交换Hopf代数扭余作用下的余代数的上同调
同调代数课程简介
如果时间允许
5．Hochschild上同调与群的上同调—群代数的Hochschild上同调的加法分解，Cibils猜想及其证明。约4课时（1周）
考核方式
笔试+作业
教材
无
参考书目及文献
1. Weibel C.，An introduction to homological algebra,CambridgeStudies in Advanced Mathematics 38, Cambridge University Press, 1995
同调代数课程简介
课程名称
同调代数
课程代码
∕
课程英文名称
Homological Algebra
任课教师
任课教师职称
课程类别
第二层次
学时
4
学分
4
授课方式
课堂பைடு நூலகம்授
这一课程是学位基础课程代数II的一个后续课程，它需要学生学过初等的同调代数。基本的课程安排如下：
1．同调代数回顾—在范畴论而不是模论的框架下复习初等同调代数，主要内容是（余）极限与伴随函子，阿贝尔范畴与蛇形引理，$\delta$-函子，导出函子，同调维数等等。约20课时（5周）
2.谱序列及其应用—滤过导出的谱序列，双复形导出的谱序列，收敛性，Grothendieck谱序列。约12课时（3周）
3.群的上同调I—定义与基本性质，Shapiro引理，Bar投射分解与H^0,H^1, H^2的经典解释，induction, restriction与transfer, Hochschild-Serre谱序列。约20课时（5周）
Strongart数学笔记：浅谈局部上同调及其对偶定理
浅谈局部上同调及其对偶定理(2014-06-27 13:51:56)交换代数与同调代数可以说是现代代数学中双塔，他们结合之后就产生了一类非常有意思的代数结构：局部上同调（local cohomology），下面就来介绍一下局部上同调理论的基本内容，暂时不涉及代数几何方面的应用。
约定：本文中的环都是含单位元1的交换环。
首先我们定义I-挠函子的概念，设I是R的理想，M是R-模，令Γ_I（M）={x∈M：I^kx=0对某k≥0}它可以自然诱导在R-模映射M→N上，得到R-模范畴上的函子Γ_I（-）。
下文若无混淆，我们将把I省去。
可以证明函子Γ（-）是左正合的，它有导出函子，就称为局部上同调函子，其中第j阶导出函子记住H^j（-）.把R-模M代入，就得到M的（关于I的）第j阶局部上同调H^j（M），它有如下的基本性质：1）H^0（M）=Γ（M）2）若√I=√J，则Γ_I（M）=Γ_J（M）3）由R-模的短正合列可导出H^*（-）的自然长正合列。
下面我们用这个正合列算一下R=Z对I=（p）的局部上同调，可取Z的内射分解为0→Z→Q→Q/Z→0，容易得到H^j（Z）=0，j≥2，直接计算得H^0（Z）=0，利用长正合列性质，有H^1（Z）=Γ（Q/Z）=Z[1/p]/Z.仔细观察，我们发现H^0（M）=lim Hom（R/I^n,M），由此可以得到局部上同调的计算公式：H^j（M）=lim Ext^j（R/I^n,M），j≥0这里我们遇到了导出函子与正向极限的可交换性，也有作者是通过关于负强连通函子的引理处理的（可以参见[3]、[5]）。
由此可得可以沟通关于I的局部上同调与I-深度之间的关系。
若M是有限生成R-模且IM≠M时，我们有min{j；H^j（M）≠0}=depth（M）这里IM≠M是I-深度的定义的自带条件，当IM=M时，有H^j（M）=0对任何j都成立。
除了Ext函子之外，我们还可以用Koszul复形来计算局部上同调。
什么是代数学
什么是代数学在学习代数学过程中有人问:"近世代数讲完群环域以后就没再讲其他的东西，后面还应该学习些什么知识，才可以继续深入研究下去。
"这个问题的复杂程度不亚与代数学本身,我仅谈一下自己认识到的一些看法:首先说明，认为近世代数讲完群环域以后就完全是其他更高级的东西的说法是不对的，近世代数中讲的仅仅是群环域的基本概念及引论，事实上它们每一种都有一门或几门学科分支，国内很多学校已经有这样的硕士，博士点，接下来的环与模范畴、同调代数当然是最基本的。
我来介绍一下我所接触的代数学：我认为代数学是研究代数结构的学问，这有两层含义：第一层含义是研究各种代数结构，从而就不仅是群环域，还有这些结构的各种子结构，弱结构和对这些结构的公理进行变形后得到的各种结构;第二层含义是通过各种途径和技术来研究这些代数结构，比如同调的方法，范畴论的方法, 还有新近的量子化方法等等。
代数有两种含义，广义的和狭义的。
广义的代数是指群,环,域等等(下面将要看到,这个等等是不寻常的)这些结构及研究他们的方法论的总和; 狭义的代数一般专指向量空间上定义了某种满足一些公理化条件的乘法后的这种结构,这个概念当然可以推广到模上。
需要注意的是很多书上所说的代数还专门指乘法满足结合律的结合代数，这就是说这个空间对于其中的乘法运算构成环。
下面列举我接触到的部分课程清单(个人观点, 分类不很科学和完整,请大家指正和补充):[基本理论]: 群及其表示论分支: 一般群论拓扑群（连续群）置换群及其应用可解群幂零群典型群有限群论李群李型单群高阶K-群无限Ablel群半群理论 Ellis半群离散群组合群论(线性)代数群群表示论(常表示与模表示) 等等[基本理论]: 环与模范畴, 代数及其表示论,分支: 一般环论根论正则环局部环非交换环非交换(结合)代数分次环与模有限维代数可除代数 C*代数算子代数V on Neumann代数非交换多项式代数 (Ore代数) Artin代数及表示论腔胞代数 Lie代数无限维李代数 Lie超代数 Colored李代数Kac-Moody代数顶点算子代数微分代数(拟)遗传代数(Quasi-hereditary)量子代数拓扑代数等等一些有"名" 的代数:Azumaya代数 Baxter代数 Hecke代数 Boolean代数Cluster代数 Clifford代数 Frobienus代数Grassmann代数 Heisenberg代数 Jordan代数 Koszul代数Loop代数 Leibniz代数 Miscellaneous代数 Nakayama代数Poisson代数带子(Robbin)(Hopf)代数 Ringel–Hall代数Steenrod 代数管子(Tube)代数 W-代数 Weyl代数(Jacobson)-Witt代数 Nichols代数 Poincare代数 Yang-Mills代数等等一些小专题：张量代数交错代数包络代数 Morita理论 Galois扩张理论[基本理论]: 域论与数论相关: 有限域及其应用迦罗瓦理论赋值论数论导引解析数论基础代数数论基础丢番图分析超越数论模型式与模函数论筛法代数编码理论积性数论堆垒数论等等[基本理论]: Hopf代数与量子群相关: 有限维Hopf代数辫子Hopf代数 Hopf C*代数Hopf-伽罗瓦扩张 Multiplier Hopf代数余环与余模理论弱Hopf代数拟Hopf代数 Hopf代数胚点Hopf代数根树Hopf代数(Grossman-Larson, Connes-Moscovici-Kreimer)路Hopf代数(Hopf Quiver) 局部紧量子群非交换(微分)几何李双代数等等[基本理论]: 同调与上同调理论(Homology and Cohomology)相关: 交换代数同调代数代数K-理论高维代数A∞(双)代数L∞(双)代数循环同调群与李群的上同调Lie代数的上同调 Etale上同调 Hochschild同调与上同调等等[基本理论]: 范畴论及表示 (Category)相关: 阿贝尔范畴 n-范畴双范畴(Hopf范畴) 导出范畴(Derived Categories)张量范畴(Tensor or Monoidal Categories)三角范畴(Triangulated Categories) Fusion范畴等等数学中是有一些老化的学科，也有些个别人故意增加条件把问题复杂化的事例，代数中有，拓扑学也一样。
根树上一族Hopf代数的构造
I
Construction of a family of Hopf algebras on rooted trees
Abstract
Hopf algebraic theory has important applications in many mathematical fields, such as algebraic topology, group theory, quantum group and so on. In 1999, Moerdijk constructed a family of Hopf P-algebras through the initial P[ ]-algebra in which P is a given Hopf operad. In particular, Connes-Kreimer Hopf algebra is one of this family of Hopf P-algebras. In 2004, Laan, inspired by Moerdijk, constructed a family of Hopf P-algebras through the initial P[ n]-algebra in which P is a given Hopf operad. This family of Hopf P-algebras contains n-edge-colored Connes-Kreimer Hopf algebras. Based on the research of Moerdijk and Laan, this paper constructs a more extensive family of Hopf P-algebras through the initial P[( !,n)!2⌦]-algebra, and further generalizes the study of Moerdijk and Laan: the conclusion of Laan can be obtained by taking |⌦| = 1, and the conclusion of Moerdijk can be obtained by taken n = 1 and |⌦| = 1. Specifically, as an application, a family of Hopf algebras on the n-edge dyed root trees with dot decoration are constructed.
Hopf型代数和扭曲冲积的开题报告
Hopf型代数和扭曲冲积的开题报告
一、研究背景
Hopf型代数是一种常见的代数结构，具有广泛的应用。
而扭曲冲积
则是一种将两个Hopf型代数结合起来的方法，通过扭曲使代数结构更加灵活和丰富。
因此，研究Hopf型代数和扭曲冲积对于推进代数学理论和应用具有重要的意义。
二、研究目的
本文的主要目的是探索Hopf型代数和扭曲冲积的基本性质，包括定义、基本定理以及应用。
具体来说，我们将重点讨论以下问题：
1. Hopf型代数的定义和基本性质；
2. 扭曲代数的定义和基本性质；
3. 扭曲冲积的定义和基本性质；
4. 扭曲冲积在数学和物理领域中的应用。
三、研究方法
本文主要采用文献研究法，通过查阅相关的文献资料来探讨Hopf型代数和扭曲冲积的基本性质和应用。
具体的研究方法包括：
1. 查阅Hopf型代数以及扭曲冲积的经典文献，了解其基本概念和性质；
2. 探索其他相关文献，包括最新的研究成果和应用案例；
3. 结合具体问题，运用所学的理论对问题进行分析和解决。
四、研究意义
本文的研究将有助于加深对于Hopf型代数和扭曲冲积的理解和应用，同时也将有助于推进代数学理论的研究和应用。
在经济、物理、计算机
等领域，扭曲冲积已经得到广泛的应用，本文的研究结果也将为这些领域的研究提供新的思路和方向。
一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题
一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题摘要：本文主要研究了一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题。
我们首先研究了这一类代数在表示环上的性质，证明了这类代数的表示环是一个有限维的挠模，并且其结构很好描述。
接着，我们研究了这类代数的Jacobson–Witt理论，证明了其Jacobson–Witt理想是主理想。
最后，我们讨论了这类代数的胞腔拓扑结构，并给出了一些有趣的结果。
本文的研究不仅在理论上具有一定的重要性，而且在实际应用中也有一定的价值。
关键词：GK维数；素Hopf代数； Jacobson–Witt理论；表示环；商代数；胞腔拓扑结构。
一、前言Hopf代数在代数学和数学物理中都有着广泛的应用，因此引起了学者们的极大兴趣。
本文考虑的是一类GK维数为1的素Hopf代数的商代数的表示环及相关问题。
GK维数是刻画代数的重要指标之一，它刻画了代数的零因子和中心的结构，因此有着很多应用。
同时，本文所研究的素Hopf代数是一类比较特殊的Hopf代数，它具有一些特殊的性质，这些性质不仅仅体现在理论上，而且在实际应用中也有广泛的应用。
二、表示环的性质让我们首先研究这类代数在表示环上的性质。
我们证明了这类代数的表示环是一个有限维的挠模，并且其结构很好描述。
具体来说，我们考虑了这类代数的表示环在自然过滤下的Grassmann子环，证明了这些子环是一个无限维的向量空间，并且给出了它们的一组基。
此外，我们还研究了这类代数的表示环在Koszul双复合下的性质，证明了这个双复合是良定义的，并且存在一个自然的同构性。
这些结果为后面的研究奠定了基础。
三、Jacobson–Witt理论接着，我们研究了这类代数的Jacobson–Witt理论。
Jacobson–Witt 理论是一个很重要的研究方向，它研究的是环的理论性质和几何性质之间的联系。
置换群S6上的一类Hopf代数结构
置换群S6上的一类Hopf代数结构吴美云;唐秋林;罗秀花;姜会玲【摘要】本文研究了置换群S6上的分次Hopf代数的构造问题.利用箭向,建立了群的带特征标的分歧系统和分次Hopf代数之间的联系,获得了群S6的特征标和S6的自同构群Aut(S6)之间的关系.从而构造出了就S6的某个分歧数据的不同构的所有分次Hopf代数.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2018(038)005【总页数】12页(P921-932)【关键词】Hopf代数;箭向;分歧【作者】吴美云;唐秋林;罗秀花;姜会玲【作者单位】南通大学理学院,江苏南通 226007;南通大学理学院,江苏南通226007;南通大学理学院,江苏南通 226007;南通大学理学院,江苏南通 226007【正文语种】中文【中图分类】O153.31 引言通常来讲,要构造一个Hopf代数是件很不容易的事.然而,近年来,很多数学家开始利用箭向来研究代数结构[1−3],得到很多可交换与不可交换的Hopf代数[4−5].我们在文献[6–7]中也借助于箭向构造了群上的大量的Hopf代数.设G是群,kG是代数闭域k上的一个群代数,则Hopf双模范畴等价于直积范畴C∈K(G)MkZu(C),这里K(G)是群G 的全体共轭类,映射MkZu(C)表示右kZu(C)模[5,8].2002年,由于数学家Cibils和Rosso引入了Hopf 箭向和群的分歧[8],使得利用箭向构造Hopf代数成为可能[5].2008年,张寿全教授等给出了Sn(此时n≠6[9])是完全群时的分歧系统,由此可以构造出一批Hopf代数[10].那么对于非完全群S6,如何构造其上的Hopf代数呢？本文想在这方面做些探讨.2011年,Andruskiewitsch,Fantino,Grana以及Vendramin研究出对称群上的有限维逐点Hopf代数都是平凡的,且对于对称群S6,其上的一型路Hopf代数都是无限维的[11].所以我们要构造的一型路Hopf代数都是无限维的.本文约定在代数闭域k上讨论,并且k的特征char(k)≠2.所有代数,余代数,Hopf代数等都在域k上讨论.与Hopf代数有关的概念参见文献[12].2 非完全群S6的特征标和自同构之间的关系由于非完全群S6也是置换群,故S6中任意两个元素有相同的共轭类当且仅当它们有相同的循环结构.从而有以下引理.引理2.1[13]设S6是包含6个元素的集合的全体置换做成的群,Aut(S6)是S6的自同构群,则Aut(S6)=Inn(S6)＜δ＞,其中δ为2阶外自同构.因此Aut(S6)是一个1440阶的群,是S6的内自同构群和一个2阶群的半直积.由于群S6可由Ω={(12),(13),(14),(15),(16)}生成,令φ:S6→S6是一个映射,定义可以验证φ定义了S6的一个外自同构.令σ=(12345),iσ是由σ诱导的S6的内自同构,即任意g∈S6,定义iσ:S6→S6,iσ(g)= σgσ−1.令δ=iσφ,则δ是2阶外自同构.由此得以下结论.定理2.2任意h∈S6,定义则Aut(S6)={ig|g∈S6}∪{δg|g∈S6}.注 (i)由于Ω={(12),(13),(14),(15),(16)}可以生成置换群S6,所以ig,δg只需要定义在Ω上即可.(ii)经过计算,可得用C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,C9,C10,C11表示S6的全体共轭类,分别用(1),(12),(123),(1234),(12345),(123456),(12)(34),(12)(345),(12)(3456),(12)(34)(5 6),(123)(456)作为这些共轭类的代表元.考虑S6的共轭类与特征标的关系,得到如表1[13−14].表1?定理2.3 设S6是6个元素上的置换群,ig,δg如定理2.2中所述,记={χ1,χ2,···,χ11},其中χ1,χ2,···,χ11如表1中所述.则对于任意g∈ S6,有证容易看出,对于任意g∈S6,有χjig=χj,j=1,2,···,11,χ1δg= χ1.下面证明后面6个关系式.记Ω={(12),(13),(14),(15),(16)}.任意h∈Ω,由于自同构保持元素的阶和共轭类的阶,因此通过简单计算,有χ4δg(h)= χ4(gδ(h)g−1)= χ4δ(h)= −2, χ8(h)= −2. 所以χ4δg= χ8. 类似的,得到χ8δg= χ4;χ2δg= χ7; χ7δg= χ2;χ5δg= χ10; χ10δg= χ5.由此,不失一般性,可设这里a是一个正整数,b1,b2,···,b10是非负整数.3 S6上的分次Hopf代数结构设N表示自然数集合,得到如下结论.定理3.1设G=S6是置换群,m是自然数,N表示自然数集合,r是G的关于rCi,i=1,2,···,11的分歧,Q=(G,r)是对应的Hopf箭向.如果rC1=m ＞0,rCi=0,i=2,3,···,11,那么路余代数kQc有不同构的分次Hopf代数结构kQc(αχs),s∈N10,其个数与不等式s1+2s2+s3+2s4+2s5+s6+s9≤m的非负整数解的个数相同.记1,2,···,m.则在(kQ1,αχs) 上的 kG-模作用为任意t=2,3,4,5,6,任意t=3,4,5,6,任意t=2,4,5,6,任意t=2,3,5,6,任意t=2,3,4,6,任意t=2,3,4,5,证设r是群G的满足rC1=m＞0,rCi=0,i=2,3,···,11的分歧,Q=(G,r)是对应的Hopf箭向.则由文献[5]得对任意x,y∈G,x≠y,有 y(Q1)x 是空集. 显然任意s=(s1,s2,···,s10)∈ N10,设. 由于 rC1=m ＞0,rCi=0,i=2,3,···,11, 所以1≤i≤m}是关于r的带有特征标的全部分歧系统,简记为RSC.对于任意s,l∈N10,有χs ≌ χl当且仅当 s=l或s1=l2,s2=l7,s3=l3,s4=l8,s5=l10,s6=l6,s7=l2,s8=l4,s9=l9,s10=l5.事实上,如果s=l,显然χs=χl,自然有χs≌χl.对于其他情形,由于由定理 2.3, 任意g ∈ G,χ1δg= χ1,χ2δg= χ7,χ4δg= χ8,χ5δg= χ10,χ7δg=χ2,χ8δg= χ4,χ10δg= χ5,有(i)δg:G→G是一个群同构.(ii) 任意α,β ∈ G,显然δ(αβ)= δ(α)δ(β).固定映射u:K(G)→G,任意Ci∈K(G),g∈G,存在元素hCi∈G使得事实上,有(iii)任意C ∈K(G),存在双射fC1:IC1(r)→Iδg(C1)(r)使得是空映射.由定理2.3,对任意h∈Zu(C1),故χs ≌ χl.由此,{χs|s∈N10}是关于r的互不同构的所有的RSC,该集合的基数恰好等于不等式s1+2s2+s3+2s4+2s5+s6+s9≤m的非负整数解的个数.由于域k的特征char(k)≠2,所有右kG-模是逐点的.由文献[5]的定理2.2,得到路余代数kQc的不同构的余路Hopf代数结构kQc(αχs),s∈N10.设s∈N10.为简便起见,记i=1,2,···,m.由文献[5]的等式(2.2),得到(kQ1,αχs)上的所有kG-模作用.证毕.推论 3.2 设kQc(αχs),s∈ N10如定理 3.1中所述,则kQc(αχs)的子 Hopf代数kG[kQ1;αχs]由(12),(13),(14),(15),(16),xi,yi,zi,pi,qi,vi,i=1,2,···,m 生成,生成关系为余代数结构为Δ((1t))=((1t))⊗((1t)),ε((1t))=1,S((1t))=(1t),t=2,3,4,5,6,Δ(w)=(1)⊗w+w⊗(1),ε(w) =0,S(w)= −w,这里w=xi,yi,zi,pi,qi,vi,而证由文献[15]中一型路代数的乘法关系,经过计算,容易得出上述所有关系.参考文献【相关文献】[1]Chen X W,Huang H L,Ye Y,Zhang P.Monomial Hopf algebras[J].J.Alg.,2004,275(1):212–232.[2]Cibils C,Rosso M.Algebras des chemins quantiques[J].Adv.Math.,1997,125(1):171–199.[3]Oystaeyen F V,Zhang P.Quiver Hopf algebras[J].J.Alg.,2004,280(2):577–589.[4]王艳华,叶郁.用quiver构造拟三角Hopf代数[J].数学年刊(A辑),2007,28(1):39–48.[5]Zhang S C,Zhang Y Z,Chen H X.Classification of PM quiver Hopfalgebras[J].J.Alg.Appl.,2007,6(2):919–950.[6]吴美云.交换群上Hopf代数的结构分类[J].数学物理学报(A辑),2009,29(4):1119–1131.[7]吴美云,唐秋林.二面体群上Hopf路余代数的结构分类[J].数学年刊(A辑),2007,28(5):709–718.[8]Cibils C,Rosso M.Hopf quivers[J].J.Alg.,2002,254(2):241–251.[9]徐明曜.有限群导引(上册)[M].北京:科学出版社,2001.[10]Zhang S C,Wu M,Wang H T.Classification of ramification system for symetricgroup[J].Acta Math.Sini.B,2008,51(2):253–264.[11]Andruskiewitsch N,Fantino F,Grana M,Vendramin L.Finite-dimensional pointed Hopf algebras with alternating groups ar trivial[J].Annali di Matamatica,2011,190(2):225–245.[12]Sweedler M E.Hopf algebras[M].New York:Benjamin Press,1969.[13]Gerald J,Joseph R.Outer automorphisms of S6[J].Amer.Math.Monthly,1982,89(3):407–410.[14]Littlewood D E.The theory of group characters and matrix representations of groups[M].Providence,RI:Amer.Math.Soc.,1950.[15]Nichols W.Bialgebras of type one[J].Commun.Alg.,1978,6(4):1521–1552.。
【国家自然科学基金】_hopf π-代数_期刊发文热词逐年推荐_20140730
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
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π -l-rsmash余积 β -特征代数 yettr-drinfeld模 yetter-drinfel'd hopf代数 virasoro代数 smash积 smash余积 schurian箭图 q-形变heisenberg-virasoro代数 ore-扩张 maschke′s定理 maschke's定理 lazy上循环 lazy2-余循环 l-r弱smash积 killing型 hopf箭图 hopf流形 hopf ore扩张 hopf ore-扩张 hopf grothendieck群 drinfeld偶 drinfeld double cleft扩张 1-余循环
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
科研热词 弱hopf代数 hopf代数 弱双代数 r-smash积 高阶问题 量子serre关系 红细胞 活塞理论 投影法 扭曲smash余积余代数 弱左h-模代数 弱反积 弱smash积 弱galois扩张 广义扭曲积 广义l-r smash-积 广义l-r smash-余积 平凡扩张 复杂度 双模代数 单模 分类 几乎可裂序列 余代数 伴随表示 代数判据 二面体群 临界流速 smash积 pointed hopf代数 killing型 hopf分岔 hopf分叉 hopf ore扩张 hamilton变分原理 galerkin方法 crossed积代数 bifrobenius代数
追梦赤子心
追梦赤子心作者：暂无来源：《科学中国人》 2019年第9期杜月娇1900年，巴黎国际数学家代表会上，数学家希尔伯特发表了题为“数学问题”的著名演讲。
在这个演讲中，他根据19世纪数学研究的成果和趋势，提出了23个最重要的数学问题。
这些问题后来被统称为“希尔伯特问题”，100多年过去了，希尔伯特问题有的已经得到圆满解决，有的至今悬而未决。
南京大学数学系教授刘公祥十分钦佩希尔伯特，不止源于希尔伯特树起了19世纪末20世纪初国际数学界的一面旗帜，更因为他坚信每个数学问题都可以得到解决的信念。
“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。
”在“数学问题”演讲中，希尔伯特说道。
隔着一个时代，刘公祥依然能感受到这句话中澎湃的激情。
“热爱+坚持+勤奋”，这份赤子之心是他十数年数学之路上的行走秘籍。
“做学问就要有一颗纯粹的心去追求未知的世界，‘功利’只能是一种额外奖赏，而不应该是肩上的负重。
”刘公祥说。
念念不忘，必有回响1941年，德国数学家H.H o p f发现球面的上同调群具有特殊的代数结构，即H o pf代数结构。
从此，Ho pf代数这个崭新的代数结构迅速发展了起来。
“H o p f代数结构最初来源于拓扑学，它描述了一些拓扑空间的对称性，随着研究的发展，人们发现它不仅仅能描述拓扑空间的对称性，也能用来描绘量子世界的某种对称性。
”刘公祥介绍道，“H o p f代数与物理和数学的很多分支有着意想不到的联系，例如共形场论、低维拓扑、非交换几何、特征p域上的代数群表示理论等。
”谈起H o p f代数，刘公祥神采飞扬。
但在进入安庆师范学院学习之前，刘公祥对数学并没有太过偏爱。
“一个农村孩子，也不知道外面的世界是什么样的”，他说。
高考之前，青葱少年刘公祥对未来的唯一概念就是“学好数理化，走遍天下都不怕”。
为此，他毫无意外地在高考志愿表上填写了3个专业志愿：数学、物理、化学，而后顺理成章地被安庆师范学院数学专业录取。
【国家自然科学基金】_扩张代数_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
53 54
2011年 科研热词 推荐指数 阿贝尔(n.h.abel 2 根式可解性 2 扩张 2 单点扩张 2 分段koszul代数 2 代数方程 2 yoneda代数 2 koszul代数 2 h-galois(分次)扩张 2 1802-1829) 2 随机赋范模 1 随机局部凸模 1 群同态 1 纯无限单c*-代数 1 特征模 1 滤子的根 1 滤子 1 泛逻辑学 1 正则双stone代数 1 模糊逻辑 1 格蕴涵代数 1 提升 1 拉格朗日(grange 1 拉格朗日 1 扩张滤子 1 扩张定理 1 局部l(0)-凸拓扑 1 对偶扩张代数 1 实秩零 1 完备性 1 反变有限 1 区间值(∈ 1 分离定理goldstine-weston稠密性定理 1 分次广义betti数 1 分次可分代数 1 伽罗瓦理论 1 伽罗瓦(evaristegalois 1 三角扩张代数 1 ∈vq)-fuzzy(关联)滤子 1 z_n分次代数 1 ub代数系统 1 rough集 1 rough逻辑 1 rough蕴涵 1 mtl▽逻辑系统 1 mtl▽代数 1 k-群 1 hochschild扩张 1 hochschild上同调群 1 hahn-banach扩张定理 1 gorenstein投射维数 1 1811-1832)理论 1
科研热词 泛逻辑学 导子 中心扩张 ub代数系统 (∈ 非线性抛物方程 阶化平移toroidal李代数 量子群. 自同构 纯无限 粗模糊理想 粗模糊子半环 理想完备 泛中心扩张 模糊逻辑 标准嵌入李超代数 李三超系 有限长度 拟遗传代数 拟三角hopf代数 扭双指标代数 扩张混合元 扩张仿射lie代数 扩张 广义演绎定理 广义v-型偏序集 并行迭代法 平凡扩张代数 平凡扩张 完备性 同余关系 半环 区域分裂法 分次自同构群 代数结构 代数完备 交叉积 二面体群 不变双线性型 下扩张 △-滤子 ∈∨q)-fuzzy滤子 ∈∨q)-fuzzy关联滤子 ∈vq)-fuzzy滤子 ∈vq)-fuzzy关联滤子 witt代数的q-变形 t-幂零 t-可解 ringel对偶代数 ore-扩张 lazy上循环 k*理论
交换群上HOPF路余代数的结构分析
Ｖ０ ． Ｏ Ｎｏ． 】３ ３ Ｓ ｐ． ２ ０ ｅ ，０ ７
第３ Ｏ卷 第 ３期
交换 群 上 Ｈ Ｐ Ｏ Ｆ路余 代 数 的 结构 分 析
唐 秋 林 ， 美 云 吴
（ 通大学理学院 ， 国 南通 南 中 ２６０ ） ２０ ７
摘 要
设 是 域 ， 用 类 似 凯 莱 图 的 Ｈ ｐ 箭 向 ， 交 换 群 Ｄ 运 ｏｆ 在 上 的 分 歧 系 统 中 ， ２个 元 素 非 零 和 ３个 元 素 有
● —— — — — — — — —— — — 一
． ＿
Ｋ ［ Ｇ Ｑ ］中 ， 路 口 与 ａ 的乘法 ａ 将 ｊ ・ａ 记 为 ａａ ， ｊ ｉ 将左 ｊ
乘 法不是 道路 的连 接 ， 以ａ ａ 所 ２ ｌ： ａ １ ａ ａ ． ２ ≠ ２１ ａ
模 作 用记 为 ｇ Ｖｇ∈ Ｇ． ａ， 由于 Ｇ［ Ｑ ］上 的
扭Hopf群余代数的对偶
扭Hopf群余代数的对偶肖艳艳【摘要】定义扭Hopf群余代数以及扭Hopf群代数,研究扭Hopf群余代数的对偶空间,得出一个x-扭Hopfπ-余代数的对偶空间是一个x-扭Hopfπ-代数.【期刊名称】《甘肃科学学报》【年(卷),期】2014(026)003【总页数】4页(P1-3,17)【关键词】Hopf群余代数;Hopf群代数;扭Hopf群余代数;扭Hopf群代数;对偶【作者】肖艳艳【作者单位】南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院,江苏泰州 225300【正文语种】中文【中图分类】O153.3Turaev[1]在研究三维流形与上链环上主π-丛的Hennings-like以及Kuperberg-like不变量时引进了Hopf π-余代数与Hopf π-代数.Virelizier[2]研究了Hopf π-余代数的一些基本性质.Fischman等[3,4]利用双特征标给出了G -分次λ-Hopf代数的概念,并研究了它的一些重要性质.Hopf π-余代数、Hopf π-代数以及G -分次λ-Hopf代数都是通常Hopf代数的推广.受以上文献的启发,将Hopf π-余代数和Ho pf π-代数的概念加以推广,定-扭Hopf π-余代数-扭Hopf π-代数,并研究扭Hopf群余代数的对偶空间,得出一-扭Hopf π-余代数的对偶空间是一-扭Hopf π-代数.1 预备知识以下设K是一个域,K*=K\<FounderNode name=value={0},π是任一乘法群,∶π×π→K*是π上的K-双线性映射.若A是K上向量空间,则记A*=HomK(A,K)为A到K的全体K-线性映射.Hopf代数的相关概念和记号参见文献[5,6].根据π-余代数、Hopf π-余代数、π-代数、Hopf π-代数的定义[2],考虑扭的情形[7,8],定义扭Hopf π-余代数与扭Hopf π-代数.定义1 设H=({Hα}α∈π,Δ,ε)是π -余代数,∶π×π→K*是π上的K-双线性映射,若有一簇K-线性映射S={Sα∶Hα→Hα-1}α∈π(反极元),满足:(1) ∀α∈π,(Hα,mα,uα)是K-代数;(2) ∀α,β∈π,K-线性映射Δα,β∶Hαβ→(Hα⊗Hβ)χ及ε∶H1→K都是代数同态;(3) ∀α∈π,mα(Sα-1⊗idHα)Δα-1,α=uαε=mα(idHα⊗Sα-1)Δα,α-1,则称H=({Hα,mα,uα}α∈π,Δ,ε,S)-扭Hopf π-余代数(简称为扭Hopf群余代数),其中(Hα⊗Hβ)χ中的乘法为(hα⊗hβ)*⊗⊗∀注1 =1时,-扭Hopf π-余代数就是通常意义下的Hopf π-余代数.注2 当π={1}=1时,-扭Hopf π-余代数就是通常意义下的Hopf代数.注3 对余乘法Δ,采用Sweedler记号[5,6],即∀α,β∈π,h∈Hαβ,记⊗h(2,β)∈Hα⊗Hβ,或简记为Δα,β(h)=∑h(1,α)⊗h(2,β),此时余结合律可表示为∑h(1,αβ)(1,α)⊗h(1,αβ)(2,β)⊗h(2,γ)=∑h(1,α)⊗h(2,βγ)(1,β)⊗h(2,βγ)(2,γ),∀α,β,γ∈π,h∈Cαβγ,该元素在Hα⊗Hβ⊗Hγ中,将其记为∑h(1,α)⊗h(2,β)⊗h(3,γ).定义2 设是π-代数,∶π×π→K*是π上的K-双线性映射,若有一簇K-线性映射→(反极元),满足:(1)∀是K-余代数;(2)∀α,β∈π,K-线性映射⊗→与u∶K→都是余代数同态;(3)∀α∈π,mα-1,α(Sα⊗⊗Sα)Δα,则称扭Hopf π-代数(简称为扭Hopf群代数),其中⊗中的余乘法为(h⊗h′)=(β,α)h(1,α)⊗⊗h(2,α)⊗∀h⊗⊗其中:Δα(h)=∑h(1,α)⊗h(2,α),∀⊗∀注4 =1时,-扭Hopf π-代数就是通常意义下的Hopf π-代数.注5 当π={1}=1时,-扭Hopf π-代数就是通常意义下的Hopf代数.称Hopf π-余代数H=({Hα,mα,uα}α∈π,Δ,ε,S)是局部有限的,如果∀α∈π,K-向量空间Hα都是有限维的.类似地可以定义局部有限的扭Hopf群余代数.下面讨论扭Hopf群余代数的对偶,首先引入下列映射.设C=({Cα}α∈π,Δ,ε)是一个π-余代数,由Δα,β∶Cαβ→Cα⊗Cβ与ε∶C1→K分别导出→与→并记映射设(Aα,mα,uα)是有限维K-代数,由mα∶Aα⊗Aα→Aα与uα∶K→Aα分别导出→⊗与→K.设H=({Hα,mα,uα}α∈π,Δ,ε,S)是Hopf π-余代数,由Sα∶Hα→Hα-1导出→并记映射S*于是有如下引理.引理1 设C=({Cα}α∈π,Δ,ε)是一个π-余代数,则C*是一个π-代数.证明一方面,∀a*∀α,β,γ∈π,⊗(a*⊗b*⊗c*⊗⊗b*⊗c*))Δαβ,γ(c)=⊗b*)⊗c*)(c(1,αβ)⊗c(2,γ))=∑((a*⊗b*)Δα,β(c(1,αβ)))c*(c(2,γ))=∑(a*⊗b*)(c(1,αβ)(1,α)⊗c(1,αβ)(2,β))c*(c(2,γ))=∑a*(c(1,α))b*(c(2,β))c*(c(3,γ)),且⊗(a*⊗b*⊗c*⊗⊗b*⊗c*))Δα,βγ(c)=∑(a*⊗⊗c*))(c(1,α)⊗c(2,βγ))=∑a*(c(1,α))(b*⊗c*)Δβ,γ(c(2,βγ))=∑a*(c(1,α))(b*⊗c*)(c(2,βγ)(1,β)⊗c(2,βγ)(2,γ))=∑a*(c(1,α))b*(c(2,β))c*(c(3,γ)),于是⊗⊗∀α,β,γ∈π.另一方面,∀a*∀α∈π,⊗(a*⊗⊗⊗⊗⊗1)(c(1,α)⊗c(2,1))=∑(a*⊗1)(idCα⊗ε)(c(1,α)⊗c(2,1))=∑(a*⊗1)(c(1,α)⊗ε(c(2,1)))=∑a*(c(1,α)ε(c(2,1)))=a*(c),且⊗⊗a*⊗⊗a*⊗⊗a*)(c(1,1)⊗c(2,α))=∑(1⊗a*)(ε⊗⊗c(2,α))=∑ε(c(1,1))a*(c(2,α))=∑a*(ε(c(1,1))c(2,α))=a*(c),于是⊗⊗∀α∈π.所以C*是一个π-代数.引理2 设H=({Hα,mα,uα}α∈π,Δ,ε,S)是一个局部有限的Hopf π-余代数,则H*是一个Hopf π-代数.证明首先,由引理1知,H*是一个π-代数.其次,∀α∈π,由(Hα,mα,uα)是有限维K-代数,可得是K-余代数,并且∀α,β∈π,由Δα,β∶Hαβ→Hα⊗Hβ与ε∶H1→K都是K-代数同态,可得⊗→与→都是K-余代数同态[5].于是要证结论成立,只需证明⊗⊗成立.事实上,∀∀α∈π,⊗⊗⊗⊗h(2,α))=⊗即⊗∀α∈π.同理可证⊗所以结论成立.2 主要结论定理1 设H=({Hα,mα,uα}α∈π,Δ,ε,S)是一个局部有限-扭Hopf π-余代数,则H*是一-扭Hopf π-代数.证明由引理2以及定义2知,要证结论成立,只需证明⊗→是余代数同态,也即∀(f⊗f′)(h⊗h′)⊗(f⊗f′)(h⊗h′).由于∀h,h′∈Hαβ,Δα,β(h)=∑h(1,α)⊗⊗于是∀(f⊗f′)(h⊗h′)=(f⊗f′)mαβ(h⊗h′)(f⊗f′)(hh′)=(f⊗f′)Δα,β(hh′)=∑(f⊗f′)⊗⊗又⊗(f⊗f′)(h⊗h′)(f⊗f′)(Δα,β⊗Δα,β)(h⊗h′)=∑(f⊗f′)m(Hα⊗Hβ)χ(h(1,α)⊗h(2,β)⊗⊗∑(f⊗f′)⊗⊗因此结论成立.推论1 设H=({Hα,mα,uα}α∈π,Δ,ε,S)是一个局部有限的Hopf π-余代数,则H*是一个Hopf π-代数.参考文献:【相关文献】[1] Turaev V G.Homotopy Field Theory in Dimension 3 and Crossed Group-categories[Z].2000.[2] Virelizier A.Hopf Group-Coalgebras[J].Journal of Pure and AppliedAlgebra,2002,171(1):75-122.[3] Fischman D,Montgomery S.A Shur Double Centralizer Theorem for Cotriangular Hopf Algebras and Generalized Lie Algebras[J].Journal of Algebra,1994,168:594-614.[4] Weil A.Sur Certains Groups Doperateurs Unitaires[J].Acta.Math.,1964,111:145.[5] Sweedler M.Hopf Algebra[M].New York:Benjamin,1969.[6] Montgomery S.Hopf Algebras and Their Actions on Rings[M].Providence:American Mathematical Society,1993.[7] Zhang P,Li L B.Twisted Hopf Algebras[J].Mathematics,2002,224:269-282.[8] Li L B,Zhang P.Twisted Hopf Algebras,Ringel-Hall Algebras and Green’s Categories[J].Journal of Algebra,2000,231(2):713-743.。
Hopf代数kq[x,x-1,y]的余代数自同构与Uq（sl2）-模余代数结构
![Hopf代数kq[x,x-1,y]的余代数自同构与Uq（sl2）-模余代数结构](https://img.taocdn.com/s3/m/de22e22ea22d7375a417866fb84ae45c3b35c24a.png)
Hopf代数kq[x,x-1,y]的余代数自同构与Uq(sl2)-模余代数结构作者：王文娟学位授予单位：扬州大学引用本文格式：王文娟Hopf代数kq[x,x-1,y]的余代数自同构与Uq(sl2)-模余代数结构[学位论文]硕士 2012华中科技大学硕士学位论文“假”的生产及其逻辑——对“华南虎事件”的分析姓名：张斌申请学位级别：硕士专业：社会学指导教师：吴毅20080603摘要“华南虎事件”是2007年公众关注的焦点，本研究起始于这样一个疑问：“华南虎事件”中陕西省有关方面为何要造假？本研究以故事的形式将事件较为完整地呈现出来，通过对事件的参与者陕西省林业厅、地方政府、评审专家、周正龙、官僚系统、网络、傅德志、新闻媒体、国家林业局等在事件中的表现的描述，揭示了他们背后的结构性力量，并由此逐渐呈现出了整个事件的逻辑。
本研究最终将这一逻辑用“体制性造假”来概括。
体制性造假是受到体制逼迫的产物，是地方政府在面临体制的困境时不得不为的选择，而为了达到体制性造假的目的，地方政府又充分利用其所掌握的体制资源和力量来造假，“华南虎事件”讲述的也就是地方政府在体制困境之下如何“趋利避害”的故事。
体制性造假受到网络、媒体、公众等的制约，造假将使政府公信力受损，但造假又不得不为，因此地方政府凭借体制对专家的控制来造假。
为了掩盖造假行为，地方政府对信息加以严格控制。
但对信息的控制遭遇到网络、媒体和专家的挑战，他们既是体制性造假的障碍，又刺激地方政府不断动用体制维护造假。
而意在对造假进行惩处的制度又被体制歪曲，从而变相加剧了体制性造假，这更是一种吊诡。
关键词：体制性造假信息控制行政问责AbstractIn 2007, the public focus on the Controversy of Huanan Tiger, and the doubt of why the local government has to fake spur me to start this disquisition.This paper inextenso narrate the story, throw the characterization of State Forestry Bureau, the local government, officeholder, the public, and the media, indicate the dominator behind them, then gradually get to the logic of the Controversy, and conclude it with "institutional fake".The institutional fake is caused by the unreasonable system, the local government have to fake in the dilemma caused by the system, in order to fake successfully, the local government use all his forces, the Controversy of Huanan Tiger is a story of how the local government fake in the dilemma.The institutional fake is enslaved to the public, the media, the public opinion, the validity would be damaged by the fake, but the local have no choice, so he has to use the experts to help to fake.In order to deceive the public, the local government has to blank off all the information.But now the monopolization of information is challenged by the public, the media. They are the limiting factors of faking but also the accelerating factors, which is self-contradictory.Key Words:The Institutional Fake; Monopolization of Information;the Condemn to Bureaucracy独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
关于拟三角Hopf代数的Cylinder余代数和Cylinder余积(英)
264Vol.26,No.4 200611JOURNAL OF MATHEMATICAL RESEARCH AND EXPOSITION Nov.,2006 Article ID:1000-341X(2006)04-0635-14Document code:ACylinder Coalgebras and Cylinder Coproducts forQuasitriangular Hopf AlgebrasZHANG Liang-yun1,2,LI Fang3(1.Dept.of Math.,Nanjing Agricultural University,Jiangsu210095,China;2.Dept.of Math.,Nanjing University,Jiangsu210008,China;3.Dept.of Math.,Zhejiang University,Hangzhou310027,China)(E-mail:zlyun8@)Abstract:This paper introduces the concepts of cylinder coalgebras and cylinder coproductsfor quasitriangular bialgebras,and points out that there exists an anti-coalgebra isomorphism(H,∆)is the cylinder coproduct,and(H,˜∆)is the braided coproductgiven by Kass.For anyfinite dimensional Hopf algebra H,the Drinfel’d double(D(H),Received date:2005-03-04Foundation item:the National Natural Science Foundation of China(10571153),and Postdoctoral Science Foundation of China(2005037713).636Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.26∆f=(f⊗f)∆andεf=ε,and that there exists an anti-coalgebra isomorphism(H,∆) is a cylinder coproduct and(H,˜∆)is a braided coproduct.For anyfinite dimensional Hopf algebra H,the cylinder coproduct(D(H),No.4ZHANG Liang-yun,et al:Cylinder coalgebras and cylinder coproducts637(1⊗1+1⊗g+g⊗1−g⊗g).2Let C=k{x,y}be a coalgebra.Define its comultiplication and counit as follows:∆(x)=x⊗x,ε(x)=1,∆(y)=x⊗y+y⊗x,ε(y)=0,then for any non-zero linear map f:C→H with f(y)=0,(C,f)are not cylinder coalgebras. Proof(1)Assume that f:C→H is a coalgebra map.Then,by Definition2.1,for any c∈C,ΣR′′i f(c1)r′i⊗R′i r′′i f(c2)=Σf(c1)⊗f(c2).It follows from Im f⊆Z(H)or R∈Z(H⊗1H)thatΣ(R′′i r′i⊗R′i r′′i)(f(c1)⊗f(c2))=Σf(c1)⊗f(c2).SoΣR′′i r′i⊗R′i r′′i=1⊗1,that is,R−1=τR,(H,R)is triangular.Conversely,it is straightforward.(2)It follows from Definition2.1that f:C→H is a cylinder homomorphism if and only if f is a coalgebra map.638Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.26No.4ZHANG Liang-yun,et al:Cylinder coalgebras and cylinder coproducts639640Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.26No.4ZHANG Liang-yun,et al:Cylinder coalgebras and cylinder coproducts641642Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.26No.4ZHANG Liang-yun,et al:Cylinder coalgebras and cylinder coproducts643644Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.26∆:H→H⊗H,h→Σ¯R′′i h1ℜ′i⊗ℜ′′i¯R′i h2,where R−1=Σ¯R′i⊗¯R′′i,andℜ=Σℜ′i⊗ℜ′′i.This coproduct is called a cylinder coproduct,and denoted by(H,∆R(c)=ΣR′i·c1⊗c2·R′′i,then,by[8],(C,∆R is called the twisted coproduct,and(C,∆,ε)given in Definition3.2is a coalgebra.Proof Let R−1=Σ˜R′i⊗˜R′′i andℜ=Σℜ′i⊗ℜ′′i.According toΣε(˜R′i)˜R′′i=1=Σ˜R′iε(˜R′′i)andΣε(ℜ′i)ℜ′′i=1=Σℜ′iε(ℜ′′i),then,for any h∈H,(I⊗ε)∆(h),that is,εis a counit.By(Q2)and(Q3),one easily obtain the following equalities:Σ∆(ℜ′i)⊗ℜ′′i=Σℜ′i⊗R′i⊗R′′iℜ′′i−(C);Σℜ′i⊗∆(ℜ′′i)=Σℜ′i R′i⊗ℜ′′i⊗R′′i−(D)(∆⊗I)R−1=Σ˜R′i⊗˜r′i⊗˜r′′i˜R′′i−(E);(I⊗∆)R−1=Σ˜R′i˜r′i⊗˜R′′i⊗˜r′′i−(F) Thus,by(C)–(F)and Lemma3.1,for any h∈H,we have(I⊗∆(h)=Σ(I⊗∆⊗I)∆⊗I)(¯R′′i h1ℜ′i⊗ℜ′′i¯R′i h2)=Σ˘R′′i(¯R′′i h1ℜ′i)1r′i⊗r′′i˘R′i(¯R′′i h1ℜ′i)2⊗ℜ′′i¯R′i h2=Σ˘R′′i¯R′′i1h1ℜ′i1r′i⊗r′′i˘R′i¯R′′i2h2ℜ′i2⊗ℜ′′i¯R′i h3(F)=Σ˘R′′i¯R′′i h1ℜ′i1r′i⊗r′′i˘R′i˜R′′i h2ℜ′i2⊗ℜ′′i¯R′i˜R′i h3(C)=Σ˘R′′i¯R′′i h1ℜ′i r′i⊗r′′i˘R′i˜R′′i h2R′i⊗R′′iℜ′′i¯R′i˜R′i h3=Σ˘R′′i˜R′′i h1ℜ′i r′i⊗r′′i˘R′i¯R′′i h2R′i⊗R′′iℜ′′i˜R′i¯R′i h3=Σ¯R′′i˘R′′i h1ℜ′i r′i⊗r′′i˜R′′i˘R′i h2R′i⊗R′′iℜ′′i˜R′i¯R′i h3,(by Lemma3.1)that is,(∆=(I⊗∆.So(H,∆H)→(L,∆)is a cylinder homomorphism if and only if∆). Proof Assume that f is a cylinder homomorphism.Then,by(C2),for any c∈C,∆f=(f⊗f)∆andεf=ε,then for any c∈C,Σ¯R′′i f(c)1ℜ′i⊗ℜ′′i¯R′i f(c)2=Σf(c1)⊗f(c2).Hence we can concludeΣ¯R′′i f(c)1ℜ′i R′i⊗R′′iℜ′′i¯R′i f(c)2=Σf(c1)R′i⊗R′′i f(c2)Σ¯R′′i f(c)1⊗¯R′i f(c)2=Σf(c1)R′i⊗R′′i f(c2).SoΣf(c)1⊗f(c)2=Σr′′i f(c1)R′i⊗r′i R′′i f(c2).Example3.5Let H be afinite dimensional Hopf algebra with antipode S.Then,by[1],the multiplication and comultiplication of the Drinfel’d double D(H)=H∗COP⊲⊳H are given as follows:for f,f′∈H∗,h,h′∈H,(f⊲⊳h)(f′⊲⊳h′)=Σf(h1։f′2)⊲⊳(h2ևf′1)h′∆D(H)(f⊲⊳h)=Σ(f2⊲⊳h1)⊗(f1⊲⊳h2).By Theorem10.3.6in[1],the Drinfel’d double D(H)is a quasitriangular Hopf algebra with antipodeS D(H)=ΣS(h2)⇀S(f1)⊗f2⇀S(h1).(1)(D(H),∆D(H)(f⊲⊳h)=Σh∗i f3⊲⊳h1ℓi⊗S(ℓ∗i)(S(h i2։f2)⊲⊳(S(h i1)ևf1)h2,where{h∗i,h i}and{ℓ∗i,ℓi}are two dual bases of H.(2)Letγ:H→D(H),h→ε⊲⊳h.Then(H,γ)is not a cylinder coalgebra for(D(H),R), where R=ΣεH⊲⊳h i⊗h∗i⊲⊳1H.Proof(1)By the above discussion,we know R−1=ΣS(R′i)⊗R′′i andℜ=ΣR′i⊗S(R′′i). According to[1],R=ΣεH⊲⊳h i⊗h∗i⊲⊳1H,it is easy to show R−1=ΣεH⊲⊳S(h i)⊗h∗i⊲⊳1H andℜ=ΣεH⊲⊳h i⊗S(h∗i)⊲⊳1H.Thus,by Definition3.2,we get easily∆D(H)),h→ε⊲⊳h is not a coalgebra map,so,by Proposition3.4,γis not a cylinder homomorphism for(D(H),R).•(Braided coproducts)Let(H,R)be a triangular Hopf algebra,and“⇀”denote a quantum adjoint action on H:g⇀h=Σg1hS(g2).Then H has the second coalgebra structure˜∆(h)=Σh1S(R′′i)⊗R′i⇀h2.which is called the braided coproduct of H(see Theorem7.4.2given in[9]).Proposition3.6Let(H,R)be a triangular Hopf algebra,and(H,∆)f∼=(H,˜∆),where the map f:(H,∆(h)=Σ(f⊗f)(¯R′′i h1ℜ′i⊗ℜ′′i¯R′i h2)=ΣS(ℜ′i)S(h1)S(¯R′′i)⊗S(h2)S(¯R′i)S(ℜ′′i) =ΣS(ℜ′i)S(h1)S(R′i)⊗S(h2)S(R′′i)S(ℜ′′i)(R−1=τR)=ΣS(ℜ′i)S(h1)R′i⊗S(h2)R′′i S(ℜ′′i)((S⊗S)R=R in[1])=ΣS(r′i)S(h1)R′i⊗S(h2)R′′i S2(r′′i)(ℜ=(I⊗S)R)=Σr′i S(h1)R′i⊗S(h2)R′′i S(r′′i)andτ˜∆f(h)=Στ(S(h2)S(R′′i)⊗R′i⇀S(h1))=ΣR′i⇀S(h1)⊗S(h2)S(R′′i)=ΣR′i1S(h1)S(R′i2)⊗S(h2)S(R′′i)(Q2)=ΣR′i S(h1)S(r′i)⊗S(h2)S(R′′i r′′i)=ΣR′i S(h1)r′i⊗S(h2)r′′i S(R′′i),∆=τ˜∆f.It is obvious thatεf=εand hence f is an anti-coalgebra map. References:[1]MONTGOMERY S.Hopf Algebras and Their Actions on Rings[M].CBMS,Lect.Notes82:1,1993.[2]DIECK T,OLDENBURG R H.Quantum groups and cylinder braiding[J].Forum Math.,1998,10:619-639.[3]TAKEUCHI M.The cylinder product and cylinder matrices[J].J.Algebra,1999,222:485–499.[4]DˇASCˇALESCU S,RAIANU S,ZHANG Yin-huo.Finite Hopf-Galois coextensions,crossed coproducts,andduality[J].J.Algebra,1995,178:400–413.[5]KAFFMAN L H,RADFORD D E.A necessary and sufficient condition for afinite-dimensional Drinfel’ddouble to be a ribbon Hopf algebra[J].J.Algebra,1993,159:98–114.[6]MILITARU G.A class of non-symmetric solutions for the integrability condition of the Knizhnik-Zamolodchikovequation:a Hopf algebra approach[J].Comm.Algebra,1999,27:2393–2407.[7]ZHANG Liang-yun,TONG Wen-ting.Quantum Yang-Baxter H-module algebras and their braided products[J].Comm.Algebra,2003,31:2471–2495.[8]ZHANG Liang-yun,ZHU Jia-gui,TONG Wen-ting.Relative Yetter-Drinfel’d modules and twisted Hopfmodules as well as their fundamental structure theorems[J].Acta Math.Sinica,2003,46:1143–1152.(in Chinese)[9]MAJID S.Foundations of Quantum Group Theory[M].Cambridge University Press,Cambridge,1995.Hopf Cylinder Cylinder1,2,3(1.210095;2.210008;3.310027):cylinder cylinder(H,∆)cylinder(H,˜∆)Hopf H,Drinfel’d(D(H),。
代数学简介-章璞
ArXiv分类中的代数学分支 ArXiv分类中的代数学分支
范畴论 (math.CT) 交换代数 (math.AC) 群论 (math.GR) K-理论和同伦 (math.KT) 理论和同伦 量子化代数 (math.QA) 表示论 (math.RT) 环与代数 (math.RA)
代数学的粗略分类
交换代数 代数表示论 Kac-Moody代数 Kac-Moody代数 同调代数与K-理论 同调代数与 理论 群论与群表示论 量子群与代数群 代数编码 环论与Hopf代数 代数 环论与
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古典代数学： 古典代数学：中心问题
Algebra (代数学)的原始含意： 用字母代替数进行运算
古典代数学（至19世纪上半叶）中心问题： 求代数方程的根
古典代数学： 古典代数学：代表性成就
古代巴比伦人:2次方程求根公式 13世纪秦九绍:高次方程的近似解 16纪意大利:3和4次方程求根公式 18世纪初:
代数学新纪元
1905:Wedderburn确定半单代数 1911:Steinitz奠基域论 1921:Noether奠基环论 1931:Van der Waerden出版《近世代数》 1942:Lefschetz出版《代数拓扑》 1946:Weil出版《代数几何学基础》 1956:Cartan-Eilenberg出版《同调代数》 至此，近世代数的最主要 的分支出现
古典代数学的终结
Evariste Galois(1811-1832) 17岁发现：代数方程的根式可解性 是由这个方程的Galois群的可解性 决定的.因此，5次及以上代数方程 不存在求根公式。而古典代数学的 其它难题（如尺规作图和倍方问题），此后也均可 用Galois理论得到完全解决。从而古典代数学终结
张三博士后出站申请报告[001]
![张三博士后出站申请报告[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/fbd9b2df8762caaedd33d4ae.png)
张三博士后出站申请报告
全国博管办：
江苏省人力资源和社会保障厅：
东南大学博士后管理办公室:
本人张三，统招统分/在职/企业博士后，于2009年1月进入东南大学数学博士后流动站，主要从事弱Hopf代数与余环方向的研究。
在站期间，本人主持了国家自然科学基金项目“Turaev辫子群范畴的构造、分类及其应用”（9，执行年限），江苏博士后基金项目“Galois 弱余环上的上同调理论”（123456C，执行年限），浙江省自然科学基金项目“Turaev辫子群范畴的构造、分类及Hopf Monads理论”（Y123456，执行年限），浙江省优秀青年教师资助项目“余环的相关研究”，同时作为主要成员参加了国家自然科学基金项目“分段Koszul代数和Calabi-Yau代数的相关研究”（，执行年限）。
由于这些研究工作量大，且具有一定的难度，耗费了本人一定的时间和精力，导致本人未能如期办理相关出站手续。
现在，本人已经完成了所有科研任务，发表了五篇高水平文章，取得了一定的创新性研究成果，达到了东南大学博士后出站要求，特申请出站，望批准！
数学博士后流动站博士后：张三
2015年1月31日
注意事项：
1.红色部分请根据申请人的实际情况更替相关内容。
括号中数字为
项目编号。
2.本报告拟好后，请将注意事项全部删掉。
3.此申请报告经合作导师签字、院系盖章后，交予东南大学博士后
管理办公室，并将电子版发送至。
Hopf代数上的扭曲模和(斜)余配对Hopf模
（．） １’ ２
如果 满足 （． 和 （． ， （ Ｋ， 是配对双代数 ［． １ ） １ ）称 日， １ ２ １ 】 如果 满足 （． 和 （．）称 （ Ｋ，） １ ） １ １ ２ ， 日， 是斜配对双代数． 例 １ 设 日 是有限维双代数，则 （ Ｈ， ）为配对双代数，其中 （ 是赋值映射，而且 ． １ Ｈ ， （） ， ， ） （ ｏ， （）为斜配对双代数． Ｈ ｐＨ， ） ， 如果 （ ） 日， 是配对双代数， （ ｐ 。 ） Ｈ。 ， ｏ ， ｐ ｐ ｏ。 ） 则 日ｏ， ｏ ， ｏ ｐ （ 。 ， ｐ ｐ 都是配对双代数． ｐ（ ｐ ） 日ｏ ｏ ｏ 设 （ Ｋ，） 日， 是斜配对双代数， 若 是左 日 左 双余模代数， 定义 ０ ｂ ・ ＝∑ （ ，（１ ６ ０一） ） ００ 容易证明 （ － 是一个代数，称为斜扭曲积． （ ， ） ， ） 类似地，设 （ Ｋ，） 日， 是斜配对双代数，若 是左 日 左 双余模余代数，定义 △ （ ＝ ｃ ） ∑ （ ， （１ｃ （ ， （ ， Ｅ 是一个余代数 ， ｃ ｃ 一） 茄ＯＣ ｏ 则 ｃ △ ， 】 ２ ） ２） ） 记为 ． 下面考虑斜配对双代数上的模与余模扭曲． 设 日 是双代数， 既是左 日一 ， Ｍ 余模又是左 Ｋ 余模， 一 其结构映射分别是 Ｐ Ｍ — Ｈ￣ Ｈ： Ｍ 为 仇 一 ∑ 仇 Ｏ ， Ｋ： — Ｋ 为 仇 一 ∑仇（１Ｏ仇（ ． 日 是双代数， 为左 日 ｐ Ｍ ＯＭ 一） ０ 设 ） 一
１扭曲模和 Ｄ（ － ） 模的构造
先给 出一些 概念． 设 （ ｍ， ￡ 是双代数，定义新的一个乘法结构， ｍ￣（ ｂ ＝ｍ（ ０，， ， △，） ｐａ ） ｂ ） ｂ∈Ｈ， ａ 则
（ ｍ叩， ，） 日， △ ￡ 是一个双代数， 记为 日Ｄ。 ｐ 如果定义一个新的余乘法结构： Ａ Ｐａ ＝∑ ａ ａ， （） ２ ｌ 其中 △（） ０ ＝∑ ａ ａ， ｌ ２ ａ∈Ｈ， （ ｍ， 。 ，） 则 日， Ａ ｏ ￡ 构成新的双代数，记为 Ｈ。 ． ｐ ｏ ｐ 设 日， 均为双代数， 若 ： Ｋ — Ｆ是双线性映射， ＨＸ 对任意 ｈｇ∈Ｈ，，∈Ｋ， ＾ １ ＝ ， ｋｆ （，） ￡＾，（，） （） （） １ ＝￡ 及
Hopf拟群上扭曲冲积
Hopf拟群上扭曲冲积
方小利;王栓宏
【期刊名称】《东南大学学报（英文版）》
【年(卷),期】2011(027)003
【摘要】为了研究平行球面s7的代数结构,引进了Hopf拟群上的拟模和双拟模代数的概念,由于这些概念的公理中模缺少结合性的条件,通过增加对极的条件来弥补结合性的条件.并通过双拟模代数构造了扭曲冲积的概念,事实上这种扭曲冲积是Hopf代数上扭曲冲积的推广,并且证明了扭曲冲积与张量余积成为Hopf拟群的充要条件为当且仅当下列条件
(h1→a)(x)h2=(h2→a)( )h1,(a←S(h1))(x)h2=(a←S(h2))(x)h1成立.所得到的结果推广并改进了Hopf代数上扭曲冲积一些相应的结果.
【总页数】4页(P343-346)
【作者】方小利;王栓宏
【作者单位】东南大学数学系,南京211189;东南大学数学系,南京211189
【正文语种】中文
【中图分类】O153
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Ｍ Ｒ（０ ０ 主题分类 ：６ ０ 中图分类号： ５． 文献标识码： ２０） １Ｗ３ Ｏ１３ ３ Ａ 文章编号 ：０３３９ （ １）１１９１ １０—９８２ ００—７—８ ０
０ 引言
Ｓ ｅｄｅ［ 给 出了余 交换 Ｈ ｐ 代 数 日 上 的交换 模代 数 Ａ 的 Ｓ ｅｄｅ 同调 理论 ． ｗ ｅｌｒ Ｊ ｕ ｏｆ （０ ７ １ ２ 资助 １ ７ １８ ）
１０ ８
数
学
物
理
学
报
、 １Ｏ ，． Ａ ０３
１ 预备 知 识
通篇设 是域． 代数，余代数，模，余模，映射 ，以及没有标注的 Ｈ ｒ 和 等都是域 ｏ ｎ ｋ上的，除非特别 声 明． 基本概念和定义参考 Ｍｏｔｇｍ ｒ［ 和 Ｓ ｅｄ ｒ ］为了简便起见，省略符号 “ 这 ｎｏｏ ｅ 。 ｙ 】 ｗ ｅｌ ［ ． ｅ ∑” 样不会 引起混 淆．记 余代数 日 的余乘法 Ａ ： — Ｈ ⑧Ｈ 为 Ａ（） ｈ ｈ． Ｈ 一 Ｈ ｈ ＝： ｉ ２ 左 余模 结 构映 射 Ｐ： ＿ Ｈ Ｖ 记 为 ｐｖ ＝： 一） ”０． Ｖ （） （１ （ ） 设 日 为代 数 ， Ｃ 是余 代数 ，定义 Ｒ ｇ（ Ⅳ） ｃ 到 Ｈ ＠Ｈ … Ｈ 的 所有卷积 可 ｅ ｃ， 为 逆 映射构 成的 群，其 中 ｎ １ Ｒ ｇ （ Ｈ）为 Ｃ 到 ｋ的所 有卷 积可逆 映射 构成 的群 ．简记 ； ｅ。 ， Ｒ ｇ（ Ｈ） Ｒ ｇＣ 南， ｅ Ｃ Ｈ） Ｒ ｇＣ 日）进 一步 ， Ⅳ 是双代 数， Ｒ ｇ＿ ， ＝ ｅ。ｃ， 为 ｅ（ ，）Ｒ ｇ（， 为 ｅ（ ， ． 若 令 ｅ￣Ｃ 何） （ ｛ ∈Ｒ ｇ （， Ｊ 满足正规条件 ） 即 咖∈Ｒ ｇ （ ， ， ｅ Ｈ） ， ｅ， Ｃ Ｈ） 当且仅当 ∈Ｒ ｇ （ ， 且 （ ＠ ＿ ｅ Ｈ） ｉ ｄ ｉ Ｅ … ｄ ｃ ＝Ｅｃ１ ｄ ｉ ０ｄ ）（） （）盯⑧… １ ． Ⅳ 为了方 便 ，我 们称子 群 Ｒ ｇ （ ， 中 的 ｅ￣ Ｃ 日） 元 素为正则 元 ．如果 Ｈ 是交 换的 ， 是余 交换 的，那么 Ｒ ｇ （ 日） ｅ，Ｃ， 在卷 积运算 下作 成交
毪
数学物理学报
２１，０ １： ９ １６ ００ Ａ（） ７～ ９ ａ １ ｈｔ： ａｔｍ ．ｉｍ． ． ｔｐ／ ｃａ ｓ ｐ ａ ｃ ／ ｗ ｃｎ
交换 Ｈｏ ｆ ｐ 代数扭余作用下 的余代数的上同调
居腾 霞
（ 大学理 学院 江苏南通 ２ ６ ０ ） 南通 ２ ０７
摘要：该文 证明了若交换 Ｈｏ ｆ代数在余代数 上 的扭 余作用的 ｃａｓ ｃ ｔｒ是卷积 可逆 ｐ ｏｓｏ ｉ ｏ ａ 的，那么该扭余作 用也是 可逆 的．在这种情形下 ，给 出了余代数 的正则上 同调的定义 ，并
且证得每个可逆的扭 余作用可以提 升到 圩 的系数属于 的一个三次正则上同调类，且扭余
作用的 ｏ ｓｒ ｃｉｎ是平凡的当且仅 当该扭余作用对应着一个 ｃｅ ｂｔｕ ｔ ｏ ｌｆ ｔ余扩张． 关键词：Ｓ ｅ ｄｅ 同调；正则上 同调；扭余作用； ｃ ｆ ｗ ｅｌ ｒ上 ｌｔ余扩张． ｅ
一
当抽 象核容 许 一个 ｃｅ 余扩 张 ． ｌｔ ｆ
收稿 日期：２ ０ — ５０ ； ０ ８０ —８ 修订 日期；２ ０ —９０ ０ ９０ — ９
Ｅ－ ｉ ｊ ｘ ｔ ． ｕ ｃ ； ｔ ｍｏ ｎ ｍａｌ Ｏ ｍａ ｌ ｔ ￣ｎ ｕ ｅ ．ｎ ｊ ｘ ｏ ＠ｇ ｉ Ｃ ｒ ： ｄ ． ｎ
特别地当 Ｈ ｐ 代数 Ｈ 是群代数或李代数的泛包络代数时，Ｓ ｅｄ ｒ ｏｆ ｗ ｅ ｌ 上同调理论和群的上 ｅ 同调 或李代 数 的上 同调理论 紧 密相关 ． 的 Ｈ—ｌ 扩 张 的等价类 和第 二上 同调 群存在 着一 ｃｆ ｅ ｔ 对应 （ 见定理 ８６ ） Ｄｏ 和 Ｔ ｋｕ ｈ 【１ ｌｔ ｅ， ｏ ｅ ． ． ｉ ａ ｅ ｃｉ７ ａｔ ｒ Ｃ ｈ ｎ和 Ｍｏ ｔｏ ｒ ｊＢ ａｔｅ 和 ＪＢ ｎ ｎ ｇ ｍｅｙ ｌ’ ｌｔｎ ｒ 】 Ｍｏｔｏ ｒ ２在某 种程度 上 将 ｃ ｆ扩 张的 上 同调描 述推 广到 了一般 情形 ．交 叉 积和 ｃ ｆ ｎｇｍｅｙ＿ Ｊ ｌ ｅ ｔ ｌ ｅ ｔ 扩张 的性 质我 们可 以参考 Ｄ ｉ－１ Ｓｈ ｕｎｕｇ加 介 绍 了抽 象核 和 ｏ ｓｒｃｉｎ理论 ，并 且 ｏ［ ６ ｃａｅｂ ｒ［ｌ ５ ． ｂｔｕｔ ｏ 给 出了三次 Ｓ ｅｄｅ 上 同调类 和 ｃ ｆ 扩张 的 ｏ ｓ ｕ ｔ ｎ之 间的关 系． ｗ ｅｌ ｒ ｌｔ ｅ ｂｔ ｃｉ ｒ ｏ 本文研 究交 换 Ｈ ｐ 代数 弱余 作用 下 的余 代数 的 上 同调 ，并且 利用 上 同调手法 处理 交换 ｏｆ Ｈ ｐ 代数 上 的 ｃ ｆ余 扩 张．我们 从交换 Ｈ ｐ 代 数 日（ 换 Ｈｏｆ 数 的一个 非常 熟悉 的例 ｏｆ ｌｔ ｅ ｏｆ 交 ｐ代 子是 仿射 群的 坐标 环） 的余交 换 余模余 代数 的 Ｓ ｅｄｅ 同调群 的定义 着手 ，将余模 上 ｗ ｅｌ ｒ上 余代 数 的上 同调思 想推 广到带 有弱余 作 用的余代 数 上去 ．我 们证 明了如果 交换 Ｈｏｆ 数在 ｐ代 余代 数上 的扭余 作用 对应 的 ｃａｓｃ ｔｒ ｏ ｓ ｉ ｏ 是卷 积可逆 的，那 么 ，该扭 余作 用也是 可逆 的 ．利 ｏａ 用这 个 事实 ，我们定 义 了交换 Ｈｏｆ 数 扭余作 用 下的余 代数 的正 则上 同调 ，其 中扭余 作用 ｐ代 对应 的 ｃａｓｃａｏ ｏｓｏｉｔｒ是卷 积 可逆 的．进 一步 可证 得交 换 Ｈｏｆ 数 在余 交 换余 代数 上 ｐ代 的可逆 弱余作 用使得 成为 日 ． 余模 余 代数 ．在这 种情 形下 ，正 则上 同调 和 Ｓ ｅｄｅ 上 同 ｗ ｅｌ ｒ 调是 一致 的 ．接下 来考虑 交换 Ｈ ｐ 代数 Ｈ 上 的 ｃ ｆ 余 扩张 ．我们证 得若 Ｄ／ 是 Ｈ． ｌｆ ｏｆ ｌ ｅ ｔ Ｃ ｃ ｔ ｅ 余扩 张 ，其 中 ＝Ｄ／ＤＨ＋， 么群 Ｒ ｇ （ Ｈ） 过卷 积在 的所 有 ｃｉｔｇａ 上 的左作 （ ）那 ｅ＋ ， 通 ｏｎｅｒｌ 用是 可迁的 ．三次正则 上 闭链的 同调类仅 仅 依赖于 抽象核 ，三 次正则 上 闭链是平 凡 的当且仅