第二章 第一节 函数及其表示
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示)
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln1－x x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1) B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x ＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2. 答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。
2015届高考数学总复习第二章 第一节函数及其表示精讲课件 文
点评：判断一条曲线是否是函数的图象，要看通过曲线
得到的x与y的取值范围是否与题设一致以及对应关系是否满 足函数的定义．
变式探究 2 ． (2012· 南昌模拟 ) 下图①②③④四个图象各表示两个 变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有 ________．
解析：由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函 数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－ 1≤a≤1 时， 直线x＝a与函数的图象仅有一个交点，当a>1或a<－1时，直
(2)已知f(x)为二次函数，且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则 f(x)的解析式为____________________________． 解析：(1)用换元法(略)． (2)用待定系数法．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c， 则f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
第二章
第一节 函数及其表示
对函数概念的准确理解 【例1】 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝
与y＝x＋1
1 2
B．y＝lg x与y＝ lg x2 C．y＝ －1与y＝x－1
D．y＝x与y＝logaax(a>0且a≠1)
思路点拨： 从函数的三要素的角度来判断是否
为同一个函数，只有定义域和对应法则都相同的函数
解析：(1)(法一)设u＝
＋1，则
＝u－1(u≥1)．
∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)． 即f(x)＝x2－1(x≥1)． (法二)∵x＋2 由于x≥0，所以 ∴f( ＋1)＝( ＝( ＋1)2－1， ＋1≥1. ＋1)2－1，即f(x)＝x2－1(x≥1)．
第二章 第一节 函数及其表示
A. 0,
5 2
C. -
1 2
,2
B.[-1,4] D.[-5,5]
(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[- 3, 3],则函数y=f(x)的定义域为
.
答案 (1)C (2)[-1,2]
解析 (1)∵函数y=f(x)的定义域为[-2,3],
∴-2≤2x-1≤3,即- 1 ≤x≤2,
2
即函数y=f(2x-1)的定义域为
x2
D.f(x)=x,g(x)=
x
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4.函数f(x)= 2x -1+ 1 的定义域为 ( C )
x-2
A.[0,2)
B.(2,+∞)
C.[0,2)∪(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
教材研读 栏目索引
5.已知f
1 2
x-1=2x-5,且f(a)=6,则a等于
(
A
)
A. 7 B.- 7
|
1 2
a
N*
,B=
b
|
b
1 n
,n
N*
,对应关系f:a→b,b=
1
;
a
③A={x|x≥0},B=R,对应关系f:x→y,y2=x,x∈A,y∈B;
④A={x|x是平面α内的矩形},B={y|y是平面α内的圆},对应关系f:每一个矩形都
对应它的外接圆.
其中是从A到B的映射的为 ( B )
A.①③ C.①④
考点二 函数的定义域
命题方向一 具体函数的定义域 考法一 已知函数解析式,求函数定义域 典例2 (1)函数f(x)= x 1+lg(6-3x)的定义域为 ( C ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.[-1,2) D.[-1,2] (2)(多选)若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m的值可能为
【创新设计】(江苏专用)高考数学一轮复习 第二章 第1讲 函数及其表示配套课件 理 新人教A版
【训练3】 求下列函数的值域： (1)y＝x2x－2－x＋x 1；(2)y＝2x－1－ 13－4x. 解 (1)法一 (配方法)
∵y＝1－x2－1x＋1，又 x2－x＋1＝x－122＋34≥34，
∴0<x2－1x＋1≤43，∴－13≤y＜1.
∴函数的值域为－13，1.
法二 (判别式法) 由 y＝x2x－2－x＋x 1，x∈R. 得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0. ∵y＝1 时，x∈∅，∴y≠1.
考向一 函数与映射的概念
【例1】 (1)(2012·临沂调研)已知a，b为两个不相等的实 数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}， f：x―→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x， 则a＋b等于________． (2)已知映射f：A―→B.其中A＝B＝R，对应关系f： x―→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在 元素与之对应，则k的取值范围是________．
又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1. 综上得－13≤y＜1.∴函数的值域为－13，1.
(2)法一 (换元法) 设 13－4x＝t，则 t≥0，x＝13－4 t2， 于是 f(x)＝g(t)＝2·13－4 t2－1－t ＝－12t2－t＋121＝－12(t＋1)2＋6， 显然函数 g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，
[方法总结] (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是 同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关， 可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换 元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有 关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求 解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．
第1讲 函数及其表示
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24
(3)(解方程组法)因为 2f(x)＋f(－x)＝2x，① 将 x 换成－x 得 2f(－x)＋f(x)＝－2x，② 由①②消去 f(－x)，得 3f(x)＝6x， 所以 f(x)＝2x. 【答案】 (1)f(x)＝lgx－2 1(x＞1) (2)f(x)＝x2－x＋3 (3)f(x)＝2x
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第二章 函数概念与基本初等函数
7
二、教材衍化 1．下列四个图形中，不是以 x 为自变量的函数的图象是( )
答案：C
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第二章 函数概念与基本初等函数
8
2．下列哪个函数与 y＝x 相等 A．y＝xx2
C．y＝ x2 答案：D
() B．y＝2log2x D．y＝(3 x)3
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第二章 函数概念与基本初等函数
13
函数的定义域(多维探究) 角度一 求函数的定义域
(2020·陕西汉中一模)函数 f(x)＝ 4－1 x2＋ln(2x＋1)的定义域为
A.－12，2 C.－12，2
B.－12，2 D.－12，2
【解析】 由题意可得 mx2＋mx＋1≥0 对 x∈R 恒成立． 当 m＝0 时，1≥0 恒成立；
当 m≠0 时，则mΔ>＝0，m2－4m≤0，
解得 0<m≤4. 综上可得 0≤m≤4. 【答案】 [0，4]
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第二章 函数概念与基本初等函数
18
已知函数定义域求参数取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式 恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．
第二章 第一节 函数及其表示
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).[基本知识]1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数是特殊的映射．()(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．()(3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．()答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、填空题1．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为______________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)2．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N|1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为____________． 解析：∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7.∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}． 答案：{－1,1,3,5,7}3．下列f (x )与g (x )表示同一函数的是________． (1)f (x )＝x 2－1与g (x )＝x －1·x ＋1； (2)f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋xx 2＋1；(3)y ＝x 与y ＝(x )2； (4)f (x )＝x 2与g (x )＝3x 3. 答案：(2)[全析考法]考法一 求函数的定义域常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)． (7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] (1)(2019·合肥八中期中)函数f (x )＝ln (x ＋3)1－2x的定义域是( ) A ．(－3,0) B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0)(2)(2019·东北师大附中摸底)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫x －12的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，1 B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.⎣⎡⎦⎤1，32 [解析] (1)∵f (x )＝ln (x ＋3)1－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，解得－3<x <0，即函数的定义域为(－3,0)．故选A.(2)由题意得⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，∴⎩⎨⎧－12≤x ≤32，12≤x ≤52，∴12≤x ≤32.故选C. [答案] (1)A (2)C [方法技巧]1．根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．2．求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． 3．求函数定义域应注意的问题(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．考法二 已知函数的定义域求参数[例2] (2019·安阳模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上可得0≤m ≤4. [答案] D [方法技巧]已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集 问题．(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D 要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋9x ＋10≥0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x ≤10且x ≠2，所以函数f (x )＝－x 2＋9x ＋10－2ln (x －1)的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选D.2.[考法一]若函数f (x ＋1)的定义域是[－1,1]，则函数f (log 12x )的定义域为________． 解析：∵f (x ＋1)的定义域是[－1,1]，∴f (x )的定义域是[0,2]． 令0≤log 12x ≤2，解得14≤x ≤1，∴函数f (log 12x )的定义域为⎣⎡⎦⎤14，1. 答案：⎣⎡⎦⎤14，1 3.[考法二]已知函数y ＝1kx 2＋2kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________．解析：当k ＝0时，y ＝13，满足条件；当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧k >0，4k 2－12k <0，得0<k <3.综上，0≤k <3.答案：[0,3)突破点二 函数的表示法[基本知识]1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项 方法 注意事项解析法 一般情况下，必须注明函数的定义域 列表法 选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征图象法注意定义域对图象的影响：与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x －1，则f (x )＝1x－1.( ) (2)若f (x )＝2x ＋1，x ∈[1,3]，则f (x －1)＝2x －1，x ∈[2,4]．( ) 答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ， 依题设得3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.答案：2x －232．已知x ≠0，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， 所以f (x )＝x 2＋2. 答案：x 2＋23．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (x )＝32x ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：73[典例感悟]1．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x ＋3，则f (x )的解析式为________________．解析：由题意设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，ab ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 故所求解析式为f (x )＝－2x －3或f (x )＝2x ＋1. 答案：f (x )＝－2x －3或f (x )＝2x ＋12．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为________________． 解析：法一：设t ＝x ＋1(t ≥1)，则x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 答案：f (x )＝x 2－1(x ≥1)3．已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，则f (x )的解析式为________________．解析：令x ＝0，得f (－y )＝f (0)－y (－y ＋1)＝1＋y 2－y ， ∴f (y )＝y 2＋y ＋1， 即f (x )＝x 2＋x ＋1. 答案：f (x )＝x 2＋x ＋1[方法技巧]求函数解析式的3种方法1．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |，2f (x )＝2x －2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项C ，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2，故f (2x )≠2f (x )；选项D ，f (2x )＝－2x ，2f (x )＝－2x ，故f (2x )＝2f (x )．故选C.2．(2019·南阳第一中学模拟)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，则f (x 2)的解析式为________________________．解析：因为f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，令1－cos x ＝t ，t ∈[0,2]，则cos x ＝1－t ，所以f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．则f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2，2]．答案：f (x 2)＝－x 4＋2x 2，x ∈[－2，2]3．已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋x ，则f (x )的解析式为________________． 解析：由f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )＋1x， 联立得⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋x ， ①f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )＋1x， ②①＋②×2得f (x )＝x ＋4f (x )＋2x ，则f (x )＝－23x －13x .答案：f (x )＝－23x －13x突破点三 分段函数[基本知识]1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)分段函数是两个或多个函数．( )(2)若f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝1.( )答案：(1)× (2)×1．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋2)，x ≤0，则f (－5)＝________.解析：f (－5)＝f (－5＋2)＝f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝2×1＝2. 答案：22．(2019·西安质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是________． 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. 答案：1093．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，45x ，x >2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析：当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)；当x 0>2时，f (x 0)＝45x 0＝8，∴x 0＝10.综上可知，x 0＝－6或x 0＝10. 答案：－6或10[全析考法]考法一 分段函数求值问题[例1] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3， ②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B.[方法技巧]分段函数求值的解题思路求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．考法二 分段函数与方程、不等式问题[例2] (1)(2019·长春模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )≤a ，则实数a 的取值范围是________．[解析] (1)当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无实数解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件，故选A.(2)当a ≥0时，由f (a )＝12a －1≤a ，解得a ≥－2，即a ≥0；当a <0时，由f (a )＝1a ≤a ，解得－1≤a ≤1，即－1≤a <0.综上所述，实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[答案] (1)A (2)[－1，＋∞) [方法技巧]解分段函数与方程或不等式问题的策略求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围．[集训冲关]1.[考法一]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x >0，则f (f (3))＝( )A.43 B.23 C ．－43D ．－3解析：选A 因为f (3)＝1－log 23＝log 223<0，所以f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫log 223＝222log +13＝224log 3＝43，故选A.2.[考法二]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≥2，log 2x ，x <2，若f (m )＝7，则实数m 的值为( )A ．0B ．1C ．－3D ．3解析：选D ①当m ≥2时，由f (m )＝7得m 2－2＝7，解得m ＝3或m ＝－3(舍去)，则m ＝3；②当m <2时，由f (m )＝7得log 2m ＝7，解得m ＝27>2，舍去．综上可得，实数m 的值是3.故选D.3.[考法二]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D 当a ≥0时，不等式可化为a (a 2＋a －3a )>0， 即a 2＋a －3a >0，即a 2－2a >0，解得a >2或a <0(舍去)； 当a <0时，不等式可化为a (－3a －a 2＋a )>0， 即－3a －a 2＋a <0，即a 2＋2a >0， 解得a <－2或a >0(舍去)．综上，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·重庆五校联考)下列函数中，与y ＝x 相同的函数是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝lg 10x C ．y ＝x 2xD ．y ＝(x －1)2＋1解析：选B 选项A ，y ＝x 2＝|x |与y ＝x 的对应法则和值域不同，不是相同函数；选项B ，y ＝lg 10x＝x ，是相同函数；选项C ，y ＝x 2x ＝x (x ≠0)与y ＝x 的定义域不同；选项D ，函数的定义域不相同，不是相同函数．故选B.2．(2019·山西名校联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x >1，则f (f (2))＝( )A ．1B ．4C ．0D ．5－e 2解析：选A 由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1，所以f (f (2))＝1.3．(2019·马鞍山质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 020)＝( )A ．44B ．45C ．1 009D ．2 018解析：选A 由442＝1 936,452＝2 025可得1，2，3，…， 2 020中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 020)＝44.4．(2019·邯郸调研)函数y ＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C.⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，1 D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选C 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12，所以函数y＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <－12或－12<x <1.5．(2019·衡阳县联考)若函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，则a ＋b ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2a ≥0，b －x >0，解不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2a ，x <b .∵函数f (x )＝x －2a ＋ln(b －x )的定义域为[2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，∴a ＋b ＝1＋4＝5.故选B.6．(2019·乌鲁木齐一诊)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，－log 3(x －1)，x ≥2，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎭⎫－∞，43 C.⎝⎛⎭⎫1，43 D ．[2，＋∞)解析：选A 当x <2时，不等式f (x )>1即e x －1>1，∴x －1>0，∴x >1，则1<x <2；当x ≥2时，不等式f (x )>1即－log 3(x －1)>1，∴0<x －1<13，∴1<x <43，此时不等式无解．综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·玉溪模拟)与函数y ＝10lg(x －1)的图象相同的函数是( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝|x －1|C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －12D ．y ＝x 2－1x ＋1解析：选C 函数y ＝10lg(x－1)的定义域为{x |x >1}．y ＝x －1与y ＝|x －1|的定义域都为R ，故排除A ，B ；y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，故排除D ；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －12的定义域为{x |x >1}，解析式可化简为y ＝x －1，因此正确，故选C.2．(2019·全国名校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a x ，x ≤1，log a (2x ＋4)，x >1，且f (1)＝6，则f (2)＝( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：选C 由题意，得f (1)＝3a ＝6，解得a ＝2，所以f (2)＝log 2(2×2＋4)＝log 28＝3，故选C.3．(2019·山西名校联考)若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝9x ＋8 B ．f (x )＝3x ＋2 C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4解析：选B 令t ＝3x ＋2，则x ＝t －23，所以f (t )＝9×t －23＋8＝3t ＋2.所以f (x )＝3x ＋2，故选B.4．(2019·郑州外国语学校月考)若函数f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A ．1 B ．3 C ．15D ．30解析：选C 由于f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，则当1－2x ＝12时，x ＝14，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1－116116＝15.故选C.5．(2019·福州检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0，若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3 D ．－1516或3 解析：选A 若a >0，则f (a )＝log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2，则f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516；若a ≤0，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不合题意．综上f (a －2)＝－1516.故选A. 6．(2019·邵阳检测)设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为( ) A ．[1,2] B ．(2,4] C ．[1,2)D ．[2,4)解析：选B ∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f ⎝⎛⎭⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D 作出函数f (x )的图象如图所示， 由图象可知，若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增， 需满足a ≥4或a ＋1≤2， 即a ≤1或a ≥4，故选D.8．(2019·山东省实验中学段考)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域是________． 解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f (x ＋1)的定义域为(－1，＋∞)，要使函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4有意义，则－x 2－3x ＋4>0，∴－4<x <1，∴函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为(－1,1)．答案：(－1,1)9.若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤－1，2x ＋2，－1<x <1，1x －1，x ≥1，已知f (a )>1，求a 的取值范围． 解：法一：(数形结合)画出f (x )的图象，如图所示，作出直线y ＝1，由图可见，符合f (a )>1的a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，1. 法二：(分类讨论)①当a ≤－1时，由(a ＋1)2>1，得a ＋1>1或a ＋1<－1，得a >0或a <－2， 又a ≤－1，∴a <－2；②当－1<a <1时，由2a ＋2>1，得a >－12，又∵－1<a <1，∴－12<a <1；③当a ≥1时，由1a －1>1，得0<a <12，又∵a ≥1，∴此时a 不存在．综上可知，a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，1.。
第二章2.1 函数及其表示ppt课件
(5)y＝tan x 的定义域为
__x_|x_∈__R__且__x_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z_____.
(6)函数 f(x)＝xa的定义域为{x|x∈
R 且 x≠0}．
3.函数的定义域
(1)解决函数问题，函数的定义域 必须优先考虑； (2)求复合函数 y＝f(t)，t＝q(x) 的定义域的方法： ①若 y＝f(t)的定义域为(a，b)， 则解不等式得 a<q(x)<b 即可求 出 y＝f(q(x))的定义域； ②若 y＝f(g(x))的定义域为(a， b)，则求出 g(x)的值域即为 f(t) 的定义域．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
根底知识·自主学习
根底自测
题号
答案
解析
1
-1
2
①②
3 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
4
D
5
B
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度分析
题型一
函数的概念
【例 1】 有以下判断： (1)f(x)＝|xx|与 g(x)＝1－1
x≥0 x<0
表示同一函数； (2)函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1
＝1－1
x≥0 x<0 的定义域是 R，
所以二者不是同一函数；
的交点最多有 1 个；
对于(2)，若 x＝1 不是 y＝f(x)定义
(3)f(x)＝x2－2x＋1 与 g(t)＝t2－2t＋ 域的值，则直线 x＝1 与 y＝f(x)
1 是同一函数；
【例 2】 (1)已知 f2x＋1＝lg x， 思想启迪
高中数学课件-2 1 函数及其表示
第二章
2.1
函数及其表示
知识梳理 知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-6-
3.映射的概念 两个非空集合A和B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元 素x,B中总有唯一的一个元素y与它对应,就称这种对应为从A到B的 映射,记作f:A→B.A中的元素x称为原像,B中的对应元素y称为x的像, 记作f:x→y. 4.映射与函数的关系 函数是从非空数集到非空数集的映射,该映射中的原像的集合称 为定义域,像的集合称为值域.
(2)函数 f(x)= A.(2,3) C.(2,3)∪(3,4]
������2 -5������+6 4-|������| +lg ������-3
的定义域为(
)
B.(2,4] D.(-1,3)∪(3,6]
关闭
要使函数有意义,须 即 -4 ≤ ������ ≤ 4,
4-|������| ≥ 0,
������ 2 -5������ +6 ������ -3
函数及其表示
知识梳理 双击自测 核心考点 核心考点 学科素养
考纲要求
-14-
考点4
知识方法
易错易混
思考:怎样判断两个函数相等? 解题心得:两个函数是否相等,取决于它们的定义域和对应关系 是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才相 等.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示, 如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均相等.
第二章
2.1
函数及其表示
知识梳理 知识梳理 双击自测 核心考点 学科素养
考纲要求
-4-
1.函数的基本概念 (1)函数的定义:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f, 对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与 之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记作f:A→B 或y=f(x),x∈A,此时x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域,集合 {f(x)|x∈A}叫作函数的值域. (2)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一 致,我们就称这两个函数相等. (4)表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图像法. (5)分段函数:若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区 间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数 的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
考纲下载
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示课件
B．(－1，1]
C．(－，－1)
D．(－4，0)∪(0，1]
答案 A
解析 要使函数 f(x)有意义，应有
－x2－3x＋4≥0，
x＋1>0，
解得－1<x<0 或 0<x≤1，故选 A.
x＋1≠1，
3 ． (2021·陕 西 省 高 三 教 学 质 量 检 测 ( 四 )) 已 知 函 数 f(x) ＝
□06 唯一确定
A→B
一个元素 x，在集合 B 中都有 合 B 中都有□04 唯一确定的
的元素 y 与之对应
数 f(x)与之对应
名称 记法
称对应 f：A→B 为从集 称 f：A→B 为从集合 A 到集
合 A 到集合 B 的一个 合 B 的一个函数
映射
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
2．函数的定义域、值域
x－1 B．y＝ x－1与 y＝ x－1 C．y＝4lg x 与 y＝2lg x2 D．y＝(3 x)3 与 y＝x 答案 D
解析 A 中，y＝x－1 与 y＝ （x－1）2＝|x－1|的解析式不同，两函数
不相等；B 中，y＝
x－1的定义域为[1，＋∞)，y＝
x－1 x－1的定义域为(1，
＋∞)，定义域不同，两函数不相等；C 中，y＝4lg x 与 y＝2lg x2＝4lg |x|的
A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x C．f：x→y＝23x D．f：x→y＝ x 答案 C 解析 依据函数的概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定 的元素与之对应，故选项 C 不符合．
－x2－3x＋4 2．函数 f(x)＝ lg （x＋1） 的定义域为( )
A．(－1，0)∪(0，1]
05 第二章 第一节 函数及其表示
课时质量评价
考向2 分段函数与方程、不等式
【例3】(1)已知函数f (x)＝ቊ2x+x，1，x>x≤0，0.若f (a)＋f (1)＝0，则实数a的值等于(
)
√A．－3
B．－1
C．1
D．3
A 解析：f (1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：当a>0时，f (a)＝2a，由f
(a)＋f (1)＝0，得2a＋2＝0，解得a＝－1，不满足题意，舍去；当a≤0时，f (a)
B．{x|1<x<3}
C．{x|x<－3}
D．{x|x>3，或－3<x<1}
个函数
对应关系
y＝f (x)，x∈A
三要素
定义域 值域
__x_的取值范围 与x的值相对应的y的值的集合___{_f_(_x_)|_x_∈__A_}_____
第一节 函数及其表示
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 函数的表示方法 1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝__3_．
A．[－5，5]
√B．
－
1 2
，2
C．[－2，3]
D．
1 2
，2
B 解析：因为函数y=f (x)的定义域是[－2，3]，所以－2≤2x－1≤3，解得－
12≤x≤2，所以函数y=f
(2x－1)的定义域是
－
1 2
，2
.故选B．
第一节 函数及其表示
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
第一节 函数及其表示
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
2015届高考数学总复习 第二章 第一节函数及其表示课时精练试题 文(含解析)
第二章 函数、导数及其应用第一节 函数及其表示1.函数f (x )＝log 3x的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：由log 3x ≠0得x >0且x ≠1，因此，函数f (x )＝2x －1log 3x的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则f (f (－1))＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：B3．(2012·柳州检测) 已知函数f (x )的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝3的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1答案：B4．(2013·济宁模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a等于( )A.12B.45 C ．2 D ． 9解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴f (f (0))＝22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.故选C.答案：C5. (2013·湖南五市十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ＞3，2x －3＋1，x ≤3，满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32 D.32或1解析：当a ＞3时，log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，所以a ＝7，于是f (a －5)＝f (2)＝2－1＋1＝32.当a ≤3时，2a －3＋1＝3，得a ＝4，不符合条件．故选C.答案：C6．(2013·南京盐城三模)记函数f (x )＝3－x 的定义域为A ，函数g (x )＝lg(x －1)的定义域为B ，则A ∩B ＝________.解析：因为函数f (x )＝3－x 的定义域为A ，所以A ＝{x |x ≤3}；因为函数g (x )＝lg(x －1)的定义域为B ，所以B ＝{x |x ＞1}．所以A ∩B ＝{x |1＜x ≤3}． 答案：(1,3]7则f (f (2))＝．答案：1 1或38．(2013·福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝__________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－tan π4＝f (－1)＝2(－1)3＝－2.答案：－29．下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)，f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．解析：(1)由流程图可知，当x ≥1时，y ＝y 21＝(x ＋2)2；当x ＜1时，y ＝y 2＋2＝x 2＋2.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥1，x 2＋2，x ＜1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11，f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16， 解得x ＝2或x ＝－6(舍去)．若x <1，则x 2＋2＝16，解得x ＝14(舍去)或x ＝－14.综上所述，x ＝2或x ＝－14.10．(2013·珠海模拟)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解析：当x ∈[0,30]，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2.∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2；当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4， ∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈30，40，110x －2，x ∈[40，60].。
第二章第一节《 函数及其表示》演练知能检测
一、选择题1．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．y ＝5x 5与y ＝x 2 B ．y ＝ln e x与y ＝e ln xC ．y ＝(x －1)(x ＋3)x －1y ＝x ＋3D ．y ＝x 0与y ＝1x解析：选D y ＝5x 5＝x ，y ＝x 2＝|x |，故y ＝5x 5与y ＝x 2不表示相等函数；B 、C 选项中的两函数定义域不同；D 选项中的两函数是同一个函数．2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 3－1 B ．f ：x →(x －1)2C ．f ：x →2x －1D ．f ：x →2x解析：选C 对于A ，由于集合A 中x ＝0时，x 3－1＝－1∉B ，即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应，所以选项A 不符合；同理可知B 、D 两选项均不能构成A 到B 的映射，C 符合．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，lg (－x )，x <0，则f (f (－10))＝( )A.12 B.14 C ．1D ．－14解析：选A 依题意可知f (－10)＝lg 10＝1， f (1)＝21－2＝12. 4．(2013·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝ 1＝1， ∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝ a ＝1，∴a ＝1； 当a <0时，f (a )＝－a ＝1，∴a ＝－1.5．(文)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.5．(理)已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3解析：选B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6.6．(2013·泰安模拟)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x x >1.满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①解析：选B ①f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x x ＝－f (x )满足． ②f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－x ＝－f (x )， x ＝1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0＝－f (x )，x >1时，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＝－f (x )满足． 二、填空题7．已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则函数f (3)＝________.解析：∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2.∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：118．若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝________.解析：令b ＝1，∵f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝1， ∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝2 011. 答案：2 0119．(文)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为________．解析：由题意得f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－20＝－1. 答案：－19．(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，如图．由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ， 即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋ 2.得x ∈(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1) 三、解答题10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0， g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1. 11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4或x <－1}．12．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围． 解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74， ∴f 1(x )＝⎣⎡⎦⎤74＝1.∵g (x )＝74－⎣⎡⎦⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝⎛⎭⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716x <12.。
高一数学必修一函数讲义(谷风教育)
第二章、函数第一节、函数、函数1、函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应，这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y = /（x）, 其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域。
所有函数值构成的集合，即｛y|y = /（x）,A-eA）叫做这个函数的值域。
2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验：（1）定义域和对应法则是否给出；（2）根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y。
例2、下列等式中，能表示y是x的函数的是（）A. y = ±y/xB. y2 = x + \C. y = \/-l-x23、如何判断函数的定义域：（1）分式的分母不能为零：（2）开偶次方根的被开方数要不小于零：（3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集:（4）函数d中x不为零。
例3、求下列函数的定义域3-2天3 + (2) /(x) = V2x-1 ：(1)/(') =(3) f(x) = (x 2-4)°；(4) /(x) = 7^-4 + -^―x + 2例4、求下列函数值域(1) f(x) = 2x + l,xe{123,4} (2) f(x) =x 2-2x —l,xe[0,3]4、函数的3要素：定义域、值域和对应法则。
判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同。
注：在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是 使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。
例5、下列各对函数中，是相同函数的是()R./(x) = G',g(x)=x B. /(x) = J?,g(x) = x C. f(x) = y ［^,g(x) = \x\ D. /(X ) = V X ',^(X ) = |A |5、区间：设 a, beR,且 a 〈b,满足aWxWb 的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作［a,b ］： 满足aVx<b 的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作(a,b)：满足aWxVb 或aVxWb 的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作［a,b )或(a, b ］： 分别满足x 》a, x>a, xWa, xVa 的全体实数的集合分别记作［a, + 8),( a, +8),( -8,a ］,( -8,a)。
第二章 第一节 函数及其表示
3.函数的表示方法 表示函数常用的方法有：_______、_______和_______. 列表法 图像法 解析法 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因_________不同而分别 对应关系 用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____，其值
考向 1 求函数的定义域
2 log5 1）的定义 （ 【典例1】(1)(2013·赣州模拟)函数 x f x 1 x 域是( )
(A)(0,1］ (B)［1,2) (C)(0,1) (D)(1,2)
（2）已知函数f(2x)的定义域是［-1,1］，则f(x)的定义域为 _______.
x件某产品所用的时间（单位：分钟）为 A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是( )
(A)75，25
(C)60,25
(B)75,16
(D)60,16
(2)(2013·唐山模拟）已知函数 则f(x)-f(-x)＞-1的解集为( （A）（-∞,-1）∪(1,+∞) （B）
x 1, 1 x＜0, f x x 1,0＜x 1, )
1 或f(-x)的解析式求f(x). f( ) x 通常用解方程组法，用 1 或(-x)替代x，构造方程，与原方程 x 构成方程组，解方程组可求f(x).
（3）已知关于f(x)与
【变式训练】（1）求下列函数的解析式：
①已知 求f(x); 2 f ( 1) lg x, x ②2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x). 【解析】①令
得 2f x f x lg 1 x ， 2 1 由 f x lg x 1 lg 1 x . 3 得-1＜x＜1, 3 x 1＞0， 1 x＞0 2 1 f x lg x 1 lg 1 x 1＜x＜ . 1 3 3
数学一轮复习第二章函数导数及其应用第一讲函数及其表示学案含解析
第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A，B是两个__非空数集__设A，B是两个__非空集合__对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个数x，在集合B中有__唯一__的数f（x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__任意__一个元素x在集合B中有__唯一__的元素y与之对应名称称对应__f：A→B__为从集合A到集合B的一个函数称对应__f:A→B__为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f（x），x∈A对应f:A→B是一个2。
函数（1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．（2）函数的三要素：__定义域、值域、对应法则__。
（3)函数的表示法：__解析法、图象法、列表法__。
(4)两个函数只有当__定义域和对应法则__都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．错误!错误!错误!错误!1．映射：（1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一,在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一,但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．双错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1）f(x)＝错误!＋错误!是一个函数．(×）(2)函数f（x)的图象与直线x＝1的交点只有1个．（×)(3)已知f（x）＝m（x∈R)，则f(m3)等于m3.(×）(4)y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数．（×)（5)f（x)＝错误!则f(－x）＝错误!（√）题组二走进教材2．（必修P23T2改编）下列所给图象是函数图象的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①中当x〉0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象,②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象．3．（必修1P24T4改编)已知f（x5)＝lg x，则f(2)等于(D) A．lg 2 B．lg 32C．lg 错误!D．错误!lg 2［解析]解法一：由题意知x〉0，令t＝x5，则t〉0，x＝t错误!，∴f（t）＝lg t错误!＝错误!lg t，即f（x)＝错误!lg x(x>0)，∴f(2）＝错误!lg 2，故选D．解法二：令x5＝2，则x＝2错误!，∴f(2）＝lg 2错误!＝错误!lg 2。
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解答题的形式出现.
一、函数与映射的概念
函数
映射
两集合 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个 非空集合 A、B
如果按照某种确定的对 如果按某一个确定的对
对应关 应关系f，使对于集合A 系f： 中的任意 一个数x，在 A→B 集合B中数 f(x)＝1x－ 2＋xx2， －x2≤ ，1x， ＞1，
则
1 ff2
的值为
()
A.1156
B．－2176
C.89
D．18
解析：f(2)＝4，f12＝14， 故 ff12＝f14＝1－142＝1156.
答案： A
[冲关锦囊] 1.函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值，因此由函
数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值代入计 算即可．另外，高考命题一般会与分段函数相结合， 求值时注意a的范围和对应的关系． 2.求f(f(f(a)))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则.
[精析考题] [例3] (2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x件某产品所
用的时间(单位：分钟)为f(x)＝
应关系f，使对于集合A
中的 任意 一个元素x， 在集合B中有 唯一确定
数f(x)和它对应
的元素y与之对应
函数
映射
称f：A→B 为从集合 称对应f：A→B 为从集 名称
A到集合B的一个函数 合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
二、函数的有关概念 1．函数的定义域、值域
若f(a)＝4，则实数a＝
()
A．－4或－2
B．－4或2
C．－2或4
D．－2或2
[自主解答] 当a＞0时，有a2＝4，∴a＝2；当a≤0时，有 －a＝4，∴a＝－4，因此a＝－4或a＝2. [答案] B
[例2] (2011·陕西高考)设f(x)＝l1g0xx，，xx≤＞00，， 则f(f(－2)) ＝________. [自主解答] 显然f(－2)＝10－2＝1100，f1010＝lg1100＝－2.
得a＝－1.
答案： D
4．已知f1x＝x2＋5x，则f(x)＝________. 解析：令t＝1x，∴x＝1t .∴f(t)＝t12＋5t . ∴f(x)＝5xx＋2 1(x≠0)．
答案：5xx＋2 1(x≠0)
5．(教材习题改编)若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0， f(3)＝0，则f(－1)＝________.
2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数 如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但 不是相同函数；再如函数y＝sin x与y＝cos x，其定义域 与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数 是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．
[精析考题]
[例1] (2011·浙江高考)设函数f(x)＝x－2，x，x＞x≤0.0，
[答案] －2
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2011·宁波一模)已知 f：x→sin x 是集合 A(A⊆[0,2π])到集合
B＝{0，12}的一个映射，则集合 A 中的元素个数最多有( )
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
解析：∵A⊆[0,2π]， 由sin x＝0，得x＝0，π，2π； 由sin x＝12，得x＝π6，56π， 所以A中最多有5个元素．
cx，x<A， cA，x≥A
(A，c为常数)．已
知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分
钟，那么c和A的值分别是
()
A．75,25 C．60,25
B．75,16 D．60,16
[自主解答] 因为组装第 A 件产品用时 15 分钟， 所以 cA＝15，① 所以必有 4<A，且 c4＝2c＝30.② 联立①②解得 c＝60，A＝16.
第
二
章
第
一
函
节
数
、
函
导 数 及 其
数 及 其 表 示
应
用
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了]
考什么 1.了解函数、映射的概念． 2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法． 3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
怎么考 1.函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热点． 2.函数的概念、三要素、分段函数等问题是重点，也是
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 函数值的集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域．显然，值 域是集合B的子集． 2．函数的三要素： 定义域 、值域 和 对应关系 ．
三、函数的表示方法 表示函数的常用方法有：解析法 、图象法 和 列表法 ．
四、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而
分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ，其值
域等于各段函数的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是一个函数．
1．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列
x123
f 312
g321 则f(g(3))等于
()
A．1
B．2
C．3
D．不存在
解析：f(g(3))＝f(1)＝3. 答案：C
3．(教材习题改编)设函数f(x)＝
x，x≥0， －x，x＜0，
若f(a)＋
f(－1)＝2，则a＝
()
A．－3
B．±3
C．－1
D．±1
解析：若a≥0，则 a＋1＝2，得a＝1；若a<0，则 －a＋1＝2，
解析：由已知得19＋＋b3＋b＋c＝c＝0，0， 得bc＝＝3－. 4， ∴f(x)＝x2－4x＋3. ∴f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.
答案：8
1．函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只
能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的 映射． (2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不 是数集，则这个映射便不是函数．
四个对应法则，其中能构成从M到N的函数的是( )
A．y＝x2
B．y＝x＋1
C．y＝2x
D．y＝log2|x|
解析：用排除法，易验证选项A，B，C都存在M 中的元素在N中没有元素和它对应，所以排除A， B，C，故选D.
答案： D
2．(教材习题改编)设f，g都是从A到A的映射(其中A＝ {1,2,3})，其对应关系如下表：