表示一组数据离散程度的指标

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1.何为一组数据的极差?极差反映了这组数 据哪方面的特征?
答： 一组数据中的最大值减去最小值所得 的差叫做这组数据的极差，极差反映的是 这组数据的变化范围或变化幅度．
小明和小华两人参加体育项目训练，近期的八次测试
成绩如下表所示．谁的成绩较为稳定？为什么？能通过 计算回答吗?
测试次数 1 2 3 4 5 6 7 8
测试次数 小明 小华
123 4 5 6 7 8 5 9 10 10 11 10 10 15 5 14 13 8 12 7 6 15
成绩 15 13
成绩 15 13
11
x 10 11
9
9
x 10
7
7
5
测试
小1明2的3成4绩5分布6 散7 点8图次数
5 1 2 3 4 5 6 7 8 测试
小华的成绩分布散点图次数
小华：15-5=10 样。
测试次数 小明 小华
1234 5 6 7 8 5 9 10 10 11 10 10 15 5 14 13 8 12 7 6 15
成绩 15 13 11
9
成绩 15
13
11
x 10
9
x 10
7
7
5
测试
1 2 3 4 5 6 7 8 次数
小明的成绩分布散点图
5
测试 1234 5 6 7 8
那么这一天两地的温差分别是
乌鲁木齐 24 — 10 =14 ℃ 广州 25 — 20 =5 ℃
这两个温差告诉我们，这一天中乌鲁木齐的气温变化幅度 较大，广州的气温变化幅度较小。
上面的温差实际上是我们数学中关于极差的一个常见例子。
思考
用一组数据中的最大值减去最小值所 得的差来反映这组数据的变化范围.用这种 方法得到的差称为极差(range)
的成绩与其平均值的离散程度较大.通常,如果一组
数据与其平均值的离散程度较小,我们就说它比较
稳定.
思考
什么样的数能反映一组 数据与平均值的离散程度？
成绩 15
13
成绩 15
13
11
11
x 10
9
9
x 10
7
7
5
测试
1 2 3 4 5 6 7 8 次数
小明的成绩分布散点图
5
测试 1234 5 6 7 8
次数
小华的成绩分布散点图
S 2 （x1 x）2（x2 x）2
（x8 x）2
8
方差
各数据与平均数的差的平方的平 均数叫做这批数据的方差.公式为：
s2

1 n
(x1
x)2

(
x2

x)2

...
(xn

x)2
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后 再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的 情况.这个结果通常称为方差.
极差＝最大值－最小值．
在生活中,我们常常会和极差打交道.班级里个子最 高的学生比个子最矮的学生高多少?家庭中年纪最大的 长辈比年纪最小的孩子大多少?这些都是求极差的例子.
思考
为什么说图中两个城市，一个“四季温差不
大” ，一个“四季分明”？
极差是最简单的一种度量数 据波动情况的量,但只能反映数 据的波动范围的大小,不能衡量 每个数据的变化情况,而且受极 端值的影响较大.
成绩 15 13 11 9 7
成绩 15 13 x 10 11 9
7
x 10
5
测试
1 2 3 4 5 6 7 8次数
小明的成绩分布散点图
5 测试
1234 5 6 7 8
小华的成绩分布散点图次数
S
2 小明

6.5
S
2 小华
13.5
方差越小，波动越小.
方差越大，波动越大.
练习
6. 从甲、乙两名射击运动员中选拔一名参加 比赛，预赛中，他们每人各打10发子弹，命 中的环数如下：
解：
S
2小明
（5
-10）2 （9
-10）2

（15
-10）2

6.5
8
S
2 小华
（5 -10）2 （14
-10）2 （15
-10）2
13.5
8

S
2小明＜S
2 小华
小明的成绩比小华的成绩稳定
测试次数 小明 小华
1
2
3
4
5
6
7
8
5
9
10
10
11
10
10
15
5
14 13
8
12
7
6
15
表示一组数据离散程度的指标 ————极差和方差
在日常生活中，我们经常用温差来描述气温的变化情况。例 如某日在不同时刻测得乌鲁木齐和广州的气温情况如下：
乌鲁木齐 广州
0:00 10℃ 20℃
4:00 14℃ 22℃
8:00 20℃ 23℃
12:00 24℃ 25℃
16:00 19℃ 23℃
20:00 16℃ 21℃
小明
5 9 10 10 11 10 10 15
小华
5 14 13 8 12 7 6 15
分析：从平均数来看：

x小明

5

9
10
10

1110
10
15

10
从平均数来看他
8
俩的平均水平一样。

x小华

5
14
13 8 12
7

6
15
10
8
从极差来看： 小明：15-5=10
从极差来看他俩的成 绩的变化范围大小一
次数
小华的成绩分布散点图
成绩 15 13 11
9
成绩 15
13
11
x 10
9
x 10
7
7
5
测试
1 2 3 4 5 6 7 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 次数
小明的成绩分布散点图
5
测试 1234 5 6 7 8
次数
小华的成绩分布散点图
由计算可知,两人测试成绩的平均值都是10分.但相
比之下,小明的成绩大部分集中在10分附近,而小华
甲：9, 8, 9, 9, 8, 9.5, 10, 10, 8.5, 9； 乙：8.5, 8.5, 9.5, 9.5, 10, 8, 9, 9, 8, 10． (1)谁的平均成绩高？ (2) 谁的成绩比较稳定？ (3)你认为派 去参加比赛比较合适？请结 合计算加以说明．