线性代数第一章n阶行列式【哈工大版】学习资料

对角线法则
a1a 122 a33a12a23a31a13a2a132 a13a22a31a12a2a133a1a12a33.2
a 31 a 32 a 33
1 2 -4 例1 计算三阶行 D列 -2式 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
线性代数
教材：郑宝东主编. 线性代数与空间解析几
何. 高等教育出版社，北京，2013
参考书：［1］同济大学数学教研室编.线性 代数(第六版).高等教育出版社.2014年 ［2］赵连偶，刘晓东.线性代数与几何(面向 21世纪课程教材).高等教育出版社 ［3］居余马等.线性代数. 清华大学出版社
第一章 n阶行列式
4 6 3 4 2 8 24 1.4
例2 证明 证明：
a2 ab b2 2a ab 2b (ab)3 111
左 边 a2(ab)2ab22ab2b2(ab)2a2b2a2b a3a2b2ab22ab2ab2b32a2b2a2b a33a2b3ab2b3 （ ab） 3右 边
在三阶行列式，共有 3! 6项；
方程组
2 x
x 1 1
2
3 x
x
2
2
8 3
系数行列式
23 2(2)137
1 2
称为二阶行列式。
二阶行列式（determinant）
给定 a、b、c、d 四个复数，称
ab adbc
cd
为二阶行列式。 为方便记
Da11 a21
aa1222a11a22a12a21.
其中元素 aij 的第一个下标 i 为行标，第二个下标 j 为列 标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。
3级全排列的全体共有6种，分别为 123，231，312，132，213，321 n级全排列的种数为
n (n 1 ) 3 2 n !1
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的
自然数，规定由小到大为自然排序（标准次序）。
于是，当 a11a22a12a210, 有唯一解：
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
,
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
写成行列式形式有：
b1
x1
b1a22 b2a12 a11a22 a12a21
b2 a11
a21
a12
a22 D1
a12
D
a22
a11
每一项都是不同行不同列的三个数相乘，前面的正负号不同
a 11 a 12 a 13
a 21 a 31
a 22 a 32
a 23Hale Waihona Puke Baidua 33
a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132 a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 231
中，6项的行下标全为123，而列下标分别为
a 1 1 a 2 3 a 3 2 a 1 2 a 2 1 a 3 3 a 1 3 a 2 2 a 3 1
如果 D 0 ，那么对于三元一次方程组：
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a13x3 a23x3
b1 b2
a31x1 a32x2 a33x3 b3
利用消元法也有相同的结果，
2 三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11a a2 32 2
a a2 33 3a12a a2 31 1
a a2 33 3a13a a2 31 1
a22 a32
a 1 1 a 2 2 a 3 3 a 1 2 a 2 3 a 3 1 a 1 3 a 2 1 a 3 2
a31 a32 b3
三阶行列式
称
a 11 a 12 a 13
a 21 a 31
a 22 a 32
a 23 a 33
a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132 a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 231
为三阶行列式。 可用下面的对角线法则记忆
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
副对角线
a 21
a12 a11a22a12a21.
a 22
例如
13 17(2)313
2 7
考虑线性方程组：
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
通过消元法，有：
((a a1 11 1a a2 22 2 a a1 12 2a a2 21 1))x x1 2 b b1 2a a2 12 1 b b2 1a a1 22 1
第一节 行列式的概念 第二节 行列式的性质 第三节 行列式按行(列)展开 第四节 克莱姆法则
本章的基本要求与重难点
❖ 深刻理解n阶行列式的定义。 ❖ 熟记行列式的性质。 ❖ 熟练掌握行列式的计算。 ❖ 重点：行列式的计算。 ❖ 难点：n阶行列式的计算。
第一节 行列式的概念
行列式起源于解方程组
引例
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
a21 a11
a21
b1
b2 D2
a12
D
a22
说明
1. 行列式是一个数； 2. 计算规则：对角线法则； 3. 每一项都是不同行不同列的两个数相乘，前面的
正负号不同；共有 2! 2
4. 一行一列称为1阶行列式， 记为 a a
5. 二行二列称为2阶行列式 三行三列称为3阶行列式 ………………… n行n列称为n阶行列式
x1
D1 D
,
x2
D2 , D
x3
D3 D
其中， a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a31 a32 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23
a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2
123，231，312 此三项均为正号 132，213，321 此三项均为负号
为了给出n 阶行列式的定义，下面给出全排列及其逆 序数的概念及性质。
全排列及其逆序数
定义 由1，2，···，n 组成的有序数组称为一个n级 全排列。（简称排列）记为 j1 j2 ···jn.
例如 32541 是一个5级全排列 83251467是一个8级全排列