2018年全国2卷理科数学十年真题分类汇编11 排列组合二项式定理

专题11 排列组合、二项式定理

一．基础题组

1. 【2014新课标，理13】 的展开式中，的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)

【答案】 【解析】因为，所以令，解得，所以=15

，解得. 2. 【2010全国2，理14】若(x －

)9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. 答案]： 1

解析]：T r ＋1＝x 9－r (－)r ＝(－1)r a r x 9－2r ， 令9－2r ＝3，∴r ＝3.∴x 3的系数为(－1)3a 3＝－84.∴a 3＝1.∴a ＝1.

3. 【2006全国2，理13】在(x 4+

)10的展开式中常数项是 .(用数字作答) 【答案】:45

【解析】设T r+1项为常数项, ∴T r+1=C r 10(x 4)

10-r ·(

)r =C r 10x 40-4r ·x -r . ∴40-4r -r =0.∴r =8.∴T 9=45.

二．能力题组

1. 【2013课标全国Ⅱ，理5】已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝

( )．

A ．－4

B ．－3

C ．－2

D ．－1

【答案】：D 2. 【2011新课标，理8】的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )

A ．－40

B ．－20

C ．20

D ．40 【答案】D

()10x a +7x 12

10110r r r r T C x a -+=107r -=3r =373410T C x a =7x 12

a =a x 9C r a x

9C r 3

9C x 1x

151()(2)a x x x x +

-

【解析】

3. 【2010全国2，理6】将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )

A ．12种

B ．18种

C ．36种

D ．54种

【答案】：B

4. 【2005全国3，理3】在的展开式中的系数是

（ ） A ．－14 B ．14 C ．－28 D ．28

【答案】B

【解析】

5. 【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有

种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式

8)1)(1(+-x x 5

x 2

4C

共有种． 故选D ．

【考点】 排列与组合、分步乘法计数原理

【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．

（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不

均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．

三．拔高题组

1. 【2012全国，理11】将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

【答案】A

2. 【2005全国3，理11】不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 （ ）

A ．3个

B ．4个

C ．6个

D ．7个

【答案】D

【解析】

2

343C A 36⨯

=α

α

3. 【2012全国，理15】若(x ＋

)n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为__________． 【答案】：56 【解析】：∵，∴n ＝8.T r ＋1＝x 8－r ()r ＝x 8－2r ， 令8－2r ＝－2，解得r ＝5.∴系数为.

4. 【2005全国2，理15】在由数字0, 1, 2, 3, 4, 5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_____________个．

【答案】192

5. 【2015高考新课标2，理15】的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．

【答案】

【解析】由已知得，故的展开式中x 的奇

数次幂项分别为，，，， ，其系数之和为，解得．

【考点定位】二项式定理．

6.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一

起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

1x 2

1x 26C C n n ＝8C r 1x

8C r 58C 56

＝4()(1)a x x ++a =4234(1)1464x x x x x +=++++4

()(1)a x x ++4ax 34ax 36x 5x 441+6+1=32a a ++3a =