关于平均值不等式的若干证明
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理工
2 0 1 2. 0 8 （ 下 旬 刊）
关于平均值不等式的若干证明
李媛媛
（宿州学院附属实验中学 安徽·宿州 ２３４０００）
中图分类号：G633.6
文献标识码：A
文章编号：1672- 7894（2012）24- 0108- 02
摘 要 本文总结了平均值不等式的三种证法， 一是数学 归纳法，第二是函数法，最后是特殊不等式法。 总之，平均值 不等式的证明方法很多。 关键词 算术平均数 几何平均数 不等式
令
Βιβλιοθήκη Baidu
λi=
1 n
，（ i=1,2，…，n）
Σ Σ 由
Jensen
不等式，- ln（
i
n =
1
λi ）≤-
n
i
n =
1
1 n
·lnXi
上述证明是通过作差和变量代换得出的，其推算过程
比较繁琐。若将不等式进行适当变形，仍用数学归纳法进行
证明，其推算过程可简单些。下面这种证法就是对原不等式
进行了适当变形。
证法 2：原不等式与以下不等式等价：
X1
+
X2
+…+
Xn
≥n
姨n X1·X2 …Xn 姨n X1·X2 …Xn
姨n X1·X2 …Xn
c1+c2+…+ck+ck+1=c1+c2+…+ck- 1+(ck·ck+1 ) ＞（c1+c2+…+ck- 1+ck·ck+1）+1 ≥k+1
由数学归纳法原理知，当 n=k+1 时，命题成立。
由（1）及（2）知，对任意自然数 n，命题成立。
以上证明（2）时，在归纳假设下，先证出（*）式，进而利用
（*）式证明当 n=R+1 时，命题成立。这是综合法的表达方式。
则诸 cj 中必有大于 1 及小于 1 者，适当调换 cj 之足码 i，
可设 ck＜1，ck+1＞1，于是由（1- c）k ·（1- ck+）1 ＜0，
推出：ck +ck+1＞ck·ck+1+1
（*）
另一方面，由于 c·1 c2…ck-1·(ck·ck+1 )=1
按归纳假设有：
因而
c1+c2+…+ck-1+(ck·ck+1 )≥k
Several Proofs of Mean Value Inequality // Li Yuanyuan Abstract This text has summarized three proofs of mean value inequality. The first is given by mathematical induction. The second one is given by function. The last one is given by pecu－ liar inequality. In a word, there are many proofs of mean value inequality. Key words arithmetic mean;geome mean;inequality Author's address Affiliated Experimental Middle School of Suzhou University,234000,Suzhou,Anhui,China
若 b1，b2，…，bk＞0，且 b·1 b2…bk =1，则 b1+b2+…+ bk≥k,
当 n=k+1 时，设 c1，c2，…，ck+1＞0，且 c·1 c·2 …c·k ck+1=1，
若 c1=c2=…=ck=ck+1=1，命题显然成立.
若 c1，c2，…ck，ck+1 不全为 1，则由于 c·1 c2…ck+1=1，
k+1
= a- b
k k- 1
k k- 2
kk
[(a - a b)+(a - a b)+…+(a - b )]
k- 1
１０８
2
= (a- b)
k- 1 k- 2
k- 1 k- 2
k- 1
[a +a (a+b)+…+(a - a b+…+b )]
k- 1
≥0
根据数学归纳法原理可知，当 n=k+1 时不等式成立。
≥
k 姨k X1·X2 …Xk
k+1
+Xk+1
-
姨 k+1 X1·X2 …Xk·Xk+1
k+1 k+1
= k·a +b
k
-a b
k+1
k+1 k+1
k
k
= ka +b - k·a ·b- a ·b
k+1
= a- b
k
k- 1 k- 2
k- 2 k- 1
[k·a - b(a +a ·b+…+a·b +b )]
平均的概念在日常生活和生产实际中是经常遇到的，
我们介绍了两个正数的算术平均数和几何平均数的关系:
X1 +X2 2
≥ 姨2 X1·X2
。如果我们把两个正数的这种关系推广
到
n
个正数之间的关系：X1 +X2 +…+Xn n
≥ 姨n X1·X2 …Xn
(1)，
这就是著名的平均值不等式，也叫 Cauchy 不等式。关于这
证法 3：
Jensen 不等式：若 f 为[a,b]上的凸函数，对任意 Xi∈[a, b]，
n
n
n
Σ Σ Σ λi＞0，（i=1,2，…，n），且 λi =1，则 （f λi X）i ≤ λi（f X）i
i=1
i=1
i=1
设 （f X）=- lnX,X∈(0，+∞),则
f"（X）=
1
2
＞0
X
故 （f X）为（0，+∞）上的凸函数。
个不等式有很多有趣的证明，本文主要总结了其中几种证
明方法。
证法 1:
(1)当 n=1 时，Xi=X1，不等式成立。
(2)若当
n≤k
时，有 姨k X1·X2 …Xk
≤
X1 +X2 +…+Xk k
则当 n=k+1 时，
X1 +X2 +…+Xk +Xk+1
k·X1 +X2 +…+Xk
=
k
+Xk+1
k+1
k+1
≥ k 姨k X1·X2 …Xk +Xk+1
k+1
设 X1·X2·…·Xk=ak(k+1), Xk+1=bk+1,则 a≥0，b≥0，要证明：
X1 +X2 +…+Xk +Xk+1 k+1
姨 - k+1 X1·X2 …Xk·Xk+1
≥0
现在 X1 +X2 +…+Xk +Xk+1 k+1
姨 - k+1 X1·X2 …Xk·Xk+1
设
bi
=
Xi
姨n X1·X2 …Xn
（i=1,2，… ，n），则
b1·b2 … bn=1。
因此只要证明以下命题即可：
“若 b1,b2,…bn 是正数，且 b·1 b·2 …bn=1，则 b1+b2+…+bn≥n” 现用数学归纳法证明这个命题：
(1)当 n=1 时，b1=1，命题成立； (2)若当 n=k 时，命题成立，即：
2 0 1 2. 0 8 （ 下 旬 刊）
关于平均值不等式的若干证明
李媛媛
（宿州学院附属实验中学 安徽·宿州 ２３４０００）
中图分类号：G633.6
文献标识码：A
文章编号：1672- 7894（2012）24- 0108- 02
摘 要 本文总结了平均值不等式的三种证法， 一是数学 归纳法，第二是函数法，最后是特殊不等式法。 总之，平均值 不等式的证明方法很多。 关键词 算术平均数 几何平均数 不等式
令
Βιβλιοθήκη Baidu
λi=
1 n
，（ i=1,2，…，n）
Σ Σ 由
Jensen
不等式，- ln（
i
n =
1
λi ）≤-
n
i
n =
1
1 n
·lnXi
上述证明是通过作差和变量代换得出的，其推算过程
比较繁琐。若将不等式进行适当变形，仍用数学归纳法进行
证明，其推算过程可简单些。下面这种证法就是对原不等式
进行了适当变形。
证法 2：原不等式与以下不等式等价：
X1
+
X2
+…+
Xn
≥n
姨n X1·X2 …Xn 姨n X1·X2 …Xn
姨n X1·X2 …Xn
c1+c2+…+ck+ck+1=c1+c2+…+ck- 1+(ck·ck+1 ) ＞（c1+c2+…+ck- 1+ck·ck+1）+1 ≥k+1
由数学归纳法原理知，当 n=k+1 时，命题成立。
由（1）及（2）知，对任意自然数 n，命题成立。
以上证明（2）时，在归纳假设下，先证出（*）式，进而利用
（*）式证明当 n=R+1 时，命题成立。这是综合法的表达方式。
则诸 cj 中必有大于 1 及小于 1 者，适当调换 cj 之足码 i，
可设 ck＜1，ck+1＞1，于是由（1- c）k ·（1- ck+）1 ＜0，
推出：ck +ck+1＞ck·ck+1+1
（*）
另一方面，由于 c·1 c2…ck-1·(ck·ck+1 )=1
按归纳假设有：
因而
c1+c2+…+ck-1+(ck·ck+1 )≥k
Several Proofs of Mean Value Inequality // Li Yuanyuan Abstract This text has summarized three proofs of mean value inequality. The first is given by mathematical induction. The second one is given by function. The last one is given by pecu－ liar inequality. In a word, there are many proofs of mean value inequality. Key words arithmetic mean;geome mean;inequality Author's address Affiliated Experimental Middle School of Suzhou University,234000,Suzhou,Anhui,China
若 b1，b2，…，bk＞0，且 b·1 b2…bk =1，则 b1+b2+…+ bk≥k,
当 n=k+1 时，设 c1，c2，…，ck+1＞0，且 c·1 c·2 …c·k ck+1=1，
若 c1=c2=…=ck=ck+1=1，命题显然成立.
若 c1，c2，…ck，ck+1 不全为 1，则由于 c·1 c2…ck+1=1，
k+1
= a- b
k k- 1
k k- 2
kk
[(a - a b)+(a - a b)+…+(a - b )]
k- 1
１０８
2
= (a- b)
k- 1 k- 2
k- 1 k- 2
k- 1
[a +a (a+b)+…+(a - a b+…+b )]
k- 1
≥0
根据数学归纳法原理可知，当 n=k+1 时不等式成立。
≥
k 姨k X1·X2 …Xk
k+1
+Xk+1
-
姨 k+1 X1·X2 …Xk·Xk+1
k+1 k+1
= k·a +b
k
-a b
k+1
k+1 k+1
k
k
= ka +b - k·a ·b- a ·b
k+1
= a- b
k
k- 1 k- 2
k- 2 k- 1
[k·a - b(a +a ·b+…+a·b +b )]
平均的概念在日常生活和生产实际中是经常遇到的，
我们介绍了两个正数的算术平均数和几何平均数的关系:
X1 +X2 2
≥ 姨2 X1·X2
。如果我们把两个正数的这种关系推广
到
n
个正数之间的关系：X1 +X2 +…+Xn n
≥ 姨n X1·X2 …Xn
(1)，
这就是著名的平均值不等式，也叫 Cauchy 不等式。关于这
证法 3：
Jensen 不等式：若 f 为[a,b]上的凸函数，对任意 Xi∈[a, b]，
n
n
n
Σ Σ Σ λi＞0，（i=1,2，…，n），且 λi =1，则 （f λi X）i ≤ λi（f X）i
i=1
i=1
i=1
设 （f X）=- lnX,X∈(0，+∞),则
f"（X）=
1
2
＞0
X
故 （f X）为（0，+∞）上的凸函数。
个不等式有很多有趣的证明，本文主要总结了其中几种证
明方法。
证法 1:
(1)当 n=1 时，Xi=X1，不等式成立。
(2)若当
n≤k
时，有 姨k X1·X2 …Xk
≤
X1 +X2 +…+Xk k
则当 n=k+1 时，
X1 +X2 +…+Xk +Xk+1
k·X1 +X2 +…+Xk
=
k
+Xk+1
k+1
k+1
≥ k 姨k X1·X2 …Xk +Xk+1
k+1
设 X1·X2·…·Xk=ak(k+1), Xk+1=bk+1,则 a≥0，b≥0，要证明：
X1 +X2 +…+Xk +Xk+1 k+1
姨 - k+1 X1·X2 …Xk·Xk+1
≥0
现在 X1 +X2 +…+Xk +Xk+1 k+1
姨 - k+1 X1·X2 …Xk·Xk+1
设
bi
=
Xi
姨n X1·X2 …Xn
（i=1,2，… ，n），则
b1·b2 … bn=1。
因此只要证明以下命题即可：
“若 b1,b2,…bn 是正数，且 b·1 b·2 …bn=1，则 b1+b2+…+bn≥n” 现用数学归纳法证明这个命题：
(1)当 n=1 时，b1=1，命题成立； (2)若当 n=k 时，命题成立，即：