表面积体积

1、第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明1 .一个三棱锥\P-ABC\ 的三条侧棱 \PA. PB 、PC\ I 两两互相垂直，且长度分别为 、3,则这个三棱锥的外接球的表面积为（2.已知一个圆柱的底面半径和高分别为r 和h , h v 27i r ,侧面展开图是一个长方形, 这个长方形的长是宽的 2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是面体外接球的表面积是（A . 8^6兀C. 24兀则该四面体外接球的表面积是D. 6兀5 .一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的AB^ — A] B 1C 1 中知 AA,丄 平兀 2 B 3C -,此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的 24 .在四面体 S-ABC 中, AB 丄 BC , AB = BC =J 2 , SA=SC = 2 , SB = J 6 , 半径之比为（A . D. 8:2716:9 .27:89:16 体积为（32兀 A. B. 3 25兀 C. 3 D. 31兀7.棱台的两底面面积为 S 1、 S 2 ,中截面（过各棱中点的面积） 面积为S o ,那么（、选择题A .16兀 B . |32兀 D . 64?rA . 1 +兀 1 +2兀 C.兀 1 +2兀 兀 1+4兀3 .在四面体S-ABC 中, AB 丄 BC, AB = BC = J 2, SA= SC = 2,SB = J 6，则该四3倍，则圆锥的高与球 2 C 1 =试卷第2页，总4页B . S 0 = J S l S2 2S o = 2S 1S 28.棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相过球面上三点A,B,C 的截面和球心的距离是球半径的一半，且A B = 6 , BC 8, A=C 1 0则球的表面积是（ ）A . lOOn 10 .四面体ABCD 的四个顶点都在球 0的球面上，AB = AD = CD = 2, BD = 2血,B.D.P - ABC 的外接球的半径为 2 ,且球心在点A, B, C所确定的平面上, 则该正三棱锥的表面积是（A . 372+3C. 3415 +3^2C. 2S o + S 2 应截面面积为S ,、 S 2、 S 3， 则（）A . S^ <S 2 <S 3 .S i >■ S2 A S 3C. S 2 <S i CS 3 .S 2 > S i > S 3B . 300；!BD 丄 CD , 平面ABD 丄平面BCD ，则球0的体积为（ ）11 .已知正三棱锥第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 12 •如图，在多面体ABCDM 中，△ BCD 是等边三角形，△CMD 是等腰直角三角形,NCMD =90。

，平面CMD 丄平面BCD , AB 丄平面BCD ，点0为CD 的中点，连(1) 求证： (2) 若N B =BC =4，求三棱锥 A-BDM 的体积.13 .如图，三棱柱 ABC —AB,C i 中，平面AA,B ,B 丄平面ABC , D 是AC 的中点.(1)求证：B I CL 平面 A i BD ；(2)若 N AAB =NACB =60, AB =BB,AC =2,BC =1,求三棱锥 A — ABD 的体2,1,2，则该长方体外接球的体积为 15 •若长方体一个顶点上三条棱的长分別是3,4,5 (单位:cm)，且它的八个顶点都在 同一个球面上, 则这个球的表面积(单位：cm 2)是 16 .如图，在三棱柱 A i B i C-ABC 中,D,E,F 分别是AB,AC,AA i 的中点，设三棱锥 F-ADE 的体 积为V i ,三棱柱A i B i C-ABC 的体积为V 2,则V i : V 2= ____________________.评卷人得分 二、解答题评卷人得分 三、填空题OM //平面 ABD ;o17 .已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于J3的等边三角形，SA垂直于底面ABC , SA = 1，那么三棱锥S - ABC的外接球的表面积为18 .已知球0的半径为R , A, B,C三点在球0的球面上，球心0到平面ABC的距离1为一R，AB = AC = BC =3，则球0的表面积为2试卷第4页，总4页参考答案1 . A【解析】试题分析：三棱锥 P-ABC 的三条侧棱PA PB PC 两两互相垂直，它的外接球就是它所以球的直径是 4,半径为2,球的表面积：16n 考点：球的体积和表面积2. A【解析】2兀rh 考点：圆柱表面积侧面积3. D【解析】表面积为6兀.考点：几何体的外接球.【易错点晴】设几何体底面外接圆半径为 x ,常见的图形有正三角形，直角三角形 的外心可用其几何性质求；分别为a,b,c 则其体对角线长为 J a 2 +b 2 +c 2 ；长方体的外接球球心是其体对角线中点 .找 几何体外接球球心的一般方法：过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.三棱锥三条侧棱两两垂直，且棱长分别为a,b,c ,则其外接球半径公式为：仆 2 2 . . 2 . 2 扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长: \ +32 =4试题分析：由题意可知 27rr =2h 「. n r =h ，侧面积为2rrh ，底面积为 ^r 2 ,所以圆柱的 表面积与侧面积的比是2兀『+2兀rh 1 +兀试题分析：如图所示，由于SC 丄BC, SA 丄AB ，其SB 即为外接球的直径，即 4R 2 =6 ,,矩形,它们 而其它不规则图形的外心，可利用正弦定理来求.若长方体长宽高 2C4R =a +b +c .4. D试卷第6页，总4页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第2页，总8页【解析】试题分析：在 心SAB 中，SA 2 +AB 2 =SB 2,故 Z SAB = 90° ；同理 N SCB = 90°,取 SB 的1中点为M ,则MA =MC =_SB ,由球的定义可知点M 是该四面体的外接球的球心，所以2球的直径是d =J 6,故球的表面积为 S=d 2兀=6兀，故应选D.考点：几何体的外接球的体积与表面积.【易错点晴】本题以三棱锥的外接球为背景考查的是三棱锥的外接球的形状的判别的综合问1 yi 6NSCB=900,进而确定球心的位置，并求出球的半径 R = MA = MC =-SB =J •求解2 2的关键是确定球心 M 的位置和球的半径的大小，这里借助直角三角形斜边上的中线是斜边 的一半使得问题获解.5. D【解析】1 …4 a试题分析：设圆锥的底面半径r 1、高h ，球的底半径r 2，则一兀=—兀r 2333邑』，故选r 2 9 D. 考点：体积公式. 6. A 【解析】 试题分析：直三棱柱ABC -A i B i C i 的各项点都在同一个球面上， 如图所示，所以也ABC 中, 兀NBAC =—，所以下底面 2 心ABC 的外心P 为BC 的中点，同理，可得上底面 M i B 1C 1的外 心Q 为B i C i 的中点，连接 PQ ，则PQ 与侧棱平行，所以PQ 丄平面ABC ，再取PQ 的中 点0,可得点0到A,B,C, A 1,B 1,C 1的距离相等, 所以0点是三棱柱ABC - A i B i C i 的为接球的球心，因为直角也P0B 中， BP =1BC = J 3, PQ =丄 AA, =1，所以 BO = J B P 2+OP 2 = 2，即外接球的半径 R = 2， 2 2 因此三棱柱 ABC — ABC 外接球的体积为 V =-兀R 3=4沢X23 =炙；！，故选A.33 3题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用先将题设条件求出 N SAB = 90°和考点：组合体的结构特征；球的体积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，力，试题有一定的难度，属于中档试题.7. A【解析】试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为质可得：球的体积的计算，其中解答中涉及到球的性质和球的体积公式等知识点的综合考以及推理与运算能力和学生的空间想象能2h上部三棱锥的高为a，根据相似比的性（爲）2侖2' SS，解得2 J S T = ，故选A S0考点：棱台的结构特征.8. A【解析】试题分析：因为=（2）2= s=1s，因为空二二14 S2 1 所以< S2 < S3，故选A.考点：棱锥的结构特征.9. D【解析】试题分析：根据题意MBC是直角三角形，且斜边上的中线为5,又因为球心的射影为斜边的中点，设球的半径为r，则有r2 =（丄）2 +522 ••• r2=1003，S^4叶2=T「故选D.考点：直角三角形中线定理及球的基本性质.【方法点睛】本题主要考察球的几何特征，首先通过球面上三点A,B,C的长度关系满足勾股定理，知道心ABC是直角三角形，所以斜边中点即为也ABC的外心，A, B,C所在平面截本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第4页，总8页球得一小圆，小圆圆心即为 MBC 的外心，所以球心和外心连线与面 ABC 垂直.球心到截面距离d ，球半径和截面半径满足关系：R 2 =r 2 +d 2，根据已知量列方程即可.10. A【解析】 试题分析：由于BA 丄平面ACD ，所以zT BAC =NBDC =兰，所以球心在BC 中点E 处, 2考点：几何题的外接球.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为 X ,常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形,它们 的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心，可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为a,b,c 则其体对角线长为 J a 2 + b 2 +c 2 ；长方体的外接球球心是其体对角线中点 .找 几何体外接球球心的一般方法：过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线，交点即为球心. 11. B【解析】试题分析：画出图形，因为正三棱锥P- ABC 的四个顶点都在同一球面上，其中底面的三 个顶点在该球的一个大圆上•所以平面 ABC 的中心就是球心 O ，PO 是球的半径，也是正 R=2，由题意可知： OA = OB=OC=2，底面^ABC 的高为3 ,则1 1 J __S p/Bc =-天2%/3兀3 +3^-乂2賦乂42 +l 2 =3^3 +3J 152 2 ,综合选B .丄BC =J 3，所以球的体积为2 3 ) = 4\/3 .则AB 二2』3, PA 二3^2，则该正 三棱锥的表面积是三棱锥的高，则3考点：1球内接多面体；2 .棱锥的表面积.12. (1)证明见解析；(2) V A _BD ^8^ 3【解析】试题分析：（1）因为ACMD 为等腰直角三角形， NCMD =90°且0为CD 中点，所以 OM 丄CD ，又因为平面CMD 丄平面BCD ，且交线为CD ，根据面面垂直的性质定理可 得OM 丄平面BCD ，又因帚武C 平面BCD I ，根据垂直于同一平面的两条直线平行得OM //AB ，于是根据线面平行判定定理可证 OM //平面ABD ; （2）连接BO ，由（1） 知|OM //平面ABD ，点M 至序面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离，因此V A_BDM =V M .ABD =V O 」BD =VA_BDO , 由于地面ABCD 是边长为4的等边三角形，所以其面 积为、3X 14 =4j 3，则S 尿D M ’S 尿D =2j 3，根据已知AB 丄平面BCD ，所以三棱锥 4 2V A 』DO =! 伍 2=巫，所以V A 』DM =V A 』DO 二8^3 33 试题解析：（1）证明：•••△ ：CMD'是等腰直角三角形,•- OM 丄 CD . •••平面CMD 丄平面［BCD ，平面CMD I 平面BCD = CD , OM 匸平面BCD , ••• OM 丄平面BCD ,••• A B 丄平面BCD ,• OM / /AB ,•/ AB u 平面 ABD , |OM 区平面 ABD ,••• OM //平面 ABD .(2)由(1 )知 OM //平面 ABD ,•••点 M 到平面ABD 的距离等于点 O 到平面ABD 的距离.•/ AB =BC =4 , △ BCD 是等边三角形,• BD =4 , OD =2 ,连接 OB ，则 OB 丄 CD , OB =2j 3,V A -B DM =V M 」BD =V O 」BD =V A _BDO NCMD =90。