matlab中的线性代数求解
MATLAB中的线性代数运算方法详述
MATLAB中的线性代数运算方法详述导言：线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间及其线性变换、线性方程组和矩阵等概念。
在科学计算与工程实践中，线性代数的应用十分广泛。
MATLAB作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的线性代数运算方法，能够帮助用户高效地解决各种与矩阵、向量相关的问题。
本文将详细介绍MATLAB中常用的线性代数运算方法，并且从算法原理到具体函数的使用进行详细说明。
一、矩阵运算在MATLAB中，矩阵是一种重要的数据类型，它可以表示线性系统、图像等多种实际问题。
矩阵的加法和乘法是线性代数运算中最基本的运算，MATLAB提供了相应的函数来进行矩阵的加法和乘法运算。
1.1 矩阵加法MATLAB中的矩阵加法使用“+”操作符进行操作，可以直接对两个矩阵进行加法运算。
例如，给定两个矩阵A和B，可以使用"A + B"来进行矩阵加法运算。
1.2 矩阵乘法MATLAB中的矩阵乘法使用"*"操作符进行操作，可以直接对两个矩阵进行乘法运算。
需要注意的是，矩阵相乘的维度要满足匹配规则，即乘法前一个矩阵的列数要等于后一个矩阵的行数。
例如，给定两个矩阵A和B，可以使用"A * B"来进行矩阵乘法运算。
二、向量运算向量是线性代数中常用的数据结构，它可以表示方向和大小。
在MATLAB中，向量是一种特殊的矩阵，可以使用矩阵运算中的方法进行计算。
2.1 向量点乘向量的点乘是指两个向量对应位置上元素的乘积之和。
MATLAB中可以使用“.*”操作符进行向量的点乘运算。
例如，给定两个向量A和B，可以使用"A .* B"来进行向量点乘运算。
2.2 向量叉乘向量的叉乘是指两个三维向量的运算结果，它得到一个新的向量，该向量与两个原始向量都垂直。
MATLAB中可以使用叉乘函数cross()进行向量的叉乘运算。
例如，给定两个向量A和B，可以使用"cross(A, B)"来进行向量叉乘运算。
用matlab解决线性代数的问题
生成向量（1）
• 初值:步长:终值 生成从初值开始、以步长为间隔、小于或等于终值的行向量 如果不设步长，则默认步长为1
x是行向量；x’是其转置，为列向量
节约计算时间的技巧
对于需要对其元素循环赋值的矩阵，可预先对整个矩阵赋值，例如赋值为零矩阵。 以某20X500个循环的 脚本为例：
提示：循环越多，矩阵越大， 节约计算时间就越重要。
利用函数生成矩阵（2）
• eye(n)生成n×n的单位矩阵； eye (m,n)生成m×n的单位矩阵； eye(size(A))生成与A同维数的单位矩阵
– AX=B的解是X=A\B，等价于inv(A)*B – XA=B的解是X=B/A，等价于B*inv(A)
• • • • • • • •
方矩阵A的行列式：det(A) 方矩阵A的逆：inv(A) 矩阵A的共轭转置：A’ 矩阵A的转置：conj(A’) 方矩阵A的乘方：A^n 方矩阵A的迹：trace(A) 矩阵A的秩：rank(A) 方矩阵A的特征向量(矩阵)v和特征值(对角矩阵) d ： [v d]=eig(A) • 对矩阵A作行初等变换化为行最简矩阵：rref(A) • 对矩阵A作奇异值分解：svd(A)
用matlab解决线性代数的问题
张宏浩
Matlab的一些常识
• • • • • • • • pi表示圆周率π=3.14159… i或j表示虚数单位sqrt(-1) conj(x)：取x的复共轭 log(x)：以e为底的对数函数ln(x) log10(x)：以10为底的对数函数 exp(x)：指数函数e^x sin(x),cos(x),tan(x),cot(x)：三角函数 asin(x),acos(x),atan(x),acot(x)：反三角函数
MATLAB-第4章
v
i 1
n
2 i
。
max { vi } 。
1 ≤i ≤n
设 A 是一个 m ×n 的矩阵，矩阵的 3 种常用范数如下。 1-范数： A 1 max { aij } 。
1 ≤ j ≤n i 1 m
2-范数： A 2 1 ，其中 λ 1 为 A'A 最大特征值。 ∞-范数： A max { aij } 。
【例4.6】先建立5 × 5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1， 第二行乘以2，…，第五行乘以5。 用一个对角矩阵左乘一个矩阵时，相当于用对角阵的第一个 元素乘以该矩阵的第一行，用对角阵的第二个元素乘以该 矩阵的第二行……依此类推，因此，只需按要求构造一个 对角矩阵D，并用D左乘A即可。命令如下： A=[1:5;2:6;3:7;4:8;5:9] D=diag(1:5); D*A %用D左乘A,对A的每行乘以一个指定常数
（2）构造对角矩阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V,k)的功能是产生一个 n × n（n = m + k|）对角阵，其第k条对角线的元素即为 向量V的元素。 例如： diag(1:3,-1) ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 省略k时，相当于k为0，其主对角线元素即为向量V的元素。
2．矩阵的秩与迹 （1）矩阵的秩 rank(A) （2）矩阵的迹 矩阵的迹即矩阵的对角线元素之和。 trace(A)。
3．向量和矩阵的范数
设向量 V = (v1 ,v2 ,…,vn )，向量的 3 种常用范数如下。 1-范数： V 2-范数： V ? -范数： V
1
vi 。
i 1
n
2
3．矩阵的转置 所谓转置，即把源矩阵的第一行变成目标矩阵第一列，第二 行变成第二列……依此类推。显然，一个m行n列的矩阵 经过转置运算后，变成一个n行m列的矩阵。MATLAB中， 转置运算符是单撇号(')。
【学习】用Matlab学习线性代数行列式
【关键字】学习用Matlab学习线性代数__行列式实验目的理解行列式的概念、行列式的性质与计算Matlab函数det实验内容前面的四个练习使用整数矩阵，并演示一些本章讨论的行列式的性质。
最后两个练习演示我们使用浮点运算计算行列式时出现的不同。
理论上将，行列式的值应告诉我们矩阵是否是奇异的。
然而，如果矩阵是奇异的，且计算其行列式采用有限位精度运算，那么由于舍入误差，计算出的行列式的值也许不是零。
一个计算得到的行列式的值很接近零，并不能说明矩阵是奇异的甚至是接近奇异的。
此外，一个接近奇异的矩阵，它的行列式值也可能不接近零。
1.用如下方法随机生成整数元素的5阶方阵：A=round(10*rand(5)) 和B=round(20*rand(5))-10用Matlab计算下列每对数。
在每种情况下比较第一个是否等于第二个。
（1）det(A) ==det(A T) （2）det(A+B) ；det(A)+det(B)（3）det(AB)==det(A)det(B) （4）det(ATBT) ==det(AT)det(BT)（5）det(A-1)==1/det(A) （6）det(AB-1)==det(A)/det(B)> A=round(10*rand(5));>> B=round(20*rand(5))-10;>> det(A)ans =5972>> det(A')ans5972>> det(A+B)ans =36495>> det(A)+det(B)ans =26384>> det(A*B)ans =4>> det(A)*det(B)ans =4>> det(A'*B')ans =4>> det(A')*det(B')ans =4>> det(inv(A))ans =0.00016745>> 1/det(A)ans =0.00016745>> det(A*inv(B))ans =0.29257>> det(A)/det(B)ans =0.29257>>2.n阶的幻方阵是否奇异？用Matlab计算n=3、4、5、…、10时的det(magic(n))。
专题4 使用MATLAB求解线性方程组的不同方法
Z = null(A) 求出 Ax=0 的基础解系后，将基础解系的向量正交单位化，存储在 Z 中. MATLAB 源代码如下： A=[1 2 2 1；2 1 -2 -2；1 -1 -4 -3]
A= 12 2 1 2 1 -2 -2 1 -1 -4 -3
Rank(A) Ans= 2 A=sym(A) A= [1,2,2,1] [2,1,-2,-2] [1,-1,-4,-3] null(A) ans= [2, 5/3] [-2,-4/3] [1, 0] [0, 1]
运行结果为： rank_A =
2 rank_B =
2 S_H =
-2
1
1
0
0
2
0
1
S_P =
0
1.7500
0
-0.5000
则该线性方程组有无穷多解为：
2 1 0
x
k1
1 0
k2
0 2
7 0
/
4
,
k1
,Leabharlann k2R 0 1 1/ 2
nulla?r?求系数矩阵为a的齐次线性方程组ax0的基础解系结果为有理数bnulla求出ax0的基础解系后将基础解系的向量正交单位化存储在zmatlab源代码如下
专题 4 使用 MATLAB 求解线性方程组的方法
x1 2 x2 2x3 x4 0
【例
1】求齐次方程组
2 x1
end end
x1 2x2 2x3 3x4 2 【例 1.3】使用 Matlab 求解方程组 2x1 4x2 3x3 4x4 5
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例引言线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
而Matlab作为一种功能强大的数值计算软件，提供了各种实用的工具和函数，可以方便地解决线性代数问题。
本文将介绍一些常用的线性代数问题求解方法，并通过具体的案例来展示Matlab在实际应用中的效果。
一、线性方程组的求解线性方程组是线性代数中最基础的问题之一。
Matlab提供了多种求解线性方程组的函数，如“backslash”操作符（\）和“linsolve”函数等。
下面通过一个实例来说明Matlab的线性方程组求解功能。
案例：假设有以下线性方程组需要求解：2x + 3y - 4z = 53x - 2y + z = 8x + 5y - 3z = 7在Matlab中输入以下代码：A = [2 3 -4; 3 -2 1; 1 5 -3];b = [5; 8; 7];x = A\b;通过以上代码，我们可以得到线性方程组的解x=[1; -2; 3]。
这表明在满足以上方程组的条件下，x=1，y=-2，z=3。
可以看出，Matlab在求解线性方程组时，使用简单且高效。
二、矩阵的特征值和特征向量求解矩阵的特征值和特征向量也是线性代数中的重要概念。
利用特征值和特征向量可以得到矩阵的许多性质和信息。
在Matlab中，我们可以通过“eig”函数来求解矩阵的特征值和特征向量。
案例：假设有一个2x2矩阵A，需要求解其特征值和特征向量。
在Matlab中输入以下代码：A = [2 3; 1 4];[V, D] = eig(A);通过以上代码，我们可以得到矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D。
具体结果如下：特征向量矩阵V = [0.8507 -0.5257; 0.5257 0.8507]特征值矩阵D = [1.5858 0; 0 4.4142]由结果可知，矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D可以提供有关该矩阵的很多信息，如相关线性变换、对称性等。
用MATLAB做线性代数实验
【2】参数方程解的判别 【注意】 ：含有参数情况的线性方程组的解的情况讨论，不能直接使用 Matlab 中 的函数：rank,rref,因为 Matlab 会默认这些参数及其表达式不等于零。因此，应 该编写独立的过程加以讨论。 试就参数 s 的各种情况，讨论下述线性方程组的解的情况：
sx y z 1 x sy z s 。 2 x y sz s
p1 ( x ) q( x ) p2 ( x ) r ( x ) , d (r ( x )) d ( p2 ( x ))
例如，求多项式 f ( x ) x 3 6 x 2 11 x 6 , g( x ) x 5 2 x 2 1 的最大公因式和最小公倍 式。 p=[1 -6 11 -6]; q=[1 0 0 -2 0 1]; [q1,r1]=deconv(q,p) [q2,r2]=deconv(p,r1(4:6)) %注意保证第一个分量不能为零 [q3,r3]=deconv(r1(4:6),r2(3:4))
x2 x3 2 x2 3 x 2
分解为最简分式之和的程序如下：
-0.5000 - 1.3229i -1.0000 r = [] 结果表示出来即是：
f ( x)
如果是在实数范围内分解：
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
0.25 0.4725 i x 0.51.3229 i
用 MATLAB 做线性代数实验
1. 多项式运算
【1】表示方法与根 表示方法：降幂，向量形式. 例如， p( x ) 2 x x 3 x5 被表示为向量 p=[-1 0 1 0 2 0] 而不是 p=[0 2 0 1 0 -1] 或者 p=[2 1 -1]. 相关 MATLAB 函数 函数名 含义 %注意保证第一个分量不能为零
【matlab-7】Matlab与线性代数（一）
【matlab-7】Matlab与线性代数（⼀）⼀、线性代数基本⽅程组基本⽅程组：矩阵表⽰：解决问题的视⾓：1、解联⽴⽅程的视⾓ (⾏阶梯变换 & 矩阵运算)着重研究解x，即研究线性⽅程组的解法。
中学⾥的解⽅程和MATLAB的矩阵除法就是这样。
要点：矩阵的每⼀⾏代表⼀个⽅程，m⾏代表m个线性联⽴⽅程。
n列代表n个变量。
如果m是独⽴⽅程数，根据m<n、m=n、m>n确定⽅程是 ‘⽋定’、‘适定’ 还是 ‘超定’。
对这三种情况都会求解了，研究就完成了。
必须剔除⾮独⽴⽅程。
⾏阶梯形式、⾏列式和秩的概念很⼤程度上为此⽬的⽽建⽴。
2、向量空间中向量的合成的视⾓ (⽤向量空间解⽅程组)把A各列看成n个m维基本向量，线性⽅程组看成基向量的线性合成：要点：解x是这些基向量的系数。
它可能是常数(适定⽅程)，也可能成为其中的⼀个⼦空间(⽋定⽅程) 。
要建⽴其⼏何概念，并会求解或解空间。
3、线性变换或映射的视⾓ (线性变换及其特征)把b看成变量y，着重研究把Rn空间的x变换为Rm空间y 的效果，就是研究线性变换系数矩阵A的特征对变换的影响。
要点：就是要找到适当的变换，使研究问题的物理意义最为明晰。
特征值问题就是⼀例。
⼆、线性代数建模与应⽤概述介绍⼀些⼤的系统⼯程中使⽤线性代数的情况，使读者知道为什么线性代数在近⼏⼗年来变得如此的重要。
Leontief教授把美国的经济⽤500个变量的500个线性⽅程来描述，在1949年利⽤当时的计算机解出了42×42的简化模型，使他于1973年获得诺贝尔经济奖，从⽽⼤⼤推动了线性代数的发展。
把飞⾏器的外形分成若⼲⼤的部件，每个部件沿着其表⾯⼜⽤三维的细⽹格划分出许多⽴⽅体，这些⽴⽅体包括了机⾝表⾯以及此表⾯内外的空⽓。
对每个⽴⽅体列写出空⽓动⼒学⽅程，其中包括了与它相邻的⽴⽅体的共同边界变量，这些⽅程通常都已经简化为线性⽅程。
对⼀个飞⾏器，⼩⽴⽅体的数⽬可以多达400,000个，⽽要解的联⽴⽅程可能多达2,000,000个。
matlab 求解二元方程
matlab 求解二元方程
Matlab是一种强大的计算软件，可以用来解决各种数学问题，包括求解二元方程。
二元方程是指只有两个未知数的方程，通常表示为ax + by = c和dx + ey = f。
如果我们知道a、b、c、d、e和f 的值，我们可以使用Matlab求解这个方程组，找到x和y的值。
要使用Matlab求解二元方程，需要使用线性代数中的求解方法。
具体步骤如下：
1. 将方程表示为矩阵形式。
将系数和常数项分别表示为矩阵A 和矩阵B，得到方程组AX = B。
2. 使用Matlab中的“linsolve”函数求解方程组。
该函数接受两个参数：A和B。
它返回一个向量X，其中包含方程组的解。
3. 使用向量X计算x和y的值。
根据方程ax + by = c和dx + ey = f，我们可以得到x和y的计算公式。
使用Matlab求解二元方程非常简单，只需几行代码即可完成。
以下是一个示例：
% 定义方程的系数和常数项
A = [2 3; 4 5];
B = [8; 14];
% 求解方程组
X = linsolve(A, B);
% 计算x和y的值
x = X(1);
y = X(2);
disp(['x = ', num2str(x)]);
disp(['y = ', num2str(y)]);
这将输出x = 1，y = 2，这就是方程的解。
matlab中的 线性代数
B= 000 000
ones函数是形成元素皆为 1 的矩阵 A=ones(2), %A= ones (n) 创建n×n全1 的矩阵 A= 11 11 B=ones(2,3) B= 111 111
% B= ones (m，n)
创建m×n全1的矩阵
eye则是产生一个单位矩阵
A= eye (2),
④也可对先前建立的阵列 进行修改 如A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A= 1 4 7 2 5 8 3 6 9
A(2,3) = 5
A= 1 4 7
2 5 8 3 5 9
% 改变位於第二行，第三列的元素值
⑤利用“：”表达式获得子矩阵 A(:,j) % 表示取A矩阵的第j列全部元素； A(i,:) %表示取A矩阵第i行的全部元素； A(i,j) %表示取A矩阵第i行、第j列的元素 A(i:i+m,:) %表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素； A(:,k:k+m) %表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素 A(i:i+m,k:k+m) %表示取A矩阵第i～i+m行内，并
A与B的对应元素相乘 将非奇异矩阵正交化 两个向量的内积
eig(A) [X,D]=eig(A)
A^n A.*B 第i行与第j行互换
用k乘以A的第i行 A的i行加上第j行k倍
A([i,j],:)=A([j,i],:)
A(i,:)=k*A(i,:) A(i,:)=A(i,:)+k*A(i,:)
例：用LU分解法求解下列方程组的解
12 x 1 3 x 2 3 x 3 15 16 x 1 3 x 2 x 3 13 x1 x 2 x 3 6
线性代数的MATLAB软件实验报告
线性代数的MATLAB 软件实验一、实验目的1.熟悉矩阵代数主要MATLAB 指令。
2.掌握矩阵的转置、加、减、乘、除、乘方、除法等MATLAB 运算。
3.掌握特殊矩阵的MATLAB 生成。
4.掌握MATLAB 的矩阵处理方法。
5.掌握MATLAB 的矩阵分析方法。
6.掌握矩阵的特征值与标准形的MATLAB 验算。
7.掌握线性方程组的MATLAB 求解算法。
二、实验原理1.线性方程组 【基本观点】自然科学和工程实践很多问题的解决都涉及线性代数方程组的求解和矩阵运算.一方面，许多问题的数学模型本身就是一个线性方程组，例如结构应力分析问题、电子传输网分析问题和投入产出分析问题；另一方面，有些数值计算方法导致线性方程组求解，如数据拟合，非线性方程组求解和偏微分方程组数值解等.n 个未知量m 个方程的线性方程组一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,22112222212111212111m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (3.1) 令,,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x x a a a a a aa a a A则得矩阵形式Ax=b. (3.2)若右端b=0,即Ax=0, (3.3)则称方程组为齐次的.方程组（3.1）可能有唯一解，可能有无穷多解，也可能无解，主要取决于系数矩阵A 及增广矩阵（A,b ）的秩.若秩（A ）=秩（A,b ）=n,存在唯一解，其解理论上用Cramer 法则求出，但由于这种方法要计算n+1个n 阶行列式，计算量太大通常并不采用；若秩（A ）=秩（A,b ）<n,存在无穷多解，其通解可表示为对应齐次方程组（3.3）的一个基础解系与（3.2）的一个特解的叠加；若秩（A ）≠秩（A,b ），则无解，这时一般寻求最小二乘近似解，即求x 使向量Ax-b 模最小.P50矩阵左除的数学思维:恒等变形Ax=b 方程两边的左边同时除以A ，得：b AAx A11=，即：b A b Ax 11-==MATLAB 的实现（左除）：x=A\b 2.逆矩阵 【基本观点】方阵A 称为可逆的，如果存在方阵B ，使 AB=BA=E,这里E 表示单位阵.并称B 为A 的逆矩阵，记B=1-A .方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行列式det A ≠0.求逆矩阵理论上的公式为*1det 1A AA =-， (3.4)这里*A 为A 的伴随矩阵.利用逆矩阵，当A 可逆时，（3.2）的解可表示为b A x 1-=.由于公式（3.4）涉及大量行列式计算，数值计算不采用.求逆矩阵的数值算法一般是基于矩阵分解的方法.3.特征值与特征向量 【基本观点】对于方阵A ，若存在数λ和非零向量x ，使,x Ax λ= (3.5) 则称λ为A 的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值λ的特征向量.特征值计算归结为特征多项式的求根.对于n 阶实数方阵，特征多项式在复数范围内总有n 个根。
matlab解特征值问题
matlab解特征值问题特征值问题是线性代数中的重要问题之一，通过求解特征值和特征向量，我们可以揭示矩阵的性质和相关的物理、数学问题。
在本文中，我们将介绍如何使用Matlab解决特征值问题，并通过实际案例展示其应用。
一、特征值和特征向量简介特征值和特征向量是矩阵运算中的重要概念，它们可以帮助我们理解和分析矩阵的性质以及相关的物理、数学问题。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ是一个常数，那么λ就是矩阵A的特征值，而x就是对应于特征值λ的特征向量。
二、Matlab求解特征值和特征向量在Matlab中，我们可以使用eig函数来求解特征值和特征向量。
eig函数的基本语法为：[V, D] = eig(A)其中A是待求解特征值和特征向量的矩阵，V是特征向量的矩阵，D是特征值的对角矩阵。
三、实例演示现在，我们通过一个实际案例来演示如何使用Matlab解决特征值问题。
假设我们有一个3阶矩阵A如下：A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]我们想要求解矩阵A的特征值和特征向量。
在Matlab中，我们可以使用以下代码来完成求解：```matlabA = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];[V, D] = eig(A);```通过运行以上代码，我们可以得到特征向量矩阵V和特征值对角矩阵D的值。
四、结果分析在得到特征向量矩阵V和特征值对角矩阵D之后，我们可以进一步分析矩阵A的特性。
特征向量矩阵V的每一列对应于特征值对角矩阵D的每一个特征值，而特征向量矩阵V的列向量则是与其对应的特征值对应的特征向量。
针对我们的实际案例，假设我们得到的特征向量矩阵V和特征值对角矩阵D分别为：V = [0.232 -0.785 0.408;-0.525 -0.087 -0.816;0.819 0.613 0.408]D = [16.116 0 0;0 0.000 0;0 0 -7.116]通过分析特征值和特征向量，我们可以得到以下结论：- 特征值16.116对应的特征向量为V的第一列，特征向量为[0.232, -0.525, 0.819]。
如何在MATLAB中进行矩阵运算与线性代数操作
如何在MATLAB中进行矩阵运算与线性代数操作MATLAB是一种功能强大的数学软件，广泛用于科学和工程领域。
它提供了丰富的矩阵运算和线性代数操作功能，能够帮助用户进行各种数学计算和分析。
矩阵的创建是进行矩阵运算和线性代数操作的第一步。
在MATLAB中，可以使用不同的方式创建矩阵，包括手动输入元素、使用内置函数、导入外部数据等。
一种创建矩阵的方法是手动输入元素。
可以使用矩阵赋值符号（`=`）将元素赋值给矩阵变量。
例如，以下代码创建了一个3x3的矩阵A：```MATLABA = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];```另一种创建矩阵的方法是使用内置函数。
MATLAB提供了许多内置函数来生成特定类型的矩阵，如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵等。
例如，以下代码创建了一个3x3的零矩阵B：```MATLABB = zeros(3, 3);```还可以使用其他内置函数创建特定类型的矩阵。
例如，使用`ones`函数可以创建一个全1矩阵，使用`eye`函数可以创建一个单位矩阵。
进行矩阵运算时，MATLAB提供了许多运算符和函数。
例如，`+`运算符可以用于矩阵的加法，`*`运算符可以用于矩阵的乘法。
此外，MATLAB还提供了其他运算符和函数，如转置运算符（`'`）、矩阵的逆（`inv`函数）、矩阵的转置（`transpose`函数）等。
以下是一些常见的矩阵运算和线性代数操作的示例代码。
1. 矩阵加法：```MATLABA = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = A + B;```2. 矩阵乘法：```MATLABA = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = A * B;```3. 矩阵的转置：```MATLABA = [1 2 3; 4 5 6];B = transpose(A);```4. 矩阵的逆：```MATLABA = [1 2; 3 4];B = inv(A);```5. 矩阵的行列式：```MATLABA = [1 2; 3 4];det_A = det(A);```6. 矩阵的特征值和特征向量：```MATLABA = [1 2; 3 4];[eig_vec, eig_val] = eig(A);```此外，MATLAB还提供了许多其他的矩阵运算和线性代数操作的函数，如矩阵的奇异值分解、最小二乘解、QR分解等。
Matlab应用线性代数
矩阵的行列式
可用函数det求矩阵的行列式大小。 例：
a=[1 2 0;2 5 -1;4 10 -1]; b=det(a) b=
1
矩阵的四则运算
❖ 数组和矩阵的加减运算使用加号和减号，即 “+”和“-”。
❖ 矩阵相乘使用“*”运算符。
❖ 如果只是将两个矩阵中相同位置的元素相乘， 使用“.*”运算符。
线性方程组的求解
❖ 方形系统 p135 ❖ 超定系统 ❖ 不定系统
符号矩阵
❖ 符号矩阵的四则运算 ❖ 符号矩阵的转置运算 ❖ 符号矩阵的行列式运算 ❖ 符号矩阵的求逆运算 ❖ 符号矩阵的求秩运算 ❖ 符号矩阵的常用函数运算 ❖ 符号矩阵常用线性方程(组)的求解
符号矩阵运算的函数： symadd(a,d) —— 符号矩阵的加 symsub(a,b) —— 符号矩阵的减 symmul(a,b) —— 符号矩阵的乘 symdiv(a,b) —— 符号矩阵的除 sympow(a,b) —— 符号矩阵的幂运算 symop(a,b) —— 符号矩阵的综合运算
load mri; montage(D,map);
❖ Imwrite;将图像写成图像文件 （bmp,hdf,jpeg,tiff等）; imwrite(A,文件名，‘格式’)；
❖ Warp 显示图像为纹理映射表面 warp(x,y,z,….) [x,y,z]=sphere; d=imread('test.jpg'); warp(x,y,z,d); warp(x,y,z,X,map);%% load trees; 具有颜色图map的索引图X
0000
矩阵的秩
用函数rank求矩阵的秩。 例：
a=[1 2 0;2 5 -1;4 10 -1]; b=rank(a) b=
MATLAB中的矩阵函数以及数值线性代数
矩阵的1范数估计
pinv
矩阵的伪逆
qr
矩阵的正交-三角分解(即QR分解)
rcond
LAPACK倒数条件估计量
特征值和奇异值
condeig
关于特征值的条件数
eig
求矩阵的特征值和特征矢量
eigs
求矩阵的某些特征值
gsvd
矩阵的广义奇异值分解
hess
矩阵的Hessenberg形式
poly
expm
矩阵的指数
funm
一般矩阵的计算
logm
矩阵的对数
planerot
矩阵的Givens平面旋转
qrdelete
从QR分解中删除列
qrinsert
在QR分解中插入列
qrupdate
由秩为1更正为QR分解
rsf2csf
变实分块对角阵为复分块对角形式
sqrtm
矩阵开平方根
线性方程
\
线性方程求解
/
线性方程求解
chol
矩阵的Cholesky分解
cholinc
矩阵的非完全Cholesky分解
cond
计算矩阵的条件数
condest
矩阵的1范数条件数估计
inv
求矩阵的逆
iscov
协方差已知条件下的最小二乘系数
lsqnonneg
非负最小平方
lu
矩阵的LU分解
luinc
矩阵的非完全LU分解
求特征多项式
polyeig
多项式特征值问题
qz
广义特征值的QZ分解
schur
矩阵的Schur分解
svd
矩阵的奇异值分解
svds
matlab的lu分解
matlab的lu分解什么是LU分解？LU分解是一种常用的线性代数求解方法，用于解决形如AX=B的线性方程组，其中A是一个非奇异矩阵，X是未知向量，B 是已知向量。
LU分解的目的是将矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积，其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
通过将线性方程组转化为LU分解的形式，我们可以更方便地求解线性方程的解。
LU分解的具体步骤如下：1. 矩阵A的LU分解可以写为A = LU, 其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
我们可以假设L的主对角线元素为1，而U的对角线元素则与矩阵A的对角线元素相同。
2. 在进行LU分解之前，我们可以首先判断矩阵A是否可以进行LU分解。
如果A的行列式不为零，则说明A是非奇异矩阵，可以进行LU分解。
否则，如果A的行列式为零，则说明A是奇异矩阵，无法进行LU 分解。
3. LU分解的第一步是找到L和U的第一行。
L的第一行是A的第一行，U的第一行是A的第一行的副本。
之后，我们要使用该行来取消下方的所有元素。
4. 对于LU分解的每一行i，我们需要通过以下步骤来计算U的第i行和L的第i列：- U的第i行直接等于矩阵A的第i行减去L的前i-1行和U的前i-1列的乘积。
- L的第i列等于A的第i列减去L的第i行前面的元素已经求得的U 的第i列与L的第i行的乘积。
5. 重复步骤4，直到我们得到L和U的全部元素。
最终，我们将得到L 和U的乘积与矩阵A相等，即A = LU。
6. 使用LU分解来求解线性方程组。
将AX=B转化为LUx = B的形式。
我们可以先解得下三角线性方程Lc = B，求得c的值，然后再解上三角线性方程Ux = c，求得未知向量x的值。
使用MATLAB进行LU分解MATLAB是一种强大的数值计算工具，可以用于执行矩阵运算，包括LU 分解。
下面是使用MATLAB进行LU分解的步骤：1. 首先，在MATLAB的命令窗口中定义矩阵A和向量B，即输入A和B的数值。
Matlab求解线性方程组、非线性方程组
求解线性方程组solve,linsolve例：A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];%矩阵的行之间用分号隔开,元素之间用逗号或空格B=[3;1;1;0]X=zeros<4,1>;%建立一个4元列向量X=linsolve<A,B>diff〔fun,var,n〕：对表达式fun中的变量var求n阶导数.例如：F=sym〔'u<x,y>*v<x,y>'〕; %sym〔〕用来定义一个符号表达式diff<F>; %matlab区分大小写pretty<ans> %pretty〔〕：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式非线性方程求解fsolve<fun,x0,options>其中fun为待解方程或方程组的文件名；x0位求解方程的初始向量或矩阵；option为设置命令参数建立文件fun.m：function y=fun<x>y=[x<1>-0.5*sin<x<1>>-0.3*cos<x<2>>, ...x<2> - 0.5*cos<x<1>>+0.3*sin<x<2>>];>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve<fun,x0,optimset<'fsolve'>>注：...为续行符m文件必须以function为文件头,调用符为；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve〔〕主要求解复杂非线性方程和方程组,求解过程是一个逼近过程.Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB中,求解线性方程组时,主要采用前面章节介绍的除法运算符"/"和"\".如：X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解.对方程组X＝A\B,要求A和B用相同的行数,X和B有相同的列数,它的行数等于矩阵A的列数,方程X＝B/A同理.如果矩阵A不是方阵,其维数是m×n,则有：m＝n 恰定方程,求解精确解；m>n 超定方程,寻求最小二乘解；m<n 不定方程,寻求基本解,其中至多有m个非零元素.针对不同的情况,MATLAB将采用不同的算法来求解.一．恰定方程组恰定方程组由n个未知数的n个方程构成,方程有唯一的一组解,其一般形式可用矩阵,向量写成如下形式：Ax=b 其中A是方阵,b是一个列向量；在线性代数教科书中,最常用的方程组解法有：〔1〕利用cramer公式来求解法；〔2〕利用矩阵求逆解法,即x=A-1b；〔3〕利用gaussian消去法；〔4〕利用lu法求解.一般来说,对维数不高,条件数不大的矩阵,上面四种解法所得的结果差别不大.前三种解法的真正意义是在其理论上,而不是实际的数值计算.MATLAB中,出于对算法稳定性的考虑,行列式与逆的计算大都在lu分解的基础上进行.在MATLAB中,求解这类方程组的命令十分简单,直接采用表达式：x=A\b.在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后,就对它进行lu分解,并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大,MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性.如果矩阵A是奇异的,则Ax=b的解不存在,或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时,MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的,则计算结果为inf,并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵,也会给出警告信息.注意：在求解方程时,尽量不要用inv<A>*b命令,而应采用A\b的解法.因为后者的计算速度比前者快、精度高,尤其当矩阵A的维数比较大时.另外,除法命令的适用行较强,对于非方阵A,也能给出最小二乘解.二．超定方程组对于方程组Ax=b,A为n×m矩阵,如果A列满秩,且n>m.则方程组没有精确解,此时称方程组为超定方程组.线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合.对于超定方程,在MATLAB中,利用左除命令〔x=A\b〕来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求,即x=pinv<A>,所得的解不一定满足Ax=b,x只是最小二乘意义上的解.左除的方法是建立在奇异值分解基础之上,由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上,其算法可靠性稍逊与奇异值求解,但速度较快；[例7]求解超定方程组A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]A=2 -1 33 1 -54 -1 11 3 -13b＝[3 0 3 -6]’;rank<A>ans=3x1=A\bx1=1.00002.00001.0000x2=pinv<A>*bx2=1.00002.00001.0000A*x1-bans=1.0e-014-0.0888-0.0888-0.1332可见x1并不是方程Ax=b的精确解,用x2=pinv<A>*b所得的解与x1相同.三．欠定方程组欠定方程组未知量个数多于方程个数,但理论上有无穷个解.MATLAB将寻求一个基本解,其中最多只能有m个非零元素.特解由列主元qr分解求得.[例8]解欠定方程组A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]A=1 -2 1 11 -2 1 -11 -2 1 -11 -2 1 5b=[1 -1 5]’x1=A\bWarning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015x1=-0.00001.0000x2=pinv<A>*bx2=-0.00000.00001.0000四．方程组的非负最小二乘解在某些条件下,所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的.虽然方程组可以得到精确解,但却不能取负值解.在这种情况下,其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义.在MATLAB中,求非负最小二乘解常用函数nnls,其调用格式为：〔1〕X=nnls<A,b>返回方程Ax=b的最小二乘解,方程的求解过程被限制在x 的条件下；〔2〕X=nnls<A,b,TOL>指定误差TOL来求解,TOL的默认值为TOL=max<size<A>>*norm<A,1>*eps,矩阵的－1范数越大,求解的误差越大；〔3〕[X,W]=nnls<A,b> 当x<i>=0时,w<i><0；当下x<i>>0时,w<i>0,同时返回一个双向量w.[例9]求方程组的非负最小二乘解A=[3.4336 -0.5238 0.6710-0.5238 3.2833 -0.73020.6710 -0.7302 4.0261];b=[-1.000 1.5000 2.5000];[X,W]=nnls<A,b>X=0.6563 0.6998 W=-3.6820 -0.0000 -0.0000 x1=A\bx1=-0.3569 0.5744 0.7846A*X-b ans=1.1258 0.1437 -0.1616 A*x1-b ans=1.0e-0.15 -0.2220 0.4441。
线性代数方程组数值解法及MATLAB实现综述
线性代数方程组数值解法及MATLAB 实现综述廖淑芳 20122090 数计学院 12计算机科学与技术1班（职教本科） 一、分析课题随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
其数值计算中线性代数方程的求解问题就广泛应用于各种工程技术方面。
因此在各种数据处理中，线性代数方程组的求解是最常见的问题之一。
关于线性代数方程组的数值解法一般分为两大类：直接法和迭代法。
直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
迭代法包括Jacobi 法SOR 法、SSOR 法等多种方法。
二、研究课题-线性代数方程组数值解法 一、 直接法 1、 Gauss 消元法通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，以使A 对角线以下的元素化为零，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。
1.1消元过程1. 高斯消元法(加减消元)：首先将A 化为上三角阵，再回代求解。
11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (1)(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333()()000000n n n n n nn n a a a a b a a a b a a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 步骤如下：第一步：1111,2,,i a i i n a -⨯+=第行第行11121121222212n n n n nnn a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭ 111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200n n n n n n a a a b a a b a a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 第二步：(2)2(2)222,3,,i a i i n a -⨯+=第行第行111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200n nn nnn a a a b a a b a a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333(3)(3)(3)300000n n n n nn n a a a a b a a a b a a b a a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭类似的做下去，我们有：第k 步：()()k ,1,,k ikk kka i i k n a -⨯+=+第行第行。
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ans =
19 -16 -18 36 48 -24
4
4、求矩阵的逆阵 指令inv(A)给出方阵A的逆矩阵，如果A不可逆，则inv(A)给出的矩阵的元素都是 inf.
例6
1 2 3 A 0 4 3 , 6 4 9
求A -1.
解 输入命令 ： >> A=[1 2 3;0 -4 3;6 4 9]; >> inv(A) ans = -0.8000 -0.1000 0.3000 0.3000 -0.1500 -0.0500 0.4000 0.1333 -0.0667
3
例2
1 2 3 1 2 A 0 4 3 , B 6 9 6 4 9 2 0
求A*B.
解 输入命令 ： >> A=[1 2 3;0 -4 3;6 4 9]; >> B=[1 2;6 -9; 2 0]; >> A*B
16
求A, A B, 2 A 3B.
解 输入命令 ： >> A=[1 2 3;0 -4 3;6 4 9]; >> B=[9 4 2;5 8 -4;0 3 1]; >> A'
ans =
1 0 2 -4 3 3 6 4 9
2
>> A+B ans = 10 6 5 5 4 -1 6 7 10 >> 2*A-3*B ans = -25 -8 0 -15 -32 18 12 -1 15
第三章
3.1内容提要
MATLAB在线性代数中的应用
矩阵是人们用数学方法解决实际问题的重要工具，而MATLAB具有强大的矩阵运 算功能，本章的目的是学会用MATLAB软件进行线性代数中一些运算，包括矩阵的基 本运算、计算矩阵行列式、线性方程组求解、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分 解和化二次型为标准型等。
>> syms k1 k2;
>> X=k1*c(:,1)+k2*c(:,2)+x0
13
X= [ 3/2*k1-3/4*k2] [ 3/2*k1+7/4*k2] [ k1-8/15] [ k2+3/5]
3 3 0 2 4 0 x1 3 7 8 方程的通解 x2 k1 k2 2 4 x 15 3 1 0 3 0 1 5
X= [ k1+k2+5*k3] [ -2*k1-2*k2-6*k3] [ k1] [ k2] [ k3]
x1 1 1 5 x2 2 2 6 通解 x3 k1 1 k2 0 k3 0 x4 0 1 0 0 0 1 x 5
5
5、求方阵的行列式 指令det(A)给出方阵A的行列式的值。
例7
1 2 3 A 0 4 3 , 6 4 9
求A.
解 输入命令 ： >> A=[1 2 3;0 -4 3;6 4 9]; >> det(A) ans = 60
6
6、求矩阵的秩 指令rank(A)给出矩阵A的秩。
14
10、求矩阵的特征值与特征向量 用MATLAB的命令eig可以求出矩阵A的特征值和特征向量。命令eig的使用方法有两种： eig(A):只求A的特征值； [v d]=eig(A)：求A的特征值和特征向量。
例15
4 6 0 求矩阵A= 3 5 0 的特征值和特征向量. 3 6 1
k1 , k2 , k3 R
11
例13 解方程组
解 输入命令 ： >> A=[2 1 1;3 1 2;1 -1 0]; >> b=[3 3 -1]';
2 x1 x2 x3 3 3 x1 x2 2 x3 3 x x 1 1 2
>> det(A) %检验矩阵是否可逆 ans =
2
>> X=A\b X= 1 2 -1 即是原方程组的解。
12
例14 解方程组
x1 x2 3 x3 x4 1 3x1 x2 3 x3 4 x4 4 x 5x 9 x 8x 0 2 3 4 1
解 输入命令 ： >> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; >> b=[1 4 0]'; >> [L,U]=lu(A); >>format rat; >>c=null(A,'r'); >> x0=U\(L\b);
解 输入命令 ： >> A=[1 1 1 1 1;3 2 1 1 -3;0 1 2 2 6;5 4 3 3 -1 ]; >> format rat; >> B=null(A,'r') %求其基础解系
B=
1 -2 1 0 0 1 -2 0 1 0 5 -6 0 0 1
10
>> syms k1 k2 k3; %定义符号参数 >> X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+k3*B(:,3)
例9
3 2 1 3 2 将 A 2 1 3 1 3 7 0 5 1 8
化为最简阶梯型。
解 输入命令 ： >> A=[3 2 -1 -3 -2;2 -1 3 1 -3;7 0 5 -1 -8]; >> format rat; %指定有理格式输出 >> rref(A) ans = 1 0 0 0 1 0 5/7 -11/7 0 -1/7 -9/7 0 -8/7 5/7 0
3.2基本内容 1、矩阵的基本运算 MATLAB中矩阵基本运算的指令和意义如下： A’:矩阵的转置；
1
A+B:矩阵相加； A-B:矩阵相减； A*B:矩阵相乘； s*B:矩阵的数乘。
例1
1 2 3 9 4 2 A 0 4 3 , B 5 8 4 6 4 9 0 3 1
解 输入命令 ： >> A=[4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1]; >> [v d]=eig(A)
15
v= 0 0 1 780/1351 -2584/2889 -780/1351 1292/2889 -780/1351 0
d= 1 0 0 0 -2 0 0 0 1
其中d的对角元素分别为三个特征值，v三个列向量表示与三个特征值对应的三个特 征向量。
例8
3 2 1 3 2 A 2 1 3 1 3 7 0 5 1 8
求A的秩。
解 输入命令 ： >> A=[3 2 -1 -3 -2;2 -1 3 1 -3;7 0 5 -1 -8]; >> rank(A) ans = 2
7
7、化矩阵为最简阶梯型矩阵 可用命令rref将矩阵化为最简阶梯型。
8
9、线性方程组求解 （1）对齐次线性方程组，利用函数null求其基础解系，然后定义参数写出方程通解。
（2）对非齐次线性方程组，如果系数矩阵可逆，则可直接利用命令X=A/b,求出方程的 唯一解；一般利用函数null求其基础解系，然后定义参数写出方程通解。
9
例12 解方程组
x1 x2 x3 x4 x5 0 3x 2 x x x 3x 0 1 2 3 4 5 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0 5 x1 4 x2 3x3 3x4 x5 0