数学分析课程内容的经典与现代

∃
n
2
d f ( x ): R ∋ R # R, d f ( x ) ( v, w ) =
2 n 2
∃
, j i
2
f
x i xj
viw j
用矩阵表示: d f ( x ) ( v, w ) = v H f (x )w 这里的向量都是列向量。 特别地 , d f ( x ) ( v, v) = v H f (x ) v 就是一个二次型。 类似地可以理解三阶 微分和更高阶微分。 三阶微分定义取了一个三重线性泛函 3 3 f d f ( x ) ( u, v, w ) = ∃ u i vjw k xi xj xk , j i , k m 阶微分定义一个 m 重线性泛函 d f ( x ) ( v , v , !, v ) =
m 1 2 m m ii , !, im 2 T 2 T
∃
f 1 m vi 1 ! vim x i 1 ! x im
m
用这种语言写下多元 T ay lor 公式 , 就显得比较简单和容易理解 : f( x + h ) = f ( x) +
∃
k= 1
1 k d f (x ) ( h, h, !, h ) + Rm (x, h ) k!
n
并且
f ( x ) # < ∃ f (x 0 ), x - x 0 > + f ( x 0 ), ∀ x ∀ R
2 n
n
4 若 f ( x ) ∀ C ( R ), 则 f (x ) 是凸函数的充要条件是其 H esian 矩阵 H f (x ) 非负定 下面几条性质是凸分析的经典结果 , 向学生以某种方式作介绍, 可以使之更深入地理解凸函数 的性质并能在进一步的学习中处于一触即发的有利位置。 对于固定的 x ∀ R , < x, x
n
以及 K 0 > 0 , 使得 | f ( x ) - f (x 0 ) | ! K 0 | x - x 0 |, ∀ x ∀ B r (x 0 ) 2 对任何非零向量 I ∀ R , 方向导数
n
f 存在, 且 1
f # - f , I- = - I 1 1 3 若 f ( x ) 在 x 0 ∀ R 处的偏导数都存在 , 则它在这点可微
数学课程体系的传统或者说经典, 是随着时代的变迁而变化着的。在传统之中吸收 理论 或者说后来发展的理论, 使 传统 得以发展和丰富 , 是一个使 现代
演变为经典的
道路。用现代的眼光, 这一个吸收新的内容的过程, 就是一个与近代或者说现代成果加强联系的 过程 , 也是打通传统与现代之道路的过程。微积分为主要教学内容的数学分析课程, 吸收一些非 传统 的内容和思想, 打通与后续课程的联系 , 对于形成学生数学基础和思想的统一性, 无疑 是很重要的。本文主要从几个实例出发 , 阐述一些我们对这个问题的看法或做法 , 供同仁参考。 一、 多元函数的可微性与微分
[ 1]
传统上, 对于一个函数 f ( x ) = f ( x 1, !, x n ) 称为在点 x = (x 1, !, x n ) ∀ D 在 a = ( a1, !, an ) 仅依赖于 x, 使对任何 h ∀ R , | h | 充分小 , 有
n
R 可微, 是指存
n
f ( x + h ) - f ( x ) = < a, h > + o( | h | ) 我们把这里的 a ∀ R 当作 R 上的线性泛函 , 它其实就是 f 在 x 处的微分。 记作 df (x ): R # R 若
[ 3]
在数学分析中各种积分理论, 包括定积分, 重积分 , 线积分与面积分, 无论是从定义还是从其积 分公式本身来说, 都有着各自独特的一面。 虽然有些公式把各种不同的积分联系起来 , 但是这些不 同的积分公式中的深层联系 , 在教材中很少有体现。 外代数是现代微分几何中的最基本的知识 , 从 形式上介绍这些理论, 大学低年级的学生可以接受。 以三维情况为例 , 把形如 ∀ = P (x, y, z ) dx + Q (x, y, z )dy + R (x, y, z ) dz 的表达式称为 1 形式, P , Q, R 为光滑函数 , 下同。 形如 # = P dxdy + Qdydz + Rdzdx 为 2 形式。 由于定向的原因, 约定 dxdy = - dydx, dydz = - dzdy, dzdx = - dxdz。 用这个约定, 3 形式 就可写为 ! = P (x, y, z )dxdydz f f f dx + dy + dz 就是一个 1 形式。 一个 1 形式的外微分 x y z P P P dx + Q Q Q d ∀ = dPdx + dQdy + dRdz = dx + dy + dz dx + dy + dz dy x y z x y z + R dx + R dy + R dz dz x y z Q P R Q dydz + P R dzdx = dxdy + x y y z z x 是一个 2 形式 . 一个 2 形式的外微分 一个光滑函数的微分 df ( x ) = d# = P + Q + R dxdydz z x y
n n n
ei = ( 0 , !, 1 , 0!, 0 ) (第 i个分量为 1 , 其余为 0), i = 1 , !, n, 为 R 的标准正交基 , 其对偶基记为
n
dx 1, !, dxn, 也就是说 , dx i ( ej ) = df ( x ) =
n
ij
。 则
∃
n
i= 1
f dx i xi f f , !, 就是 f (x ) 在 x 处 x1 xn
高等理科教育 如果我们把上面四个公式的右边写成 ∀ , 则其左边就可以写成
S S
数学分析课程内容的经典与现代
(
d∀ , 从而这四个公式都具有 (
下述形式 :
S
d∀ = ( ∀ (
S
这个公式中的 S 可以是三维空间中的曲面 , 也可以是三维空间的闭区域。 还可以是二维空间或者一 维空间中的一些相应的对象。 因此维数在这里并不是本质的 , 平直与弯曲也不是本质的。 把它推广 到流形上去, 就是现代微分几何中很重要的 S tokes公式。 因此 , 这个公式统一了所有的公式。 三、 凸函数与凸分析
D
3 G auss公式: Q Q R dxdydz = + + x y z ∃
( ( (
S
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ( (
∃
4 S tokes公式: ( (Q x P dxdy + y R Q dydz + y z % Q R dzdx = z x 22 %
S
Pdx + Qdy + Rdz (
若把 R 当作 H ilb e rt空间 , 对偶关系用内积来表达 , 这时 df (x ) = ( 的梯度。 对于一个向量值函数来说, 设 f 1 (x ) f( x ) = fm ( x ) 是一个从 D
*
n m
x1 ,x = xn
n m
R 到 R 的一个映射 则 f (x ) 在 x 处的微分是一个线性映射 df ( x ): R # R , 满足
n m
用矩阵来表示这个线性映射 , 在上述标准正交基 ( e1, !, en ) 之下 , f1 xx ! fm xx ! ! !
n
Fra Baidu bibliotek
f1 xn ! (x ) = fm xn
m
(f 1, f2, !, fm ) (x) (x 1, x 2, !, x n )
从这个意义来说, df (x ): R # R 就称为切映射。 用这个观点 , 一个函数的微分, 是一个映射 df ( x ): R # R。 df ( x ) 用矩阵表示 , 它就是 df ( x ) = f , f , !, f x 1 x2 xn R 到 R 的映射。 这个映射的微分 , 就是 f (x ) 的二阶微分 在上 f x1 x2 ! f xn x 2
2006- 02- 27 南开大学精品示范课程 数学分析 项目资助 刘春根 ( 1962- ) 男 , 湖南耒阳人 , 教授 , 主要从事非线性分析与辛几何等研究
收稿日期 资助项目 作者简介
%
20 %
高等理科教育 对任意 h ∀ R , 有
n
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f ( x + h ) - f ( x ) = df ( x ) h + o ( | h | ), | h | # 0 n 从几何上看 , 设 ! ( t ) = x + th0, h 0 & 0 , 是 R 中从 x 出发 , 方向为 h0 的直线, 这条直线经过映射 f 的 作用 , 变为 R 空间中的一条曲线, 这条曲线在 f ( x ) 处的切方向为 l m i t# 0 f ( x + th0 ) - f ( x ) = df (x ) h0 t f1 x1 df ( x ) = ! fm x1
[ 4, 5 ]
称函数 f (x ) 定义于 R 为凸函数, 是指对任意 x 1, x 2 ∀ R , % ∀
n n
( 0, 1 ) 有
f( % x 1 + ( 1 - %) x 2 ) ! %(x 1 ) + ( 1 - %)f ( x 2 ) 凸函数具有以下分析性质: 1 凸函数都是连续函数。 同时还具备下述的局部 L ipsch itz连续性: 对任意 x 0 ∀ R , 存在 r > 0
* * 2 n
> , ∀ x, x ∀ R
* * * * *
n *
若凸函数 f (x ) 是 可 微函 数, 则 f ( x ) 也 是可 微函 数 , 并且 若 x
是一个 3形式。 一个 3形式的外微分为零。 外代数就是这样的具有外微分的代数 , 它可以推广到任何 有限维空间去。 下面是各种积分公式: 1 . N ew ton - L e ib n iz公式
a
(
b D
f )(x ) dx =
df (x ) = f ( b ) - f ( a ) (
b a
2 G reen 公式 : ( (Q x P dxdy = y Pdx + Qdy (
* n *
> - f ( x ) 是关于 x 的上方有界的函数 , 从而可以定义函数 f : R
*
n
# R: f (x ) = x sup { < x, x ∀ Rn
* * * * * * *
> - f (x ) }
*
函数 f ( x ) 称为 f (x ) 的 L eg end re 对偶。 它也是一个凸函数。 显然有 f ( x ) + f ( x ) # < x, x
2 2 n n
从而映射 x # df ( x ) 是一个从 D
2
述标准正交基下, 用矩阵表示 , 就是下面的 H esian 矩阵。 f
2
x1 d f ( x ) = H f (x ) =
2
! ! !
f x1 xn ! f 2 xn
2
2
! f xn x1
2
(x)
用对偶基表示 : f dx i dx j xi xj i, j 它定义了二重线性泛函 df ( x ) =
高等理科教育
2007年第 6 期 ( 总第 76 期 )
数学分析课程内容的经典与现代
刘春根
( 南开大学 数学学院 , 天津 300071)
*
摘 要 文章介绍了 数学分析 课程中如何讲授一些与后续课程内容有关的基础知识 , 以打通与后续课程的联系, 从而促进学生数学素质与能力的形成。 关键词 数学分析 课程 基础 文献标识码 A 现代 中图分类号 G642 0
用这种较现代的观点处理多元函数的微分理论, 表面上来说 , 比较抽象, 但是它加深了分析学与线 性代数的联系 , 用多重线性泛函来理解多重微分 , 用线性映射的观点理解映射的微分 , 使学生更深 % 21 %
高等理科教育
2007年第 6 期 ( 总第 76 期 )
入地理解这些概念 , 溶分析与代数于整体之中。 另一个方面, 多元分析向无穷维发展就是非线性泛 函分析理论, 这里我们处理的虽然是有限维的问题, 但是 , 其思想却可以推广至无穷维的抽象空间 [ 2] 去, 微分其实就是 F r che t导数 。 这是非线性泛函分析的一个基本概念 , 变分理论就是从它出发 的。 还有, 现代微分几何理论 , 就是处理流形上的分析 , 一个映射的切映射 , 就是从我们这里的微分 出发的一个概念, 它不过是从这里的线性空间到弯曲空间一个推广。 从与后续课程的联系来看 , 用 这种比较抽象的观点处理这个最基本的概念 , 对于形成数学的整体性是必须的 , 也是可行的。 二、 各种积分公式的统一性与外代数