风险分散：资产组合理论

E(r ) w 1E(r1 ) w 2E(r2 )
2
w 1 w 2 2 2w 1w 2 1 2
2 1
2
2
2
E(r )
有效边界

E(r ) w 1E(r1 ) w 2E(r2 )
2
w 1 w 2 2 2w 1w 2 1 2
kw i k

kw i ,w i i
Thank you!!
问题的解决：通过最小二乘法我们可以确定不同资产之 间的比例关系，从而找到Sharp比率最高的P点，通过效 用函数的引入，在直线FP上我们找到了效用最大点T点。
资料来源： 《Modern Portfolio Theory and Investment Analysis》 Written by Edwin J.Elton , Martin J.Gruber ,
E(r ) w 2E(r2 ) w 1rf
B
E(r2 )
w 2 2
w1 w 2 1
E(r ) rf E(r2 ) - rf 2
rf
2

E(r ) rf
E(r2 ) - rf 2
二、无风险资产的引入和sharp比率
斜率称为报酬与波动性比率，即Sharpe比率
P
E(r1 )
F
1
2

问题的深入：确定了风险资产的配比就只能接受固定的风险
和收益了么？如果你是风险厌恶者或者是风险偏好者，你应
该如何在最优风险资产配置中降低或者提高自己的风险？
E(r )
在A、B资产比例确定的情况下，
E(rp )
A
F
P
B
每个人根据自己对风险的偏好不
同可以加入不同数量的无风险资 产来获取某个特点风险下的收益。
斜率
E(r2 ) - rf 类似于离散系数 的 2 E(x )
意义，都是在结合收益 和波动的前提下优 化方案，不同的是它剔 除了无风险的收益。
E(r ) rf
E(r2 ) - rf 2
E(r )
A
Sharp比率最大 即从F点出发与
E(r2 )
B
AB曲线相切直
线的斜率，切 点P点即对应最 优的风险资产 组合比例。
Stephen J.Brown , Willian N.Goetzmann
i 1
n
kw 1
……
2 1
kw 2 12 kw n 1n E(r1 ) rf
2
kw 1 12 kw 2 2 kw n 2n E(r2 ) rf
kw n1n kw 2 2n kw n 2n E(rn ) rf
1
n
2

w iw j ij i j j i
1 1,
n
n
k （ 0 i 1, 2 n) 求K的最大值，利用最小二乘法： w i
k( x i 1i ) E(r1 ) rf
k( x i 2i ) E(r2 ) rf
i 1
n
i 1 n
……
k( x i ni ) E(rn ) rf
2
2
E(r ) w 1E(r1 ) w 2E(r2 )
2
w 1 w 2 2 2w 1w 2 1 2
2 1
2
2
2
E(r )
① 当=1时
E(r2 )
A
B
E(r ) w 1E(r1 ) w 2E(r2 ) w 1 1 w 2 2
w1 w 2 1
E(r1 )
1
2

E(r ) w 1E(r1 ) w 2E(r2 )
2
w 1 w 2 2 2w 1w 2 1 2
2 1
2
2
2
E(r )
B
② 当=−1时
E(r ) w 1E(r1 ) w 2E(r2 ) w 1 1 - w 2 2
E(r2 )
风险分散：资产组合理论
问题的引入：如果你可以选择两种不同收益 率和风险的资产，你会怎么选择？
E(r )
B
E(r2 )
A
资产组合是否可以得到
最优的风险与期望收益？
E(r1 )
1
2

一、两种风险资产的资产组合
E(r ) E(w 1r1 w 2r2 ) r代表组合资产的收益率 w 1E(r1 ) w 2E(r2 )
2 1
2 1
w 2 2
2
2
w1 w 2 1
E(r1 )
1
2

E(r ) w 1E(r1 ) w 2E(r2 )
2
w 1 w 2 2 2w 1w 2 1 2
2 1
2
2
2
E(r )
B
A

E(r ) w 1E(r1 ) w 2E(r2 )
2 12 1 12 22 1n 2n
k
n
1
kw 1 E(r1 ) rf 1n E(r2 ) rf 2n kw 2 * 2 kw E(r ) r n n n f
2 1
2
2
2
问题的继续：如何在有效边界上寻找合适的 点（合适的资产配置比例）？
确定一个结合收益与风险的评价指标。
E(r ) w 1E(r1 ) w 2E(r2 )
2
w 1 w 2 2 2w 1w 2 1 2
2 1
2
2Fra Baidu bibliotek
2
E(r )
E(r1 ) rf， 1 0， 0
p

E(r ) rf
E(r2 ) - rf 2
三、效用函数的引入使选择量化
E(r )
U E(r ) 0.5A
B
2
E(rp )
T
P
E(rp ) - rf E(r ) rf P
A
F


U ( ,E(r )) E(r ) 0.5A 2
E(rp ) - rf ( ,E(r )) E(r ) rf P
2
w 1 w 2 2 2w 1w 2 1 2
2 1
2
2
2
证券A与证券B的结合线在一般情况下是一条双曲线。 其弯曲程度决定于这两种证券之间的关联性ρAB。 结合线的弯曲程度随着ρ值的下降而加大。
ρ =1时为一条直线，而ρAB =时成为一条折线。
如果允许卖空，则由证券A、B构成的证券组合有 可能位于A、B连线的延长线上。
2 1
n

Cov (w i ri ,w j rj ) i j j i
1 1,
n
n
w i i i
2 1
n
2
w iw j ij i j j i
1 1,
n
n
E(r ) rf k
w i[E(ri ) rf ] i
1 2
n
w i i i
利用拉格朗日常数法：
L( ,E(r )) U ( ,E(r )) ( ,E(r )) L L L 0, 0, 0 E(r )
得：
T( ,E(rp )) (rf
[E(rp ) rf ]2
A P
2
E(rp ) rf , ) A P
四*、从两个风险资产组合推 广到多个风险资产组合
w1 w 2 1
2 2
w 1,w 2分别代表投资比例
2 Var(w 1r1 w 2r2 )代表组合资产的标准差
w 1 Var(r1 ) w 2 Var(r2 ) 2Cov(w 1r1 ,w 2r2 ) w
2 1 2 1
w 2 2 2w 1w 2 1 2
w1 w 2 1
E(r1 )
A
1
2

E(r ) w 1E(r1 ) w 2E(r2 )
2
w 1 w 2 2 2w 1w 2 1 2
2 1
2
2
2
E(r )
B
③ 当=0时
E(r ) w 1E(r1 ) w 2E(r2 )
2
E(r2 )
A
w
E(r ) E( w i ri )
i 1 n
w i E(ri ) i
1
n
E(r ) rf E( w i ri ) rf
i 1
n
wi 1
i 1
n

w i[E(ri ) rf ] i
1
n
2 Var( w i ri )
i 1
2
n

w i i i