数项级数的敛散性判别法

第六讲 数项级数的敛散性判别法

§1 柯西判别法及其推广

比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设

1

n n u ∞=∑，1n

n v

∞

=∑都是正项级数，存在0c >，使

(1,2,3,...)n n u cv n ≤=

（i ） 若

1

n

n v

∞

=∑收敛，则

1

n

n u

∞

=∑也收敛；（ii ） 若

1

n

n u

∞

=∑发散，则

1

n

n v

∞

=∑也发散．

比较原理II （极限形式）设

1

n n u ∞

=∑，1

n

n v

∞

=∑均为正项级数，若

lim

(0,)n

n n

u l v →∞=∈+∞

则

1

n n u ∞=∑、1

n

n v

∞

=∑同敛散．

根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设

1

n

n u

∞

=∑为正项级数，

（i ）若从某一项起（即存在N ，当n N >

1q ≤<（q 为常数）

， 则

1

n

n u

∞

=∑收敛；

（ii

1≥，则1

n n u ∞

=∑发散．

证（i ）若当n N >

1q ≤<，即n

n u q

≤，而级数

1

n

n q ∞

=∑收敛， 根据比较原理I 知级数

1

n

n u

∞

=∑也收敛．

（ii ）

1≥，则1n u ≥，故lim 0n n u →∞

≠，由级数收敛的必要条件知1

n

n u ∞

=∑

发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2） 设

1

n

n u

∞

=∑

为正项级数，n r =，则：（i ）当1r <时，1

n

n u ∞

=∑收敛；（ii ） 当1r

>（或r =+∞）时，1

n n u ∞

=∑发散；

（iii ）当1r =时，法则失效．

例1 判别下列正项级数的敛散性

23123(1)()()()35721n n n ++++++L L

；n n

n e

∞

-∑n=1

(2)

n n x α∞

∑n=1(3)（α为任何实数，0x >）．

解 (1)

因为11

2

n r ==<，所以原级数收敛．

(2)

因为lim n n n r

e

→∞===∞，所以原级数发散．

(3) 对任意α

，n r

x ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时，

此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1

α-≤时，即1α

≥-时发散．

例2 判别级数11[(1)]3

n n

n n ∞

=+-∑的敛散性．

解 由于

(1)lim lim 3

n

n n n →∞-== 不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为

(1)1

13

3

n

q -==≤=< 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．

例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)n

n n a ∞

=-∑发散，试问级数111n

n n a ∞

=⎛⎫ ⎪+⎝⎭

∑是否收敛？并说明理由．

解 答案：级数

111n

n n a ∞

=⎛⎫ ⎪+⎝⎭

∑收敛，证明如下：

由于{}n a 单调减少且0,n a ≥根据单调有界准则知极限lim n n a →∞

存在．设lim ,n n a a →∞

=则

0a ≥．如果0,a =则由莱布尼兹判别法知

1

(1)n

n

n a

∞

=-∑收敛，这与

1

(1)n

n

n a

∞

=-∑发散矛盾，

故0a >．再由{}n a 单调减少，故0,n a a >>取1

11

q a =<+，

11

0111

n q a a <=

<=<++ 根据柯西判别法1知

111n

n n a ∞

=⎛⎫ ⎪+⎝⎭

∑收敛．

下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法． 定理3（广义柯西判别法1） 设

1

n

n u

∞

=∑为正项级数，如果它的通项n u 的

()0an b a +>次根的极限等于r

，即lim an n r →∞

=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，

级数发散；当1r =级数可能收敛也可能发散．

证

因为lim an n r →∞

=，即对任给正数ε，存在正整数1N ，当1n N >时，有

(

)()an r r εε-<<+ （1）

对于任给常数b ，总存在2N ，当有2n N >时有

0an b +> （2）

取{}12max ,N N N =，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立．

当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，式（1）

和式（2）同时成立，那么有an b

n u q

+<，正项级数

11

()an b

b

a n

n n q

q

q

∞

∞

+===∑∑收敛（因为其为等

比级数且公比01n

q <<），由比较审敛法知，级数

1

n

n u

∞

=∑收敛．

当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>，由上面的讨论，存在N ，当n N >时，式（1）

和式（2）同时成立，则an b

n u q

+>，正项级数

1

1

()an b

b

a n

n n q

q

q

∞

∞

+===∑∑发散，由比较审敛法知，