高二数学等比数列

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高二数学必修一重点知识归纳

高二数学必修一重点知识归纳【导语】知识是取之不尽，用之不竭的。

只有限度地发掘它，才能体会到学习的乐趣。

任何一门学科的知识都需要大量的记忆和练习来巩固。

虽然辛劳，但也相伴着快乐!下面是作者整理的《高二数学必修一重点知识归纳》，期望大家爱好。

1.高二数学必修一重点知识归纳等比数列求和公式(1)等比数列：a(n+1)/an=q(n∈N)。

(2)通项公式：an=a1×q^(n-1);推广式：an=am×q^(n-m);(3)求和公式：Sn=n×a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)(q为公比，n为项数)(4)性质：①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;②在等比数列中，顺次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2(5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab(G≠0)".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

等比数列求和公式推导：Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)(1-q)Sn=a1-a1*q^nSn=(a1-a1*q^n)/(1-q)Sn=(a1-an*q)/(1-q)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。

2.高二数学必修一重点知识归纳判定函数零点个数的常用方法1、解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。

2、零点存在性定理法：利用定理不仅要判定函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能肯定函数有多少个零点。

4.3.2 等比数列的性质(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

aman a q
2
1
m n2
as a1q s 1
2 s t 2
at a1q t 1 as at a1 q

am an as at
等比数列常用的性质
等比数列的性质
设等比数列 an , 公比为 q.
在等比数列{an}中，由 p+q=s+t
ap.aq=as.at
特别地：①若p+q=2t，则ap.aq=(at)2
(1)由题意，得
a4＋a6＝5，
a4＝2，
解得
a6＝3
a4＝3，
或
a6＝2，
a6
3 a6
2
2
2
∴a ＝q ＝2或a ＝q ＝3.
4
4
a9
又a ＝q2，且 q>1，
7
a9
3
∴a 的值为2.
7
(4)∵{an}成等比数列，
a6a7a8 24
∴a3·
a4·
a5，a6·
a7·
a8，a9·
考点三：等比数列的应用
练习已知{an}为等差数列，且 a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1，ak，Sk＋2 成等比数列，求正整数 k 的值。
解析：(1)设数列{an}的公差为 d，
2a1＋2d＝8，
由题意知
2a1＋4d＝12，
(2)利用等比数列的性质判断
.
n －1
q n＝1，∴1＝32×
4
3
又∵a
2
，解得
n＝6.
3 1
a7
3
3

等比数列的性质及应用(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

息不少于按月结算的利息（精确到10−5 ）？
分析：
复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若
原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和.
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 { } ，则 { } 是等比数列，
首项 1 = 104 (1 + 0.400%)，
价格为8 100元的计算机3年后的价格可降为(
A．300元
B．900元
C．2 400元
公比q=1+0.400% ，所以
12 = 104 (1 + 0.400%)12 ≈ 10 490.7
所以， 12个月后的利息为10 490.7 − 104 ≈ 491（元）
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列{ }，
则{ }也是一个等比数列，
首项 1 = 104 (1 + )，公比为1+r，于是
数列．
（ 2 ）若数列 { } ， { } 均为等比数列， c 为不等于 0 的常数，则数列
,
2
, ∙

, { }

也为等比数列.
【典例 3】在等差数列{an}中，公差 d≠0，a1，a2，a4 成等比数列，已知数列 a1，
a3，ak1，ak2，…，akn，…也成等比数列，求数列{kn}的通项公式．
2
【解析】由题意得a2
＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
得d(d－a1)＝0，又d≠0，所以a1＝d.
又a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，
a3 3d
所以该数列的公比q＝a ＝ d ＝3，

高二数学等比数列及其性质PPT教学课件

2. 求 sn1(11 2)(11 21 4).. . (11 21 4.. . 2n 11) 的值
3．三个数成等比数列，若第二个数加4 就成等差数列，再把这个等差数列的第三项加32又成等比数列，求这三个数.
5.等比数列的性质
（1） anamqnm
qn若 m npq,则 amanapaq
（3）若数列 {an} 是等比数列，则
S k ,S 2 k S k ,S 3 k S 2 k ,S 4 k S 3 k ,
也是等比数列
（4）等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列
6.等比数列判定方法：
（1）定义法：an1 常数 an
（2）递推公式法：an2an1an1
（3）看通项法：an a1qn1
（4）看前n项和法：Sn kkqn
7.等差数列与等比数列的联系（ 1）“{an}为等比数列”是“{logman}为等差数列” 的_________条件。（2）“{an}为等差数列”是“{man}(m0,且m1）为等比数列”的__________条件。
期末复习
等比数列及其性质
一、知识要点：
1、定义： {an}为等比数列
an1 常数
__an______
2.通项公式：an _a_1_q_n_1__
推广：an __am_q_n__m___
3.前n项和公式: Sn a1(1qn) (q 1)
1q
4.重要结论：
na1(q 1)
若{an}是等比数列 an kqn
答案：（1）必要不充分（2）充要
二、例题选讲：
1、在等比数列 a n 中，
（1）若 a45,a86,则 a2 a10 30 a6 30

第2课时等比数列的判定与性质2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

结题总结：三个数成等比数列的设法：设为aq，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…， qa2，aq，a，aq，aq2，…
三、课堂练习
1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( C )
A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
二、讲授新知
（四）等比数列性质的简单应用
例 4 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为 216，后三个数成等差
数列，且它们的和为 12，求这四个数．
解方法一：设前三个数分别为aq，a，aq，则aq·a·aq＝216，所以 a3＝216.所以 a＝6. 因此前三个数为6q，6,6q.由题意知第 4 个数为 12q－6. 所以 6＋6q＋12q－6＝12，解得 q＝23.故所求的四个数为 9,6,4,2.
二、讲授新知
(1)解由 S1＝13(a1－1)，得 a1＝13(a1－1)，
（一）等比数列的判定与证明
∴a1＝－12.又 S2＝13(a2－1)，
例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，即 a1＋a2＝13(a2－1)，得 a2＝14.
Sn＝13(an－1)(n∈N*)．
(2)证明当 n≥2 时，
第2课时等比数列的判定与性质
一、复习引入
1.等比数列的定义； 2.等比中项； 3.等比数列的通项公式（含推广公式）.
二、讲授新知
（一）等比数列的判定与证明 1．定义法： an ＝q(n∈N*且n≥2，常数q 不为0)； an－1 2．等比中项法：a2n＝an－1an＋1(n∈N*且 n≥2)； 3．通项公式法：an＝a1qn－1＝aq1·qn＝A·qn(A≠0)．

4.3.1等比数列的概念及通项公式课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

a2 a1 d a2 a1 d
a3 a2 d a3 a1 2d
a4 a3 d a4 a1 3d
a3
2
q a3 a1q
a2

不完全归纳法得
an=a1+(n-1)d
类比
a4
3
q a4 a1q
a3

不完全归纳法得an=a1qn-1
a1 a3 a9 3a1 10 d 13d 13

a2 a4 a10 3a1 13 d 16d 16
13
16 .
____
对照归纳总结
等差数列
等比数列
通项公式
推导方法
累加法
不完全归纳法
定义式
a n 1 a n d ( n N )
公差公比
通项公式
等差/比中项
累乘法
不完全归纳法
*
a n 1
*
q( n N ), q 0
an
公差d可正、可负、可为零公比d可正、可负、不可为零
a n a1 ( n 1)d
an am ( n m) d
A是a与b的等差中项
2 A a b.
n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an a1q
an am q n m
2
a与b的等比中项G ab (ab 0).
G b

a G
注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数；
②若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab；
而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比.

高二数学等比数列公式性质

高二数学等比数列公式性质数学是一切科学的基础，以下是查字典数学网为大伙儿整理的高二数学等比数列公式性质，期望能够解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。

(1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq;(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

(3)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an*b n}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。

(6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。

(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/ (q-1)-A1/(q-1)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。

假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、杰出段落,对提高学生的水平会大有裨益。

现在,许多语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破裂,总在文章的技巧方面下功夫。

结果教师费劲,学生头疼。

分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的干洁净净。

造成这种事倍功半的尴尬局面的关键确实是对文章读的不熟。

常言道“书读百遍,其义自见”,假如有目的、有打算地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便能够在读中自然领会文章的思想内容和写作技巧,能够在读中自然加强语感,增强语言的感受力。

高二数学等比数列试题答案及解析

高二数学等比数列试题答案及解析1.已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若,,求.【答案】（Ⅰ）=2n （Ⅱ）=.【解析】（Ⅰ）将2（）=+,代入,得=8,∴+=20构造方程组，又单调递增，∴ =2>1, =2,∴=2n（Ⅱ）根据第一问，可得，需要构造数列，采取错位相减的思想求和∴①∴②∴①-②得＝.试题解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入, 得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n（Ⅱ）,∴①∴②∴①-②得＝【考点】等差等比数列的综合.2.设公比为q（q＞0）的等比数列{an }的前n项和为Sn．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_________．【答案】【解析】由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.【考点】等比数列的性质与应用3.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由等比数列的性质得，，由于各项为正，，由等比数列的性质得，【考点】等比数列的性质的应用.4.已知三正数、2、成等比数列，则的最小值为______．【答案】【解析】由已知得，且，则，等号成立。

【考点】（1）等比中项的定义；（2）基本不等式的应用。

5.设正数数列为等比数列，，记.（1）求和；（2）证明: 对任意的，有成立.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）对照条件易得等比数列的通项公式，进而得；（2）对于与自然数有关的命题的证明可优先考虑用数学归纳法，用数学归纳法证题时，首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，若是对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，但是对于不等式的证明在利用了假设以后还不能一下子就推导出第步，还需要对照目标进行适当的放缩处理才能推导出第步，放缩处理是有难度，且需要技巧的，这需要在学习中去积累.试题解析：（1）依题意可知，又，所以，从而，进而有． 4分（2）证明：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立． 5分②假设当时，不等式成立，即成立． 7分那么当时，则左边右边 12分所以当时，不等式也成立.由①、②可得对任意的，都有恒成立． 14分（另解：此题也可直接用放缩法证明.即用）【考点】1.等比数列知识；2.数学归纳法在证明不等式方面的应用；3.放缩法证明不等式.6.已知等比数列满足则（）A．64B．81C．128D．243【答案】Ａ【解析】由等比数列满足得公比,将q=2代入，所以，故选A．【考点】等比数列．7.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题易知，。

高二人数学必修五课件时等比数列的性质

以上内容仅供参考，具体教学内容和顺序请根据实际教学情况进行调整。
04
等比数列在生活中的应用举例
储蓄存款中的复利计算
复利概念
储蓄存款中的复利是指本金和利息共同产生的利息，即“利滚利
”现象。
等比数列与复利
在复利计算中，每期产生的利息构成等比数列，首项为本金与利率的乘积，公比为1加上利率。
计算方法
02
自然界中的等比现象
自然界中许多现象也呈现出等比关系，如音阶中相邻两个音的频率之比
、斐波那契数列中相邻两项的比值趋近于黄金分割比等。这些现象可以
用等比数列进行描述和分析。
03
计算机科学中的应用
在计算机科学中，等比数列也有广泛应用，如数据压缩算法中的哈夫曼
编码、图像处理中的图像缩放算法等。这些算法利用等比数列的性在概率论中，当事件相互独立时，可以利用等比数列的性质计算多个事件同时发生的概率。
概率生成函数
概率生成函数是概率论中用于描述离散随机变量分布的一种函数，它与等比数列密切相关，可以通过等比数列的性质研究概率生成函数的性质和计算方法。
统计推断中的应用
在统计推断中，有时需要利用等比数列的性质对样本数据进行处理和分析，如计算样本的几何均值和调和均值等。
现了高效的数据处理和图像变换。
05
等比数列与其他知识点联系
与等差数列对比分析
定义差异
等差数列是相邻两项之差为常数，而等比数列是相邻两项之比为常数。
性质对比
等差数列具有线性性质，如求和公式和通项公式；等比数列具有指数性质，如求和公式和通项公式涉及指数运算。
应用场景
等差数列在解决线性增长或减少的问题中常见，如计算平均速度；等比数列在解决指数增长或减少的问题中常见，如计算复利。

等比数列的概念(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

4 = 3 = 1 2 = 1 3 ,
由此可得
……
= 1 −1 ≥ 2 .
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当n=1时上式也成立.
首项为1 ，公比为q 的等比数列{ }的通项公式为
= 1 −1
过关测试
1.判断正误
1 1 1
B．a，a2，a3，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
2,
2
)
解析：A、C、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C、D 中项可为 0，不符
合定义．
答案：B
3．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是
A．1 B．－1
(
C．±1 D．2
答案：C
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
（2）当 1 > 0, 0 < < 1或 1 < 0, > 1 时，等比数列{ }为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{ }为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{ }为摆动数列.
典型例题
【典例1】若等比数列{ }的第4项和第6项分别为48和12，求{ }的第5项.
分析：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方
法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有
一定的技巧性，能简化运算．
已知数列{an}是等比数列，公比q<1，且a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.
(1)求{an}的通项公式．
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
数列①~⑥的公比依次是

4.3.1 等比数列的概念及通项公式(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

二、忽略等比数列中项的符号致错 ►数学运算
[典例 2] (1)在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则 a1a9 的值为( )
A．9
(3)若q＝1，则该数列为常数列．
(4)常数列 a, a , a , a , … a 0 时,既是等差数列，又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列，而不是等比数列.
题型一等比数列的判定
[例1] (1)判断下列数列是否为等比数列．
①1,3,32,33，…，3n－1，…；
②－1,1,2,4,8，…；
探究1：等比数列的概念
思考：观察下列两个实例，比较两个实例中数列的共同特征？
实例1：有一种细胞分裂时，由1个
分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，···，那么细胞分裂而成的
个数依次是
实例2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为
1， 2， 4， 8，….
探究4：等比数列的单调性
探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
类函数建立相似的关系？
an a1qn1
an
a1 q
qn
q0 q 1
f (x) a1 qx (x R) q
等比数列{an} 的第n 项 an 是指数函数
f (x) a1 qx (x R) 当 x=nxn 时的函数值， q
当
n≥2
时an＋ an
1＝22n－n
1＝2；
当
n＝1
时，an＋ an
1＝aa21＝2＋2
a.
故当 a＝－1 时，数列{an}成等比数列，其首项为 1，公比为 2；
当 a≠－1 时，数列{an}不是等比数列．

高二等比数列知识点总结

高二等比数列知识点总结等比数列是指一个数列中，从第二个数字开始，每个数字都是前一个数字乘以一个固定的非零常数，这个常数称为公比。

高二等比数列是高中二年级数学学科中的重要内容，通过学习等比数列的性质和计算等技巧，可以帮助我们更好地理解数学中的规律性。

一、等比数列的定义与性质1. 等比数列的定义：若一个数列中，任意一项除以前一项所得的商都是一个常数q（q≠0），那么这个数列就是等比数列。

2. 等比数列的通项公式：对于等比数列{an}，其中a1表示首项，q表示公比，an表示第n项，通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

3. 等比数列的性质：- 任意两项的比值相等，即an / a(n-1) = q。

- 等比数列不存在0或负数，因为公比q不等于0或负数。

- 等比数列的前n项和为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。

二、等比数列的常见问题及解法1. 求等比数列的第n项：利用等比数列的通项公式an = a1 *q^(n-1)，可以直接计算出第n项的值。

2. 求等比数列的前n项和：通过等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，可以求出前n项和的数值。

3. 求等比数列中的公比：通过已知的两项的比值，可以求出等比数列的公比，即q = an / a(n-1)。

4. 求等比数列的项数：当已知等比数列的首项、公比和某一项的值时，可以利用等比数列的通项公式中的n来求解。

5. 求满足条件的等比数列：在已知等比数列的首项或公比的情况下，求解满足特定条件的等比数列。

三、等比数列在数学中的应用1. 等比数列的应用：等比数列常被应用于经济学、金融学、生物学等领域中的复利、增长速度等问题的建模与计算。

2. 等比数列的应用题：在解决实际问题时，可以将其转化为等比数列问题，并利用等比数列的性质进行求解。

3. 等比数列与对数函数的关系：自然对数函数和等比数列之间存在一定的联系。

高二数学等比数列知识点总结与经典习题

参考答案例题1、 9n-1 练习1、1、42、B [解析] 98·(23)n－1＝13，∴(23)n－1＝827＝(23)3∴n＝4.3、A [解析] ∵{a n}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴设等比数列的公比为q，则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2. ∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1，∴a7＝a1q6＝26＝64.4、A [解析] a4＝a1q3＝q3＝8，∴q＝2，∴a5＝a4q＝16.5、C [解析] m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)＝(a5－a4)－(a7－a6)＝a 4(q －1)－a 6(q －1)＝(q －1)(a 4－a 6) ＝(q －1)·a 4·(1－q 2)＝－a 4(1＋q )(1－q )2<0(∵a n >0，q ≠1)． 6、B [解析] 设公比为q ，由已知得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4)2，即q 2＝2，因为等比数列{a n }的公比为正数，所以q ＝2，故a 1＝a 2q ＝12＝22，故选B.7、B [解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－bb 2＝ac ＝9c 2＝－9b，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥0，a ≠0，∴a 2>0，∴b <0，∴b ＝－38、 a n=S n-S n-1=2n-1-[2n-1-1]=2n-2n-1=2n-1，a n 2是以a 12=1为首项，4为公比的等比数列；S=4n-1/39、（1）a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 组成公比为q 的等比数列，所以q 3=(a+b-c)/(a+b+c) ，q 2=(c+a-b)/(a+b+c) q=(b+c-a)/(a+b+c)，q 3+q 2+q=(a+b-c)/(a+b+c)+(c+a-b)/(a+b+c)+(b+c-a)/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1（2）因为a+b+c ，b+c-a ，c+a-b ，a+b-c 成等比数列，公比为q 所以(c+a-b)/(b+c-a)=q, (a+b-c)/(c+a-b)=q ∴q=[(c+a -b)+ (a+b-c)]/[(b+c-a) +(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c.例题2、解a n-an-1=3n-1 将n=2,3,4,5代入得：a ₂-a ₁=3¹a ₃-a ₂=3² a ₃-a ₄=3³............... a n -a n-1=3n-1将上面的式子相加得：a n -a 1 = 3¹+3²+3³+.......+3n-1a n = 1+3¹+3²+3³+.......+3n-1=(1/2)(3ⁿ-1)练习1、C [解析] ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1， ∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5＋12. ∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4a 3＋a 4q ＝1q ＝5－12.2、C [解析] ∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac >0. 又∵Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0，∴方程无实数根．3、（a n +2）/2=√(2S n ) S n =（a n +2）2/8 S n+1=（a n+1+2）2/8 a n+1=S n+1-S n =a n+12/8+a (n+1)/2-a n 2/8-a n /2a n+12/8-a (n+1)/2-a n 2/8-a n /2=0 a n+12-4a n+1-a n 2-4a n =0 a (n+1)=a n +4 a n =-2+4n例题3、 xS n =x+3x 2+5x 3+7x 4+...+(2n-3)x(n-1)+(2n-1)xn①因为 S n =1+3x+5x 2+7x 3+9x 4+...+(2n-1)x(n-1) ②②-①得,(1-x)S n =1+2[x+x 2+x 3+x 4+.....+x n-1]-(2n-1)x n(1-x)S n =1+2[(x-x n)/(1-x)]-(2n-1)x n(1-x)S n =1+(2x-2x n)/(1-x)-2nx n+x n(1-x)S n =1+2x/(1-x)-2x n/(1-x)-2nx n+x n(1-x)S n =1+2x/(1-x)+{1-2n-2/(1-x)}x nS n ={1+(2x)/(1-x)+[1-2n-2/(1-x)]x n}/(1-x)练习1、在等比数列中，依次每k 项之和仍成等比数列。

高二数学等比数列

即(a3＋a5)2＝25，又∵a3．在等比数列{an}中，已知a2＝2，a6＝ 162，则a10＝________.
a2 6 解析：a10＝＝13122. a2
答案：13122
• 4．{an}是公差不为零的等差数列，且a7， a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1 ＝3，则bn＝________.
b ＝－8， 2bq＝a＋b， ab2q＝－80， a＝－8， a＝10， b＝－2，解得b＝－2，或 q＝5. q＝－2. 2
4 所以这四个数为1，－2,4,10或－5，－2，－5，－8.
3

2a a (2)设所求四个数为 q －aq，q，aq，aq3.
• [例1] 已知等比数列{an}，{bn}的公比分别为q1，q2，求证{an·bn}也是等比数列，且公比为q1·q2.
• [分析] 利用定义，只需证等比数列．
[证明] 设cn＝an· bn，则cn＋1＝an＋1· bn＋1 cn＋1 an＋1· bn＋1 an＋1 bn＋1 ∴ ＝＝ · ＝q1· q2 cn an· bn an bn 故命题成立．
• (3)当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有
(4)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为r的等比数列，则{an· bn}是公比为q· r 1 1 的等比数列；{ a }是公比为 q 的等比数列；{|an|}是公比为 n |q|的等比数列． (5)在{an}中，每隔k(k∈N*)项取其一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk 1.
＋
(6)在等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同．
• 答案：B

高二上学期数学人教A版选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式课件

Sn an an1 an2 a3 a2 a1 ②
①+② 得，2Sn n a1 an .
所以
Sn
n a1 an .
2
探究新知
问题2
国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么. 发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.” 国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，
第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格
子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”
国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
1 2 22 23 263
a1 1, q 2, n 64,
1 1 264
S64 1 2
264 1 1.84 1019.
一千颗麦粒的质量约为40g，据查，202X-202X年度世界小麦产量约为7.5亿吨.
不能实现！
知识应用
例1
已知 an 是等比数列.
（1）若
a1
1,q 2
1, 2
求
S8;
（2）若
a1
27, a9
1 ,q 243
0,
求 S8 ;
a1
8, q
1 2 , Sn
31 代入
2
Sn
a1 1 qn 1 q
，得
8
1
1 2
n
31.
1 1
2

等比数列的概念课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

或
d＝0， q＝1，
(舍去)．
例题解析
(2)由(1)知 an＝1＋(n－1)·5＝5n－4， bn＝b1qn－1＝6n－1.
假设存在常数 a，b，使得对任意 n∈N*，都有 an＝logabn＋b 成立，则 5n－4＝loga6n－1＋b，
即 5n－4＝nloga6＋b－loga6.
比较系数，得
loga6＝5， b－loga6＝－4，
选择性必修二第四章
4.3等比数列
4.3.1 等比数列的概念
知识梳理
一、等比数列的概念
(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第___2_____项起，每一项与它的前一项的__比______等于_同__一__个___常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 __公__比____，公比通常用字母 ___q_____(q≠0)表示．
又∵b1＝2，∴{bn}是首项为 2，公比为 3 的等比数列．
例题解析
例 7．已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝3an＋2，则 a2 018＝( B ) A．32 018＋1 B．32 018－1 C．32 018－2 D．32 018＋2
∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)．∵a1＋1＝3，∴数列{an＋1}是首项，公比均为 3 的等比数列， ∴an＋1＝3n，即 an＝3n－1，∴a2 018＝32 018－1.故选 B
知识梳理
四、等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*) (2)若 p＋q＝s＋t(p、q、s、t∈N*)，则 ap·aq＝__a_s_·_a_t __.
知识梳理
注意 (1)在已知等比数列{an}中任一项 am 及公比 q 的前提下，可以利用 an＝amqn－

4.3.1 等比数列的概念(第1课时)(课件)高二数学(新教材人教版选择性必修第二册)

(2)因为{an}是等比数列，所以 a3 是 a2 和 a4 的等比中项，即 a23＝a2a4，所以 a33＝64，解得 a3＝4，从而 a6＝32. 设{an}的公比为 q，则aa11qq52＝＝342，，解得aq＝1＝21，，所以 a2＝a1q＝ 2. 设 a2 和 a6 的等比中项为 G，则 G2＝a2a6＝64，所以 G＝±8.
预习验收衔接课堂
1．下列数列为等比数列的是( ) A．m，m2，m3，m4，… B．22,42,62,82，… C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，… D．a1，a12，a13，a14，…
D 解析：当 m＝0，q＝1 时，A，C 均不是等比数列；6422≠4222，所以 B 不是等比数列．
5．若 b 既是 a 和 c 的等差中项，又是 a 和 c 的等比中项，则数列 a，b，c 的公比为________． 1 解析：由条件可知 2b＝a＋c，且 b2＝ac， ∴a＋2 c2＝ac，整理得(a－c)2＝0， ∴a＝c＝b，∴a，b，c 的公比为 1.
第二阶段课堂探究评价
关键能力素养提升
(2)解：由(1)可知{an＋1}是以 a1＋1＝2 为首项，以 2 为公比的等比数列， ∴an＋1＝2×2n－1，即 an＝2n－1.
探究题 5 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
解：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当 n≥2 时，aan＋n 1 ＝22n－n 1＝2.
② ∴①得 q3＝27， ∴a9＝a6q3＝243×27＝6 561.
类型二：等比中项及应用
【例 3】(1)已知等比数列的前 3 项依次为 x,2x＋2,3x＋3，求实数 x 的值； (2)已知等比数列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求 a2 和 a6 的等比中项．

高二数学复习考点知识精讲与练习3 等比数列的概念

高二数学复习考点知识精讲与练习专题3 等比数列的概念【考点梳理】考点一等比数列的概念1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：a na n－1＝q(n∈N*且n>1)⎝⎛⎭⎪⎫或a n＋1a n＝q，n∈N*.考点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.考点三等比数列的通项公式若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1(n∈N*)．考点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1①＝a m q n－m②＝a1q·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝a1q·qx为指数型函数．等比数列的应用及性质考点五实际应用题常见的数列模型1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y＝a(1＋r)n.2．总产值模型：基数为N ，平均增长率为p ，期数为n ，则总产值y ＝ N (1 ＋ p )n . 考点六等比数列的常用性质设数列{a n }为等比数列，则：(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (2)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列．(3)在等比数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或2k q )的等比数列．(4)若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q ，q 2.(5)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq .【题型归纳】题型一：等比数列中的基本运算1．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4－a 1＝78，S 3＝39，设b n ＝log 3a n ，那么数列{b n }的前10项和为（） A ．log 371B ．692C ．50D ．552．（2022·河南·高二期中（文））若数列{}n a 是等比数列，11a =，48a =，则56a a +=（） A．16B ．32C ．48D ．64+3．（2022·河南·高二期中（理））已知等比数列{}n a 中，11a =，2462a a a =+，则5a =（） A ．12B ．14C题型二：等比中项的应用4．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 是等差数列，12a =，其中公差0d ≠，若5a 是3a 和8a 的等比中项，则18S =（）A ．398B ．388C ．189D ．1995．（2022·陕西·延安市宝塔区第四中学高二月考）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，243546225a a a a a a ++=，则35a a +等于（）A ．5B ．10C ．15D ．206．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++=++( )A ．1316B ．1013C ．1113D ．1516题型三：等比数列的证明7．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *.（1）证明：{a n －1}是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式.8．（2022·江苏·高二专题练习）已知数列{an }满足1a ＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1(n ∈N*)．（1）求证：{ b n }是等比数列；（2）求{ a n }的通项公式．9．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二月考（理））已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2 4.n n S a n =+-（Ⅰ）求1a 的值，若1n n b a =-，试证明数列{}n b 为等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.题型四：等比数列的性质及其应用10．（2022·河南洛阳·高二期中（文））等比数列{}n a 的各项均为正数，且56476a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（）A ．10B ．5C ．4D ．32log 5+11．（2022·江西·九江一中高二月考（理））已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若237487216a a a a a ++=，则57a a +=（）A ．4B ．3C ．2D ．812．（2022·河南郑州·高二月考（理））已知数列{}n a 满足11a =，211n n n na a q a a +++=⋅（q 为非零常数），515250505112a a a a ⋅=，则101a =（）A ．2B ．10012 C ．1024D ．5012题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值）13．（2022·辽宁省阜蒙县蒙古族高级中学高二月考）已知数列{}n a 是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的（） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件14．（2022·全国·高二课时练习）已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（） A ．4B ．5C ．6D ．715．（2019·广西·桂梧高中高二月考）已知公比1q ≠的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则下列结论一定成立的是（）A ．若50a >，则20160a <B ．若50a >，则20160S >C ．若60a <，则20160a <D ．若60a <，则20160S >【双基达标】一、单选题16．（2022·西藏·拉萨中学高二月考）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若32a ，512a ，4a 成等差数列，则8967a a a a +=+（） A ．12B ．12C ．2D ．417．（2022·广东广州·高二期末）已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若124a =-，489a =-，则当n T 取最大值时，n 的值为（） A ．10B ．8C ．6D ．418．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列{a n }中，a 2，a 18是方程x 2＋6x ＋4＝0的两根，则a 4a 16＋a 10＝（） A ．6B ．2 C ．2或6D ．－219．（2022·陕西·延安市宝塔区第四中学高二月考）已知等比数列{}n a ，()340a a a a +=≠，1314a a b +=，则2324a a +=（）A ．b aB ．22b aC ．2b aD ．2b a20．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a a +=+，则10a =（）A ．11021B ．11022C ．11023D ．1102421．（2022·全国·高二课时练习）已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =（）A ．3223n n -B ．2332n n -C ．1223n n -D ．2132n n- 22．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知ABC 的面积为4，连接ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，以此类推，第2022个三角形的面积为（）A ．201914B ．202014C ．202114D ．20221423．（2022·江苏·高二专题练习）在由正数组成的等比数列{}n a 中，若4562a a a =，则1289a a a a ⋅⋅⋅的值为（）A ．2B ．4C ．8D ．1624．（2022·全国·高二单元测试）设{}n a 为递减的等比数列，1211a a +=，1210a a ⋅=，则1210lg lg lg a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．35B ．35-C ．55D ．55-25．（2022·全国·高二单元测试）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，13a ，312a ，22a 成等差数列，则1113810a a aa +=+（）A ．27B ．3C ．1或3D ．1或27【高分突破】一：单选题26．（2022·全国·高二课时练习）数列{a n }中，a n ＝3n －7 (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值（） A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在27．（2022·全国·高二课时练习）设各项为正数的等比数列{}n a 中，公比2q，且30123302a a a a ⋅⋅=，则36930a a a a ⋅⋅⋅⋅=( )A ．302B ．102C ．202D ．15228．（2022·宁夏·银川三沙源上游学校高二月考（理））在各项不为零的等差数列{}n a 中，2202020212022220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20212021b a =，则220202022log ()b b ⋅的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．829．（2022·甘肃省会宁县第一中学高二期中（理））已知函数()221f x x=+，若等比数列{}n a 满足220211a a =，则()()()122022f a f a f a ++⋅⋅⋅+=（） A ．2022B ．1011C ．2D ．1230．（2022·甘肃·天水市第一中学高二月考）等比数列{a n }中，每项均为正数，且a 3a 8＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于（） A ．5B ．10C ．20D ．4031．（2022·全国·高二课时练习）“手指推大厦”是科技馆中常见的一个游戏，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，体现了“多米诺骨牌效应”的科学原理.已知“手指推大厦”所用骨牌满足的数学表达式是()111n n a Y a Y -⋅>=，其中n Y 为第n 块骨牌的体积（或质量），1Y 为第1块骨牌的体积（或质量），a 为后一块骨牌与其前一块骨牌的体积（或质量）的比值.现在有A ，B 两副质地不同的骨牌，它们第一块骨牌的体积不相同，但a 值相同，记i A ，i B 分别是A ，B 两副骨牌第i 块的体积，已知11n m A B -+=，122m n A B -+=，()22161m n m n A B B m n ---=>>，则a 的值是（）A ．5B ．4C ．3D ．232．（2022·江苏·高二专题练习）对于无穷数列{}n a ，下列命题不正确的是（） A ．若数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则数列{}n a 是常数数列B ．若等差数列{}n a 满足：1na ≤，则数列{}n a 是常数数列C ．若等比数列{}n a 满足：1na ≤，则数列{}n a 是常数数列D ．若各项为正数的等比数列{}n a 满足：12,n a ≤≤则数列{}n a 是常数数列33．（2022·江西·新余四中高二月考（文））在等比数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2620x x -+=的根，则2169a a a 的值为（）A．B．．34．（2022·江苏·高二课时练习）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，若35412,,2a a a 成等差数列，则76S S -=（） A ．128B ．64C ．32D ．1二、多选题35．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，下列正确的结论是（）A ．{}1n a +是等差数列B ．{}1n a +是等比数列C ．21n n a =-D ．1n T <36．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，227a =，369127a a a ⋅⋅=，则当n T 最大时，n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．737．（2022·全国·高二课时练习）(多选题)设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a -⋅-<，则下列结论中正确的有( )A ．1q >B ．20212000S S >C ．202020221a a ⋅<D ．2020T 是数列{}n T 中的最大值38．（2022·福建·宁德市第九中学高二月考）若数列{}n a 满足113,33(2),nn n a a a n -==+≥则（）A ．{}3n na 是等差数列B ．{}3nn a 是等比数列 C ．数列{}n a 的通项公式3n n a n =⋅D ．数列{}n a 的通项公式3n nn a =39．（2022·全国·高二单元测试）已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，且满足11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-，则（）A ．01q <<B ．9910110a a -<C ．100T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198三、填空题40．（2022·全国·高二专题练习）在数列{a n }中，a 1=3，且点P n （a n ，a n +1）（n ∈N *）在直线4x -y +1=0上，则数列{a n }的通项公式为________.41．（2022·河南平顶山·高二期中）等比数列{}n a 的公比3q =，则13572468a a a a a a a a ++++++等于___________.42．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列{a n }中，若12341a a a a =，13141516 8a a a a =，则41424344 a a a a =________.43．（2022·全国·高二课时练习）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：1a2a ，3a4a ，5a ，6a ，7a ，8a ，9a ，10a……记数阵中的第1列数1a ，2a ，4a ，…构成的数列为{}n b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和，若21n n S b =-，则56a =______．44．（2022·河南焦作·高二期中（理））艾萨克·牛顿在17世纪提出了一种求方程近似解的方法，这种方法是通过迭代，依次得到方程的根的一系列近似值1x ，2x ，3x ，…，这样得到的数列{}n x 称为“牛顿数列”.例如，对于方程240x -=，已知牛顿数列{}n x 满足2142n n n nx x x x +-=-，且2n x >，设22log 2n n n x a x +=-，若34528++=a a a ，则1x =___________.四、解答题45．（2022·全国·高二课时练习）已知0100r p <<<，在一容器内装有浓度为%r 的溶液1 kg ，注入浓度为%p 的溶液14kg ，搅匀后倒出混合液14kg.如此反复进行下去. （1）写出第1次混合后溶液的浓度1%a ；（2）设第n 次混合后溶液的浓度为%n a ，试用a n 表示a n ＋1；（3）写出{a n }的通项公式.46．（2022·全国·高二课时练习）设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．（1）试用a n 表示a n ＋1；（2）求证：23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式．47．（2022·河南郑州·高二期中（文））设数列1b ，2b ，3b ，4b 满足：前三项成等比数列且和为m ，后三项成公差不为零的等差数列且和为15. （1）用2b 表示出m ；（2）若满足条件的数列1b ，2b ，3b ，4b 的个数大于1，求m 的取值范围.48．（2022·全国·高二专题练习）数列{}n a 满足11a =-，且1323n n a a n -=-+（n *∈N 且2n ≥）．（1）求2a 、3a ，并证明数列{}n a n -是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．49．（2022·江苏·高二单元测试）已知数列{}n a 的前项和为n S ，满足2n n a S n += （1）求证：数列{}2n a -是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若不等式()()22232n n a λλ->--对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．【答案详解】1．D解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4－a 1＝78得a 1(q 3－1)＝78，又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝39，解得a 1＝q ＝3，故a n ＝3n ，所以b n ＝log 33n ＝n ，所以数列{b n }的前10项和为()101+101+2+3++10552⨯==. 故选：D. 2．C 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，则33418a a q q ===.所以2q，所以45561148a a a q a q +=+=.故选：C. 3．B 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，因为4622a a a +=，所以351112a q a q a q +=，即42210q q +-=，解得212q =，所以45114a a q ==.故选：B . 4．C解：数列{}n a 是等差数列，12a =，其中公差0d ≠，5a 是3a 和8a 的等比中项，2(24)(22)(27)d d d ∴+=++，化为(1)0d d -=，0d ≠．所以1d =，则18181718211892S ⨯=⨯+⨯=．故选：C ． 5．A 【详解】解：由等比数列的性质可得a 2a 4＝a 32，a 4a 6＝a 52， ∴a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 32＋2a 3a 5＋a 52＝（a 3＋a 5）2＝25，又等比数列{}n a 各项均为正数，∴a 3＋a 5＝5，选项A 正确故选：A. 6．A由题意可知，2319a a a =得()()211128a d a a d +=+，解得0d =或1a d =，因为0d ≠，故1a d =，所以13912410131013133131616a a a a d d a a a a d d +++===+++.故选：A. 7．（1）证明 ∵S n ＝n －5a n －85， ∴S n ＋1＝(n ＋1)－5a n ＋1－85，两式相减得：a n ＋1＝1＋5a n －5a n ＋1，整理得：a n ＋1＝56a n ＋16， ∴a n ＋1－1＝56(a n －1)，又∵a 1＝1－5a 1－85，即a 1＝－14， ∴a 1－1＝－14－1＝－15，∴数列{a n －1}是以－15为首项，56为公比的等比数列. （2）由（1）可知a n －1＝－15×156n -⎛⎫⎪⎝⎭，∴a n ＝1－15×156n -⎛⎫⎪⎝⎭.8．【详解】（1）证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即b n ＋1＝2b n ， ∵b 1＝1a ＋1＝2≠0.∴b n ≠0，∴1n n b b +＝2，∴{b n }是等比数列．（2）由（1）知{b n }是首项b 1＝2，公比为2的等比数列， ∴b n ＝2×2n －1＝2n ，即a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 9．【详解】（Ⅰ）因为S n ＝2a n ＋n －4，所以当n ＝1时，S 1＝2a 1＋1－4，解得a 1＝3. 因为S n ＝2a n ＋n －4，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋(n －1)－4， S n －S n －1＝(2a n ＋n －4)－(2a n －1＋n －5)，即a n ＝2a n －1－1，所以a n －1＝2(a n －1－1)，又b n ＝a n －1，所以b n ＝2b n －1，且b 1＝a 1－1＝2≠0，所以数列{b n }是以b 1＝2为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{b n }是以b 1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n nn b -=⋅=，12n n a ∴-=，21n n a ∴=+．10．B解：因为56476a a a a +=，5647a a a a =，所以743a a =，所以()()()15333132301210473473l 5og log log log log log log 553a a a a a a a a a a ⋅⋅+++=⋅====故选：B 11．A 【详解】在等比数列{}n a 中，23754857,a a a a a a a ==，则22237487577522a a a a a a a a a ++=++257()a a =+，依题意，257()16a a +=，而{}n a 的各项均为正数，于是得574a a +=，所以574a a +=. 故选：A 12．A 【详解】解：由数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，得11015152250110050512a a a a a a a a ⋅=⋅⋅⋅=⋅=，所以50110131*********11239910022a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭，又数列{}n a 的首项11a =，所以1012a =. 故选：A. 13．D 【详解】因为等比数列的通项公式为11n n a a q -=，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，即充分性不成立；当“数列{}n a 是递增数列”时，可能是10a <，01q <<，即必要性不成立；即“1q >”是“数列{}n a 是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D. 14．A 【详解】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<．故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4，故选：A ． 15．C 【详解】若50a >，201120165a a q=，当0q >时，20160a >，故A 错误；若4510a a q =>，则10a >，()20161201611a q S q-=-，当2q =-时，20160S <，故B 错误；若60a <，则2010201660a a q =⋅<成立，故C 正确；若5610a a q =<，()20161201611a q S q-=-，当10,1a q <>时，20160S <，故D 错误；故选：C . 16．D 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q >，由32a ，512a ，4a 成等差数列，可得5342a a a =+，即为4231112a q a q a q =+，可得220q q --=，解得2(1q =-舍去），则2289676767()4a a q a a q a a a a ++===++．故选：D 17．D解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则341811()()92427a qa ==-⨯-=，解得13q =，所以11(24)()3n n a -=-⋅，所以1(1)123(1)21211(24)()(24)()33n n n n n n n T a a a -++++-=⋯=-⋅=-⋅，所以当n T 取得最大值时，可得n 为偶数，而1()3x y =在R 上单调递减，2121(24)()1923T =-⨯=；446418(24)()39T =-⨯=；66156918(24)()33T =-⨯=，则246T T T <>，且61T >，当6n >且n 为偶数时，2111(1)(1)(7)2223111243333n n n n n n n n n T ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯<⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，270n n ->1n T <，所以6n T T <，所以4n =时，n T 取得最大值．故选：D ． 18．B由题知a 2＋a 18＝－6，a 2·a 18＝4，所以20a <，180a <，故100a <，所以a 10＝2=-，因此a 4·a 16＋a 10＝210a ＋a 10＝2，故选：B. 19．D 【详解】∵()340a a a a +=≠，1314a a b +=，∴10131434a ab q a a a +==+，又1023241314a a b q a a a +==+，∴22324b a a a+=.故选：D. 20．C 【详解】因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n nn a aa a ++==+ ，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C. 21．A 【详解】解:因为156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1122213n n n n a a ++⋅=⋅+，整理得()11223233n nn n a a ++⋅-=⋅-，所以数列{}23nn a -是以14233a -=-为首项，23为公比的等比数列．所以1422333n n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3223n n na =-．故选：A 22．B 【详解】由三角形相似知：后一个三角形的面积是前一个的14，设第n 个三角形的面积为n a ，则数列{}n a 是首项14a =，公比14q =的等比数列，∴1211444n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴第2022个三角形的面积为2020202220201144a ⎛⎫==⎪⎝⎭．故选：B ． 23．C 【详解】因数列{}n a 是正数组成的等比数列，则535462a a a a ==，所以24331289192837465555()()()()()()8a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅==. 故选：C 24．B 【详解】∵{}n a 为递减的等比数列，1211a a +=，1210a a ⋅=， ∴110a =，21a =， ∴110q =， ∴1210lg lg lg a a a ++⋅⋅⋅+，()()5291101lg 5lg a a a q ==，715lg 3510⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故选B. 25．A 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a ，312a ，22a 成等差数列，所以12332a a a +=，所以211132a a q a q +=，化简得2230q q --=，所以3q =（1q =-不合题意，舍去），所以331113810327a aq a a +===+.故选：A. 26．B 【详解】依题意，b n ＝b 1·1()27n －1＝13·1()33n －3＝1()33n －2， ∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k 1()33n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝1(33log )3k +n －7－2log k 13. ∵a n ＋log k b n 是常数，∴3＋3log k 13＝0，即log k 3＝1，∴k ＝3. 故选：B 27．C 【详解】因为{}n a 是等比数列，30123302a a a a ⋅⋅=，公比2q ，所以29(129)3012329303021122a qa +++++=⨯=，化简得，10135121a ⨯=，故10(229)10252910139300155202611122=2a a q a a a a a ++++⋅⋅===⋅⨯⋅⨯.故选：C. 28．C 【详解】因为{}n a 是各项不为零的等差数列，所以()202020222020202220212021222224a a a a a a +=+=⨯=，由2202020212022220a a a -+=可得2202120214a a =，因为20210a ≠，所以20214a =，所以202120214b a ==，因为数列{}n b 是等比数列，所以22202020222021416b b b ⋅===，所以2202020222log ()log 164b b ⋅==，故选：C. 29．A 【详解】22()()1f x x R x =∈+， 2222212222()211111x f x f x x x x x ⎛⎫∴+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， {}n a 是等比数列，1202222011101110121a a a a a a ∴====，则1232022()()()()210112022f a f a f a f a +++=⨯=. 故选：A 30．C 【详解】{}n a 是等比数列，则11029384756a a a a a a a a a a ====，所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 105312103383log ()log ()5log 8120a a a a a ====．故选：C ． 31．D 【详解】由题可知，i A 和i B 组成的数列都是以a 为公比的等比数列. 由题意可列出如下的方程：211n m A a B a -=①， 21112m n A a B a -+=②， 12211116m n m n A a B a B -----=③，由①可得211m n AaB -+=④，由②可得3112n m A aB -+=⑤，由③可得2211116m n m n A a B a ----+=⑥，由④⑤⑥得2212216m n m n a a ---++=，221262m n a a --+=，所以22122m n a a -+=，即2212m n a --=. 因为m ，n 和a 都是整数，所以符合条件的解只有2a =，2211m n --=这一组. 综上所述，2a =，故选：D. 32．C 【详解】对于A ，设等差数列{}n a 公差为d ，则2n ≥时，11,n n n n a a d a a d -+=-=+，而数列{}n a 是等比数列，则0n a ≠，且22211()()n n n n n n a a a a d a d a d -+==-+=-，于是得0d =，即{}n a 是常数数列，A 正确；对于B ，设等差数列{}n a 公差为d ，有1()n a a d nd =-+，若0d >，而{}n a 是无穷数列，则当n 趋近于无穷大时，n a 趋近于正无穷大，若0d <，则当n 趋近于无穷大时，n a 趋近于负无穷大，||n a 趋近于正无穷大，即0d ≠，||n a 都趋近于正无穷大，因1na ≤，则0d =，即{}n a 是常数数列，B 正确；对于C ，等比数列{}n a ，令1()2n n a ，对于任意的正整数n ，12na ≤，满足1na ≤，{}n a 不是常数数列，C 不正确；对于D ，设各项为正数的等比数列{}n a 公比为q ，则11(0)n n a a q q -=>，当1q >时，数列{}n a 是递增数列，当n 趋近于无穷大时，n a 趋近于正无穷大，必存在正整数0n ，有0n n ≥时，2n a >，当01q <<时，数列{}n a 是递减数列，当n 趋近于无穷大时，n a 趋近于0，必存在正整数1n ，有1n n ≥时，1n a <，即0q >且1q ≠时，对于无穷正项等比数列{}n a 必存在一个正整数，当n 取大于这个正整数时12n a ≤≤不可能成立，于是得无穷正项等比数列{}n a 满足：12n a ≤≤，其公比1q =，即数列{}n a 是常数数列，D 正确. 故选：C 33．C 【详解】∵在等比数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2620x x -+=的根， ∴31520a a =>，31560a a +=> ∴2163152a a a a ==，293152a a a ==，∴9a∴2169a a a =故选：C ． 34．B 【详解】解：设{}n a 的公比为q ．35412,,2a a a 成等差数列，5342a a a ∴=+．即4231112a q a q a q =+，化简得220q q --=，解得2q 或1q =-．由已知，2q ，667671264S S a a q ∴-====．故选：B ． 35．BCD 【详解】因为121n n n S S a +=++，所以，1121n n n n S S a a ++-==+，11a =，则23a =，37a =，，以此类推可知，对任意的n *∈N ，0n a >，所以，()1121n n a a ++=+，则1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是等比数列，且首项为112a +=，公比为2，所以，11222n n n a -+=⨯=，21n n a ∴=-，()()111221121212121n n n n n n n n a a +++==-----，所以，2231111111111121212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以，BCD 选项正确，A 选项错误. 故选：BCD. 36．AB【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33696127a a a a ⋅⋅==，可得613a =，13q ∴==，所以，225212733n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，令531nn a -=≥，解得5n ≤，故当n T 最大时，4n =或5. 故选：AB. 37．BCD 【详解】选项A ：若1q >，由11a >，则2019202011a a q ⋅=>，2020202111a a q ⋅=>，则202010a ->，202110a ->，则()()20202021110a a -->与已知条件矛盾，所以1q >不符合，故A 错误；选项B ：由于11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a --<，所以20201a >，202101a <<，故01q <<，则0n a >，则2021202020212020S a S S =+>，故B 正确；选项C ：因为20202022220211a a a =⋅<，故C 正确；选项D ：因为前2020项都大于1，从第2022项开始起都小于1，所以2020T 的值是n T 中最大的，故D 正确．故选：BCD. 38．AC 【详解】在数列{}n a 中，当2n ≥时，133nn n a a -=+，即11133n n n n a a --=+，而13a =，即113a =，则{}3n n a 是首项为1，公差为1的等差数列，因此，1(1)13n na n n =+-⨯=，3nna n =⋅，所以A 正确，B 不正确，C 正确，D 不正确. 故选：AC 39．ABD 【详解】∵9910010a a ->，∴199000a a >，∴0q >.∵99100101a a -<-，∴()()99100110a a --<，又11a >，∴01q <<.故A 正确.由A 选项的分析可知991a >，10001a <<，∴2991011001a a a =<，∴9910110a a -<，1009910099T T a T =<，故B 正确，C 不正确. ∴()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===>，()()()1991991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===<， ∴使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198，故D 正确. 故选：ABD 40．1101433n n a -=⋅- 因为点P n （a n ，a n +1）（n ∈N *）在直线4x -y +1=0上，所以4a n -a n +1+1=0，即a n +1=4a n +1，得a n +1+11433n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为111033a +=，公比为4的等比数列，所以1110433n n a -+=⋅，故1101433n n a -=⋅-.故答案为：1101433n n a -=⋅- 41．13【详解】因为等比数列{}n a 的公比3q =，所以()1357135724681357113a a a a a a a a a a a a q a a a a q ++++++===++++++，故答案为：13. 42．1024 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，234611111 1a a q a q a q a q ⋅⋅⋅==，①121314154541314151611111 8a a a a a q a q a q a q a q =⋅⋅⋅==，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴4041424341664142434411111a a a a a q a q a q a q a q =⋅⋅⋅= ()()104616046161011 121024a q q a q q =⋅⋅==⨯=故答案为：1024 43．1024 【详解】当2n ≥时，21n n S b =-，1121n n S b --∴=-，122n n n b b b -∴=-，12n n b b -∴=（2n ≥且n *∈N ）．1121b b =-，11b =，∴数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n b -∴=．设1a ，2a ，4a ，7a ，11a ，…的下标1，2，4，7，11，…构成数列{}n c ，则211c c -=，322c c -=，433c c -=，544c c -=，…，11n n c c n --=-，叠加得()112341n c c n -=+++++-，()112n n n c -∴=+，由()11562n n n c -=+=，得11n =（负值已舍去），10561121024a b ∴===．故答案为：1024. 44．6 【详解】因为2142n n n nx x x x +-=-，且2n x >，所以2214(2)2222n n n n n n x x x x x x +-+=-+=+；2214(2)2222n n n n n nx x x x x x +--=--=-，故211222112(2)22log 2log 2(2)22n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++++=⇒=----，即1122n n n na a a a ++⇒==，从而数列{}n a 是以公比为2的等比数列，故23453411112222828a a a a a a a =⨯+⨯+⨯=++=，即11a =，由11122log 12x a x +==-，解得16x =.故答案为：6. 45．（1）()11%%14%4%1514r p a p r +==++；（2）()11%%14%4%1514n n n a p a p a ++==++，即()1145n n a p a +=+；（3）由（2）知()1145n n a p a +=+，即()145n n a p a p +-=-，所以{}n a p -是一个公比为45的等比数列，首项为()145a p r p -=-，所以()()1444555n nn a p r p r p -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()45n n a p r p ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭46．解：由韦达定理得：1n naa αβ++=，1n a αβ⋅=，由6263ααββ-+=得1263n n na a a +⋅-=，故11123n n a a +=+．（2）证明：因为121112()32323n n n a a a +-=-=-，所以1213223n n a a +-=-，故数列2{}3n a -是公比为12的等比数列；（3）解：当176a =时，数列2{}3n a -的首项127213632a -=-=，故12111()()3222n n n a --=⋅=，所以12()23n n a =+．47．（1）22215+5+m b b =；（2）()1515154⎛⎫+∞⎪⎝⎭，，. 解：（1）由题意，设等比数列1b ，2b ，3b 的公比为q ()0q ≠，等差数列2b ，3b ，4b 的公差为d （0d ≠），则123b b b m ++=，32415b b b ++=，又2432b b b +=，所以35b =，所以25q b =，所以212322255++5+5+5b b b b b m q q +===+，即22215+5+m b b =；（2）由（1）得数列1b ，2b ，3b ，4b 分别为：()25,5,5,5+5d d d --，()222111515+53+15+5+555452d d d m d d ⎛⎫==-=-⎪- ⎝⎭-，因为满足条件的数列1b ，2b ，3b ，4b 的个数大于1，且0d ≠，所以15>4m 且15m ≠，所以m 的取值范围为()1515154⎛⎫+∞⎪⎝⎭，，. 48．（1）24a =-，315a =-，证明见解析；（2）123n n a n -=-⋅.【分析】（1）利用递推公式可求得2a 、3a 的值，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a n -是等比数列；（2）确定等比数列{}n a n -的首项和公比，可求出数列{}n a n -的通项公式，由此可求得数列{}n a 的通项公式．【详解】（1）因为11a =-，且1323n n a a n -=-+（n *∈N 且2n ≥），则21314a a =-=-，323315a a =-=-，由已知可得()1133331n n n a n a n a n ---=-+=--⎡⎤⎣⎦，112a -=-，则对任意的n *∈N ，0n a n -≠，所以当2n ≥时，()131n n a na n --=--，故数列{}n a n -是等比数列；（2）由（1）可知，数列{}n a n -是等比数列，且首项为2-，公比为3，所以，123n n a n --=-⨯，因此，123n n a n -=-⋅.49．（1）2n n a S n +=①1122,2n n a S n n --∴+=-≥②①-②得12n n n a a a -+=-，即122n n a a -=+，变形可得11222n n a a-=--，又112a S +=，得11a =故数列{}2n a -是以-1为首项，12为公比的等比数列；（2）由（1）得1122n n a --=-， *1122n n a n N -∴=-∈，；（3）令()()()232n f n n a =--，则()1232n n f n --=()()12123521222nn nn n nf n f n ----∴+-=-= 当1n =或2n =时，()()10f n f n +->，当3,n n N ≥∈时，()()10f n f n +-< 又()334f =，()max 34f n ∴=，因为不等式()()22232n n a λλ->--对任意的正整数n 恒成立，2324λλ∴->，解得1322λ<<.。

高二数学等比数列公式归纳

等比数列公式_高二数学等比数列公式归纳定义：an+1/an=q(an≠0)q<0摆动数列q=1常数列常数列(除零外)即成等差又成等比通项公式：an=a1·qn-1变形：an=am·qn-m=A·qn(A为常数)=(a1/q)·qn前n项和：Sn=a1·(1-qn)/(1-q)=A-A·qn=(a1-an·q)/(1-q)Sn=n·a1······(q=1)a1·(1-qn)/(1-q)·······(q≠1)性质：等比中项：an2=an+1·an-1隔项符号相同序号公式：m+n=p+qam+an=ap+aq抓好基础是关键数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。

只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。

弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。

反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。

严防题海战术做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。

学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。

因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。