一元二次方程整数根问题的十二种思维

一元二次方程整数根问题的十二种思维策略
一. 利用判别式
例1. （2000年黑龙江中考题）当 m是什么整数时，关于 x的一元二次方程mx2 4x 4 0
与x2 4mx 4m2 4m 5 0的根都是整数。

解：•••方程mx2 4x 4 0有整数根，
• • •/ =16-16m》0，得 im^ 1
又•••方程x2 4mx 4m2 4m 5 0有整数根
2 2 5
•- V 16m 4（4m 4m 5） 0 得m —
4
5
综上所述，—一 w m^ 1
4
• x可取的整数值是-1 , 0, 1
当m=-1时，方程为—x 2-4x+4=0没有整数解，舍去。

而 0 •m=1
例2. （1996年四川竞赛题）已知方程x2 mx m 1 0有两个不相等的正整数根，求m的值。

解：设原方程的两个正整数根为x1 , x 2，则m=—（x^x?）为负整数.
2
• V m 4m 4一定是完全平方数
2 2
设m 4m 4 k ( k为正整数)
• (m 2)2 k28
即：(m 2 k)(m 2 k) 8
■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同
m 2 k 4或m
2 m 2 k 2
"m 2 k 2 k 4
解得m-1> 0 （舍去）或m-— 5。

当m=- 5时，原方程为x2-5x+6-0 两根分别为x1 -2, X2-3。

利用求根公式
例3. （2000年全国联赛）设关于 x的二次方程（k2 6k 8）x2（2k2 6k 4）x k2 4 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。

2 2 2 2
4) 4( k 4)(k 6k 8) 4(k 6)
10 易得 k= 一 , 6, 3。

3
利用方程根的定义
并且求出它们的整数根？ 解：两式相减，整理得 (2-b)x=(2-b)(1+b)
解得 b=1,x=2
当b=2时，两方程无整数根.
••• b=1,相同的整数根是2
四•利用因式分解
那么符合条件的整数 a 有.
解：当a=1时,x=1
当1时,原方程左边因式分解 得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0
2
即得 x 1 1,x 2 1 -
1 a
•/ X 是整数 ••• 1-a= ± 1, ± 2,
的两根都是整数？
由求根公式得x
X i 由于XH -1 , 两式相减， 即 x 1 (x 2 由于X 1, 2 k 2 6k 4 2(k 6)
2(k 2 6k 8)
2 22
则有k 2 x , 1 3) 2
x 2是整数, X i 4
x 2 1
故可求得 X 1 2,X 2 4
x 2 1
4 或 X 1 2,
X 2
2或为 1,x 2 5 例4.b 为何值时，方程 x 2 bx 2 2X b(b 1
)
0有相同的整数根? 解：设方程的两整数根分别是 x 1 , x 2，由韦达定理得 2 解：V (2k 6k 分别代入, 当2时,x=1+b,代入第一个方程，得(1 b)2 b(1 b)
例5. (2000年全国竞赛题)已知关于 x 的方程(a 1)x 2 2x
a 1 0的根都是整数, 由上可知符合条件的整数有 --a=-
1,0,2,3
例6.(1994年福州竞赛题)当 m 是什么整数时，关于x 的方程x 2
(m 1)x m 1 0
由②①消去m ,可得x1x2x2x 2
(X1 1)(X2 1) 3 1 3 1 ( 3)
则有x 1 1 x1 1 1
或
x 1 3 x21 3
解得: % 2 x10
或
X2 4 x2 2
由此X1 X2 8或0，分别代入②，得m 7或m 1
五•利用根与系数的关系
例7.(1998年全国竞赛题)求所有正实数a使得方程x2 ax 4a 0仅有整数根解：设方程的两整数根分别是x,，x2，且为x2
由根与系数的关系得
x| x2a 0L ①x, x24a 0L ②
由①得a x2a③
2
将③代入②得4 a x/2 x,a
/ a
4a X i x2x
2
二4 x18
显然x1丰4,故x1可取5, 6, 7, &
从而易得a=25, 18, 16。

六•构造新方程
例8.(1996年全国联赛)方程(x a)(x 8) 1 0有两个整数根，求a的值. 解：原方程变为(x 8)2 (8 a)(x 8) 1 0
设y=x-8，则得新方程为y2(8 a)y 1 0
设它的两根为y1, y2，贝y y y2 a 8,% y2
•/ x是整数，••• y 1, y2也是整数，则y1, y 2只能分别为1, -1或-1 , 1 即y 1 +y 2=°二 a=8。

七.构造等式
例9.(2000年全国联赛C卷)求所有的正整数 a,b,c,使得关于x的方程
但 a> 1, b> 1, c> 1,又有 3- (a+b+c) < 0,
3- (a+b+c) =0
故 a=b=c=1
八•分析等式 例10.(1993年安徽竞赛题)n 为正整数，方程x 2 (、、3 1)x
有一个整数根，则 n= ____________ .
解：不妨设已知方程的整数根为a,则
a 2 C.3 1)a ,3n 6 0
整理。

得 a 2 a 6 ,3(a n)
因为a 为整数，所以a 2 a 6为整数
-3(a n)也一定是整数，要使、、3(a n)为整数，必有a n
由此得a 2 a 6 0，即n 2 n 6 0
解得n=3或-2 (舍去)
/• n=3。

九•反客为主
例11.(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a,使方程ax 2 2(2a 1)x 至少有
一个整数根.
解：由原方程知x 工2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程
2
(x 4x 4)a 2x 12
2x 12
得a 2 1 (因为是正整数)
(x 2) x 2 2 2
3ax 2b 0,x 3bx 2c 0,x 3cx 2a 0的所有的根都是正整数
设三个方程的正整数解分别为 X 1,X 2,X 3,X 4,X 5,X ，则有
3ax 2b (x X 1)(x X 2)
3bx 2c (x X 3)(X X 4)
3cx 2a (x X 5)(X X 6)
令
x=1， 并将三式相加，注意到 X i > 1 (i=1，2， …6 )，有
(a b c) (1 xj(1 X 2) (1 X 3)(1 X 4) (1 X 5)(1 X 6) 0 0 0
解: 2 x 2
x 2
x 4(a 3) 0
则得(x 4)( x 2)
解得4x2 因此，x 只能取-4, -3, -1, 0, 1, 2。

分别代入a 的表达式，故所求的正整数
a 是1, 3, 6, 10。

十•利用配方法
例12.(第三届《祖冲之杯》竞赛题 )已知方程(a 2 1)x 2
2(5a 1)x 24 0 有两个不等的负整数根，则整数a 的值是 _____________ .
解：原方程可变为
2 2 2
a x 10ax x 2x 24
0 即 a 2x 2 10ax 25 x 2 2x 1
2 2
(ax 5) (x 1)
ax 5 (x 1)
得：x . —6
,x
a 1 但 a=0 时，x 2 >0; a=-5 时,x 1 = 2 =-1
十一 •利用奇偶分析
例13.(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程x 2 1999x a 0有两个质数根 贝H 常数a= .
解：设方程的两个质数根为 x 1 , x 2 ( x 1 vx 2)
由根与系数的关系得 x 1 +x 2 =1999.
显然 X 1=2,X 2 =1997,于是 a=2X 1997=3994.
十二•利用反证法
例14.不解方程 证明方程x 2 1997x 1997 0无整数根
证明：假设方程有两个整数根aB ，则a + 3 =1997, a 3 =1997,由第二式知a^均为奇数
汙是a +B 为 偶数,但这与第一式相矛盾，所以a ,3不可能都是整数•
假设方程只有一个整数根，则a + 3不可能是整数，也与第一式相矛盾，所以方程不可能只有一个整数 根•
综上所述，原方程无整数根. 当 a-1=-1，-2，-3， -6，即 a=0，-1，-2，-5 时, x 为负整数。

1。