求数列的前n项和列(教案+例题+习题)

四.数列求和的常用方法

1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2

n n n +++

+=+，222112(1)(21)6

n n n n ++

+=++，

33332

(1)123[]2

n n n ++++

+=.

例1 、已知3

log 1log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x

由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）

＝x x x n --1)1(＝

2

11)211(21--n ＝1－n 21 练一练：等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2

232221n a a a a ++++ ＝_____ ；

2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一

起，再运用公式法求和.

例2、 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+⋅⋅⋅+++-n a

a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++

=-n a

a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n

n + （分组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n

n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 练一练：求和：1357(1)(21)n

n S n =-+-+-+--

3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推

导方法）.

例3、求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值

解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①

将①式右边反序得

1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）

又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

2

=+-=x x x x

①+②得 （反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

练一练：已知22

()1x f x x =+，则111

(1)(2)(3)(4)()()()234

f f f f f f f ++++++＝______；

4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 例4、 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之

积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----⋅

+=-- ∴ 2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

例5、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n

前n 项的和.

解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21

}的通项之积

设n n n

S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①

14322

226242221++⋅⋅⋅+++=n n n

S ………………………………② （设制错位）

①－②得14322

22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=

-n n n n

S （错位相减）

1

12

221

2+--

-

=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

练一练：设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+

++，已知11T =，24T =，①

求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.；

5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①

111(1)1n n n n =-++；②1111()()n n k k n n k

=-++； ③2211111

()1211

k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -

=<<=-++--； ④1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!

n n n n =-++；

⑥=<<=. 例6、 求数列

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1

1,

,3

21,

211n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

11

1

（裂

项）

则 1

13

212

11+++

⋅⋅⋅+++

+=

n n S n （裂项求

和）

＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n

例7、 在数列{a n }中，1

1211++⋅⋅⋅++++=

n n

n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前

n 项的和.

解： ∵ 2

11211n

n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=