2020高三数学二轮复习 一题多解专题四 利用正(余)弦定理判断三角形形状

一题多解专题四：利用正（余）弦定理判断三角形形状 判定三角形形状通常有两种途径：

一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：A R a sin 2=，C ab c b a cos 2222=-+等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如：sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B)＝0⇔A ＝B ；sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A+B ＝2

π等； 二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如bc

a c

b A R a A 2cos ,2sin 2

22-+==等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.

例：在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别是a,b,c ，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，且2cos Asin B=sin C ，试判断△ABC 的形状.

思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和 边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系. 方法一：由正弦定理得b

c B C =sin sin ，∵2cos Asin B=sin C ， b

c B C A 2sin 2sin cos ==∴，由余弦定理的推论得bc a c b A 2cos 222-+= ∴b

c bc a c b 22222=-+， 化简得2222c a c b =-+，∴a=b ； 又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，∴ab c b a 3)(22=-+，

化简得2

2234b c b =-，∴b=c ，∴a=b=c ，即△ABC 是等边三角形. 方法二：∵A+B+C=π，∴sin C=sin(A+B)，又2cos Asin B=sin C ，

∴2cos Asin B=sin(A+B)， ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B ， ∴sin Acos B-cos Asin B=0，∴sin(A-B)=0，

∵A,B ∈(0,π)，∴A-B ∈(-π,π)， ∴A=B ，

又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab ，

∴ab c b a 3)(22=-+，即ab c b a =-+222，

由余弦定理的推论得2

122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 又C ∈(0,π)，3π

=∴C ，又A=B ，∴△ABC 是等边三角形.

规律总结：应用正弦定理进行判断或证明的方法：

①判断三角形的形状实质是判断三角形的三边或三角具有怎样的关系；

②利用正弦定理化边为角或化角为边，以实现边角的统一，便于寻找三边或三角具有的 关系；

③判断三角形的形状的常见结果有等腰三角形、等边三角形、直角三角形或等腰直角三 角形.

针对性练习：

1.在△ABC 中，若a 2tan B=b 2tan A ，试判断△ABC 的形状.

【解析】法一：由正弦定理及已知，得sin 2A ·sin B cos B

=sin 2B ·sin A cos A ， 即sin Acos A=sin Bcos B ，∴sin 2A=sin 2B. ∵0<2A,2B<2π，2A+2B<2π；∴2A=2B 或2A=π-2B.即A=B 或A+B=

2π. 所以，三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形.

法二：在得到sin 2A=sin 2B 后，也可以化为sin 2A-sin 2B=0，

∴2cos(A+B)sin(A-B)=0，∴cos(A+B)=0或sin(A-B)=0.

∵0

2π或A-B=0， 即A+B=2

π或A=B.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 2.在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状.

【解析】方法一：由正弦定理，得2sin B=sin A+sin C.

∵B ＝60°，∴A+C ＝120°,即A ＝120°－C ，

代入上式，得2sin 60°=sin(120°-C)+sin C 展开，整理得：

∴sin(C+30°)=1,∴C+30°=90°，

∴C ＝60°，故A ＝60°，∴△ABC 为正三角形.

方法二：由余弦定理，得B ac c a b cos 2222-+=，

∵B=60°, 2c a b +=，ο60cos 2)2(222ac c a c a -+=+， 整理，得0)(2=-c a ，∴a=c. 从而a ＝b ＝c ，∴△ABC 为正三角形.