第三章《导数及其应用》章末总结(含答案)

第三章 章末总结

知识点一　导数与曲线的切线

利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1) ①

又y 1＝f (x 1) ②

由①②求出x 1，y 1的值．

即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．

例1　已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．知识点二　导数与函数的单调性

利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：

(1)求导数f ′(x )；

(2)解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0；

(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．

特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．例2　求下列函数的单调区间：

(1)f (x )＝＋sin x ；

x 2(2)f (x )＝x (x －a )2.

知识点三　导数与函数的极值、最值

利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．

1．应用导数求函数极值的一般步骤：

(1)确定函数f (x )的定义域；

(2)解方程f ′(x )＝0的根；

(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号．

若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；

若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值；

否则，此根不是f (x )的极值点．

2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤：

(1)求f (x )在(a ，b )内的极值；

(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；

特别地，①当f (x )在(a ，b )上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．

例3　设

知识点四　导数与参数的范围

已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f (x )是否满足题意．

例4　已知函数f (x )＝x 2＋ (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调a x 递增的，求a 的取值范围．

例5　已知f (x )＝x 3－x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )

章末总结 答案重点解读

例1　解　设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x －3，2

0∴切线方程为y ＝(3x －3)x ＋16，2

0又切点(x 0，y 0)在切线上，

∴y 0＝3(x －1)x 0＋16，2

0即x －3x 0＝3(x －1)x 0＋16，3

020解得x 0＝－2，

∴切线方程为9x －y ＋16＝0.

例2　解　(1)函数的定义域是R ，

f ′(x )＝＋cos x ，令＋cos x >0，

1212解得2k π－

2π32π3令＋cos x <0，

12解得2k π＋

2π34π3因此，f (x )的单调增区间是

(k ∈Z )，单调减区间是(2k π－2π3，2k π＋2π3) (k ∈Z )．

(2k π＋2π3，2k π＋4π3)

(2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ，

由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝，x 2＝a .

a 3①当a >0时，x 1

∴函数f (x )的单调递增区间为

，(a ，＋∞)，(－∞，a 3)单调递减区间为.

(a 3，a )②当a <0时，x 1>x 2，

∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，，

(a 3，＋∞)

单调递减区间为.

(a ，a 3)③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是增加的．

例3　解　令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，

得x 1＝0，x 2＝a .

当变化时，