线性规划所有类型总结
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划知识点总结 1.线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解 3.解线性规划实际问题的步骤：（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（4）验证. 4.两类主要的目标函数的几何意义: （1）-----直线的截距；（2）-----两点的距离或圆的半径；（3）-----直线的斜率风格很统一！以下资料为赠送资料：《滴水之中见精神》主题班会教案活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
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线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在实际问题中具有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将对线性规划的相关知识点进行总结，包括线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用场景等方面。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为一个关于决策变量的数学表达式。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。
约束条件可以包括等式约束和不等式约束。
3. 决策变量：线性规划的解决方案通常涉及一组决策变量，这些变量的值可以被调整以满足约束条件并优化目标函数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解的集合构成了可行域。
二、线性规划模型的建立1. 建立目标函数：根据问题的具体要求，将目标转化为数学表达式，并确定是最大化还是最小化。
2. 建立约束条件：根据问题的限制条件，将约束条件转化为线性等式或不等式。
3. 确定决策变量：根据问题的决策变量，定义需要优化的变量。
4. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围。
三、线性规划的解法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图形方法进行求解。
通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法，适用于多维线性规划问题。
通过迭代计算，找到目标函数的最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划问题通常比线性规划问题更复杂，求解难度更大。
四、线性规划的应用场景1. 生产计划：线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
通过考虑资源限制和需求量，可以确定最佳的生产数量和产品组合。
2. 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，以达到最大的效益。
例如，可以通过线性规划确定最佳的人员调度、物资采购和设备配置方案。
线性规划知识总结
线性规划知识总结1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域（1）直线0:=++C By Ax l 把平面内不在直线上的点分成两部分，对于同一侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。
（2）对于直线:l Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。
对于二元一次不等式b kx y +≥表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的上方（包括直线y ＝kx ＋b ）。
对于二元一次不等式b kx y +≤表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的下方（包括直线y ＝kx ＋b ）。
注意：二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax 与二元一次不等式)0(0≤≥++C By Ax 所表示的平面区域不同，前者不包括直线Ax ＋By ＋C ＝0，后者包括直线Ax ＋By ＋C ＝0。
2. 线性规划我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。
解决这类问题的基本步骤是：（1）确定好线性约束条件，准确画出可行域。
（2）对目标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则bz取得最大值（或最小值）时，z 也取得最大值（或最小值）；若b ＜0，则反之。
（3）一般地，可行域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。
（4）注意实际问题中的特殊要求。
说明：1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数个。
知识点一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1：基础题1. 不等式组201202y x x y -->⎧⎪⎨-+≤⎪⎩表示的平面区域是（ ）A B C D2. 如图，不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域面积是________________。
线性规划经典总结
线性规划一、 线性规划的有关概念1、 线性约束条件：由关于x ，y 的二元一次不等式组成的不等式组对自变量x 、y 进行约束，叫线性约束条件。
2、 线性目标函数：关于x 、y 的二元一次解析式z=f （x ，y ）叫线性目标函数。
3、 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题。
4、 可行解：满足线性约束条件的解（x ，y ）。
5、 可行域：所有可行解组成的集合。
6、 最优解：使得线性目标函数取得最大值或最小值的解（x ，y ）。
二、 图解法求线性规划问题最优解的一般步骤 1：由线性约束条件画出可行域；2：令z=0，再利用平移法找到最优解所对应的点;3：求出最优解所对应的点的坐标，代入目标函数，求出最大值或最小值； 4：通过检验是否符合题意，得出问题的答案。
三、 激活思维例1.已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y 则z=2x+y 的最大值为 。
沙场演练：1.若⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≥+0,0221352y x y x y x 则z=x —5y 的最大值为 。
2.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-0,005302>>y x y x y x ，则z=y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2141的最小值为 。
四、解析几何中常见的几何意义例2.已知x ，y 满足()()14322=-+-y x ，则（1）xy 的最值为 ； （2）()()2211+++y x 的最值为 ；（3）y x +的最值为 。
沙场演练：1已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x ，则x y 的取值范围是 。
2.在平面直角坐标系中，点p （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-≥12121x y x y ，所表示的平面区域内，则目标函数()()2212-++=y x z 的最小值为 。
3已知点P （x ，y ）的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则点P 到直线4x+3y+1=0的距离的最大值是________.4已知实数,x y 满足112213y x y x ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，则214z x y =+的最大值为 ． 5已知x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥040522y x y x y ,则521-+=y x z 的最小值是______ 6设实数,x y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤， 则y x u x y =-的取值范围是_________． 7动点(,)P a b 在不等式组2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则31a b a ω+-=-的取值范围是 ．五、目标函数中有参数例3.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数()0,0>>b a by ax z +=的最大值为12，则ba 32+的最小值为 。
线性规划常见题型及解法 均值不等式(含答案)
线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。
通常代特殊点（0，0）。
（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它在经济学、管理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化某个线性函数，该函数被称为目标函数。
2. 约束条件：线性规划的决策变量必须满足一系列线性等式或不等式，这些条件被称为约束条件。
3. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数取得最大（或最小）值的解称为最优解。
三、模型建立线性规划的模型建立包括确定目标函数、约束条件和决策变量的取值范围。
1. 目标函数的确定：根据实际问题确定要最大化或最小化的线性函数。
2. 约束条件的确定：根据实际问题确定线性等式或不等式的约束条件。
3. 决策变量的确定：根据实际问题确定需要决策的变量及其取值范围。
四、解法线性规划有多种解法，包括图形法、单纯形法、内点法等。
下面介绍两种常用的解法：1. 图形法：适用于二维或三维的线性规划问题。
通过绘制目标函数和约束条件的图形，找到最优解所在的区域。
2. 单纯形法：适用于多维的线性规划问题。
通过逐步迭代改进当前解，直到找到最优解。
五、应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：1. 生产计划：通过线性规划可以确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决物流配送中的最优路径问题，以最小化运输成本。
3. 资源分配：线性规划可以用于合理分配有限资源，以满足不同需求的最优化。
4. 投资组合：线性规划可以用于确定最佳的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
六、总结线性规划是一种重要的数学优化方法，通过建立数学模型，可以求解线性约束条件下的最优解。
本文对线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用进行了总结。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、求解方法和应用进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数的系数称为目标系数，代表了各个决策变量对目标的影响程度。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为等式或者不等式。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（最小）值的解称为最优解。
三、模型建立1. 决策变量：线性规划中，需要确定一组决策变量，代表问题中的可调整参数。
决策变量通常用符号x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：根据问题的具体要求，建立目标函数。
例如，最大化利润、最小化成本等。
3. 约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性约束条件。
约束条件通常表示为等式或者不等式。
4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束条件，即x1, x2, ..., xn≥0。
四、求解方法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图解法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行解区域，最后在可行解区域中找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过不断迭代，找到使目标函数取得最大（最小）值的最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划通常比线性规划更复杂，求解时间更长。
4. 网络流算法：对于某些特殊的线性规划问题，可以使用网络流算法进行求解。
网络流算法利用图论的方法，将问题转化为网络流问题进行求解。
五、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。
2. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方案，如人力资源、物资资源等。
高中数学线性规划知识总结+练习
（一） 知识内容1.二元一次不等式表示的区域对于直线(A 〉0)当B >0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域。
当B <0时, 表示直线下方区域； 表示直线的上方区域。
2.线性规划(1）不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件。
z =Ax +By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,我们把它称为目标函数.由于z =Ax +By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数。
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示。
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.(3）那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。
其中可行解（)和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。
线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行（二）主要方法：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1。
首先,要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）。
2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析,平移直线l 0，从而找到最优解。
4。
最后求得目标函数的最大值及最小值.（三）典例分析：1。
二元一次不等式（组)表示的平面区域【例1】 画出下列不等式（或组）表示的平面区域⑴⑵求不等式表示的平面区域的面积。
2.区域弧长、面积问题【例2】 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( ）A ．B ．C ．D ．【例3】 若，，且当时,恒有，则以,为坐标点所形成的平面区域的面积等于 ．例题精讲高考要求板块一：线性规划【例4】已知钝角的最长边为，其余两边的长为、，则集合所表示的平面图形面积等于（）A．B．C．D．【例5】如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），、、、是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称优于．如果中的点满足:不存在中的其它点优于,那么所有这样的点组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．【例6】已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为（ )A． B．C．D．3.线性规划【例7】设变量，满足约束条件：．则目标函数的最小值为（)A．6 B．7 C．8 D．23【变式】已知实数、满足，则的最大值是( ）A．B．C．D．【例8】已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于______，最大值等于______．【例9】设变量,满足约束条件，则函数的最大值为（）A．B．C．D．【例10】若实数满足,则的最小值为．4。
线性规划总结
（2）斜率型目标函数: 目标函数为 型的，几何意义是可行域内的点与定点（0，0）,( )连线的斜率
例4.设实数x,y满足 .
练习题：1、 设 满足约束条件 ，则 取值范围是
2、设变量 、 满足约束条件 ，则 最小值为
例2、已知x，y满足 ，则 的最大值为___________，最小值为____________．
练习题：1、如果实数 满足 ，目标函数 的最大值为12，最小
值为3，那么实数 为
2、若直线 上存在点 满足约束条件 ,则实数 的最大值为（ ）
【解析】选 约束条件对应 边际及内的区域：
则
例2、若 满足约束条件： ；则 的取值范围为
【解析】 的取值范围为
约束条件对应 边际及内的区域：
则
练习题：
1、设变量 满足 ，则 的最大值为（D）.
A．20B．35C．45D．55
2、若 满足约束条件 ，则 的最小值为。
答案：
3、【2012高考山东理5】已知变量 满足约束条件 ，则目标函数
（4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内的点且平行于ax＋by＝0的直线中，找出对应于t最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解．
题型二：求可行域的面积：关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面积，或切割为三角形
例1、不等式组 表示的平面区域的面积是 ( )
(A)4 (B)4(C)2 (D)2
解：可行域是A,B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为4
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学建模技术，用于优化问题的求解。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及常见的应用案例。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用Z表示，可以是利润、成本等。
2. 约束条件：线性规划问题需要满足一系列约束条件，这些约束条件用一组线性不等式或等式表示。
例如，生产的数量不能超过某个限制，资源的使用量不能超过可用数量等。
3. 决策变量：线性规划问题中需要确定的变量称为决策变量，通常用X1、X2等表示。
决策变量的取值决定了问题的解。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、模型建立线性规划问题的建模过程包括确定决策变量、目标函数和约束条件。
以下是一个简单的线性规划模型示例：假设某公司生产两种产品A和B，目标是最大化总利润。
已知每单位A产品的利润为P1，每单位B产品的利润为P2。
同时，公司有两个限制条件：1）每天生产的产品总数不能超过N个；2）每天生产的产品A和B的总数不能超过M个。
现在需要确定每天生产的A和B产品的数量。
决策变量：设每天生产的A产品数量为X1，B产品数量为X2。
目标函数：总利润为Z = P1*X1 + P2*X2。
约束条件：1）生产总数限制：X1 + X2 ≤ N；2）产品总数限制：X1 + X2 ≤ M。
四、求解方法线性规划问题可以使用各种求解方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法等。
以下是单纯形法的基本步骤：1. 初等行变换：将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
2. 构造初始可行解：通过人工选取初始可行解，使得目标函数值为0。
3. 选择进入变量：选择一个非基变量作为进入变量，使得目标函数值增加最快。
线性规划的十种类型
线性规划的十种类型
1、标准型线性规划：目标是最大化或最小化一个线性函数的值，约束条件也是线性的。
2、有约束的线性规划：目标是最大化或最小化一个线性函数的值，约束条件是线性或非线性的。
3、整数规划：变量必须是整数值。
4、0-1整数规划：其变量只能是0或1值。
5、二次约束规划：有二次式约束条件。
6、模型规划：模型规划是一种解决方案，用来解决一类问题。
7、受约束的多目标规划：有多个目标函数和各种约束条件，然后通过系统的优化来选择最优的结果。
8、混合整数规划：其中的变量可以是整数也可以是实数。
9、多项式规划：目标函数和约束条件都是多项式的。
10、动态规划：动态规划通常是用来解决某个未来状态要被满足时，对于当前要采取的策略最佳化的问题。
高中数学线性规划题型总结
高考线性规划归类解析一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题2x y2例 1、设变量 x、y 满足约束条件x y 1 ，则z 2 x 3 yx y1的最大值为。
解析：如图 1，画出可行域，得在直线2x-y=2 与直线 x-y=-1的交点 A(3,4) 处，目标函数z 最大值为 18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域 ,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。
数形结合是数学思想的重要手段之一。
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题图 1x 1,例 2、已知x y10,则 x2y2的最小值是.2x y20解析：如图 2，只要画出满足约束条件的可行域，而x2y2表示可行域内一点到原点的距离的平方。
由图易知A（ 1，2）是满足条件的最优解。
x2y2的最小值是为5。
点评：本题属非线性规划最优解问题。
求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
图 2x0C例 3 、在约束条件y0下，当 3s 5 时，目标函数y x sy 2x4z3x 2y 的最大值的变化范围是（）A. [6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]解析：画出可行域如图 3 所示,当 3s 4 时 , 目标函数z3x2y在 B(4s,2 s4) 处取得最大值,即zmax3(4s) 2(2s 4)s 4[7,8); 当 4s 5 时 , 目标函数z 3x2y在点E(0, 处取得最大值,即z max 3 0 2 48,故z[7,8],从而选 D;点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于 S的函数关系是求解的关键。
四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例 4、已知双曲线x2y2 4 的两条渐近线与直线x 3 围成一个三角形区域 ,表示该区域的不等式组是（）x y 0x y 0x y 0x y 0(A) x y 0(B)x y 0(C) x y0(D) x y 00 x 30 x 30 x 30 x 3解析：双曲线 x2y2 4 的两条渐近线方程为y x ，与直线 x 3围成一个三角形区域（如图4 所示）时有x y 0 。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是数学规划的一种重要方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的基本思想是在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或者最小值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用字母 Z 表示。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一组线性不等式或者等式，称为约束条件。
通常用字母 Ai 表示。
3. 变量：线性规划的问题中，需要确定的变量称为决策变量。
通常用字母 Xi表示。
三、标准形式线性规划问题通常可以转化为标准形式，以便于求解。
标准形式的线性规划问题包括以下要素：1. 目标函数：目标函数是一个线性函数，需要最大化或者最小化。
2. 约束条件：约束条件是一组线性不等式或者等式。
3. 变量的非负性：变量需要满足非负性约束，即变量的取值不能为负数。
四、线性规划求解方法线性规划问题可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的位置。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过迭代计算，逐步接近最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划问题相对于线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
五、线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：1. 生产计划：线性规划可以匡助确定最优的生产计划，使得生产成本最低或者产量最高。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输的最优路径问题，以降低运输成本。
3. 金融投资：线性规划可以用于确定最优的投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
4. 资源分配：线性规划可以匡助确定资源的最优分配方案，以满足需求并最大化效益。
5. 排产问题：线性规划可以用于解决生产设备的排产问题，以最大化生产效率。
六、线性规划的局限性尽管线性规划具有广泛的应用领域，但它也有一些局限性：1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，但实际问题中往往存在非线性关系。
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、投资组合等。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用进行详细介绍。
二、基本概念1. 线性规划问题：线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
它包括目标函数、约束条件和决策变量。
2. 目标函数：线性规划的目标函数是一个线性函数，表示要最小化或最大化的目标。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，限制了决策变量的取值范围。
4. 决策变量：线性规划的决策变量是需要决策的变量，它们的取值决定了目标函数的值。
三、模型建立1. 建立目标函数：根据问题的要求，将目标转化为线性函数，确定需要最小化或最大化的目标。
2. 建立约束条件：根据问题的限制条件，将约束条件转化为线性不等式或等式。
3. 确定决策变量：根据问题的决策变量，确定需要决策的变量及其取值范围。
四、解法1. 图解法：对于二维问题，可以使用图形方法进行求解。
将约束条件绘制在坐标系上，通过图形的交点确定最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
它通过迭代计算，逐步接近最优解。
3. 整数规划：当决策变量为整数时，可以使用整数规划方法进行求解。
它将线性规划问题扩展为整数规划问题，通过枚举法或分支定界法求解最优解。
五、应用1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中各个产品的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
2. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最优分配方案，以满足各个需求的最大化或最小化。
3. 投资组合：线性规划可以用于确定投资组合中各个资产的投资比例，以最大化收益或最小化风险。
六、总结线性规划是一种重要的数学优化方法，通过建立数学模型，可以求解在一组线性约束条件下的最优化问题。
它的应用广泛，可以用于解决各种实际问题。
掌握线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用，对于提高问题求解的效率和准确性具有重要意义。
高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略
高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略一.线性目标函数问题当目标函数是线性关系式如（）时，可把目标函数变形为 ，则可看作在上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.二.非线性目标函数问题的解法当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。
近年来，出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：1． 比值问题当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
例2已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则y x 的取值范围是（）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D ）[3，6]解析 y x是可行域内的点M （x ，y ）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y x取得 最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y x取得最大值6.答案A 2．.距离问题当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。
例3已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，求x 2＋y 2的最大值与最小值. 解析作出不等式组表示的平面区域（如图）.设x 2＋y 2＝z ，则z 是以原点为圆心的圆的半径的平方.当圆x 2＋y 2＝z 过点B （2，3）时，z 取得最大值，从而z 取得最大值z max ＝22＋32＝13； 当圆x 2＋y 2＝z 与直线AC ：2x ＋y －2＝0相切时，z 取得最小值，从而z 取得最小值. 设切点坐标为（x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋y 0－2＝0，y 0x 0·（－2）＝－1. z ax by c =++0b ≠a z c y x b b -=-+z c b-y 在轴y a z x b-=-(,)P x y (,)Q b a 22()()z x a y b =-+-(,)P x y (,)Q a b解得x 0＝45，y 0＝25.因此，z min ＝（45）2＋（25）2＝45. 故，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值13；当x ＝45，y ＝25时，x 2＋y 2取得最小值45. 3． 截距问题例4 不等式组表示的平面区域面积为81，则的最小值为_____解析 令，则此式变形为，z 可看作是动抛物线在y 轴上的截距，当此抛物线与相切时，z 最小，故答案为 4．.向量问题 例5已知点P 的坐标（x ，y ）满足：及A （2，0），则的最大值 解析=||·cos ∠AOP 即为在上的投影长 由∴·cos ∠AOP 的最大值为5.5线性变换问题例6 在平面直角坐标系x O y 中，已知平面区域A ＝{（x ，y ）|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{（x ＋y ，x －y ）|（x ，y ）∈A }的面积为.解析令x ＋y ＝u ，x －y ＝v ，则x ＝u ＋v 2，y ＝u －v 2. 由x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0得u ≤1，u ＋v ≥0，u －v ≥0.因此，平面区域B 的图形如图.其面积为S ＝12×2×1＝1.6线性规划的逆向问题例8 给出平面区域如图所示.若当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值范围是.解析当直线y ＝ax －z （a ＜0）过点（23，45），且不与直线AC ，BC 重合时,－z 取得最大值，从而z 取得最小值.k AC ＝4523－1＝－ 125，k BC ＝45－123＝－ 310.所以，实数a 的取值范围是（－ 125，－ 310）. x+y 00x y x a ≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩2x y +2z x y =+2y x z =-+2y x z =-+y x =-14-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-.01,2553,034x y x y x OP OA OA ⋅u u u r u u u r u u u u r OP OA OA⋅u u u r u u u r u u u u r OP OP uuu r OA u u u r ，，M y x y x )25(2553,034⇒⎩⎨⎧=+=+-OP u u u r7、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
线性规划知识总结
线性规划知识总结线性规划知识总结1. ⼆元⼀次不等式（组）表⽰的平⾯区域（1）直线0:=++C By Ax l 把平⾯内不在直线上的点分成两部分，对于同⼀侧所有点的坐标代⼊Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代⼊Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。
（2）对于直线:l Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。
对于⼆元⼀次不等式b kx y +≥表⽰的平⾯区域在直线y ＝kx ＋b 的上⽅（包括直线y ＝kx ＋b ）。
对于⼆元⼀次不等式b kx y +≤表⽰的平⾯区域在直线y ＝kx ＋b 的下⽅（包括直线y ＝kx ＋b ）。
注意：⼆元⼀次不等式)0(0<>++或C By Ax 与⼆元⼀次不等式)0(0≤≥++C By Ax 所表⽰的平⾯区域不同，前者不包括直线Ax ＋By ＋C ＝0，后者包括直线Ax ＋By ＋C ＝0。
2. 线性规划我们把求线性⽬标函数在线性⽬标条件下的最值问题称为线性规划问题。
解决这类问题的基本步骤是：（1）确定好线性约束条件，准确画出可⾏域。
（2）对⽬标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则bz取得最⼤值（或最⼩值）时，z 也取得最⼤值（或最⼩值）；若b ＜0，则反之。
（3）⼀般地，可⾏域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代⼊边缘点找最值。
（4）注意实际问题中的特殊要求。
说明：1. 线性⽬标函数的最⼤值、最⼩值⼀般在可⾏域的顶点处取得；2. 线性⽬标函数的最⼤值、最⼩值也可在可⾏域的边界上取得，即满⾜条件的最优解有⽆数个。
知识点⼀：⼆元⼀次不等式（组）表⽰的平⾯区域例1：基础题1. 不等式组201202y x x y -->??-+≤表⽰的平⾯区域是（）A B C D2. 如图，不等式组5003x y x y x -+≥??+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是________________。
线性规划的应用总结
线性规划的应用总结线性规划是一种常见的数学优化问题，它可以在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。
线性规划广泛应用于各个领域，如经济学、工程学、生产管理等。
本文将对线性规划的应用进行总结，并介绍一些常见的应用案例。
一、线性规划的介绍线性规划的基本形式可以表示为：Max（或Min）Z = C1X1 + C2X2 + … + CnXnSubject to:A11X1 + A12X2 + … + A1nXn ≤ B1A21X1 + A22X2 + … + A2nXn ≤ B2…Am1X1 + Am2X2 + … + AmnXn ≤ Bm其中，X1, X2, …, Xn为决策变量；C1, C2, …, Cn为目标函数的系数；A11, A12, …, Amn为约束条件矩阵的系数；B1, B2, …, Bm为约束条件的右侧常数。
二、经济学领域中的应用在线性规划中，经济学领域是最常见的应用之一。
其中一个典型的案例是生产计划。
假设一个工厂生产多种产品，通过线性规划可以确定每种产品的产量，以实现最大利润。
约束条件包括生产成本、原材料数量和市场需求。
另一个经济学中的应用是资产组合。
投资者想要构建一个资产组合，通过线性规划可以确定每种资产的投资比例，以实现最大的收益或最小的风险。
约束条件包括投资额度、收益率和风险指标。
三、工程学领域中的应用在工程学领域，线性规划被广泛应用于资源分配和调度问题。
例如，在项目管理中，可以使用线性规划来优化资源的分配，以满足项目的时间和成本约束。
另一个常见的应用是运输问题。
假设有多个供应地和多个需求地，通过线性规划可以确定每个供应地到需求地的货物运输量，以实现最低的运输成本。
约束条件包括供应地的产能、需求地的需求量和运输通路的限制。
四、生产管理领域中的应用线性规划在生产管理领域中也有广泛的应用。
一个典型的应用是生产调度问题。
假设一个工厂有多个订单需要完成，通过线性规划可以确定每个订单的开始时间和完成时间，以及每个订单的生产量，以最大化生产效率。
线性规划总结
线性规划题型总结知识点（1）在坐标系中画不等式Ax＋By＋C>0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式Ax＋By＋C≥0(或≤0)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线．（2际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；三是在可行域内求目标函数的最优解．（3）．确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点（x0，y0），把它代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，则和(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax＋By＋C>0所表示的区域，当C≠0时，常取特殊点（0，0）为代表，当C＝0时，直线过（0，0），常选（1，0）或（0，1）加以判断．这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”．（4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内的点且平行于ax＋by＝0的直线中，找出对应于t最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解．题型一：给出具体的变量,x y满足约束条件，求线性目标函数的最值。
常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。
例1、已知变量,x y满足约束条件241yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y=+的最大值为( )【解析】选B约束条件对应ABC∆边际及内的区域：53 (2,2),(3,2),(,)22 A B C则3[8,11] z x y=+∈例2、若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围为_____【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]-约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C则[3,0]t x y =-∈-练习题：1、设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为（D ）.A ．20B ．35C ．45D ．552、若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为 。
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线性规划，想说懂你很容易
线性规划是近两年高考的必考内容。
学习简单线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值（最大值或最小值）问题。
而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘泥于课本中的z=ax+by 的形式，下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划求最值问题。
1、目标函数形如z=ax+by 型：
例1（2008.全国Ⅱ）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
，
，．≥≤≥，则
y x z 3-=的最小值是（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
解：画出可行域（如图1），由y x z 3-=可得331z
x y -=，所以3
z -表示直线
3
31z
x y -=的纵截距，由图可知当直线过点A （-2，2）时，z 的最小值是-8，选
D.
2、目标函数形如a
x b
y z --=
型： 例2（2007.辽宁）已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪
⎨⎪+-⎩
≤，≥，≤，
则
y
x
的取值范围是（ ） A ．]6,59[ B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦
U ，， C ．(][)36-∞+∞U ，， D ．[36]， 解：画出可行域（如图2），
y
x
表示可行域内的点（x,y ）与原点连线的斜率，求得A （1，6），C （29
,25）, 且求得K OA =6，K OC =5
9，
所以659≤≤x
y
，选A.
3、目标函数形如z=a bx+cy 型：
图1
图2
图3
例3.（2008.北京）若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪
+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x y z +=的最小值是（ ）
A ．0
B ．1
C
D ．9
解：画出可行域（如图3），令u=x+2y,当x=y=0时u 最小为0，则
23x y z +=的最小值是1.故选B.
4. 目标函数形如z=
e
dx c
by ax +++型：
例4．已知x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥x
y y x x 12340
，则132+++x y x 的取值范围是（ ）
A ．[1,5]
B ．[2,6]
C ．[2,10]
D ．[3,11] 解：做出可行域（如图4），因为
1)1(211)1(21132+++
=++++=+++x y x y x x y x ，其中1
1
++x y 可视作可行域内的点与点C （-1，-1）连线的斜率，且求得K CA =5，K CB =1，所以由图可知5111≤++≤
x y ，所以111
13≤++≤x y 选D. 5. 目标函数形如22)()(b y a x z -+-=型：
例5.已知x 、y 满足⎩⎨⎧≥≥≤-+0,00
22y x y x ，求22)1()1(-+-=y x z 的最大
值和最小值.
解：目标函数的几何意义是可行域的点（x ，y ）与点C （1，1）的距离（如图5），由图形易知点C 与可行域内的点O （0，0）和A （2，0）的距离最大为2，而z 的最小值是点C 到直线022=-+y x 的距离
55，所以m ax z =2，m in z =5
5
变式 已知x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤--≥+-0320930
72y x y x y x ，求z =x 2+y 2的最大值和最小值，
解：画出可行域（如图6），z =x 2+y 2表示可行域内的点与原点O 距离的平方，由图可知，|OA|最大，m ax z =（2265+）2=61,最
图4
图5
图6
小值为点O 到直线x+2y-3=0的距离的平方，m in z =（4
1|3|+）2=59
.
6. 目标函数形如z=|ax+by+c|型：
例6. 已知x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-+≥+-052040
2y x y x y x ，求z =|x+2y-4|的最大值.
解：因为55
|
42||42|⋅-+=
-+=y x y x z ,所以z 可看作是可行域内任意一点（x,y ）到直线x+2y-4=0的距离的5倍.由图7知，点C 到直
线x+2y-4=0的距离最大,由⎩⎨⎧=--=+-0520
2y x y x 可得C （7，9）所以z max =|7+2
×9-4|=21.
7. 目标函数形如z=ax 2+by 2型：
例7.已知变量x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤+≤261y x y x y ，求z=4x 2+y 2的最值
解：做出可行域，即以原点为中心的共离心率的椭圆系（如图8），
由z=4x 2
+y 2
得14
2
2=+z y z x ，目标函数z 的几何意义是椭圆长轴的平方，
当椭圆分别经过C （4，2），B （1，2，）时z 取最大值和最小值，m ax z =68，
m in z =8.此题还可以进一步引申，求z=4x 2-y 2的最值。
图7
图8。