线性规划所有类型总结

线性规划，想说懂你很容易

线性规划是近两年高考的必考内容。学习简单线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值（最大值或最小值）问题。而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘泥于课本中的z=ax+by 的形式，下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划求最值问题。 1、目标函数形如z=ax+by 型：

例1（2008.全国Ⅱ）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪

+⎨⎪-⎩

，

，．≥≤≥，则

y x z 3-=的最小值是（ ）

A ．2-

B ．4-

C ．6-

D ．8-

解：画出可行域（如图1），由y x z 3-=可得331z

x y -=，所以3

z -表示直线

3

31z

x y -=的纵截距，由图可知当直线过点A （-2，2）时，z 的最小值是-8，选

D.

2、目标函数形如a

x b

y z --=

型： 例2（2007.辽宁）已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪

⎨⎪+-⎩

≤，≥，≤，

则

y

x

的取值范围是（ ） A ．]6,59[ B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦

U ，， C ．(][)36-∞+∞U ，， D ．[36]， 解：画出可行域（如图2），

y

x

表示可行域内的点（x,y ）与原点连线的斜率，求得A （1，6），C （29

,25）, 且求得K OA =6，K OC =5

9，

所以659≤≤x

y

，选A.

3、目标函数形如z=a bx+cy 型：

图1

图2

图3

例3.（2008.北京）若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪

+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x y z +=的最小值是（ ）

A ．0

B ．1

C

D ．9

解：画出可行域（如图3），令u=x+2y,当x=y=0时u 最小为0，则

23x y z +=的最小值是1.故选B.

4. 目标函数形如z=

e

dx c

by ax +++型：

例4．已知x 、y 满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤+≥x

y y x x 12340

，则132+++x y x 的取值范围是（ ）

A ．[1,5]

B ．[2,6]

C ．[2,10]

D ．[3,11] 解：做出可行域（如图4），因为

1)1(211)1(21132+++

=++++=+++x y x y x x y x ，其中1

1

++x y 可视作可行域内的点与点C （-1，-1）连线的斜率，且求得K CA =5，K CB =1，所以由图可知5111≤++≤

x y ，所以111

13≤++≤x y 选D. 5. 目标函数形如22)()(b y a x z -+-=型：

例5.已知x 、y 满足⎩⎨⎧≥≥≤-+0,00

22y x y x ，求22)1()1(-+-=y x z 的最大

值和最小值.

解：目标函数的几何意义是可行域的点（x ，y ）与点C （1，1）的距离（如图5），由图形易知点C 与可行域内的点O （0，0）和A （2，0）的距离最大为2，而z 的最小值是点C 到直线022=-+y x 的距离

55，所以m ax z =2，m in z =5

5

变式 已知x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥-+≤--≥+-0320930

72y x y x y x ，求z =x 2+y 2的最大值和最小值，

解：画出可行域（如图6），z =x 2+y 2表示可行域内的点与原点O 距离的平方，由图可知，|OA|最大，m ax z =（2265+）2=61,最

图4

图5

图6

小值为点O 到直线x+2y-3=0的距离的平方，m in z =（4

1|3|+）2=59

.

6. 目标函数形如z=|ax+by+c|型：

例6. 已知x 、y 满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≤--≥-+≥+-052040

2y x y x y x ，求z =|x+2y-4|的最大值.

解：因为55

|

42||42|⋅-+=

-+=y x y x z ,所以z 可看作是可行域内任意一点（x,y ）到直线x+2y-4=0的距离的5倍.由图7知，点C 到直

线x+2y-4=0的距离最大,由⎩⎨⎧=--=+-0520

2y x y x 可得C （7，9）所以z max =|7+2

×9-4|=21.

7. 目标函数形如z=ax 2+by 2型：

例7.已知变量x 、y 满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+-≤+≤261y x y x y ，求z=4x 2+y 2的最值

解：做出可行域，即以原点为中心的共离心率的椭圆系（如图8），

由z=4x 2

+y 2

得14

2

2=+z y z x ，目标函数z 的几何意义是椭圆长轴的平方，

当椭圆分别经过C （4，2），B （1，2，）时z 取最大值和最小值，m ax z =68，

m in z =8.此题还可以进一步引申，求z=4x 2-y 2的最值。

图7

图8