中考数学题型专项训练：折叠问题(含答案)

折叠问题

1.如图,在平面直角坐标系x O y中,O为坐标原点,直线y=－x＋4与x轴交于点A,与y轴交于点B.

(Ⅰ)求点A,B的坐标;

(Ⅱ)在直线A B上是否存在点P,使△O A P是以O A为底边的等腰三角形？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(Ⅲ)若将R t△A O B折叠,使O B边落在A B上,点O与点D

.

重合,折痕为B C,求折痕B C所在直线的解析式

第1题图

解:(Ⅰ)在y=－x＋4中,令x=0可得y=4,令y=0可求得x=4,∴A(4,0),B(0,4);

(Ⅱ)如解图①,作线段O A的垂直平分线,交x轴于点E,交A B于点P,

则O P=P A,即P点即为满足条件的点,

∵O A=4,

∴O E=2,

在y=－x＋4中,当x=2时,可得y=2,

∴P点坐标为(2,2);

(Ⅲ)如解图②,

设C(t,0),则A C=O A－O C=4－t,

∵O A=O B=4,

由折叠的性质可得B D=O B=4,C D=O C=t,∠A D C=∠B O C=90°,

在R t△A C D中,由勾股定理可得A C2=A D2＋C D2,即(4－

设直线B C解析式为y=k x＋b,

图①图②

第1题解图

(Ⅰ)求出∠A B C的度数;

(Ⅱ)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿B A、B C边运动,其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,当运动时间为t秒时,连接M N,

将△B M N沿M N翻折,B点恰好落在A C边上的P处

,求t

的值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的情况下,直接写出点P的坐标.

第2题图

∴O B=

1,

B C=60°;

∴∠A

∴BC=2,AB=4,

∴∠B=60°,B M=B N,

∴△B M N是等边三角形,

∴△P M N也是等边三角形,

∴P N=B N=t,∠P N M=∠N M B=60°,

∴P N∥A B,

P D⊥A B,垂足为D,

【解法提示】如解图,过点P作

∴O D=1,

第2题解图

3.如图,在平面直角坐标系中,正方形O B C D的点B的坐标为(2,0),E,F分别为边B C,C D上的点,且B E=C F,连接O E,B F,交点为G,将△B C F沿B F对折,得到△B P F,延长F P交x轴于点Q.

(Ⅰ)求证:O E⊥B F;

(Ⅱ)若E为B C的中点,求点Q的坐标;

(Ⅲ)设点E的坐标为(2,n),点Q的坐标为(－m,0),请写出m关于n的函数关系式

.

第3题图

解:(Ⅰ)在△B E O和△C F B中,

BE CF

EBO FCB BO CB

⎪

∠

⎪

⎩

∠

⎧

⎨

＝

＝

＝

,

∴△B E O≌△C F B,

∴∠B E O=∠C F B,

∵∠C F B＋∠C B F=90°,

∴∠B E O＋∠C B F=90°,

∴∠E G B=180°－90°=90°,

∴O E⊥B F;

(Ⅱ)如解图，由折叠的性质得∠1=∠2,B P=B C=2, F P=F C=B E=1,

∵CD∥OB,

∴∠2=∠FBQ,

∴∠1=∠FBQ,

∴QF=Q B,

设QB=x,则PQ=x－1,

在Rt△B P Q中，QB2=PB2+PQ2,

即x2=22+(x-1)2,

(Ⅲ)如解图，过点F作FH⊥OB于点H, 则四边形BCFH为矩形,即CF=BH,

∵点E的坐标为(2,n),B E=C F,

∴C F=B H=B E=n,

由折叠的性质可得B C=B P=2,B P⊥Q F,

∴Q B=Q F,

∵Q B=O B+O Q=m+2,

在Rt△QFH中,由勾股定理得QF2=FH2+QH2,即+2-n)2+22,

(m+2)2=(m

第3题解图

4.在平面直角坐标系中,一张矩形纸片O B C D按图①所示放置,已知O B=10,B C=6,将这张纸片折叠,使点O落在边C D上,记作点A,折痕与边O D(含端点)交于点E,与边

O B(含端点)或其延长线交于点F.

(Ⅰ)如图①,若点E的坐标为(0,4),求点A的坐标;

(Ⅲ)将矩形沿直线y=k x＋n折叠,点F在边O B上(

含端点),

直接写出k的取值范围.

第4题图

解:(Ⅰ)∵点E的坐标为(0,4),∴O E=A E=4,

∵四边形O B C D是矩形,

∴O D=B C=6,

∴D E=2,

∴O E=n,点F的坐标为(2n,0),

连接OA,如解图①，则EF垂直平分OA

,

易得△A O D∽△E F O,

则

∴

点A的坐标为(3,6);

【解法提示】当点F与点B重合时,AB=OB=10,

则AD =2,

当点E 与点D 重合时,如解图②,点F (6,0), 易得直线E F 的

解析式为y =－x ＋6,此时k =-1,

综上所述,