第1章-导热理论基础
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p.44
Qxdx f x dx, y, z, f x, y, z, f dx
x
同理
Q y dy
Qy
Qy y
dy
Qzdz
Qz
Qz z
dz
(c)
6、整理
将(c)式代入(a)式，得
Q dxdydz
Qx x
dx
Q y y
dy Qz z
dz
+c
t
dxdydz
(d)
将(b)式代入(d)式，得
c
t
x
t x
y
t y
z
t z
Q
随温度变化时， f t f x, y, z, ,
所以不能提到微分号外面。
三维直角坐标系下，有内热源、非稳态、 变导热系数的导热微分方程式。
五、方程形式
三维直角坐标系下，有内热源、非稳态、 导热系数为常数时的导热微分方程式。
t
2t
关（常物性）
四、推导
z
Qzdz
Q ydy
Qx
y
Qy
Qz
Qxdx x
四、推导
1. 能量守恒定律。在任一时间间隔内
导入微
微元体
导出微 微元体
元体的 内热源 元体的 内能的
总热量 的生成热 总热量
增量
类
父母兄弟姐妹 给予的经济资助
本人所得（奖学 金、其它收入）
比
总的支出
手头存款的增量 （增量可正、可负）
七、定解条件
初始条件：给出初始时刻温度分布 （对于稳态导热，没有初始条件）
边界条件：给出物体边界上的温度 或换热情况。有三类：
七、定解条件
已知条件
方程
(1) 第一类边 界条件
(2) 第二类边 界条件
(3) 第三类边 界条件
壁面温度 tw
tw =f1 τ 非稳态
tw =const 稳态
壁面热流密度
4. 试验得出：非稳态测量（准稳态）；稳 态测量
五、导热系数
5. 与温度的关系：在工程上，通常可用线性近 似关系
0 1 bt
式中：t 为温度； b 为常数； 0 为该直线段的延
长线在纵坐标上的截距。
6. 各向异性材料：指有些材料（木材，石墨）各 向结构不同，各方向上的导热系数 也有较大差 别，这些材料称各向异性材料。（此类材料必 须注明方向）
n
2.1 导热基本定律
在等温面法线 方向上，单位 长度的温度变 化率最大。
t t t
grad t
t t q
2.1 导热基本定律
四、傅里叶定律
傅里叶定律是Fourier，于1822年由大量 实验观测总结而来。
定义：在导热现象中，单位时间内通过
给 于定 该截 截面 面所方传向Φ递上的的热温A量度 dd，变xt 正化比率例和于截垂面直面 积 向， 相而 反热量传递q 的方 d向dxt 与温度升高的方
热量
九、两类问题——正问题与反问题
反求物理条件——求λ,a 等（卫星探测， 测地球表面温度，求土壤物性；激光导 热仪，测材料表面温度，求λ,a ）
反求几何条件——探伤
反求边界条件——高速旋转两齿轮间啮 合面的温度。
九、正问题解法
是“偏微分方程”书中的一章。 有很多解法：分离变量法；格林函数 法；拉普拉斯法；变分法；数值解法 （包括：有限元法；有限差分法；边 界元法）。 本课程只介绍：分离变量法；有限差 分法。
c
t
x
t x
y
t y
z
t z
定解条件：物理、几何、初始、边界
八、非傅里叶导热
傅里叶导热定律适用的前提是：热扰动的传 递速度是无限大。
对一般工程问题，非稳态导热的热流密度不 很高，过程作用的时间足够长、过程发生的 尺度范围也足够大，傅里叶导热定律以及基 于该定律而建立的导热微分方程完全适用。
人工
超级绝缘材料 干空气
导电介质
银 427 铜 399
热管
夹层中抽真空 多层间隔结构
0.12 称为保温材料 多孔材料，空气多，
五、导热系数
3. 很多材料，既有导热，又有对流、辐射， 是综合的，统一用导热系数表示，此时 称其为表观（当量）导热系数。如：轻 型炉墙（耐火纤维），棉胎服装，太空 服装，超级绝热材料。
2.1 导热基本定律
一、温度场： t f x , y , z ,
各个时刻物体内各点温度分布的总称
稳态温度场：稳态条件下，不随时间变化
与时无关 t f x , y , z
非稳温度场：变动工况下，随时间变化
与时俱进 t f x , y , z ,
2.1 导热基本定律
二维稳态： 一维稳态： 零维非稳态：
2.2 导热微分方程式及定解条件
定义： 根据能量守恒定律与傅立叶定律，建
立导热物体中的温度场应满足的数学表达 式，称为导热微分方程。
一、问题的提出
1. 一维问题，可直接对傅立叶定律积分， 得到热流密度。
一、问题的提出
2. 多维问题 ：傅立叶定律仍适用，但还必 须解决不同坐标方向间导热公式的相互 联系问题。
第1章 导热理论基础
航空航天热物理研究所
上一节课回顾：
(1) 导热（定义） Fourier 定律：
(2) 对流换热（定义）
Φ A dt
dx
Newton 冷却公式：
Φ Aht
(3) 热辐射（定义）
Stenfan-Boltzmann 定律： Φ A T 4
本章重点内容
傅立叶定律及其应用 导热系数及其影响因素 导热问题的数学模型
因为傅立叶定律揭示了连续温度场内 每一点的温度梯度与热流密度间的联 系，因而知道了物体中的温度分布就 能得到相应的热流分布
一、问题的提出
但是傅立叶定律并未指出一个点的温 度与它临近点的温度有何联系，更没 有回答一个点的温度如何随时间变化。
3. 导热微分方程正是要揭示连续温度场随 空间坐标、时间变化的内在联系。
n
1. 导热系数与温度有关、与方向有关（各向异 性，如：木材、纤维、汽车轮胎）
2. 数值：
碳钢 36.7， 摄氏20度时的水 0.599 摄氏20度时的干空气 0.0259
五、导热系数
0.026 0.12
W m1 K 1
103 102 101 100 101 102 103 104
人工材料
热绝缘 材料 建筑材料 合金 纯金属
dxdydz
c
t
微元体体积m3 kg m3 J kg K K s
微元体质量，kg
微元体升高 1C 所需热量 J K 1
微元体在单位时间内升高 t C 时所需 的热量（内能） J s1 W
3、单位时间内，微元体内热源的生成热
＝Q dxdydz
Q —— 单位时间内，单位体积内热源 的生成热， W m3
a m2 s1 ，它也是一个物性参数。 c
从表示式看，为温度传递的速度
大，导热本领大，相同温度梯度
a 大 下传导的热量多
ρc 小，温度上升所需热量少，有更
多的热量向内部传递
六、导温系数（热扩散率）
如：铜 a 1.133104 m2 s1 ，西德手册 杉木 a 9.826108 m2 s1，含湿13.4%，
t f x , y t f x t f
2.1 导热基本定律
二、等温面、等温线
1. 等温面，同一瞬间，同温各点连成的面 2. 等温线，等温面与任一截面的交线
0.6
4
0.4
数值模拟的
4 4
0.2
4
火箭尾喷焰 0
-0.2
流场图片 -0.4
-0.6
0
10
20
2.1 导热基本定律
3. 物体内一个点在同一时刻， 只能有一个温度值，因此同 一时刻，不同温度的等温面 （线）不可能相交。
农机出版社
空气 a 2.127105 m2 s1，农机出版社
六、导温系数（热扩散率）
将一根铜棒与一根木棒放在火中， 手握一端，铜棒马上烫手，木棒则 无事 。
只有在非稳态导热中，a才显示它
的作用。
七、定解条件
对任一微分方程，均可由数学方法 求得其通解。但对于某一具体问题， 仅有通解还不行，必须求出既满足 导热微分方程式，又满足该问题的 一些附加条件下的特解。这些附加 条件，在数学上叫定解条件。定解 条件有四类。
c
x
2
2t y2
2t z 2
Q
c
五、方程形式
或者写成
t
a2t
Q
c
其中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2 x 2
2 y2
2 z 2
，为拉普拉
斯运算子，
λ a
为热扩散率、导温系数
c
五、方程形式
三维直角坐标系下，无内热源、稳态、 导热系数为常数时的导热微分方程式。
c
2t x2
+
2t y2
+
2t z2
qw
qw
=
f2
τ=
-λ
t n
w
qw =const
非稳态 稳态
换热系数 h 及 流体温度 t f
-
λ
t n
w
=
h
t
w
-
tf
七、定解条件 几何条件：外形、尺寸
物理条件：λ,ρ,c,a
导热问题的理论框架：
傅立叶定律： q grad t
t x
i
t y
j
t z
k
导热微分方程：
4. 所研究的物体是连续体，等 温面（线）不可能终止在物 体的内部，它只能终止在物 体的边界上，或者自身形成 的封闭曲面（线）。
2.1 导热基本定律
三、温度梯度
定义：等温面法线方向上温度的变 化率，向量，指向温度增加的方向 （变化最剧烈的方向）
lim t n grad t t n
n0 n
2.1 导热基本定律
四、傅里叶定律
一般形式（即：对热流密度矢量写出）
q grad t t n
n
负号表示热量传递方向与 温度梯度方向相反
2.1 导热基本定律
对各向同性材料
q grad t
t x
i
t y
j
t z
k
各向同性
2.1 导热基本定律
五、导热系数 q t n
四、推导
Qzdz z
Q ydy
1、能量守恒定律
Qx
y
Qxdx
x
Qy
Qz
Qx Qy Qz Q dxdydz
Qxdx Qydy Qzdz
c
t
dxdydz
(a)
2、单位时间内，微元体内能的增量
＝c
t
dxdydz
c —— 比热， J kg1 K 1
（单位质量升高 1C 时所需的热量）。
4、导入热量
Qx
t x
dydz
由傅立叶定律
Qy
t y
dzdx
(b)
Qz
t z
dxdy
在 x x 处表面，温度梯度为 t ; x
x 向的导热面积 Ax dydz
5、导出热量
Qxdx
Qx
Qx x
dx
泰勒（Taylor）级 数展开，取前二项
因为： Qx f x, y, z,
用泰勒级数表示， 略去高阶小量后 得，参考许维德 “流体力学”，
2.2 导热微分方程式及定解条件
二、思路及原理
以直角坐标系为例，从物体中分割出一个微 元平行六面体，利用： 1. 傅立叶定律 2. 能量守恒定律（热平衡原理）建立导热微分 方程式 任一点各方向温度分布推广到全场
2.2 导热微分方程式及定解条件
三、假设
1. —— 各向同性，均质 2. , c —— 密度、比热均质，与温度无
在下列三种情况下，傅里叶导热定律及导热 微分方程是不适用的。
八、非傅里叶导热
当导热物体的温度接近绝对零度时（温 度效应）
当过程的作用时间与材料的弛豫时间相 接近时（时间效应）
当过程发生的空间尺度极小，与微观粒 子的平均自由行程相接近时（空间效应）
九、两类问题——正问题与反问题
微分方程
温度分布
初边几物 始界何理 条条条条 件件件件
=
0
(2-9a)
五、方程形式
因为 λ≠0 ，所以：
2t x2
+
2t y2
+
2t z2
=
0
或
2t=0（又称为拉普拉斯方程） (2-9b)
五、方程形式
圆柱坐标系、球坐标系下，有内热源、 非稳态、变导热系数的导热微分方程 见教科书p.20：(1-24)、(1-25)式。
六、导温系数（热扩散率）
Qxdx f x dx, y, z, f x, y, z, f dx
x
同理
Q y dy
Qy
Qy y
dy
Qzdz
Qz
Qz z
dz
(c)
6、整理
将(c)式代入(a)式，得
Q dxdydz
Qx x
dx
Q y y
dy Qz z
dz
+c
t
dxdydz
(d)
将(b)式代入(d)式，得
c
t
x
t x
y
t y
z
t z
Q
随温度变化时， f t f x, y, z, ,
所以不能提到微分号外面。
三维直角坐标系下，有内热源、非稳态、 变导热系数的导热微分方程式。
五、方程形式
三维直角坐标系下，有内热源、非稳态、 导热系数为常数时的导热微分方程式。
t
2t
关（常物性）
四、推导
z
Qzdz
Q ydy
Qx
y
Qy
Qz
Qxdx x
四、推导
1. 能量守恒定律。在任一时间间隔内
导入微
微元体
导出微 微元体
元体的 内热源 元体的 内能的
总热量 的生成热 总热量
增量
类
父母兄弟姐妹 给予的经济资助
本人所得（奖学 金、其它收入）
比
总的支出
手头存款的增量 （增量可正、可负）
七、定解条件
初始条件：给出初始时刻温度分布 （对于稳态导热，没有初始条件）
边界条件：给出物体边界上的温度 或换热情况。有三类：
七、定解条件
已知条件
方程
(1) 第一类边 界条件
(2) 第二类边 界条件
(3) 第三类边 界条件
壁面温度 tw
tw =f1 τ 非稳态
tw =const 稳态
壁面热流密度
4. 试验得出：非稳态测量（准稳态）；稳 态测量
五、导热系数
5. 与温度的关系：在工程上，通常可用线性近 似关系
0 1 bt
式中：t 为温度； b 为常数； 0 为该直线段的延
长线在纵坐标上的截距。
6. 各向异性材料：指有些材料（木材，石墨）各 向结构不同，各方向上的导热系数 也有较大差 别，这些材料称各向异性材料。（此类材料必 须注明方向）
n
2.1 导热基本定律
在等温面法线 方向上，单位 长度的温度变 化率最大。
t t t
grad t
t t q
2.1 导热基本定律
四、傅里叶定律
傅里叶定律是Fourier，于1822年由大量 实验观测总结而来。
定义：在导热现象中，单位时间内通过
给 于定 该截 截面 面所方传向Φ递上的的热温A量度 dd，变xt 正化比率例和于截垂面直面 积 向， 相而 反热量传递q 的方 d向dxt 与温度升高的方
热量
九、两类问题——正问题与反问题
反求物理条件——求λ,a 等（卫星探测， 测地球表面温度，求土壤物性；激光导 热仪，测材料表面温度，求λ,a ）
反求几何条件——探伤
反求边界条件——高速旋转两齿轮间啮 合面的温度。
九、正问题解法
是“偏微分方程”书中的一章。 有很多解法：分离变量法；格林函数 法；拉普拉斯法；变分法；数值解法 （包括：有限元法；有限差分法；边 界元法）。 本课程只介绍：分离变量法；有限差 分法。
c
t
x
t x
y
t y
z
t z
定解条件：物理、几何、初始、边界
八、非傅里叶导热
傅里叶导热定律适用的前提是：热扰动的传 递速度是无限大。
对一般工程问题，非稳态导热的热流密度不 很高，过程作用的时间足够长、过程发生的 尺度范围也足够大，傅里叶导热定律以及基 于该定律而建立的导热微分方程完全适用。
人工
超级绝缘材料 干空气
导电介质
银 427 铜 399
热管
夹层中抽真空 多层间隔结构
0.12 称为保温材料 多孔材料，空气多，
五、导热系数
3. 很多材料，既有导热，又有对流、辐射， 是综合的，统一用导热系数表示，此时 称其为表观（当量）导热系数。如：轻 型炉墙（耐火纤维），棉胎服装，太空 服装，超级绝热材料。
2.1 导热基本定律
一、温度场： t f x , y , z ,
各个时刻物体内各点温度分布的总称
稳态温度场：稳态条件下，不随时间变化
与时无关 t f x , y , z
非稳温度场：变动工况下，随时间变化
与时俱进 t f x , y , z ,
2.1 导热基本定律
二维稳态： 一维稳态： 零维非稳态：
2.2 导热微分方程式及定解条件
定义： 根据能量守恒定律与傅立叶定律，建
立导热物体中的温度场应满足的数学表达 式，称为导热微分方程。
一、问题的提出
1. 一维问题，可直接对傅立叶定律积分， 得到热流密度。
一、问题的提出
2. 多维问题 ：傅立叶定律仍适用，但还必 须解决不同坐标方向间导热公式的相互 联系问题。
第1章 导热理论基础
航空航天热物理研究所
上一节课回顾：
(1) 导热（定义） Fourier 定律：
(2) 对流换热（定义）
Φ A dt
dx
Newton 冷却公式：
Φ Aht
(3) 热辐射（定义）
Stenfan-Boltzmann 定律： Φ A T 4
本章重点内容
傅立叶定律及其应用 导热系数及其影响因素 导热问题的数学模型
因为傅立叶定律揭示了连续温度场内 每一点的温度梯度与热流密度间的联 系，因而知道了物体中的温度分布就 能得到相应的热流分布
一、问题的提出
但是傅立叶定律并未指出一个点的温 度与它临近点的温度有何联系，更没 有回答一个点的温度如何随时间变化。
3. 导热微分方程正是要揭示连续温度场随 空间坐标、时间变化的内在联系。
n
1. 导热系数与温度有关、与方向有关（各向异 性，如：木材、纤维、汽车轮胎）
2. 数值：
碳钢 36.7， 摄氏20度时的水 0.599 摄氏20度时的干空气 0.0259
五、导热系数
0.026 0.12
W m1 K 1
103 102 101 100 101 102 103 104
人工材料
热绝缘 材料 建筑材料 合金 纯金属
dxdydz
c
t
微元体体积m3 kg m3 J kg K K s
微元体质量，kg
微元体升高 1C 所需热量 J K 1
微元体在单位时间内升高 t C 时所需 的热量（内能） J s1 W
3、单位时间内，微元体内热源的生成热
＝Q dxdydz
Q —— 单位时间内，单位体积内热源 的生成热， W m3
a m2 s1 ，它也是一个物性参数。 c
从表示式看，为温度传递的速度
大，导热本领大，相同温度梯度
a 大 下传导的热量多
ρc 小，温度上升所需热量少，有更
多的热量向内部传递
六、导温系数（热扩散率）
如：铜 a 1.133104 m2 s1 ，西德手册 杉木 a 9.826108 m2 s1，含湿13.4%，
t f x , y t f x t f
2.1 导热基本定律
二、等温面、等温线
1. 等温面，同一瞬间，同温各点连成的面 2. 等温线，等温面与任一截面的交线
0.6
4
0.4
数值模拟的
4 4
0.2
4
火箭尾喷焰 0
-0.2
流场图片 -0.4
-0.6
0
10
20
2.1 导热基本定律
3. 物体内一个点在同一时刻， 只能有一个温度值，因此同 一时刻，不同温度的等温面 （线）不可能相交。
农机出版社
空气 a 2.127105 m2 s1，农机出版社
六、导温系数（热扩散率）
将一根铜棒与一根木棒放在火中， 手握一端，铜棒马上烫手，木棒则 无事 。
只有在非稳态导热中，a才显示它
的作用。
七、定解条件
对任一微分方程，均可由数学方法 求得其通解。但对于某一具体问题， 仅有通解还不行，必须求出既满足 导热微分方程式，又满足该问题的 一些附加条件下的特解。这些附加 条件，在数学上叫定解条件。定解 条件有四类。
c
x
2
2t y2
2t z 2
Q
c
五、方程形式
或者写成
t
a2t
Q
c
其中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2 x 2
2 y2
2 z 2
，为拉普拉
斯运算子，
λ a
为热扩散率、导温系数
c
五、方程形式
三维直角坐标系下，无内热源、稳态、 导热系数为常数时的导热微分方程式。
c
2t x2
+
2t y2
+
2t z2
qw
qw
=
f2
τ=
-λ
t n
w
qw =const
非稳态 稳态
换热系数 h 及 流体温度 t f
-
λ
t n
w
=
h
t
w
-
tf
七、定解条件 几何条件：外形、尺寸
物理条件：λ,ρ,c,a
导热问题的理论框架：
傅立叶定律： q grad t
t x
i
t y
j
t z
k
导热微分方程：
4. 所研究的物体是连续体，等 温面（线）不可能终止在物 体的内部，它只能终止在物 体的边界上，或者自身形成 的封闭曲面（线）。
2.1 导热基本定律
三、温度梯度
定义：等温面法线方向上温度的变 化率，向量，指向温度增加的方向 （变化最剧烈的方向）
lim t n grad t t n
n0 n
2.1 导热基本定律
四、傅里叶定律
一般形式（即：对热流密度矢量写出）
q grad t t n
n
负号表示热量传递方向与 温度梯度方向相反
2.1 导热基本定律
对各向同性材料
q grad t
t x
i
t y
j
t z
k
各向同性
2.1 导热基本定律
五、导热系数 q t n
四、推导
Qzdz z
Q ydy
1、能量守恒定律
Qx
y
Qxdx
x
Qy
Qz
Qx Qy Qz Q dxdydz
Qxdx Qydy Qzdz
c
t
dxdydz
(a)
2、单位时间内，微元体内能的增量
＝c
t
dxdydz
c —— 比热， J kg1 K 1
（单位质量升高 1C 时所需的热量）。
4、导入热量
Qx
t x
dydz
由傅立叶定律
Qy
t y
dzdx
(b)
Qz
t z
dxdy
在 x x 处表面，温度梯度为 t ; x
x 向的导热面积 Ax dydz
5、导出热量
Qxdx
Qx
Qx x
dx
泰勒（Taylor）级 数展开，取前二项
因为： Qx f x, y, z,
用泰勒级数表示， 略去高阶小量后 得，参考许维德 “流体力学”，
2.2 导热微分方程式及定解条件
二、思路及原理
以直角坐标系为例，从物体中分割出一个微 元平行六面体，利用： 1. 傅立叶定律 2. 能量守恒定律（热平衡原理）建立导热微分 方程式 任一点各方向温度分布推广到全场
2.2 导热微分方程式及定解条件
三、假设
1. —— 各向同性，均质 2. , c —— 密度、比热均质，与温度无
在下列三种情况下，傅里叶导热定律及导热 微分方程是不适用的。
八、非傅里叶导热
当导热物体的温度接近绝对零度时（温 度效应）
当过程的作用时间与材料的弛豫时间相 接近时（时间效应）
当过程发生的空间尺度极小，与微观粒 子的平均自由行程相接近时（空间效应）
九、两类问题——正问题与反问题
微分方程
温度分布
初边几物 始界何理 条条条条 件件件件
=
0
(2-9a)
五、方程形式
因为 λ≠0 ，所以：
2t x2
+
2t y2
+
2t z2
=
0
或
2t=0（又称为拉普拉斯方程） (2-9b)
五、方程形式
圆柱坐标系、球坐标系下，有内热源、 非稳态、变导热系数的导热微分方程 见教科书p.20：(1-24)、(1-25)式。
六、导温系数（热扩散率）