10.1.4 概率的基本性质
高中数学必修二课件：概率的基本性质
一次购物 1至4件 5至8件
量
9至 12件
13至 16件
顾客数(人)
x
30
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
结算时间
1
1.5
2
2.5
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
17件 及以上
10
3
①确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
②求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
错解：因为P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1. 错因分析：由于事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，因此 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．因此解答此题应从“A∪B”这一事件出发求解． 答：因为A∪B包含4种结果，即出现1，2，3和5，所以P(A∪B)＝46＝23.
②由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小 明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′) ＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集
了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示．
(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2， 3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的 编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖， 其余结果不中奖．
①求中二等奖的概率； ②求不中奖的概率．
【解析】 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有(0，1)， (0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 10种．记两个小球的编号之和为x.
概率的基本性质-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
10.1 随机事件与概率
10.1.4概率的基本性质
课程标准
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机
事件与样本点的关系。了解随机事件的并、交与互斥的含义，
能结合实例进行随机事件的并、交运算；
2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事
件的概率；
3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；
什么关系?（大家可以大胆猜想！）
探究 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，
2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球. =“两次都摸
到红球”， =“两次都摸到绿球”.
（1）、这两个事件有什么关系?
（2）事件、事件的和事件是什么？
（3）()、()与( ∪ )的值有什么关系？
性质5:(概率的单调性) 如果 ⊆ ，那么() ≤ ().
新知讲解
问题4 摸球试验中， =“第一次摸到红球”， =“第二次摸到
红球”，“两个球中有红球”= ∪
（1）( ∪ )和() + ()相等吗?如果不相等,请你说明原
因，并思考如何计算( ∪ ).
( ∪ ) = () + () − ( ∩ ).
与性质3的区别是:性质3的事件是互斥的；
但性质6的事件是两个随机事件；
性质3是性质6的特殊情况.
概念生成
性质1：对任意的事件，都有() ≥ .
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
即() = ，(∅) = .
（2）特殊的事件有哪些？他们的概率分别是多少？
（3）事件间有哪些特殊关系？他们的概率之间有哪些关系？
10.1.4 概率的基本性质(课件)2022-2023学年高一数学同步备课(人教A版2019 必修第
b
巩固——概率性质的运用
P241-例12.为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动:
将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.
1 2 3
若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少?
解3：设不中奖的4罐记为1，2，3，4，中奖的2罐记为a，b，
随机抽2罐，其样本点共30个，表示如下：
第一次的点数
1
2
3
4
5
6第二、三次的点Fra bibliotek数和8
7
6
5
4
3
三个点数和为9
的样本点数
5
6
5
4
3
2
巩固——概率性质的运用
P245-16.将从1~20这20个整数中随机选择一个数，
设事件A=“选到的数能被2整除”，事件B=“选到的数能被3整除”，
求下列事件的概率：
3
P( AB)
20
(1)这个数既能被2整除也能被3整除；
10 6 3 13
(2)这个数能被2整除或能被3整除； P( A B)
20
20
(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除.
7
P( A B ) 1 P( A B )
20
A B, n( A) n( B ),
, P( A) P( B ).
n ( ) n ( )
概率的性质
性质6. 设A、B是一个随机试验中的两个事件，有
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B).
性质3. 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B).
注：性质3是性质6的特殊情况
课件3：10.1.4 概率的基本性质
可以得到，样本空间包含的样本点个数为 n(Ω)＝6×5＝30， 且每个样本点都是等可能的．因为 n(A1A2)＝2，n(A1 A 2)＝8， n( A 1A2)＝8，所以 P(A)＝320＋380＋380＝1380＝35. 上述解法需要分若干种情况计算概率．注意到事件 A 的对 立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于 A 1 A 2＝“两罐 都不中奖”，而 n( A 1 A 2)＝4×3＝12，所以 P( A 1 A 2)＝1320＝25. 因此 P(A)＝1－P( A 1 A 2)＝1－25＝35.
性质 4：如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质 5：如果 A⊆B，那么 P(A)≤P(B)． 性质 6：设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
状元随笔
1.概率的加法公式的应用前提是“事件 A 与事件 B 互斥”， 否则不可用． 2．对立事件的概率公式使用的前提必须是对立事件，否则不 能使用． 3．当一个事件的概率不易直接求出，但其对立事件的概率易 求时，可运用对立事件的概率公式，即可使用间接法求概率．
概率是13，则甲不输的概率为( )
5
2
1
1
A.6
B.5
C.6
D.3
解析：P(甲不输)＝P(和棋)＋P(甲获胜)＝12＋13＝56. 答案：A
3．在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是16.
事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“小
于 5 的点数出现”，则一次试验中，事件 A∪C(C 是
本课结束
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[教材解难]
教材思考
新教材高中数学第十章概率
(2)同时抛掷两枚骰子，既不出现 5 点也不出现 6 点的概率为49 ，则 5 点或 6 点至 少出现一个的概率是________. 【解析】记事件 A＝“既不出现 5 点也不出现 6 点”，则 P(A)＝94 ，事件 B＝“5 点 或 6 点至少出现一个”．因 A∩B＝∅，A∪B 为必然事件，故 A 与 B 为对立事件， 则 P(B)＝1－P(A)＝1－94 ＝59 . 答案：59
【解析】(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1， 3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1， 1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3， 2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2， 3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共 27 种．
1．已知 A 与 B 是对立事件，且 P(A)＝0.2，P(B)＝________． 【解析】因为 A 与 B 对立， 所以 P(B)＝1－P(A)＝1－0.2＝0.8. 答案：0.8
2．一枚均匀的正六面体骰子，设 A 表示事件“出现 3 点”，B 表示事件“出现偶数 点”，则 P(A∪B)等于________． 【解析】显然事件 A 与事件 B 互斥， 所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝16 ＋63 ＝23 . 答案：23
3．某城市的空气质量状况如下表所示：
污染指数 T 30 60 100 110 130 140
概率 P
1
11 7
21
10 6 3 30 15 30
第10章 概率的基本性质-【新教材】人教A版高中数学
课
探 究
夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．源自时 分层释
作
疑
业
难
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·
13
·
情
课
境
堂
导 学
探
19 28
小
[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件 结
提
·
新
素
知 “甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生， 养
合 作
即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队
合
作
课
探 究
性质 6
设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)
时 分
释 ＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B) ．
层 作
疑
业
难
返 首 页
·
7
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
探
思考 1：设事件 A 发生的概率为 P(A)，事件 B 发生的概率为 P(B)， 提
·
新
素
知 那么事件 A∪B 发生的概率是 P(A)＋P(B)吗？
小 结
·
探
提
新
(2)错误．
素
知
养
(3)错误．事件“所有同学的成绩都在 60 分以上”的对立事件为
合
作
课
探 “至少有一个同学的成绩不高于 60 分”．
究
时 分
层
释
作
疑
难
[答案] (1)× (2)× (3)×
业
返 首 页
·
11
·
情
课
1014概率的基本性质(精练)(原卷版)
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
3．（2023·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)=（）
(1)A∩B，BC及相应的概率
(2)A∪B，B+C及相应的概率；
(3)记 为事件H的对立事件，求 及相应的概率.
B能力提升
16．（2022春·全国·高一期末）下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．
A． B． C． D．1
4．（2022·上海·高三统考学业考试）某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（）
A．0B．0.3C．0.6D．0.4
5．（2022春·陕西咸阳·高一校考期中）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（）
y分
人数
x/分
5
4
3
2
1
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
《概率的基本性质》PPT课件
(2)“取出 1 球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出 1 球为绿球”，即 A∪B ∪C 的对立事件为 D，所以“取出 1 球为红球或黑球或白球”的概率为 P(A∪B∪C) ＝1－P(D)＝1－112＝1112.
必修第一册·人教数学B版
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求交、并事件的概率的一般方法 (1)交、并事件也是随机事件，利用交事件、并事件的含义列举对应的样本点，根据 随机事件的概率公式计算； (2)并事件的概率可以根据概率的性质：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)计算，特别 地，若事件 A，B 互斥，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
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[解析] 从五张卡片中任取两张，对应的样本空间 W＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共有 10 个样本点． (1)A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，共有 6 个样本点，∴P(A)＝160＝35. (2)B＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)}，共有 6 个样本点，∴P(B)＝160＝35. (3)C＝A∩B＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)}，共有 3 个样本点，∴P(C)＝P(A∩B)＝130.
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[解析] 设 4 个白球的编号为 1,2,3,4,2 个红球的编号为 5,6.从袋中的 6 个小球中任取 2 个球，对应的样本空间 W＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)， (2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有 15 个样本点． (1)A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共有 6 个样本点． ∴取出的两个球全是白球的概率为 P(A)＝165＝25. (2)B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共有 8 个样本点． ∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为 P(B)＝185.
最新人教A版高一数学必修二课件：10.1.4概率的基本性质
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| 课堂互动 |
| 素养达成 |
| 课后提能训练 |
数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向第量十及章其应概用率
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)(方法一)“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋ 0.2＋0.04＝0.74.
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.4 概率的基本性质
数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向第量十及章其应概用率
学习目标
素养要求
1.通过实例，理解概率的性质
数学抽象
2.掌握随机事件概率的运算法则，会用互斥事件、 数学运算、数学建模
对立事件的概率求解实际问题
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＋P(B)＋P(C)＝250＋230＋240＝35.
(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件 E，则E 为“抽
取一名队员，该队员属于 3 支球队”，所以 P(E)＝1－P( E )＝1－220＝190.
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第六章 平面向第量十及章其应概用率
解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名 医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F 彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
10.1.4 概率的基本性质课件ppt
50
因为当事件A1,A2之一发生时,事件A发生,
所以由互斥事件的概率加法公式,
得任意抽取1名学生测试成绩为“优”或“良”的概率为
P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)
5
21 26 13
= + =
= .
50 50 50 25
探究四
概率一般加法公式的应用
1
例5甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,他们跑每一棒的概率均为 4 .
2023
人教版普通高中教科书·数学
第十章
必修
10.1.4 概率的基本性质
第二册
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.理解两个事件互斥、互为对立的含义.(数学抽象)
2.理解概率的6条基本性质,重点掌握性质3、性质4、性质6及其
公式的应用条件.(数学抽象)
3.能灵活运用这几条重要性质解决相关的实际问题,培养数学建
12
3
6
12
(1)“取出1球为红球或黑球”的概率;
(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.
分析先判断各事件间的关系,再用公式求解.
5
1
1
1
解 由题意知 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= ,P(D)= ,且事件 A,B,C,D 彼此为互斥
12
3
6
12
事件,所以
5
1 3
(1)“取出 1 球为红球或黑球”的概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = .
微练习
(1)(多选题)抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数大于3”为事件A,“向上的点数
10.1.4概率的基本性质课件(人教版)(1)
例题讲授
例1、从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一 张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)= P(B)=1/4，那么
(1)C=“抽到红花色”，求P(C); (2)D=“抽到黑花色”，求P(D)。
课堂小结
概率的6个基本性质。
例题讲授
解：(1)因为C=AUB，且A与B不会同时产生， 所以A与B是互斥事件。 则P(C)=P(A)+P(B)=1/4+1/4=1/2. (2)因为C与D互斥，又因为CUD是必然事件， 所以C与D互为对峙事件. 则P(D)=1-P(C)=1-1/2=1/2.
例题讲授
例2、为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了 有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐 能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽取2罐，能中奖的概 率为多少？
所以PA 2 8 8 18 3
30 30 30 30 5
例题讲授
解法二： 上述解法需要分若干种情况计算概率， 注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”。
因为n A1 A2
4 3 12，P A1 A2
12 2 30 5
所以PA 1 P
A1 A2
1 2 3 55
小试牛刀
1、某同学军训时打靶一次击中10环、9环、8环的概率分 别是0.3、0.3、0.3，那么他射击一次不够8环的概率是 _________
解：设击中10环、9环、8环的事件分别是A、B、C， 不够8环的事件为D， 则事件A、B、C两两互斥， 则P(D)=1-P(AUBUC)=1-P(A)-P(B)-P(C)
10.1.4 概率的基本性质
七年级
八年级
九年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19.
(1)求x的值； (2)现用 分层随机抽样 的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ 每个个体被抽到的可能性都是Nn
(3)已知y≥245，z≥245，求九年级中女生比男生少的概率. 解 (1)∵2 0x00＝0.19，∴x＝380. (2)九年级人数为 y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层随机抽样的 方法在全校抽取 48 名学生，应在九年级抽取的人数为2500000×48＝12.
【训练2】 某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率. 解 某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶” 为事件A，则其对立事件B为“未中靶”，于是P(A)＝1－P(B)＝1－0.05＝0.95. 所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95.
题型三 概率性质的综合应用 【例3】 某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
一个去实习，设“小明在甲城市实习”为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数
的工厂实习”为事件B，则P(A＋B)＝( )
3 A.25
5
9
1
B.8
C.16
D.4
解析 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1342＋362＝58.
答案 B
一、素养落地 1.通过学习概率的基本性质提升数学抽象素养.通过随机事件概率的运算培养数学运算
素养. 2.互斥事件概率的加法公式是一个基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各
事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 3.求复杂事件的概率通常有两种方法
概率的基本性质 高中数学课件10-1-4
第十章 §10.1 随机事件与概率10.1.4 概率的基本性质学习目标XUE XI MU BIAO1.理解概率的基本性质.2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点 概率的基本性质性质1 对任意的事件A ，都有P (A )0.性质2 必然事件的概率为，不可能事件的概率为 ，即P (Ω)＝ ，P (∅)＝ .性质3 如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝ .性质4 如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (B )＝，P (A )＝ .性质5 如果A ⊆B ，那么 .性质6 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有P (A ∪B )＝_____ .≥1010P (A )＋P (B )1－P (A )1－P (B )P (A )≤P (B )P (A )＋P (B )－P (A ∩B )思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ).( )2.若事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.( )3.事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件.( )4.如果事件A 与事件B 互斥，那么P (A )＋P (B )≤1.( )×××√2题型探究PART TWO一、互斥事件概率公式的应用例1 (1)抛掷一枚骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝，求出现1点或2点的概率.是互斥事件，解 设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A，B(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P(A)＝，P(B)＝，求这3只球中既有红球又有白球的概率.解 因为A，B是互斥事件，反思感悟运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤(1)确定各事件彼此互斥.(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.跟踪训练1 在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)(单位：m)概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：(1)[10,16)；解 记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥. P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)[8,12)；解 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.(3)[14,18).解 P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.二、对立事件概率公式的应用(1)甲获胜的概率；解 “甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，(2)甲不输的概率.解 方法一 设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，方法二 设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，反思感悟对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.跟踪训练2 某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率.解 某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶”为事件A，则其对立事件B为“未中靶”，于是P(A)＝1－P(B)＝1－0.05＝0.95.所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95.三、概率性质的综合应用(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；解 从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.解 事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D，反思感悟求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.跟踪训练3 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；解 记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)求他不乘轮船去的概率；解 设他不乘轮船去的概率为P，则P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解 由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.核心素养之逻辑推理HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI正难则反思想的应用典例 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；解 由题意知，(a，b，c)的样本空间Ω＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}，共27个样本点.设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个.(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.解 设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，素养提升当正面考虑所解决的问题比较烦琐复杂时，可以找到所求事件的对立事件，利用对立事件的概率的公式求解.正难则反思想的应用提高了逻辑推理的核心素养.3随堂演练PART THREE1.在一个试验中，若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B的关系是A.互斥不对立B.对立不互斥√C.互斥且对立D.以上答案都不对123452.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是√A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7解析 ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.3.事件A与事件B的关系如图所示，则A.A⊆BB.A⊇B√C.A与B互斥D.A与B互为对立事件解析 由题图知，事件A与事件B不能同时发生，且A∪B≠Ω，因此A与B互斥不对立，故选C.4.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_____.5.已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)0.2的概率为______.解析 设“命中9环以上(含9环)”为事件A，“命中8环”为事件B，“命中7环”为事件C，“命中6环以下(含6环)”为事件D，则D与A∪B∪C互为对立事件.因为P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，且A，B，C三个事件互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.8，所以P(D)＝1－0.8＝0.2.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性质5 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).2.方法归纳：转化法、正难则反.3.常见误区：将事件拆分成若干个互斥的事件，易重复和遗漏.4课时对点练PART FOUR基础巩固1.P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)等于A.0.3B.0.2√C.0.1D.不能确定解析 由于不能确定A与B是否互斥，则P(A＋B)的值不能确定.2.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是A.A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B.B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C.A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件√D.A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件解析 由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确.3.若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是√A.[0,0.9]B.[0.1,0.9]C.(0,0.9]D.[0,1]解析 由于事件A和B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9，故选A.4.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B ＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”.已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为A.0.20B.0.39√C.0.35D.0.30解析 ∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35.5.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.8～4.85 g范围内的概率是A.0.62B.0.38√C.0.02D.0.68解析 设“质量小于4.8 g”为事件A，“质量小于4.85 g”为事件B，“质量在4.8～4.85 g”为事件C，则A＋C＝B，且A，C为互斥事件，所以P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)，则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.6.某城市2019年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染，该城市2019年空气质量达到良或优的概率为_____.解析 由于空气质量达到良或优为污染指数T≤100，由互斥事件概率的加法公式，7.事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝_____.又因为P(A)＝2P(B)，9.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率；解 将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的样本空间Ω＝{(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)}，共有10个样本点.令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则。
课时作业8：10.1.4 概率的基本性质
10.1.4概率的基本性质基础达标一、选择题1.若A，B是互斥事件，则()A.P(A∪B)<1B.P(A∪B)＝1C.P(A∪B)>1D.P(A∪B)≤1解析∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1).答案D2.某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为()A.0.5B.0.3C.0.6D.0.9解析此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－0.2－0.3＝0.5，故选A.答案A3.从1，2，3，4中选取两个不同数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的概率为()A.13 B.14 C.16 D.112解析从1，2，3，4中选取两个不同数字组成所有两位数为：12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共12个样本点，其中能被4整除的有：12，24，32，共3个样本点，所以这个两位数能被4整除的概率为p＝312＝14.答案B4.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18 B.38 C.58 D.78解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，有16种不同的选法，周六、周日都有同学参加公益活动有16－2＝14(种)不同的选法，所以所求的概率为1416＝78. 答案 D5.下列四种说法：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1； ④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件. 其中错误的个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析 对立事件一定是互斥事件，故①对；只有A ，B 为互斥事件时才有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，故②错； 因A ，B ，C 并不一定包括随机试验中的全部样本点， 故P (A )＋P (B )＋P (C )并不一定等于1，故③错； 若A ，B 不互斥，尽管P (A )＋P (B )＝1， 但A ，B 不是对立事件，故④错. 答案 D 二、填空题6.口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________.解析 由题意，得摸出是黄球的概率为0.64－0.45＝0.19， ∴摸出是红球或蓝球的概率为：1－0.19＝0.81. 答案 0.817.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.解析 由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为37＋14＝1928.答案19 288.向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中第二、三个军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，三个军火库都爆炸的概率为________.解析设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示三个军火库都爆炸，则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1.其中A、B、C互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.答案0.225三、解答题9.一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数小于8环的概率.解设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.(1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87.所以至少射中7环的概率为0.87.(3)事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.10.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.解从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＝13，P （B ＋C ）＝512，P （C ＋D ）＝512，P （A ＋B ＋C ＋D ）＝1， 则⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＋P （C ）＝512，P （C ）＋P （D ）＝512，13＋P （B ）＋P （C ）＋P （D ）＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＝14，P （C ）＝16，P （D ）＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.能力提升11.设事件A 的对立事件为B ，已知事件B 的概率是事件A 的概率的2倍，则事件A 的概率是________.解析 由题意得⎩⎨⎧P （A ）＋P （B ）＝1，P （B ）＝2P （A ），解得P (A )＝13，P (B )＝23. 答案 1312.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：(1)求有4人或5(2)求至少有3人外出家访的概率.解 (1)设派出2人及以下为事件A ，3人为事件B ，4人为事件C ，5人为事件D ，6人及以上为事件E ，则有4人或5人外出家访的事件为事件C 或事件D ，C ，D 为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知， P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，p ＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9.创新猜想13.(多填题)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件B －的概率为P (B －)＝________，事件A ＋B －(B －表示事件B 的对立事件)发生的概率为________.解析 由题意知，B －表示“大于或等于5的点数出现”，则P (B －)＝26＝13，事件A与事件B －互斥，由概率的加法计算公式可得P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝26＋26＝46＝23.答案13 2314.(多填题)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________，任取出2粒恰好不同色的概率是________.解析 易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为17＋1235＝1735.不同色的概率为1－1738＝1835. 答案1735 1835。
10.1.4概率的基本性质 课件【共17张PPT】
1 5
,故甲、乙两人各投篮一次，
恰有一人投进球的概率是 3 1 7 ，故选 D. 20 5 20
4.设两个相互独立事件 A，B 都不发生的概率为 1 ， 9
则 A 与 B 都发生的概率的取值范围是(D )
A.
0,
8 9
C.
2 3
,
8 9
B.
1 9
,
5 9
D.
0,
4 9
设事件 A，B 发生的概率分别为 P(A) x ， P(B) y ，
27 32
,
9
P(B∣A)
P( AB) P( A)
32 27
1 3
，故选
A.
32
2.电路从 A 到 B 上共连接着 6 个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是 1 ， 3
整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从 A 到 B 连通的概率是( B )
A. 10 27
B. 448 729
C. 100 243
第十章 概率
10.1.4 概率的基本性质
学习目标：
1通过实例，理解概率的性质. 2结合实例，掌握随机事件概率的运算法则. 3能够利用概率的性质求较复杂事件的概率.
学习重点：
概率的运算法则及性质.
.
探究一: 概率的基本性质
性质 1 对任意的事件 A，都有 P(A)≥0. 性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质 3 如果事件 A 和事件 B 互斥，那么 P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
3.某校高二(1)班甲、乙两名同学进行投篮比赛,
他们投进球的概率分别是 3 和 4 ,现甲、乙两人各投篮一次, 45
10.1.4概率的基本性质
二、互斥事件的概率加法公式
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么
P(A∪B)=P(A)+P(B)
互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况.
性质3的推论 如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件
A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之
类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质.
思考:你认为可以从哪些角度研究概率的性质?
下面我们从定义出发研究概率的性质,
例如:概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关
系时，它们的概率之间的关系；等等.
由概率的定义可知:
任何事件的概率都是非负的;
在每次试验中, 必然事件一定发生, 不可能事件一定不会发生.
A=“抽到红心”, 事件B=“抽到方片”, P(A)=P(B)= , 那么
(1)C=“抽到红花色”，求P(C)；
解：因为C=A∪B，A与B是互斥事件. 根据互斥事件的概率加
法公式，得
P(C)=P(A)+P(B)= + =
例11 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件
A=“抽到红心”, 事件B=“抽到方片”, P(A)=P(B)= , 那么
(1)C=“抽到红花色”，求P(C)；
(2)D=“抽到黑花色”，求P(D).
解：因为C=A∪B，A与B是互斥事件. 根据互斥事件的概率加
法公式，得
P(C)=P(A)+P(B)= + =
(2)因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，所以C与D互为
概率的基本性质-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第二册)
事件A和事件B是
“出现5点”分别为M,N,P,Q，由题意可知这4
互斥事件，所以
个事件彼此互斥.
1
6
所以P(A∪B)=P(M)+P(N)+P(P)+P(Q)= × 4 =
2
3
得出P(A∪B)=1
某战士射击一次，击中环数大于7的概率是0.6，击中环数是6或7
或8的概率相等，且和为0.3，求该战士射击一次击中环数大于5的概率.
一般地，我们有如下的性质：
性质6：设，是一个随机事件中的两个事件，我们有
( ∪ ) = () + () − ( ∩ ).
显然，性质3是性质
6的特殊情况.利用
上述概念的性质，
可以简化概率的计
算.
例11 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红
1
心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)= ，那么
一罐不中奖, 第二罐中奖”，且A=A1A2∪ A1 A2∪ A1 A2 .
因为A1A2、A1 A2、A1 A2 两两互斥，所以 P(A)=P(A1A2)+P(A1 A2 )+P( A1 A2
).
借助树状图来求相应事件的样本点数.
第一罐
第二罐
1
中奖
可以得到，n(Ω)=6×5=30.
中奖
2
不中奖
4
因为n(A1A2)=2, n( A1 A2)=8, n( A1 A2)=8，
0.3 ;
(2) 如果A, B互斥，那么P(A∪B)=_____
0.8 ，P(AB)=_____.
0
2.指出下列表述中的错误:
(1) 某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5;
课件1：10.1.4 概率的基本性质
【规律方法】 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事 件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利 用古典概型的概率计算公式进行计算.
【跟踪训练】
2．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高
三六个班的 300 名学生中以班为单位(每班学生 50 人)，每班按随机
【课堂小结】
1．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间 是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不 重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果． 2．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼 此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公 式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件， 不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否 则容易出现错误．
【跟踪训练】 1．在数学考试中，小王的成绩在 90 分以上(含 90 分)的概率是 0.18， 在 80～89 分的概率是 0.51，在 70～79 分的概率是 0.15，在 60～ 69 分的概率是 0.09，在 60 分以下(不含 60 分)的概率是 0.07.求： (1)小王在数学考试中取得 80 分以上(含 80 分)成绩的概率； (2)小王数学考试及格的概率．
求该选手射击一次， (1)命中 9 环或 10 环的概率； (2)至少命中 8 环的概率； (3)命中不足 8 环的概率．
[解] 记“射击一次，命中 k 环”为事件 Ak(k＝7,8,9,10)． (1)因为 A9 与 A10 互斥，所以 P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60. (2)记“至少命中 8 环”为事件 B. B＝A8＋A9＋A10， 又 A8，A9，A10 两两互斥，所以 P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78. (3)记“命中不足 8 环”为事件 C，则事件 C 与事件 B 是对立事件． 所以 P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
10.1.4 概率的基本性质
10.1.4概率的基本性质基础过关练题组一概率的基本性质及应用1.(2020河南郑州一中高一期末)下列结论正确的是()A.事件A发生的概率P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要发生的事件D.如果A⊆B,那么P(A)<P(B)2.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是()A.(54,2) B.(54,32) C.[54,32] D.(54,43]3.(2020辽宁省实验中学高一期末)下列说法正确的是()A.当A,B不互斥时,可由公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)计算A∪B的概率B.A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小C.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大4.(多选)在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法错误的是()A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件B.(A1∪A2)∪A3是必然事件C.P(A2∪A3)=0.8D.P(A1∪A2)≤0.55.给出下列命题:①若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);②若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;③若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1.其中错误命题的个数是.题组二利用概率的基本性质求概率6.如果事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率是()A.0.4B.0.6C.0.8D.0.27.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为()A.15B.25C.35D.458.掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点,2点,3点,4点,5点,6点的概率均为16,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)=()A.15B.35C.23D.499.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为16.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+B(B表示事件B的对立事件)发生的概率为()A.13B.12C.23D.5610.(2020四川成都外国语学校高一月考)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.11.射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:命中环数10987概率0.320.280.180.12求该选手射击一次,下列事件的概率.(1)命中9环或10环;(2)至少命中8环;(3)命中的环数小于8.12.(2020山东济南历城第二中学高一下检测)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动,规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球,若取出的两个小球的编号之和等于7,则中一等奖,等于6或5,则中二等奖,等于4,则中三等奖,其余结果不中奖.(1)求中二等奖的概率;(2)求不中奖的概率.能力提升练题组利用概率的基本性质求概率1.(2020湖北武汉华中师大一附中五校期末联考,)已知随机事件A 和B互斥,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.3,则P(A)=()A.0.5B.0.2C.0.7D.0.82.(2020吉林省实验中学高二期末,)已知随机事件A,B,C中,A与B 互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.93.()甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙两人下成和棋的概率是()A.60%B.30%C.10%D.50%4.(2020四川成都七中高一期末,)在5件产品中,有3件一级品和2件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为710的是()A.都是一级品B.都是二级品C.一级品和二级品各1件D.至少有1件二级品5.(2019吉林长春外国语学校高二上期末,)某人忘记了电话号码的最后一个数字,随意拨号,则拨号不超过三次能接通电话的概率为()A.910B.310C.18D.1106.()一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,则摸出红球的概率为()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.47.(多选)()黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:血型A B AB O该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是()A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29C.任找一个人,其血可以输给O 型血的人的概率为1D.任找一个人,其血可以输给AB 型血的人的概率为1 8.()如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为 ,不命中靶的概率是 .9.()袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个,它们除颜色外完全相同,从中任取一球,得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 , , . 10.()现有7名数理化成绩优秀者,其中A 1,A 2,A 3的数学成绩优秀,B 1,B 2的物理成绩优秀,C 1,C 2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛. (1)求C 1被选中的概率;(2)求A 1和B 1不全被选中的概率.11.()甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢. (1)若事件A 表示“和为6”,求P(A);(2)现连玩三次,若事件B 表示“甲至少赢一次”,事件C 表示“乙至少赢两次”,试问B 与C 是不是互斥事件?为什么? (3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.答案全解全析 基础过关练1.B 因为事件A 发生的概率0≤P(A)≤1,所以A 错误;不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,所以B 正确;小概率事件是指这个事件发生的可能性很小,但并不是不发生,大概率事件是指这个事件发生的可能性较大,但并不是一定发生,所以C 错误;由概率的性质5可知,如果A ⊆B,那么P(A)≤P(B),所以D 错误.2.D 由题意得, {0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A)+P(B)≤1,即{0<2-a <1,0<4a -5<1,3a -3≤1,解得{1<a <2,54<a <32,a ≤43,即54<a ≤43,所以实数a 的取值范围是(54,43].3.A根据概率的性质6,可知选项A正确.对于两个不可能事件来说,同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等,均为零,故B错误.当A,B是对立事件时,P(A)+P(B)=1,但由P(A)+P(B)=1不能得到事件A与B是对立事件,故C错误.事件A,B中至少有一个发生包括事件A发生且事件B不发生,事件A不发生且事件B发生,事件A,B同时发生;A,B中恰有一个发生包括事件A发生且事件B不发生,事件A不发生且事件B发生.当事件A,B互斥时,事件A,B同时发生的概率为0,所以事件A,B中至少有一个发生的概率等于事件A,B中恰有一个发生的概率,故D错误.4.ABC事件A1,A2,A3不一定两两互斥,所以P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)≤0.5,P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)-P(A2A3)≤0.8,P[(A1∪A2)∪A3]≤1,所以(A1∪A2)+A3不一定是必然事件,无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件,所以A、B、C中说法错误.故选ABC.5.答案2解析只有当事件A,B为两个互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),故①不正确;只有事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω时,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,故②不正确;当A,B为互斥事件时,P(A)+P(B)=P(A∪B)≤1,故③正确.6.B因为事件A与B是互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.又因为P(A)=3P(B),所以P(A)=0.6.7.C记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A,B,C,D,E,则A,B,C,D,E 两两互斥,取到理科书的概率为事件B,D,E概率的和.∴P(B∪D∪E)=P(B)+P(D)+P(E)=15+15+15=35.8.C记事件A i=“出现i点(i=1,2,3,4,5,6)”,则A=A1∪A3∪A5,B=A1∪A2∪A3,A∩B= A1∪A3,所以P(A)=36=12,P(B)=36=12,P(A∩B)=26=13,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=23.9.C由题意,知B表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件B互斥,由概率的加法计算公式可得P(A+)=26+26=23.10.答案1928解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37+14=1928.11.解析 记“射击一次,命中k 环”为事件A k (k=1,2,3,…,10).(1)因为A 9与A 10互斥,所以P(A 9∪A 10)=P(A 9)+P(A 10)=0.28+0.32=0.60.(2)记“至少命中8环”为事件B,则B=A 8∪A 9∪A 10,又A 8,A 9,A 10两两互斥,所以P(B)=P(A 8)+P(A 9)+P(A 10)=0.18+0.28+0.32=0.78.(3)记“命中的环数小于8”为事件C,则事件C 与事件B 是对立事件, 所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.12.解析 从五个小球中一次任意摸出两个小球,不同的结果有(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共10种.记两个小球的编号之和为x.(1)记“中二等奖”为事件A.由题意可知,事件A 包括两个互斥事件:x=5,x=6. 事件x=5的取法有2种,即(1,4),(2,3),故P(x=5)=210=15;事件x=6的取法有1种,即(2,4),故P(x=6)=110,所以P(A)=P(x=5)+P(x=6)=15+110=310. (2)记“不中奖”为事件B,则“中奖”为事件B ,由题意可知,事件B 包括三个互斥事件:中一等奖(x=7),中二等奖(事件A),中三等奖(x=4).事件x=7的取法有1种,即(3,4),故P(x=7)=110;事件x=4的取法有(0,4),(1,3),共2种,故P(x=4)=210=15. 由(1)可知,P(A)=310.所以P(B )=P(x=7)+P(x=4)+P(A)=110+15+310=35. 所以不中奖的概率P(B)=1-35=25.能力提升练1.D ∵随机事件A 和B 互斥,∴P(A)=P(A ∪B)-P(B)=0.5-0.3=0.2,∴P(A )=1-P(A)=0.8.2.C 因为P(C)=0.6,事件B 与C 对立, 所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A 与B 互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.故选C. 3.D “甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件,“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”,故P(甲不输)=P(甲获胜)+P(甲、乙下成和棋),所以P(甲、乙下成和棋)=P(甲不输)-P(甲获胜)=90%-40%=50%.4.D 设A 1,A 2,A 3分别表示3件一级品,B 1,B 2分别表示2件二级品.任取2件,则样本空间Ω={A 1A 2,A 1A 3,A 2A 3,A 1B 1,A 1B 2,A 2B 1,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2,B 1B 2},共10个样本点,每个样本点出现的可能性相等.记事件A 表示“2件都是一级品”,包含3个样本点,则P(A)=310. 记事件B 表示“2件都是二级品”,包含1个样本点,则P(B)=110.记事件C 表示“2件中1件一级品、1件二级品”,包含6个样本点,则P(C)=610=35. 事件A,B,C 两两互斥,所以P(B)+P(C)=P(B ∪C)=710,而B ∪C 表示“至少有1件二级品”.故选D.5.B 解法一:设“第i 次能接通电话”为事件A i (i=1,2,3), 借助树状图求出相应事件的样本点数:因此,P(A 1)=110,P(A 2)=9×110×9=110,P(A 3)=9×8×110×9×8=110,所以拨号不超过三次能接通电话的概率为110+110+110=310.故选B. 解法二:设“前三次都未接通”为事件A, 则P(A)=9×8×710×9×8=710, 所以拨号不超过三次能接通电话的概率为1-P(A)=1-710=310.故选B.6.B 设事件A=“摸出红球或白球”,事件B=“摸出黑球”,则事件A 与事件B 是对立事件,又∵P(A)=0.58,∴P(B)=1-P(A)=0.42.设事件C=“摸出红球或黑球”,事件D=“摸出白球”,则事件C 与事件D 为对立事件,又∵P(C)=0.62, ∴P(D)=0.38.设事件E=“摸出红球”,则P(E)=1-P(B ∪D)=1-P(B)-P(D)=1-0.42-0.38=0.2.7.AD 任找一个人,其血型为A 、B 、AB 、O 型血的事件分别记为A'、B'、C'、D',它们两两互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B,O 型血可以输给B 型血的人,所以“可以输给B 型血的人”为事件B'∪D',根据概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64,故A 正确;B 型血的人能为B 型、AB 型的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B 错误;由O 型血只能接受O 型血的人输血知,C 错误;由任何人的血都可以输给AB 型血的人知,D 正确.故选AD. 8.答案 0.55;0.10解析 设射手命中圆面Ⅰ为事件A,命中圆环Ⅱ为事件B,命中圆环Ⅲ为事件C,不中靶为事件D,则P(A)=0.35,P(B)=0.30,P(C)=0.25,且A,B,C 两两互斥,故射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为P(B ∪C)=P(B)+P(C)=0.30+0.25=0.55,射手中靶的概率为P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.因为中靶和不中靶是对立事件,所以不命中靶的概率P(D)=1-P(A ∪B ∪C)=1-0.90=0.10.9.答案 14;16;14解析 设事件A,B,C,D 分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”,则事件A,B,C,D 两两互斥,根据题意,得{ P(A)=13,P(B)+P(C)=512,P(C)+P(D)=512,P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14.10.解析 用(x,y,z)表示从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,则对应的样本空间Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2)},共12个样本点.(1)记事件M=“C 1被选中”,则M={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 2,C 1),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 2,C 1),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 2,C 1)},共6个样本点.因而C 1被选中的概率P(M)=612=12.(2)记事件N=“A 1,B 1不全被选中”,则其对立事件N =“A 1,B 1全被选中”.N ={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2)},共2个样本点,所以P(N )=212=16.由对立事件的概率公式得P(N)=1-P(N )=1-16=56.11.解析 (1)易知样本点总数n=25,且每个样本点出现的可能性相等.事件A 包含的样本点共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),所以P(A)=525=15.(2)B 与C 不是互斥事件.理由:因为事件B 与C 可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次.(3)这种游戏规则不公平.理由如下:和为偶数的样本点有:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13个,所以甲赢的概率为1325,乙赢的概率为1-1325=1225,所以这种游戏规则不公平.。
10.1.4 概率的基本性质
10.1.4概率的基本性质基础过关练题组一概率的基本性质及应用1.(2020河南郑州一中高一期末)下列结论正确的是()A.事件A发生的概率P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要发生的事件D.如果A⊆B,那么P(A)<P(B)2.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是()A.(54,2) B.(54,32) C.[54,32] D.(54,43]3.(2020辽宁省实验中学高一期末)下列说法正确的是()A.当A,B不互斥时,可由公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)计算A∪B 的概率B.A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小C.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大4.(多选)在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法错误的是()A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件B.(A1∪A2)∪A3是必然事件C.P(A2∪A3)=0.8D.P(A1∪A2)≤0.55.给出下列命题:①若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);②若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;③若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1.其中错误命题的个数是.题组二利用概率的基本性质求概率6.如果事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率是()A.0.4B.0.6C.0.8D.0.27.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为()A.15B.25C.35D.458.掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点,2点,3点,4点,5点,6点的概率均为16,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)=()A.15B.35C.23D.499.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为16.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+B(B表示事件B的对立事件)发生的概率为()A.13B.12C.23D.5610.(2020四川成都外国语学校高一月考)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.11.射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:命中环数10987概率0.320.280.180.12求该选手射击一次,下列事件的概率.(1)命中9环或10环;(2)至少命中8环;(3)命中的环数小于8.(1)求中二等奖的概率;(2)求不中奖的概率.能力提升练题组利用概率的基本性质求概率1.(2020湖北武汉华中师大一附中五校期末联考,)已知随机事件A 和B互斥,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.3,则P(A)=()A.0.5B.0.2C.0.7D.0.82.(2020吉林省实验中学高二期末,)已知随机事件A,B,C中,A与B 互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.93.()甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙两人下成和棋的概率是()A.60%B.30%C.10%D.50%4.(2020四川成都七中高一期末,)在5件产品中,有3件一级品和2的是()件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为710A.都是一级品B.都是二级品C.一级品和二级品各1件D.至少有1件二级品5.(2019吉林长春外国语学校高二上期末,)某人忘记了电话号码的最后一个数字,随意拨号,则拨号不超过三次能接通电话的概率为()A.910B.310C.18D.1106.()一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,则摸出红球的概率为()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.47.(多选)()黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:血型A B AB O该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是()A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为18.()如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为,不命中靶的概率是.9.()袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个,它们除颜色外完全相同,从中任取一球,得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 , , .10.()现有7名数理化成绩优秀者,其中A 1,A 2,A 3的数学成绩优秀,B 1,B 2的物理成绩优秀,C 1,C 2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛.(1)求C 1被选中的概率;(2)求A 1和B 1不全被选中的概率.11.()甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若事件A 表示“和为6”,求P(A);(2)现连玩三次,若事件B 表示“甲至少赢一次”,事件C 表示“乙至少赢两次”,试问B 与C 是不是互斥事件?为什么?(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.答案全解全析基础过关练1.B 因为事件A 发生的概率0≤P(A)≤1,所以A 错误;不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,所以B 正确;小概率事件是指这个事件发生的可能性很小,但并不是不发生,大概率事件是指这个事件发生的可能性较大,但并不是一定发生,所以C 错误;由概率的性质5可知,如果A ⊆B,那么P(A)≤P(B),所以D 错误.2.D 由题意得,{0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A)+P(B)≤1,即{0<2-a <1,0<4a -5<1,3a -3≤1,解得{1<a <2,54<a <32,a ≤43,即54<a ≤43,所以实数a 的取值范围是(54,43].3.A 根据概率的性质6,可知选项A 正确.对于两个不可能事件来说,同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等,均为零,故B 错误.当A,B 是对立事件时,P(A)+P(B)=1,但由P(A)+P(B)=1不能得到事件A 与B 是对立事件,故C 错误.事件A,B 中至少有一个发生包括事件A 发生且事件B 不发生,事件A 不发生且事件B 发生,事件A,B 同时发生;A,B 中恰有一个发生包括事件A 发生且事件B 不发生,事件A 不发生且事件B 发生.当事件A,B 互斥时,事件A,B 同时发生的概率为0,所以事件A,B 中至少有一个发生的概率等于事件A,B 中恰有一个发生的概率,故D 错误.4.ABC 事件A 1,A 2,A 3不一定两两互斥,所以P(A 1∪A 2)=P(A 1)+ P(A 2)- P(A 1A 2)≤0.5,P(A 2∪A 3)= P(A 2)+P(A 3)- P(A 2A 3)≤0.8,P[(A 1∪A 2)∪A 3]≤1,所以(A 1∪A 2)+A 3不一定是必然事件,无法判断A 1∪A 2与A 3是不是互斥或对立事件,所以A 、B 、C 中说法错误.故选ABC.5.答案 2解析 只有当事件A,B 为两个互斥事件时,才有P(A ∪B)=P(A)+P(B),故①不正确;只有事件A,B,C 两两互斥,且A ∪B ∪C=Ω时,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,故②不正确;当A,B 为互斥事件时,P(A)+P(B)=P(A ∪B) ≤1,故③正确.6.B 因为事件A 与B 是互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.又因为P(A)=3P(B),所以P(A)=0.6.7.C 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A,B,C,D,E,则A,B,C,D,E 两两互斥,取到理科书的概率为事件B,D,E 概率的和.∴P(B ∪D ∪E)=P(B)+P(D)+P(E)=15+15+15=35.8.C 记事件A i =“出现i 点(i=1,2,3,4,5,6)”,则A= A 1∪A 3∪A 5,B=A 1∪A 2∪A 3,A ∩B= A 1∪A 3,所以P(A)=36=12, P(B)=36=12, P(A ∩B)=26=13,所以P(A ∪B)=P(A)+ P(B)- P(AB)=23.9.C 由题意,知B 表示“大于或等于5的点数出现”,事件A 与事件B 互斥,由概率的加法计算公式可得P(A+)=P(A)+P()=26+26=23.10.答案 1928 解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37+14=1928.11.解析 记“射击一次,命中k 环”为事件A k (k=1,2,3,…,10).(1)因为A 9与A 10互斥,所以P(A 9∪A 10)=P(A 9)+P(A 10)=0.28+0.32=0.60.(2)记“至少命中8环”为事件B,则B=A 8∪A 9∪A 10,又A 8,A 9,A 10两两互斥,所以P(B)=P(A 8)+P(A 9)+P(A 10)=0.18+0.28+0.32=0.78.(3)记“命中的环数小于8”为事件C,则事件C 与事件B 是对立事件,所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.(1)记“中二等奖”为事件A.由题意可知,事件A 包括两个互斥事件:x=5,x=6. 事件x=5的取法有2种,即(1,4),(2,3),故P(x=5)=210=15;事件x=6的取法有1种,即(2,4),故P(x=6)=110,所以P(A)=P(x=5)+P(x=6)=15+110=310.(2)记“不中奖”为事件B,则“中奖”为事件由题意可知,事件事件:中一等奖(x=7),中二等奖(事件A),中三等奖(x=4).事件x=7的取法有1种,即(3,4),故P(x=7)=110;事件x=4的取法有(0,4),(1,3),共2种,故P(x=4)=210=15.由(1)可知,P(A)=310.所以P(B )=P(x=7)+P(x=4)+P(A)=110+15+310=35.所以不中奖的概率P(B)=1-35=25. 能力提升练1.D ∵随机事件A 和B 互斥,∴P(A)=P(A ∪B)-P(B)=0.5-0.3=0.2,∴P(A )=1-P(A)=0.8.2.C 因为P(C)=0.6,事件B 与C 对立,所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A 与B 互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.故选C.3.D “甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件,“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”,故P(甲不输)=P(甲获胜)+P(甲、乙下成和棋),所以P(甲、乙下成和棋)=P(甲不输)-P(甲获胜)=90%-40%=50%.4.D 设A 1,A 2,A 3分别表示3件一级品,B 1,B 2分别表示2件二级品.任取2件,则样本空间Ω={A 1A 2,A 1A 3,A 2A 3,A 1B 1,A 1B 2,A 2B 1,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2,B 1B 2},共10个样本点,每个样本点出现的可能性相等.记事件A 表示“2件都是一级品”,包含3个样本点,则P(A)=310.记事件B 表示“2件都是二级品”,包含1个样本点,则P(B)=110.记事件C 表示“2件中1件一级品、1件二级品”,包含6个样本点,则P(C)=610=35. 事件A,B,C 两两互斥,所以P(B)+P(C)=P(B ∪C)=710,而B ∪C 表示“至少有1件二级品”.故选D.5.B 解法一:设“第i 次能接通电话”为事件A i (i=1,2,3),借助树状图求出相应事件的样本点数:因此,P(A 1)=110,P(A 2)=9×110×9=110,P(A 3)=9×8×110×9×8=110,所以拨号不超过三次能接通电话的概率为110+110+110=310.故选B.解法二:设“前三次都未接通”为事件A,则P(A)=9×8×710×9×8=710,所以拨号不超过三次能接通电话的概率为1-P(A)=1-710=310.故选B.6.B 设事件A=“摸出红球或白球”,事件B=“摸出黑球”,则事件A 与事件B 是对立事件,又∵P(A)=0.58,∴P(B)=1-P(A)=0.42.设事件C=“摸出红球或黑球”,事件D=“摸出白球”,则事件C 与事件D 为对立事件,又∵P(C)=0.62,∴P(D)=0.38.设事件E=“摸出红球”,则P(E)=1-P(B ∪D)=1-P(B)-P(D)=1-0.42-0.38=0.2.7.AD 任找一个人,其血型为A 、B 、AB 、O 型血的事件分别记为A'、B'、C'、D',它们两两互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B,O 型血可以输给B 型血的人,所以“可以输给B 型血的人”为事件B'∪D',根据概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64,故A 正确;B 型血的人能为B 型、AB 型的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B 错误;由O 型血只能接受O 型血的人输血知,C 错误;由任何人的血都可以输给AB 型血的人知,D 正确.故选AD.8.答案 0.55;0.10解析 设射手命中圆面Ⅰ为事件A,命中圆环Ⅱ为事件B,命中圆环Ⅲ为事件C,不中靶为事件D,则P(A)=0.35,P(B)=0.30,P(C)=0.25,且A,B,C 两两互斥,故射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为P(B ∪C)=P(B)+P(C)=0.30+0.25=0.55,射手中靶的概率为P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.因为中靶和不中靶是对立事件,所以不命中靶的概率P(D)=1-P(A ∪B ∪C)=1-0.90=0.10.9.答案 14;16;14解析 设事件A,B,C,D 分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”,则事件A,B,C,D 两两互斥,根据题意,得{ P(A)=13,P(B)+P(C)=512,P(C)+P(D)=512,P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14.11 10.解析 用(x,y,z)表示从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,则对应的样本空间Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2)},共12个样本点.(1)记事件M=“C 1被选中”,则M={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 2,C 1),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 2,C 1),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 2,C 1)},共6个样本点.因而C 1被选中的概率P(M)=612=12.(2)记事件N=“A 1,B 1不全被选中”,则其对立事件N =“A 1,B 1全被选中”.N ={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2)},共2个样本点,所以P(N )=212=16.由对立事件的概率公式得P(N)=1-P(N )=1-16=56.11.解析 (1)易知样本点总数n=25,且每个样本点出现的可能性相等. 事件A 包含的样本点共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),所以P(A)=525=15.(2)B 与C 不是互斥事件.理由:因为事件B 与C 可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次.(3)这种游戏规则不公平.理由如下:和为偶数的样本点有:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13个,所以甲赢的概率为1325,乙赢的概率为1-1325=1225,所以这种游戏规则不公平.。
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10.1.4 概率的基本性质课标要求素养要求通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.通过具体实例，抽象出概率的性质，掌握概率的运算方法，发展数学抽象及数学运算素养.教材知识探究甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.问题甲获胜的概率是多少？提示甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3，则甲胜的概率是p＝0.6－0.3＝0.3.概率的基本性质一般地，概率有如下性质：概率的基本性质是解决与概率问题有关问题的重要依据，望同学们一定要牢记性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).教材拓展补遗[微判断]1.任一事件的概率总在(0，1)内.(×)2.不可能事件的概率不一定为0.(×)3.必然事件的概率一定为1.(√)4.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，恰好是正品的概率为0.96.(√)5.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于23.(√)提示 任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故1、2错. [微训练]1.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是( ) A.16B.13C.12D.1解析 事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是16，所以“向上的数字是5或6”的概率是16＋16＝13. 答案 B2.事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.2，则P (B )＝________.解析 因A 与B 是对立事件，所以P (A )＋P (B )＝1，即P (B )＝1－P (A )＝0.8. 答案 0.83.事件A 与B 是互斥事件，P (A )＝0.2，P (B )＝0.5，求P (A ∪B ). 解 因为A 与B 互斥，故P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.2＋0.5＝0.7. [微思考]1.在同一试验中，设A ，B 是两个随机事件，若A ∩B ＝∅，则称A 与B 是两个对立事件，此说法对吗？提示 不对，若A ∩B ＝∅，仅能说明A 与B 的关系是互斥的，只有A ∪B 为必然事件，A ∩B 为不可能事件时，A 与B 才互为对立事件.2.在同一试验中，对任意两个事件A ，B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )一定成立吗？ 提示 不一定.只有A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )才成立.题型一 互斥事件概率公式的应用应用公式时要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和【例1】(1)抛掷一个骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝16，求出现1点或2点的概率.(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P(A)＝310，P(B)＝12，求这3只球中既有红球又有白球的概率.解(1)设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A、B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝16＋16＝13，所以出现1点或出现2点的概率是13.(2)因为A、B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝310＋12＝45，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是4 5.规律方法(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A、B两事件互斥时才能使用，如果A、B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义.【训练1】在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18).解记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥.(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18)的概率分别为0.82，0.38，0.24.题型二对立事件概率公式的应用若题中含有“至多”“至少”等字眼时，通常考虑用对立事件公式求解概率 【例2】 甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率； (2)甲不输的概率.解 (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率p ＝1－12－13＝16.即甲获胜的概率是16.(2)法一 设事件A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23.法二 设事件A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23.即甲不输的概率是23.规律方法 对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.【训练2】 某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率.解 某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶”为事件A ，则其对立事件B 为“未中靶”，于是P (A )＝1－P (B )＝1－0.05＝0.95. 所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95. 题型三 概率性质的综合应用【例3】 某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：0.19. (1)求x 的值；(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？每个个体被抽到的可能性都是nN(3)已知y ≥245，z ≥245，求九年级中女生比男生少的概率. 解 (1)∵x2 000＝0.19，∴x ＝380.(2)九年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为5002 000×48＝12.(3)设九年级女生比男生少为事件A ，则A －为九年级女生比男生多或九年级男生和女生同样多.九年级女生数、男生数记为(y ，z )，由(2)知y ＋z ＝500，y ，z ∈N .满足题意的所有样本点是(245，255)，(246，254)，(247，253)，…，(255，245)，共11个，事件A －包含的样本点是(250，250)，(251，249)，(252，248)，(253，247)，(254，246)，(255，245)，共6个.∴P (A －)＝611.因此，P (A )＝1－611＝511.规律方法 求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.【训练3】 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解 (1)记“他乘火车”为事件A ，“他乘轮船”为事件B ，“他乘汽车”为事件C ，“他乘飞机”为事件D .这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P (A ∪D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7. 即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为p ，则 p ＝1－P (B )＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.一、素养落地1.通过学习概率的基本性质提升数学抽象素养.通过随机事件概率的运算培养数学运算素养.2.互斥事件概率的加法公式是一个基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).3.求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.二、素养训练1.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于()A.0.3B.0.7C.0.1D.1解析∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.答案 A2.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()A.A⊆BB.A＝BC.A＋B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3解析A＋B表示A与B的和事件，即A＋B表示向上的点数是1或2或3，故选C.答案 C3.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.8解析因为A与B互斥，B与C对立，所以P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.答案 C4.小明需要从甲城市编号为1～14的14个工厂或乙城市编号为15～32的18个工厂中选择一个去实习，设“小明在甲城市实习”为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B，则P(A＋B)＝()A.325 B.58 C.916 D.14解析P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1432＋632＝58.答案 B基础达标一、选择题1.若A，B是互斥事件，则()A.P(A∪B)<1B.P(A∪B)＝1C.P(A∪B)>1D.P(A∪B)≤1解析∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1). 答案 D2.某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为()A.0.5B.0.3C.0.6D.0.9解析此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－0.2－0.3＝0.5，故选A.答案 A3.从1，2，3，4中选取两个不同数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的概率为()A.13 B.14 C.16 D.112解析 从1，2，3，4中选取两个不同数字组成所有两位数为：12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共12个样本点，其中能被4整除的有：12，24，32，共3个样本点，所以这个两位数能被4整除的概率为p ＝312＝14. 答案 B4.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.38C.58D.78解析 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，有16种不同的选法，周六、周日都有同学参加公益活动有16－2＝14(种)不同的选法，所以所求的概率为1416＝78. 答案 D5.下列四种说法：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1； ④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件. 其中错误的个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析 对立事件一定是互斥事件，故①对；只有A ，B 为互斥事件时才有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，故②错； 因A ，B ，C 并不一定包括随机试验中的全部样本点， 故P (A )＋P (B )＋P (C )并不一定等于1，故③错； 若A ，B 不互斥，尽管P (A )＋P (B )＝1， 但A ，B 不是对立事件，故④错. 答案 D 二、填空题6.口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________.解析 由题意，得摸出是黄球的概率为0.64－0.45＝0.19， ∴摸出是红球或蓝球的概率为：1－0.19＝0.81. 答案 0.817.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.解析 由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为37＋14＝1928. 答案 19288.向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中第二、三个军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，三个军火库都爆炸的概率为________.解析 设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D 表示三个军火库都爆炸，则P (A )＝0.025，P (B )＝0.1，P (C )＝0.1.其中A 、B 、C 互斥，故P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 答案 0.225 三、解答题9.一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数小于8环的概率.解 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A ，B ，C ，D ，E ，可知它们彼此之间互斥，且P (A )＝0.24，P (B )＝0.28，P (C )＝0.19，P (D )＝0.16，P (E )＝0.13.(1)P (射中10环或9环)＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事件“至少射中7环”与事件E “射中7环以下”是对立事件，则P (至少射中7环)＝1－P (E )＝1－0.13＝0.87. 所以至少射中7环的概率为0.87.(3)事件“射中环数小于8环”包含事件D “射中7环”与事件E “射中7环以下”两个事件，则P (射中环数小于8环)＝P (D ∪E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.13＝0.29.10.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＝13，P （B ＋C ）＝512，P （C ＋D ）＝512，P （A ＋B ＋C ＋D ）＝1， 则⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＋P （C ）＝512，P （C ）＋P （D ）＝512，13＋P （B ）＋P （C ）＋P （D ）＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＝14，P （C ）＝16，P （D ）＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.能力提升11.设事件A 的对立事件为B ，已知事件B 的概率是事件A 的概率的2倍，则事件A 的概率是________.解析 由题意得⎩⎨⎧P （A ）＋P （B ）＝1，P （B ）＝2P （A ），解得P (A )＝13，P (B )＝23. 答案 1312.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：(1)求有4人或5(2)求至少有3人外出家访的概率.解 (1)设派出2人及以下为事件A ，3人为事件B ，4人为事件C ，5人为事件D ，6人及以上为事件E ，则有4人或5人外出家访的事件为事件C 或事件D ，C ，D 为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，p ＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9.创新猜想13.(多填题)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件B －的概率为P (B －)＝________，事件A ＋B － (B －表示事件B 的对立事件)发生的概率为________.解析 由题意知，B －表示“大于或等于5的点数出现”，则P (B －)＝26＝13，事件A 与事件B －互斥，由概率的加法计算公式可得P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝26＋26＝46＝23. 答案 13 2314.(多填题)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________，任取出2粒恰好不同色的概率是________.解析易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为17＋1235＝1735.不同色的概率为1－1738＝1835.答案17351835。