理学差异量数

例 某校四年级举行数学竞赛，一班、二班分别派九名选手 参加，如下表。试比较两个班的成绩。
表4-1 一班成绩统计表
X
92 90 83 80 75 70 62 55 50
或最大组的上限减去最小组的组中值
组距 150~156 156~162 162~168 168~174 174~180 180~186 186~192 192~198
合计
f
3
9
运用上
25
述方法计
34
算左边数
20
列的全距
7
1
1
100
优点：
计算简单、 直观。
缺点：
（1）受极端值影响大； （2） 没有度量中间各个单位间 的差异性，数据利用率低，信息丧 失严重； （3）受抽样变动影响大，大样 本全距比小样本全距大。
源自文库
由下向上累加次数
144
143
140
135
119
101
79
49
24
8
5
14
解：首先确定Q1和Q3所在组，方法同确定中位数。由 于N=144，N/4=36，3N/4=108，所以Q1在55-59组， Q3在70-74组。
将Lb 54.5, f Q1 25, Fb 24, i 5,
N 36代入公式4.7, 得
PR
Fb
f X Lb • 100
i N
166 1483 79.5 100
5
196
90
即该生成绩的百分等级为90，表明团体中有 90%的学生成绩低于他的成绩。
四分位差
• 中间50%的次数的距离的一半。简言之：第三四 分位数和第一四分位数的差值的一半。 • 避免全距受极端值影响大的缺点。 • 通常与中位数配合使用。
第二节 平均差、方差、标准差
要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各变量值相对于平均数 的差异情况，一个很自然的想法就是计算各变量值与算术平均数 的离差。平均差是离差绝对值的算术平均数。
1.对于未分组资料
2.对于分组资料
[例1] 试分别以算术平均数为基准，求85，69，69，74， 87，91，74这些数字的平均差。
2020/4/30
13
某校144名学生的外语成绩次数如下，求其四分位差。
表3-5 某校144名学生外语成绩次数分布表
X 90-94 85-89 80-84 75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 2020/44/340以下
次数f 1 3 5 16 18 22 30 25 16 3 5
最大值和最小值之差，也叫极差。全 距越大，表示变动越大。
R =Xmax– Xmin
[例] 求74，84，69，91，87，74，69的全距。 [解] 把数字按顺序排列：69，69，74，74，84，87，91
R =Xmax– Xmin ＝91—69＝22
对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距： （1）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值 （2）用组值最大组的上限减去最小组的下限 （3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限
[例2] 试以算术平均数为基准，求下表所示数据的平均差。
组距
f
150~156
3
156~162
9
162~168
25
168~174
34
174~180
20
180~186
7
186~192
1
192~198
1
合计
100
第二节 平均差、方差、标准差
• 平均差优缺点：
• 优点： • 平均差优于四分位差和极差。 • 用离开平均数的平均距离表示数据的离散程度，符合人
百分位差
• 百分位差是指两个百分位数之差。 • 常用的百分位差有两种：p90-p10 ，p93-p7 • 百分位数能够较好的反映一组数据的离散程度。
百分等级
•百分位数
百分等级
• 百分等级是指一组有序数据中某一数据以下所含 次数占总次数的百分比，通常用符号PR表示。
•在教育上，常用百分等级表示一个分数在团体中的 相对位置。百分等级越低，个体在团体中所处的地 位越差。如果某分数的百分等级PR=70，则表明团 体中有70%的人的成绩低于该分数。
对于分组资料，计算百分等级的公式为
PR
Fb
f X Lb • 100
i
N
例 196名学生外语考试成绩的次数分布表如下。 某考生分数为83，求其百分比等级是多少？
196名学生外语成绩次数分布表
组限
次数
累积次数(由下向上)
95-99
3
196
90-94
6
193
85-89
7
187
80-84
14
180
第四章 差异量数
• 差异量数是对一组数据的变异性（离中趋势）进 行度量和描述的统计量。
• 常用的差异量数：
– 绝对差异量数：全距、四分位差、百分位差、平均差、 标准差、方差等。
– 相对差异量数：异众比例、平均差系数、标准差系数 （差异系数）和一些常用的偏态系数。
第一节 全距、百分位差与四分位差
1.全距(Range)
们常识，易于理解。 • 计算考虑了每一个数值，稳定可靠。不易受样本抽样影
响。 • 缺点 • 计算过程中求绝对值，不适合进行下一步代数运算。
第二节 平均差、方差、标准差
• 标准差是一组数据中每个数据与其算术平均数之差 的算术平均数的算术平方根。用符号S表示。
2
Xi X
n
——未分组资料计算标准差 1、基本公式法
未分组资料求四分位数的方法同中数。
分组资料Q1和Ｑ3的求法，Q1和Q3的公式分别为
N
Q1 Lb
4 Fb f Q1
•i
3N
(3.7)
Q3 Lb
4
Fb •i
f Q3
(3.8)
式中：L
为该四分位数所在组的实下限；f
b
Q1 , f Q3 分
别为Q1，Q
所在组的次数；F
2
为小于该四分位数所
b
在组下限的次数之和；i 为组距；N 为总次数。
4
Q1
54.5
36 24 25
5
56.9
将Lb 69.5, f Q1 18, Fb 101, i 5,
3N 108代入公式4.8, 得
4
Q3
69.5 108 101 5 18
71.4
最后将求得的Q1和Q3代入公式，得
Q Q3 Q1 7.27 2
即144名学生外语成绩的四分位差为7.27分。
75-79
16
166
70-74
35
150
65-69
42
115
60-64
30
73
55-59
21
43
50-54
6
22
45-49
4
16
40-44
4
12
35-39
3
8
30-34
2
5
25-29
2
3
20-24
1
1
合计
196
解：因83属于80-84组，所以有f=14 Fb=166, Lb=79, i=5, N=196。 将上述数值代入公式，得