河海大学硕士数值分析试卷08~09

数 值 分 析 试 卷

姓名 学号 成绩

1. 填空(10分,每空2分)

1) 为了减少运算次数,应将表达式113141817162345---++x x x x x 改写为 .为了减少舍入误差的影响,应将表达式

20002001-

改写为 .

2) 用二分法求方程0152)(3=--=x x x f 在区间[1,3]内的根,进行一步后根所在区间为

,进行二步后根所在区间为 .

3) 在高斯顺序消去法中,)

1(-k kk a 称为第k 步主元.为使消去法得以顺利进行,必

须 .

2. 选择题(10分,每题2分)

(1)设有求方程1=x xe 根的迭代公式k

x k e

x -+=1，取初值5.00=x ，则迭代公式

A. 发散

B. 敛散不定

C. 收敛

D. 不确定 (2)辛普森(Simpson)公式)]()2

(

4)([6

)(b f b a f a f a b dx x f b

a +++-≈

⎰可由

A. 分段线性插值导出

B. 抛物插值导出

C. 线性插值导出

D. 分段抛物型插值导出

(3)矩阵A 满足什么条件时，LR A =且分解唯一（L 是单位下三角阵，R 是上三角阵）

A. 无限制

B. 对称

C. 可逆

D. 严格对角占优 (4)为什么要把解常微分方程的欧拉(Euler)方法发展为改进的欧拉方法？

A. 提高精度

B. 便于计算

C. 提高精度和便于计算

D. 稳定性需要

(5) 当0)(=x f 有m 重根时，牛顿(Newton)迭代公式中的迭代函数应为

A. )()()(x f x f x x '-=ϕ

B. )()()(x f x f m x x '-=ϕ

C. )

()()(x f m x f x x '-=ϕ D. )

()()(x f x f mx x '-=ϕ

3. 简叙题(10分):何谓三次样条插值函数?

4. (10分)选取求积公式中的常数a ，使 )]()0([)]()0([2

)(0h f f a h f f h dx x f h

'-'++≈

⎰

的代数精度尽量高。试指出最高代数精度，并估计误差。

5.(10分)已知⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=121

a

a A ，试写出解

b Ax =的Jacobi 迭代法收敛的充要条件。

6.(10分)用勒让德多项式作最佳平方逼近,求函数3)(x x f =在[-1,1]上的二次最

佳平方逼近多项式.(1)(0=x P ,x x P =)(1,)13(2

1)(2

2-=x x P )

7.(10分)用幂法计算下述矩阵的按模最大特征值及对应的特征向量 ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣⎡=31

130

004A

8.(10分)给定数据

求形如bx

a y +=1的拟合函数。

9.(10分)已知方程012

3=--x x 在=0x 1.5附近有根，试给出一个在0x 附近收敛

的迭代格式.

10.(10分)设)(x f 充分可微， 1)试证明 )()(120

)(6

)]()([21)(6

0)

5(4

0)

3(2

000h O x f

h

x f

h

h x f h x f h

x f +-

-

--+='

2)利用

)]()([21)(00h x f h x f h

h N --+=

求)(0x f '近似值，并给出外推一次的公式。

《数值分析》试题（A ）

一、填空题（每小题3分，共21分）： 1、已知：⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=-=13

27

,)2,1(A X T

，则=1

AX ，

=∞)(cond A .

2、牛顿—柯特斯（Newton —Cotes ）数值求积公式

∑⎰

=-≈n

i i n i

b

a

x f C a b dx x f 0

)

()()()(

当n 为奇数时，至少具有 次代数精度；当n 为偶数时，至少具有

次代数精度. 3、若函数

⎪⎩⎪

⎨⎧≤<+-+-+-≤≤=3

1,)1()1()1(2

110,)(2

33x c x b x a x x x x S

为一个三次样条函数，则a = ，b = ，c = . 4、分别写出用下列迭代法求解方程0201022

3

=-++x x x 根的迭代公式： (1)牛顿法 ； (2)弦截法 .

5、近似数231.0*

=x 关于真值229.0=x 有 位有效数字.

6、已知矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=82

31

A ，取初始向量T

v )1,1(0=，用规范化的幂法迭代2次，求得矩阵A 的主特征值为 ，相应的特征向量为

(保留小数点后4位小数)． 7、在]1,0[上以

x 为权函数的0，1，2次正交多项式分别为

)(0x ϕ= ，

)(1x ϕ= ，)(2x ϕ= .

二、(本题10分)已知

3

2

1

)

(5.001x f x -

(1)求)(x f 的二次Newton 插值多项式；

(2)求)25.0(f 的近似值(取小数点后五位)，并写出余项．

三、(本题10分)确定下列公式

⎰

++≈h

h f A h f A f A h dx x f 0

210)]()3

(

)0([)(

中的参数0A ，1A ，2A ，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精度．

四、(本题7分)求函数x x f arctan )(=在]1,0[上关于},1{span x =Φ带权1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式.

五、(本题10分)已知方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=30

1

034211010

0201A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321x x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=717

35b ， (1)求矩阵A 的Doolittle 分解，即分解成LU A =的形式，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵；

(2)利用上述分解求解方程组b Ax =. 六

、

(本

题

8

分

)数

列

}

{k x 定义为：

5

0=x ，