北师大高中数学必修二课时跟踪检测：第二章 解析几何初步 §2 22 含解析

第二章 解析几何初步

§2 圆与圆的方程

2.2 圆的一般方程

课时跟踪检测

一、选择题

1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )

A ．(2,3)

B ．(－2,3)

C ．(－2，－3)

D ．(2，－3)

答案：D

2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D 、E 、F 的值分别为( )

A ．4，－6,3

B ．－4,6,3

C ．－4,6，－3

D ．4，－6，－3 解析：－D 2＝－2，则D ＝4；－

E 2＝3，则E ＝－6；此时方程为x 2＋y 2＋4x －6y ＋

F ＝0.

12 42＋(－6)2－4F ＝4，则F ＝－3.

答案：D

3．圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程为x 2＋y 2＝1，则实数a 的值为( )

A ．0

B ．6

C ．±2

D ．2

解析：两圆的圆心分别为C 1⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2，－1，C 2(0,0)． ∵两圆关于直线x －y －1＝0对称．

∴C 1C 2的中点⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 4，－12在直线x －y －1＝0上．

∴a 4＋12－1＝0，a ＝2.

答案：D

4．如果圆的方程为x 2＋ y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标是( )

A ．(－1,1)

B ．(1，－1)

C ．(－1,0)

D ．(0，－1)

解析：R 2＝k 2＋4－4k 24

＝4－3k 24. 当k 2＝0时，R 2最大，面积也最大．

此时圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，圆心为(0，－1)．

答案：D

5．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )

A ．(－∞，－2)

B ．(－∞，－1)

C ．(1，＋∞)

D ．(2，＋∞) 解析：方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知，

⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜0，2a ＞0，|－a |＞2，|2a |＞2，

解得a ＞2.

答案：D 6．圆x 2＋y 2＋8x －4y ＝0与圆x 2＋y 2＝20关于直线y ＝kx ＋b 对称，则k 与b 的值分别为( )

A ．k ＝－2，b ＝5

B ．k ＝2，b ＝5

C ．k ＝2，b ＝－5

D ．k ＝－2，b ＝－5

解析：两圆的圆心分别为(－4,2)和(0,0)，

∵两圆关于直线y ＝kx ＋b 对称，

∴2－0

－4－0

×k ＝－1，∴k ＝2. 又∵两圆心连线的中点在直线上，

∴－2k ＋b ＝1，∴b ＝5.

答案：B

二、填空题

7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.

解析：由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－2

8．圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程为______________________________________________．

解析：由题可设直线AB 的斜率为k .

由圆的知识可知：CP ⊥AB .

所以k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－0

3－2＝1⇒k ＝－1. 所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，

即x ＋y －4＝0.

答案：x ＋y －4＝0

9．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为__________________．

解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.

∵圆心在x 轴上，

∴－E 2＝0，则E ＝0.

此时圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，

由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

52＋12＋5D ＋F ＝0，12＋32＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，F ＝－6.

∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.

答案：x 2＋y 2－4x －6＝0

三、解答题

10．求过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则由题意得

⎩⎪⎨⎪⎧

1＋1＋D －E ＋F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－2＝0.

即⎩⎨⎧ D －E ＋F ＝－2，

－D ＋E ＋F ＝－2，

D ＋

E ＝－4.∴⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝－2，

F ＝－2.

∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.

11．已知x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0表示一个圆．

(1)求t 的取值范围；

(2)若圆的直径为6，求t 的值．

解：(1)因为方程表示一个圆，则有D 2＋E 2－4F >0，

所以(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)>0.

所以23t >－9，即t >－332.

(2)圆x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0的标准式方程为⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋3t ＋122＋