电于磁的对偶性

临沂大学课程研究报告/课程设计

临沂大学

YINYI UNIVERSITY 课程研究报告（课程设计）

电与磁的对偶性

摘要：假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，，电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。

关键字：Maxwell，对偶性，磁荷，磁流，电荷，电流

内容：

一、无源区的Maxwell 方程组

｛

{0

E H

E t

μ

∇⋅=∂∇⨯=-∂

｛

0H E H t

ε

∇⋅=∂∇⨯=∂

以上两组方程形式完全相同，它们关于E 和H （除有一负号外）是对称的，对其中一组作

,,,E H H E εμμε→→→→代换得到

｛

E H H t

μ

∇⋅=∂∇⨯=-∂→→

｛,,

,E H H E εμμε→→-→→｝→←

｛

0H E H t

ε

∇⋅=∂∇⨯=∂

数学上称这种具有相同形式的两组方程为对偶方程。

二、有源区的Maxwell 方程

在有源区，由于在自然界还没有发现与电荷电流相对应的真实的磁荷、磁流，所以Maxwell 方程是不对称的。宏观电磁场运动中，Maxwell 方程的两个独立方程

{

(2.1)(2.2)

B

E t

D

H J t ∂∇⨯=-

∂∂∇⨯=+∂

对于线性均匀各向同性戒指，其结构方程,,D E B H J E εμσ===，所以有

{

(2.3)(2.4)

H

E t

E

H E t μ

σε∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂

对方程2.3两边求旋度，再利用2.4式和电场的高斯定理，得

22

2()(2.5)E J E t t ρ

εμμε

∂∂∇-=+∇∂∂

同样对2.4两边取旋度，并利用磁场的高斯定理得

22

2

(2.6)H

H J t

με∂∇-=-∇⨯∂ 磁场的高斯定理表明，磁感应强度B 是一无散的矢量场，可用矢量位表示，设

(2.7)B A =∇⨯，将2.7带入2.1得()0A E t ∂∇⨯+

=∂。由此可见，()A E t

∂+∂是一无旋矢量场，可用标量位ϕ的梯度表示A

E t

ϕ∂+

=-∇∂，从而得A E t ϕ∂=--∇∂。A 和ϕ也被称作磁矢势和电标势。尽管磁感应强度在形式上只与矢量位有关，但在时变情况下，时变电场由磁矢势和电标势共同描述，使得时变磁场本质上与磁矢势和电标势都有联系，这说明时变电磁场是相互激发的。

考虑到时变电磁场相互激发的对称性，如果引入假想的磁荷和磁流，其激发的电磁场与电荷和电流激发的电磁场相互对偶，则推广后所得到的Maxwell 方程就具有对偶性。

设假想的磁荷密度为m ρ，磁流密度为m J ，并满足守恒定律，即，

(,)(,)0m m J r t r t t

ρ∂

∇⋅+

=∂（2.8） 进一步假设磁荷在激发磁场方面与电荷激发电场一致，磁流在激发电场方面与电流激发磁场相一致。根据这一假设，推广后Maxwell 方程组和边界条件是

{

e

m m

e E H

E J t

H E H J t

ρε

μ

ρ

μ

ε

∇⋅=

∂∇⨯=--∂∇⋅=∂∇⨯=+∂（2.9）

{

21212121()()()()es n n ms n ms n es

e D D e E E J e B B e H H J ρρ⋅-=⨯-=-⋅-=⨯-=-

2.9称为广义Maxwell 方程组。

将电场E （或磁场H ）看成是由电源（e ρ，e J ）产生的电场e E （或磁场e H ）与电磁源（m ρ，m J ）产生的电场m E （或磁场m H ）之和，总场为E =e E +m E ，H =e H +m H ，则有

{

e e e e e e

e e E H E t

H E H J t ρε

με

∇⋅=

∂∇⨯=-∂∇⋅=∂∇⨯=+∂( 2.11a )

{

21212121()()0()0()n e e es n e e n e e n e e es

e D D e B B e E E e H H J ρ⋅-=⋅-=⨯-=⨯-=(2.11b)

{

m m

m m m m m

m E H E J t H t

E H t

μ

ρε

∇⋅=∂∇⨯=--∂∇⋅=

∂∂∇⨯=∂(2.12a)

{

21212121()0()()()0

n m m n m m ms n m m ms n m m e D D e B B e E E J e H H ρ⋅-=⋅-=⨯-=-⨯-=(2.12b)

比较2.11和2.12两组方程：

对方程2.11作,,,,,e m e m e m e m E H H E J J ρρεμμε→→-→→→→替换，得到方程2.12.反之，对方程2.12作,,,,,e m e m e m e m E H H E J J ρρεμμε←←-←←←←替换得到2.11.

类似的，对于矢量电位A 有矢量磁位m A ；对于标量电位ϕ有标量磁位m ϕ，即对应于

{

1

e e H A

A E t

μ

ϕ=

∇⨯∂=-∇-

∂ 有

{

1

m m

m m m E A A H t

ε

ϕ=

∇⨯∂=-∇-

∂

当电源量和磁源量同时存在时，总场量应为它们分别产生的场量之和

{

1

1

m m m A E A t A H A

t ϕε

ϕμ∂=-∇-

-∇⨯∂∂=-∇-+∇⨯∂

此外，在分界面上，相应于，

{1212()

()

s

n s n J

e H H e D D ρ=⨯-=⋅-有

{1212()

()

sm

n sm n J

e E E e B B ρ=-⨯-=⋅-

根据对偶方程的解也具有对偶的性质得到如下结论：设空间存在如方程2.11描述的电