定积分求平面图形的面积
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是数学中重要的概念，定积分可以用来计算函数在一定范围（定义域）内的积分值。
它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。
在实际生活中，定积分用于求解平面图形面积的问题，广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。
首先，定积分可以用于求解椭圆面积的问题。
椭圆面积可以用定积分来计算，其计算公式为：S=[π/2*(a2-b2)]，其中a是椭圆的长轴，b是椭圆的短轴。
这个公式能够准确地计算出椭圆的面积，在水利等领域中，椭圆管道的运用非常广泛，可以用定积分计算出椭圆管道的面积，从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。
其次，定积分可以用于求解三角形面积的问题。
三角形的面积也可以通过定积分进行计算，其计算公式为：S=*a*b*sin（C），其中a 和b是三角形的底边，C是三角形的内角。
这个公式可以准确的计算出三角形的面积，在建筑设计等领域中，三角形结构的运用非常广泛，可以用定积分计算出三角形结构的面积，从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。
此外，定积分还可以用于求解复杂图形的面积。
复杂图形的面积可以用定积分来计算，例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。
在航空航天等领域中，复杂图形的运用也非常广泛，例如飞机机身的设计、航天器的设计等，可以用定积分计算出复杂图形的面积，从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。
综上所述，定积分在实际生活中极具价值，它可以用于求解椭圆
面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题，在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用，其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。
定积分求平面图形面积在生活上的应用
定积分求平面图形面积在生活上的应用
定积分是一种重要的数学方法，可以求出曲线或平面图形的面积，它可以用来预测及解决许多实际问题。
其实，定积分在我们的生活中也起着广泛的作用，即通过定积分可以求得许多日常中的实际图形图形的面积，再进而用于实际应用。
首先，定积分可以用来求解拟空间图形的体积，如正方体、圆柱体等。
在家装工程、楼宇建筑等工程中，我们往往希望通过计算室内分段图形物体的体积，来确定施工量、进行报价。
因此，定积分可以方便地计算出各自图形的面积，求得一个准确的体积，有利于家装施工工作。
其次，定积分还可以延伸到土木建筑学方面，主要应用在把土堤劈开形成群堤劈口时，需要用定积分来计算滩坝的面积。
在给江河加固筑坝中，也会用定积分帮助计算出河道及整体筑堤的面积，以便进行设计分析标志，精确洪水启动洪水的等级，把握工程参数，使工程质量更有保障。
而且，还可以控制工程造价，提高工程施工质量。
最后，定积分也广泛用于测量地理空间，如绘制剖分图形等。
目前，在社会经济发展过程中，各种自然资源、土地开发成为重要话题，资源管理成为一个完善的管理体系。
地块剖分时，根据图形形状和边缘位置，即以定积分来求出这些图形的面积，从而能很好地管理相应的资源和土地使用。
通过以上叙述，可以很清晰地看出定积分在我们的生活中起着非常重要的作用。
它有助于计算出各种图形的面积，从而可以在家庭清淤、室内装修工程、水利筑坝工程及地块剖分等领域派上用场，它不仅可以提高工程品质，也能控制造价，极大的方便了实际工程的日常管理和分析等。
利用定积分求平面图形面积的一些讨论
利用定积分求平面图形面积的一些讨论在数学中，定积分是一个非常重要的概念。
它可以用来求曲线下面的面积、体积等。
在这篇文章中，我们将探讨如何利用定积分来求解平面图形的面积，并对其中的一些需要注意的问题进行讨论。
一、定积分求平面图形的面积通常情况下，我们使用定积分求解平面图形的面积主要分为以下两种情况：1. 若平面图形位于第一象限内，我们可以通过将其关于x轴或y轴进行对称，得到其关于某条轴的镜像图形。
然后，我们可以通过积分的方法求得该镜像图形的面积，再将其乘以2即可得到原图形的面积。
2. 若平面图形位于第三象限内，我们可以采用类似的方法，将其关于x轴和y轴进行对称，再将其平移至第一象限内，最后采用积分的方法求解面积。
二、需要注意的问题在使用定积分求解平面图形的面积时，我们还需要注意以下几个问题：1. 积分区间的确定在求解平面图形面积时，我们需要确定积分的区间。
通常情况下，这个区间并不是在平面直角坐标系中所表示的图形区域，而应该是其在积分方程中的区间。
因此，在进行计算之前，我们需要先画出该图形和其在积分方程中的区间，并根据图形和区间的特点确定积分的上下限。
2. 导数、微积分的运用在计算过程中，我们经常需要使用导数和微积分知识。
对于不熟悉这些知识的人来说，可能会产生一定的困难。
因此，在进行平面图形面积的计算时，我们需要对相关的导数和微积分知识有一定的了解，才能更好地进行计算。
3. 曲线積分的處理如果题目本身是一个曲线的方程或者是一个参数方程问题，我们还需要先将其转化为参数方程或者直接采用曲线积分的方法来求解。
另外，对于一些复杂的曲线问题，我们可能需要结合掌握一定的计算技巧和方法来进行计算。
三、总结定积分是求解平面图形面积的一个非常好的工具。
在进行计算时，我们需要注意导数、微积分等方面的知识，并结合所求图形的特点来确定积分区间、上下限等参数。
只有在掌握了这些知识和技巧之后，我们才能更好地求解平面图形的面积问题。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是一种在数学中用来计算平面图形面积的方法，在实际生活中具有重要意义，这里简要介绍它在实际生活中的应用情况。
首先，定积分可以用来估算台形的面积。
台形的底部被分割为一系列的小矩形，每个小矩形的面积是定值，相互之间相差一定的距离，而高度则是由上下两边的函数描述的，由此可以将台形的面积分解为一系列的矩形的面积的和，然后用定积分的方法可以计算出台形的面积。
其次，定积分可以用来计算曲线与直线之间的面积，以及曲线与坐标轴之间的面积。
例如，当一定区域内某曲线与X轴之间的面积可用定积分进行计算，具体来说，是将这定区域内某曲线与X轴之间分解为一系列的小矩形，每个小矩形的面积都是定值，然后用定积分的方法计算出这一系列矩形的面积的和，从而得出曲线与X轴之间的面积。
此外，定积分还可以用来计算三维图形的体积。
例如，当某三维图形在某个区域内时，可以用定积分该区域内某曲面与XOY面之间的面积进行计算，然后再分别用某直线与XOZ面之间的面积和某曲线与YOZ面之间的面积进行计算，最后把这三个面积的和相乘就可以得出三维图形的体积。
最后，定积分还可以用来计算容积问题。
例如，当求某容器的容积时，可以用某曲线与XOY面的面积来计算出容器的内曲面的面积，然后用某直线与XOZ面的面积来计算容器的内曲面到XOZ面的距离，
最后将这两个面积的乘积相加即可得出容器的容积。
以上就是定积分求取平面图形面积在实际生活中的应用情况。
定积分是一种重要的数学工具，广泛应用于实际生活中，对于理解和掌握定积分相关知识，可以帮助我们更好地、更有效地解决实际中的问题。
高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2
10
2.曲线y=x2-1与x轴所围成图形的面积等于 ( )
A .1B .2C .1 D .4
33
3
11
【解析】选D.函数y=x2-1与x轴的交点为(-1，0)，
(1，0)，且函数图像关于y轴对称，所以所求面积为
S=
(11-x2)dx=2 1
(1-x 210)dx=2
2× 2 4 .
33
=
(x
1 3
7
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线y=sin x，x∈ [与 ，x3轴 ]围成的图形的面积
22
3
为 2
sin xdx.
(
)
2
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形的面积为
1 0
x3dx+
(22 -x)dx. 1
(
)
8
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为
24
【习练·破】 (2019·衡阳高二检测)如图，阴影部分的面积是( )
25
A.32
B.16
C. 3 2
D. 8
3
3
26
【解析】选C.由已知，阴影部分的面积
S=
1
3(3-x2-2x)dx=(3x13x3x2)|13332.
27
【加练·固】 若函数f(x)=Asin （ (Ax >0，） ω>0)的图像如图所示，则图
所以S=
1 0
(x2+1)dx+
3 1
(3-x)dx
( x 3 3 x ) |1 0 ( 3 x x 2 2 ) |1 3 1 3 1 ( 9 9 2 ) ( 3 1 2 ) 1 3 0 .
定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答.docx
定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx .③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为A= [ 0(y)〃y④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©)例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积.解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2x = y2要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3 lo 3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4.⑷计算积分s =匸。
+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区2 2域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为:Ji |ln x^/x =21二-(x \n x - x) i + T4ln2-1•29例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。
用定积分求面积的两个重要公式
用定积分求面积的两个常用公式求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用．一、两个常用公式公式一：由连续曲线y ＝f ，直线＝a ，＝b 与y ＝0所围成的曲边梯形的面积A 为A ＝|()|ba f x dx ⎰．特别地，（1）当f ≥0时如图1，A ＝()ba f x dx ⎰；（2）当f ≤0时如图2，A ＝－()baf x dx ⎰；⑶当f 有正有负时如图3，A ＝()caf x dx ⎰－()bcf x dx ⎰．公式二：由连续曲线y ＝f ，y ＝g ，f ≥g 及直线＝a ，＝b 所围成的图形如图4的面积A 为A ＝[()()]ba f x g x dx -⎰．二、应用举例例1由y ＝3，＝0，＝2，y ＝1图2图3图0围成的图形面积．分析：先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决．解：（1）如图1，由公式1，得S ＝230x dx ⎰＝42440111|204444x =⨯-⨯=．评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积，然后将它们加在一起．例2（1）由曲线y ＝2，y 2＝所围成图形的面积． （2）由y ＝142－1，y ＝12，y ＝34x 在第一象限所围成图形的面积．分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分．解：（1）如图2，所求面积为阴影部分． 解方程组22y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩，得交点0，0，1，1，由公式2，得S ＝120)x dx ⎰＝331202211()|33333x x -=-=．（2）如图3，解方程组211412y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和211434y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得＝0，＝1＋的舍去，＝4．由公式2，得图形面积S＝1031()42x dx -⎰＋42111[(1)]42x x dx --⎰216-=．3图。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用把复杂的积分问题求解出来就可以计算出平面图形的面积，在实际生活中也可以看到它的很多应用。
其中有一类是涉及设计的，比如建筑设计中的空间分配、土地开发等；另一类是分析的，比如海洋表面的波浪分析等。
1、建筑设计建筑设计中，定积分可以用来求解空间分配问题。
比如，在房屋设计中，它可以用来确定楼层、楼梯、墙壁、门窗等占用了多少面积。
此外，它还可以用来求解不规则房间布局时，室外墙体和室内墙体的面积分配。
同样，在土地开发中也可以看到定积分的应用，如计算出道路两端的封闭区域面积，以及计算建筑的总面积。
定积分也可以帮助规划者精确计算出规划区域的面积，从而更好地管理规划区域的开发。
2、海洋表面的波浪分析定积分也可以用来求解海洋表面的波浪。
水波的主要性质是在洋流中运动，它的变化符合泊松方程，这是一个带积分的方程，可以用定积分来求解。
这种波浪分析可以更好地解释海洋表面的复杂性，进而指导航管理者和建筑者采取更安全有效的导航措施。
此外，在海岸线上，可以使用定积分来计算海岸线内各子区域的面积，以及海岸线及其各个部分的面积，为海洋管理者提供有形的参考数据。
3、农业此外，定积分在农业中也有非常广泛的应用。
比如，在种植作物时，可以使用定积分来计算出作物地的面积，以及需要灌溉地区的面积；在研究农田开发时，可以利用定积分来计算出耕作面积。
通过计算出具体的面积数据，可以更好地规划农田的分布和种植规模，从而节约农业资源，提高农作物的产量。
总结定积分是一种有用的数学技术，可以把复杂的数学问题转化成计算机可计算的简单形式，在计算平面图形面积上表现出很强的优势。
它在实际生活中有很多应用，比如建筑设计、土地开发、海洋洋面波浪分析，以及农业规划等。
利用定积分求平面图形面积的一些讨论
利用定积分求平面图形面积的一些讨论定积分是数学中的一个重要概念，它能够求得平面图形的面积。
在实际生活中，我们常常需要计算各种形状的物体的面积，因此定积分的应用非常广泛。
首先，我们需要了解定积分的定义和原理。
在数学中，定积分是对函数在一定区间内的积分进行求和，并将其视为一个数值。
通过定积分，我们可以得到函数在区间内的平均值和总和。
这意味着，如果我们将函数视为图形，定积分可以帮助我们计算出这个图形的面积。
接下来，我们来看几个实际的例子。
假设我们想计算一个矩形的面积。
我们可以通过将矩形分成无数个小矩形，在每个小矩形中取一个样本点，然后将所有小矩形的面积相加，得到整个矩形的面积。
这个方法就是通过定积分来计算面积的。
再例如，我们想计算一个曲线下面的面积。
我们可以将曲线分成无数个小矩形，在每个小矩形中取一个样本点，并将所有小矩形的面积相加。
这个方法就是通过定积分来计算曲线下面的面积的。
在实际计算中，我们常常需要将图形分成无数个小块，然后在每个小块中计算出一个样本点，最后将所有小块的面积相加。
这个方法是通过近似来得到定积分的，称为黎曼和。
随着小块的数量越来越多，近似值会越来越接近准确值。
因此，对于一些形状复杂的图形，我们可以通过将其分成无数个小块，并采用近似方法来计算其面积。
定积分的应用还包括计算物体的体积、质心、弧长、表面积等等。
因此，掌握定积分的应用是非常重要的。
在实际工作和生活中，我们常常需要计算各种形状的物体的面积和体积，这时候掌握定积分的方法就能大大提高我们的工作效率。
总之，定积分的应用非常广泛，可以帮助我们计算各种形状的物体的面积、体积、质心、弧长等等。
通过学习并掌握定积分的方法，我们可以在实际工作和生活中更加高效地完成各种计算。
同时，我们也能够更深入地理解数学中的定积分这一重要概念。
定积分的应用：平面图形面积
r ( )
d
o 1 面积元素 dA [ ( )]2 d 2 1 曲边扇形的面积 A [ ( )]2 d .
x
2
例 4
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
y x
A 4 A1
在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
B M
它与 x , y 轴的交点分别为
A
所指面积
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点
B M
A
且为最小点 . 故所求切线为
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积
A ( t ) ( t )dt .
练习题答案
32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 y e 2 4、 ； 5、 ； 6、 . e 2 3 7 2 a 二、1、 ln 2 ； 2、 ； 3、 ； 2 6 5 3 2 2 3 a 4、 ； 5、 ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
利用定积分求平面图形面积的一些讨论
定积分求平面图形面积====================定积分是一种数学方法，用于计算曲线下的面积或曲面上的体积。
它可以用来求解平面图形的面积。
本文将讨论定积分求平面图形面积的原理，并通过实例说明它的应用。
一、定积分求平面图形面积的原理----------------------------------------------------------定积分求平面图形面积的原理是：将平面图形分解为若干矩形，利用每个矩形的面积来求得平面图形的面积。
具体来说，首先需要将平面图形的边界抽象为一个函数，然后将这个函数从横坐标的最小值到最大值分割成若干等份，每份称为一个矩形，每个矩形的面积可以用函数的值来计算，最后将所有矩形的面积加起来就可以得到平面图形的面积。
二、实例说明----------------------------------------------------------下面我们用一个实例来说明定积分求平面图形面积的方法。
假设我们要求解的平面图形是一个三角形，其边界可以用函数y=x-1来描述，且横坐标的最小值为0，最大值为2。
首先，我们将横坐标从0到2分割成4份，即0，0.5，1，1.5，2，每份称为一个矩形，然后计算每个矩形的面积。
由于横坐标的最小值为0，所以第一个矩形的面积为0；第二个矩形的面积为0.5*(1-1)=0；第三个矩形的面积为1*(2-1)=1；第四个矩形的面积为1.5*(2-1)=1.5；最后，将4个矩形的面积加起来，即可得到三角形的面积为2.5。
结论----------------------------------------------------------以上就是定积分求平面图形面积的原理及其应用，它可以用来计算各种平面图形的面积，是一种有效的数学方法。
定积分的应用
1．求平面图形的面积（i）曲线围成的曲边梯形面积是.事实上，由所求平面图形面积S分布在区间[a,b]上.（1）选取，.（2）.注：计算时，需去绝对值进行定积分计算.（ii）特别地围成的平面图形面积S为.（iii）同理所围成的平面图形面积S为.（iv）特别地所围成的平面图形面积S为.如果所求平面图形是属于上述情形之一，就不需画图，直接用上述公式，否则就需画图选用相应公式.求平面图形的步骤：（1）求出边界曲线交点，画出经过交点的边界曲线，得所求平面图形（若边界曲线简，可在画图的过程中求交点）。
2．根据具体情形选择x或y作为自变量，选择上述相应的公式计算或把所求平面形分成几块，每一块可选用上述相应公式计算，然后大块面积等于小块面积之和。
例1 计算由抛物线及直线所围成的平面图形的面积。
解由即交点为（2，-2），（8，4）. 故所求的曲边形是由直线，曲线及直线所围成（图5-7），其面积.本题如用公式（4.3）来计算，就需要将整个面积分成两部分S1及S2，分别计算S1，S2，相加才得读者可以计算一下，这样做就复杂多了。
例2计算曲线及直线所围成的平面图形面积。
解曲边形如图5-8所示，故有注：曲线较简单时，可在画曲线的过程中求交点。
图5-8 图5-9例3计算椭圆所围成的平面图形面积。
解由于椭圆关于Ox轴及Oy轴对称，所以只需计算位于第一象限部分的面积，然后乘以4就得到所求平面图形面积S（图5-9）. 由，解得，故上半椭圆的方程是从而特别地，当时，得圆的面积注：计算平面图形面积时，尽可能利用图形的对称性，以简化计算。
例4求曲线所围成平面图形的面积.解解此方程，得当即时，y1及y2才有实数值。
设则所求的面积为注：利用几何意义知表示半个圆面的面积。
2．求曲边扇形的面积曲线与射线围成的曲边扇形的面积，证所求的面积分布在区间上。
（1）取（把dS看成扇形面积）（2）例1由下列极坐标方程式所表曲线围成的面积S，方程中的（1）（双纽线）；（2）（心脏形线）；（3）（三叶线）；解（1）由图形关于x轴与y轴对称，只需计算第一象限面积S1，再乘以4即可，由在第一象限时，，知，即S1看成与所围成，故（2）由图形关于x轴对称，在第一，二象限，当时，需求，知，故所求面积为.（3）由图形知，所求面积S为第一象内面积S1的3倍，由时，要求，由于，知，即时，，于是例2变为极坐标，求曲线（笛卡尔叶形线）（a>0）围成的面积。
第26讲 定积分在平面图形面积的应用
图5.18
以什么变量为积分变量，要看围成的图形的特点，灵活适 当地运用好面积计算公式会起到简化计算的效果。
补充
x 0, x 求计算：由 所围成的图形的面积。
y
2 和
y cos x, y sin x
5 4
0
4
x
定积分在平面图形面积的应用
定积分在几何方面有着广泛的应用，可以用定 积分计算平面图形的面积，旋转体的体积，平面 曲线的弧长等。这里只介绍用定积分计算平面图 形面积的基本方法。 对于平面上不规则图形的面积，我们可以应用定 积分计算，现在分为两种情况讨论：
1．当积分变量为 x 时，平面图形面积的计算方法 当函数 y f x , y g x 在区间 [a, b] 上连续，且 f x g x 时，如图5.14所示。 b s 所围成图形面积计算公式为 a [ f ( x) g ( x)]dx
1
2
1 0
1 3
例5.5.5
求由双曲线 xy 1 与直线 y x ， x 2 所围成的平面图形的面积。
解：如图5.17所示，选择 x 为积分变量 令
xy 1 解得交点 A 的坐标为(1 , 1) y x
2 1
所以所围图形面积
S 1 ( x )dx x
＝
1 2 ( x 2 ln x ) 1 2
图5.18
例5.5.6
2 求计算：由两条抛物线 y 2 x 和 y x 4 所围成的图形的面积。
解： 如图5.18所示，选择 y 为积分变量
2 y 令 2 x ，得交点坐标 (2, 2), (8, 4) y x 4 4 y2 所以所围图形面积 A 2 ( y 4 )dy 18 2
经济学微积分定积分的应用求面积体积
(3) 生产多少单位产品才能获得最大利润；
(4) 最大利润是多少?
解：(1)
C( x) C(0)
x
C(t)dt 200
x
(16 0.002t)dt
0
0
16x 0.001x2 200
(2) L( x) R( x) C( x) px C( x) (20 0.001x)x (16x 0.001x2 200) 0.002x2 4x 200
S
2
y
4
2
dy
18.
选x为积分变量
2
8
S 0 2x ( 2x ) dx 2 ( 2x ( x 4))dx 18.
例：求由曲线 y 1 与y x, x 2 所围面积。
x
解： 画草图，
y y 1
x
2
1
S
1
(x
)dx x
c
d
b
S S1 S2 S3
f ( x)dx
a
c
f ( x)dx
d
f ( x)dx
b
a | f ( x) | dx
由y f ( x), x a, x b及x轴所围图形的面积为
b
S a | f ( x) | dx
一条曲线（积分变量为y）
y
d
x (y)
y
d
y
d
x (y) e
c
c
c
O
x
O
x
O
x
(1) ( y) 0 (2) ( y) 0
6.定积分的几何应用
x + dx b
x
小切线段的长 (dx )2 + (dy )2 = 1 + y′ 2 dx
′ 2 dx 弧长 s = 弧长元素 ds = 1 + y 1 + y′ 2 dx . ∫
b a
2 3 例 7 计算曲线 y = x 2 上相应于 x 从 a 到 b 3
的一段弧的长度. 的一段弧的长度
解
∵ y′ = x ,
2 2
的面积.
解 由对称性知总面 积=4倍第一象限 倍第一象限 部分面积
A = 4A1
y= x
ρ 2 = a 2 cos 2θ
1 2 A = 4∫0 a cos2θdθ = a2 . 2
4
π
例 6 求心形线r = a (1 + cos θ )所围平面图形的 面积 (a > 0).
解
dθ
1 2 2 dA= a (1+ cos ) dθ θ 2
2π
的周长. ( 0 ≤ t ≤ 2π) 的周长
s1 = ∫ =∫
0
0
′ 2 dx 1+ y 1 + a 2 cos 2 xdx 1 + a cos xdx ,
2 2
2π
= 2∫
π
0
设椭圆的周长为 s2
s2 =
∫0
π
π
2π
(x ′ )
2
2
+ ( y ′ ) dt ,
2
根据椭圆的对称性知
s2 = 2∫
x = r (θ ) cosθ ∵ y = r (θ ) sinθ
2 2
(α ≤ θ ≤ β )
= r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ )dθ , ∴ ds = (dx ) + (dy )
定积分求平面图形的面积
解: 由
得交点
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
计算抛物线
与直线
的面积 .
所围图形
例2
训练
1.求曲线 与x 轴所围成的图形面积。 2．求曲线 与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面积. 3.求曲线 与 所围成的图形面积。 4.求曲线 与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
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定积分求平面图形的面积
定积分的应用-----求平面图形面积
引入
1.复习定积分的定义及其几何意义 2.如何用定积分求平面图形的面积
一、微元法
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
其中 为面积元素,
y
x
a
b
o
若曲线 与 及x=a,x=b 所围成的图形为如图：
面积A,
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
计算两条抛物线
在第一象限
所围图形的面积 .
解: 由
得交点
例1
分析,归纳解题步骤： 1.画草图,求出曲线的交点坐标． 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间,计算定积分,求出面积。
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是一种重要的数学工具，可以被用来求解很多问题。
在实际生活中，定积分也能够帮助我们解决诸多问题，特别是一些关于平面图形面积的问题。
本文将介绍定积分求平面图形面积在实际生活中的应用。
首先，定积分可以用来计算平面图形的面积。
以二次函数为例，给定一个二次函数，积分可以用来计算函数图像在某一范围内的面积。
例如，若二次函数的方程为 y = ax2 + bx + c，令a = 1，b = 2，c = 5，在[0,2]范围内，可以用积分求出该函数图像的面积为 9.8。
其次，定积分可以用来计算一个圆柱体的体积。
例如，假设有一个圆柱体，其中一个轴的长度为a，另一轴的长度为b，则该圆柱体
的体积可以用定积分计算出来。
此外，定积分也可以用来计算汽车行驶的总里程数。
例如，若给定汽车从A地到B地的时与距离函数，则可以用定积分来计算汽车的总里程数。
最后，定积分还可以用来计算公路或铁路运营成本。
例如，对于一条公路或铁路，可以假定各个部分之间的距离关系，并用定积分来计算运营成本。
这在很大程度上有助于管理部门控制费用，提高效率。
以上就是定积分求平面图形面积在实际生活中的应用，它可以用来计算二次函数图像的面积、计算一个圆柱体的体积、计算汽车行驶的总里程数以及计算公路或铁路运营成本等。
定积分的应用在很大程度上有助于人们高效地解决诸多实际生活中的问题。
定积分求平面图形的面积
2．求曲线 y x2与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面 积.
3.求曲线y x2与 y 2- x2 所围成的图形面积。
1 4.求曲线 y 1 与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
4 2 x
得交点 (0, 0) , (1, 1)
dA x x2d x
1
A
xx2 dx
0
23 x2
1x3
1
3 30
1 3
y
1y2 x (1,1)
2y x2
ox 1 x
4x d x
分析，归纳解题步骤： 0 0 1 1 0 0 1 0 11 .0 画1 0 草1 1 0 图1 ，0 0 求0 1 出0 1 曲0 0 线1 0 的1 1 交点坐标．
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
定积分的应用-----求平面图形面积
41 2
引入
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
1.复习定积分的定义及其几何意义
41 2 2.如何用定积分求平面图形的面积？
一、微元法
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1
设曲线 y f (x) ( 0) 与直线 x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
dA f (x)dx
2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面
数学分析10.1平面图形的面积
第十章 定积分的应用1 平面图形的面积公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a, x=b(a<b)和x 轴所围曲边梯形面积为：A=⎰b a f(x )dx=⎰ba y dx.若f(x)在[a,b]变号，则所围图形的面积为：A=⎰b a |f(x )|dx=⎰ba |y |dx.公式2：上下两条连续曲线y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b(a<b)所围的平面图形面积为：A=⎰ba 12(x )]-f (x )[f dx.例1：求由抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积A.？解法一：A 等同于由抛物线y=x 2与直线y=2x+3所围图形的面积. 解方程组：⎩⎨⎧=+= x y 32x y 2，得⎩⎨⎧==9y 3x , ⎩⎨⎧=-=1y 1x . ∴A=⎰-+312)x -3(2x dx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-3(-1)-333=332. 解法二：如图，图形被x=1分为左右两部分， A 左=⎰--10)]x (x [dx=3⎰10x dx=34. A 右=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-9123-x x dx=312-9233-41-922+21)-(93⨯=328. A= A 左+ A 右=34+328=332.:公式3：设曲线C 为参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]，在[α,β]上y(t)连续，x(t)连续且可微且x ’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y ’(t)≠0的情形). 记a=x(α), b=x(β), (a ≠b)，则由曲线C 及直线x=a, x=b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为：A=⎰'βα(t)x )t (y dt.例2：求由摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所围平面图形的面积.解：摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，又x ’=a(1-cost)， ∴A=⎰-2π022)t cos 1(a dt=3πa 2.公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β), y(α)=y(β)， 且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为：:A=⎰'βα(t)dt x )t (y 或A=⎰'βα(t)dt y )t (x .例3：求椭圆22a x +22by =1所围的面积.解：化为参数方程：x=asint, y=bcost, t ∈[0,2π], 又x ’=acost ， ∴A=⎰2π02tdt abcos =πab.公式5：设曲线C 为极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续, β-α≤2π.由曲线C 与两条射线θ=α, θ=β所围成的平面图形，通常也称为扇形，此扇形的面积为：A=⎰βα2d θ)θ(r 21.证：如图，对区间[α,β]作任意分割T：α=θ0<θ1<…<θn-1<θn=β，<射线θ=θi(i=1,2,…,n-1)把扇形分成n个小扇形.∵r(θ)在[α,β]上连续，∴当T很小时，在每一个△i=[θi-1, θi]上r(θ)的值变化也很小，任取ξi∈△i，便有r(θ)≈r(ξi), θ∈△i, i=1,2,…,n.这时，第i个小扇形的面积△A i≈21r2(ξi)△θi, ∴A≈∑=n1i21r2(ξi)△θi.当T→0时，两边取极限，就有A=⎰βα2dθ)θ(r21.-例3：求双纽线r2=a2cos2θ所围平面图形的面积.解：如图，∵r2≥0，∴θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π]，由图形的对称性可得：A=4·⎰4π2θdθ2cosa21=a2 sin2θ|4π=a2 .习题1、求由抛物线y=x2与y=2-x2所围图形的面积.解：求得两曲线交点为(-1,1), (1,1). ∴所围图形的面积为：A=⎰-1122)x-x-(2dx=38.{2、求曲线y=|lnx|与直线x=101, x=10, y=0所围图形的面积. 解：所围图形的面积为：A=⎰10101|lnx |dx=-⎰1101lnx dx+⎰101lnx dx =-(xlnx|1101-⎰1101x dlnx)+ xlnx|101+⎰101x dlnx=-(101ln10-109)+10ln10-9=1099ln10-1081.3、抛物线y 2=2x 把圆x 2+y 2=8分成两部分，求这两部分面积之比. 解：问题等同于抛物线y=21x 2把圆x 2+y 2=8分成两部分，求面积比.：它们的交点为(2,2),(-2,2). 记两部分的面积为A 1,A 2，则A 1=⎰--2222)x 21x -8(dx=8⎰-4π4π2θcos d θ-38=2π+34；A 2=8π-A 1=6π-34.∴21A A =34-6π34+2π=2 -9π2 +3π.4、求内摆线x=acos 3t, y=asin 3t (a>0)所围图形的面积. 解：如图，所围图形面积为： A=4⎰'2π033dt |)t t(asin cos a |=12a2⎰2π024tdttsin cos=12a2⎰2π024tdt tsin cos =83πa 2.【5、求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)所围图形的面积. 解法一：根据心形线的对称性，得A=2·⎰+π022d θ)θcos 1(a 21=a 2⎰++π02d θ)θcos θcos 21(=23πa 2.解法二：化为参数方程：x=a(1+cos θ)cos θ, y=a(1+cos θ)sin θ, θ∈[0,2π]， A=|⎰'++2π0d θ]θsin )θcos θ[a(1cos )θcos a(1| =a 2|⎰-+2π0234θ)dθθsin cos θcos 2θcos (2|=23πa 2.,6、求三叶形曲线r=asin3θ (a>0)所围图形的面积.解：根根三叶形曲线的形态特点，所围图形由相同的三部分组成，即 A=3⎰32π3π223θsin a 21d θ=⎰32π3π223θsin a 21d3θ=4πa 2.7、求曲线a x +by =1 (a,b>0)与坐标轴所围图形的面积. 解：曲线与x 轴的交点为(a,0)，∴所围图形的面积为：A=b ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a0a x a x 21dx=6ab .$8、求曲线x=t-t 3, y=1-t 4所围图形的面积.解：当t=-1,1时，x=0,y=0，∴曲线在t ∈[-1,1]围成封闭图形，即 A=|⎰'-11-43)t -)(1t t (dt|=4|⎰-11-46)t t (dt|=3516.9、求二曲线r=sin θ与r=3cos θ所围公共部分的面积.解法一：化为圆的方程：x 2+(y-21)2=41, (x-23)2+y 2=43. 它们的交点为O(0,0)与P(43,43)，∴所围公共部分的面积为： A=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-4302223y 4321-y 41dy=⎰-6π2π2t cos 41dt+⎰3π02t cos 43dt -833 =323+12π+3233+8π-833=245π-43. *解法二：由sin θ=3cos θ, 得tan θ=3，∴二曲线相交于θ=3π.A=⎰3π02θsin 21d θ+⎰2π3π2θcos 23d θ=-)1(cos2θ413π0-⎰d θ+⎰+2π3π1)(cos2θ43d θ =-163+12π+8π-1633=245π-43.(参考解法)如图：求得P(43,43) S 阴=S P OO 1扇形+S P OO 2扇形-S P OO 1∆ -S P OO 2∆ =3πOO 12+6πOO 22-21·43·OO 1-21·43·OO 2=12π+8π-163-1633=245π-43.10、求两椭圆22a x +22b y =1与22b x +22ay =1(a>b>0)所围公共部分的面积.解：两椭圆在第一象限的交点为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2222b a abba ab，. 根据图形的对称性，可得：A=8⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22baab022x a x 1b dx=4abarcsin 22b a b +-2222b a b 4a +.。
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412
412 积。
例2 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
. 0011 0010 1的01面0 1积101 0001 0100 1011
解: 由
得交点
y
y2 2x
yd y
(8, 4)
(2, 2) , (8, 4)
y
1 为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
d
A
(
y
4
1 2
y2)ห้องสมุดไป่ตู้y
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
定积分的应用-----求平面图形面积
412
引入
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1.复习定积分的定义及其几何意义
41 2 2.如何用定积分求平面图形的面积？
一、微元法
y y f (x)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
边梯形面积为 A , 则
b
A a f1(x) f2 (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
412 o axxdx b x
例1 计算两条抛物线
所围图形的面积 .
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
d A x x2 dx
2 4
A
(
2
y
4
1 2
y2
)dy
o
yx4 x
(2, 2)
4 18
训练
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1.求曲线y 1 x2与x 轴所围成的图形面积。
2．求曲线 y x2与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面 积.
3.求曲线y x2与 y 2 - x 2 所围成的图形面积。
1
A
x x2 dx
0
1 3
在第一象限
y
1 y2 x (1,1)
2y x2
ox 1 x
4x d x
分析，归纳解题步骤： 0011 0010 11.01画0 草110图1 ，000求1 出010曲0 线101的1 交点坐标．
2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面
设曲线 y f (x) ( 0) 与直线 x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
dA f (x)dx
b
A a f (x) dx
其中 dA f (x) dx 为面积元素，
oa
x
x
b
dx
x
412
若曲线 y f (x) 与 y g(x) 及x=a,x=b 所 围成的图形为如图：
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
y
y f (x)
oa
y g(x)
x x dx
b
面积A，
A
b
[
a
f
(
x)
g(
x)]dx
421
x
0011
设曲线
0010 1010
y
1101
0f10(0x1)0与1 0y0
10
1f12
(x)
与直线
x a , x b (a b) 及 x 轴所围曲