠以负号．
说明
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
课件
13
利用三阶行列式求解三元线性方程组
x x x a 11 1 a 12 2 a 13 3 b 1, a x x x 如果三元线性方程组 21 1 a 22 2 a 23 3 b 2, a x x x 31 1 a 32 2 a 33 3 b 3;
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
分母都为原方程组的系数行列式.
课件
10
例1 求解二元线性方程组
3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
解
3 2 3 ( 4 ) 7 0 , D 2 1

1n阶行列式1

D＝aijAij
证先证i＝1，j＝1的情形
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对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论。
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定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
证
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例计算行列式解由定理3 知
注：运用定理3可适当减轻行列式的运算。
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说明： 1) 等式右边的每一项都是n个元素的乘积，这n个元素均位于不同的行和不同的列。
2) 各项的正负号与列标排列有关，偶排列为正，奇排列为负。
3) 因为1,2,…n的排列有n!个，故等式
右边共有n!项。
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例计算4阶行列式
解：根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一
对于D中任一项其中I为排列在D1中必有对应一项
的逆序数
其中I1为排列与
的逆序数只经过一次对换
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所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。
交换行列式i，j两行记作r（i，j），交换行列式 i，j两列，记作c（i，j）。
推论若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。
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性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
以数k乘以第i行(列)上的元素加到第j行(列)对应元素上，记作r（j＋i（k）），[ c（j＋i（k）]，有
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总结：三种行列式变换 1 互换两行或两列

线性代数-行列式(完整版)

思考练习（排列的逆序数详解）
方法1 在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s<t), 则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序，且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列
x1x2…xn中取两数的方法共有
C 2 n! n(n 1)
n 2!(n 2)!
2
故排列 x1x2…xn 与 xnxn-1…x1 中逆序之和为
(iii)项数为 3！=6
24
“-” 321 213 132 （奇排列）
a11 a12 a13
0
123
2
231
2
312
a21 a22 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
n(n 1) 2
依题意，有
此即
22
N (xn xn1
x1)
n(n 1) 2
I.
方法2
n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列
x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构
成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和
为
li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n)
a11a22 a12a21
数a（ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横排称为行，竖排称为列,
aij中i称为行标, j称为列标, aij 表示第i行第j列元素,
左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线，

线性代数第1章行列式n阶行列式的定义

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
行列式的计算
80%
直接计算法
按照定义直接计算，适用于低阶行列式。
100%
降阶法
利用性质将高阶行列式降为低阶行列式计算，适用于高阶行列式。
80%
将深入讲解特征值与特征向量的定义、性质以及计算方法等。
向量与线性方程组
将探讨向量的概念、向量的线性组合与线性方程组的关系等内容。
二次型与正定矩阵
将介绍二次型的概念、正定矩阵的判定以及二次型的标准化等内容。
学习建议与要求
熟练掌握行列式的定义、性质和计算方法，能够灵活运用所学知识解决相关问题。
线性代数第1章行列式n阶行列式的定义
目
CONTENCT
录
• 引言 • n阶行列式的定义 • 行列式的性质与计算 • 克莱姆法则 • 行列式的应用 • 总结与展望
01
引言
线性代数的重要性
02
01
03
是数学的一个分支，研究线性方程组、向量空间、矩阵等概念和性质。
在计算机科学、物理学、工程学等领域有广泛应用，如计算机图形学、量子力学、电路分析等。
本章内容与目标
01
掌握n阶行列式的定义和性质，理解行列式与矩阵的关系。
02
学会计算低阶行列式，了解高阶行列式的计算方法和技巧。
03
了解克拉默法则及其在线性方程组中的应用，理解行列式在解决实际问题中的意义和作用。
02
n阶行列式的定义
行列式的概念
行列式是数学中的一个基本概念，表示一个方阵的数值特征。

线性代数第1章n阶行列式

乘法性质可以用数学表达式表示为：C = A * B。
乘法性质在计算行列式和解决线性方程组时非常有用，因为它可以简化计算过程。
行列式的加法性质
01
行列式的加法性质是指两个同阶行列式相加时，其结果的行列式等于将这两个行列式对应元素相加得到的行列式。即，如果A和B都是n阶行列式，那么它们的和C也是一个n阶行列式，且C的值等于将A和B对应元素相加得到的行列式。
02
加法性质可以用数学表达式表示为：C = A + B。
03
加法性质在计算行列式和解决线性方程组时非常有用，因为它可以简化计算过程。同时，它也表明行列式是一个线性空间中的元素，具有线性性质。
03
n阶行列式的展开
二阶行列式的展开
• 二阶行列式由两个元素组成，按照对角线法则，可以展开为两个一元一次方程的乘积。
具体地，对于n阶行列式，其展开结果为若干个一元一次方程的乘积之和。
04
行列式的计算方法
代数余子式
定义
在n阶行列式中，去掉某行和某列后所得到的(n-1)阶行列式，与原来的n阶行列式相比，该(n-1)阶行列式前面多了一个负号，这个(n-1)阶行列式称为代数余子式。
性质
代数余子式与原来的n阶行列式中的元素有关，并且代数余子式的符号由去掉的行和列的元素的排列顺序决定。
感谢您的观看
转置运算可以用数学表达式表示为：D' = D。
转置运算在行列式中非常重要，因为它可以简化计算过程，并且有助于理解行列式与其他数学概念之间的关系。
行列式的乘法性质
行列式的乘法性质是指两个行列式相乘时，其结果的行列式等于将其中一个行列式的行与另一个行列式的列相乘得到的行列式。即，如果A和B都是n阶行列式，那么它们的乘积C也是一个n阶行列式，且C的值等于将A的行与B的列相乘得到的行列式。

精选Ch1n阶行列式资料

行列式值不变.
37
1 2 3 4
例7 计算 D 2 3 4 7
1 2 5 8
1 3 5 10
解通过行变换将D化为上三角行列式
r1 r3 1 2 3 4 r1 r4 0 1 2 1
D
(2) r1 r2 0 0 2 4 0 1 2 6
38
25
注意这个行列式的值一般并不等于
a1a2 an 当 n=4,5 时: D4 a1a2a3a4 , D5 a1a2a3a4a5 当 n=6,7 时:D6 a1 a6 , D7 a1 a7
问题 2: 如何决定下面一般项的符号?
a a i1k1 i2k2
a a a inkn
(2)不相邻对换
ik1 ks j jk1 ksi
需要进行 2s+1 次相邻对换. 所以对换改变排列的奇偶性.
18
推论全部 n(2)阶排列中奇偶排列
各占一半.
证设n!个 n 阶排列中有s(t)个奇(偶)排列
s t n!
奇排列
s 个
(1,2)对换 s t (1,2)对换 s t
D

a11 a21
a12 a22

+
a11a22
a12a21
0
10
D1

b1 b2
a12 a22
b1a22 a12b2
D2

a11 a21
b1 b2
a11b2 b1a21
当系数行列式 D 0时,则方程组有唯一解,其解可表示为:
x1

D1 D
,
x2

D2 D
11
例1 求解方程组 3x1 5x2 1 x1 2x2 2