中考数学题型专项训练：折叠问题(含答案)

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中考数学专题复习《四边形的折叠问题》测试卷-附带答案

中考数学专题复习《四边形的折叠问题》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一单选题1．如图所示在长方形ABCD 中 610AD AB ==，若将长方形ABCD 沿DE 折叠使点C 落在AB 边上的点F 处则线段CE 的长为（）A ．13B ．1730C ．103D ．102．如图在ABCD 中将ADC △沿AC 折叠后点D 恰好落在DC 延长线上的点E 处．若=60B ∠︒ 1AB = 则ABCD 的周长为( )A ．4B ．43C ．6D ．33．如图在ABC 中已知8AB = 点DE 、分别在边AC AB 、上现将ADE 沿直线DE 折叠使点A 恰好落在点F 处若将线段BC 向左平移刚好可以与线段EF 重合连接CF 若215BC CF += 则2BC CF -的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．74．如图矩形ABCD 中 3AB = 4BC = 点E 是BC 边上一点连接AE 把B ∠沿AE折叠使点B 落在点B '处当CEB '为直角三角形时 BE 的长为（）A ．2B ．3C ．2或3D ．3或1.55．如图将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后若170=︒∠ 则2∠的度数为（）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒6．如图在平面直角坐标中矩形ABCD 的边5,:1:4AD OA OD == 将矩形ABCD 沿直线OE 折叠到如图所示的位置线段1OD 恰好经过点B 点C 落在y 轴的点1C 位置点E 的坐标是（）A ．()1,2B ．1,2C ．)1,2D ．()12 7．如图在平面直角坐标系中已个纸片OACB 顶点10006A B （，），（，）点P 为BC 边上的动点将OBP 沿OP 折叠得到OPD 连接CD AD 、．则下列结论中：①当45BOP ∠=︒时四边形OBPD 为正方形 ①当30BOP ∠=︒时 OAD 的面积为15 ①当P 在运动过程中CD 的最小值为5 ①当OD AD ⊥时 2BP =．其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．如图把一张长方形纸片沿对角线折叠若30EDF ∠= 则长方形纸片的长宽比为( )A ．2：1B 2：1C 31D ．23二填空题9．在平行四边形ABCD 中点E F 在BC 边上把ABE 沿直线AE 折叠 CDF 沿直线DF 折叠使点B C 落在对角线AC 上的点G 处若110AGD ∠=︒ 则B ∠的度数为．10．如图点O 是矩形ABCD 的中心 E 是边AB 上的点沿CE 折叠后点B 恰好与点O 重合若9BC = 则折痕CE 长度为．11．如图将长方形ABCD 沿EF 折叠得到两个全等的小长方形 1210AB BC ==，，点G 在AB 上运动当点 A 关于DG 的对称点A '落在右侧长方形BCEF 内部(含边界)时则AG 的长度 m 的取值范围为．12．如图菱形ABCD 的边5AB = 高4CE = F 是边CD 上一动点将四边形AEFD 沿直线EF 折叠 A 点的对应点为P 当CP 的长度最小时 CF 的长为．13．如图把正方形纸片ABCD 进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF 连接CE 将CB 折叠到CE 上点B 对应点H 得折痕CG ．那么AG BG= ．三解答题14．如图1 点E 为矩形ABCD 边BC 上一点且CE CD = 把ABE 沿着AE 折叠点B 的对应点F 恰好落在线段DE 上．(1)求证：≌AFD DCE(2)如图2 延长CF 交AE 于点G 交AB 于点H ．①求证：GE DF GF CD ⋅=⋅①求:GH GA 的值．15．如图沿折痕AE 折叠矩形ABCD 的一边使点D 落在BC 边上一点F 处．若6AB = 且ABF △的面积为24 则：(1)BF 的长为_______________(2)BC 的长为________________(3)求EC 的长．16．如图1 已知长方形纸片ABCD 点E 在边AD 上 F 为AB 上的一个动点 G 为DC 上的一个动点将长方形ABCD 沿直线EF EG 、折叠点A D 、的对应点分别是点A '和点D ．(1)如图2 当点A '落在ED 上时求FEG ∠的度数(2)如图3 若54A ED ''∠=︒ 求FEG ∠的度数(3)如图4 若10A ED ''∠=︒ 求FEG ∠的度数(4)若A ED n ''∠=︒直接写出FEG ∠的度数（用含n 的代数式表示）17．如图在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ 30C ∠=︒ 点D 是ABC 外一点连接AD BD将ABD △沿DB 折叠使点A 落在边BC 上的点1A 处连接1A D 若1A D AC ⊥．(1)求证：四边形1ABA D 是菱形(2)连接1AA DC 若2AB = 求四边形1ADCA 的面积．18．综合探究：如图四边形ABCD 是正方形点M 在边AD 上直线MN AB ∥．将正方形沿MN 折叠点A 落在A '处点B 落在点B '处 MN 与BD 交于点P 连接AP A P ' A P '交CD 与点F ．(1)连接PC 猜想PC 与PA '的数量关系为________ A PC '∠=________°(2)连接B D ' CA ' 两线段交于点O 移动直线MN 若CD 平分PCA '∠ 求证：CP B D '∥(3)移动直线MN 若6=BC 2B C '= 直接写出PAD ∠的度数．参考答案：1．C2．C3．B4．D5．D6．D7．C8．C9．75︒10．11．10103m ≤≤ 12．41314．（1）解：证明：CD CE =CDE ∴为等腰直角三角形45CDE FDA ︒∴∠=∠= ABE 沿AE 折叠得到AEF △ 且四边形ABCD 是矩形 AB AF CD ∴== 90AFE AFD B ∠=∠=∠=︒ 在AFD △与ECD 中AFD ECD CDE FDA AF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AFD DCE ∴≌．（2）①证明：AFD DCE ≌△△AD DE ∴= AF DF DC CE ===()11804567.52DCF DFC ∴∠=∠=︒-︒=︒ 45DEC ∠=︒ 180135BED DEC167.52AEF AEB BEF ∴∠=∠=∠=︒ GEF DCF ∴∠=∠ GFE DFC ∠=∠GEF DCF ∴∽GE GF DC DF∴= GE DF GF CD ∴⋅=⋅．①在Rt CED 中 45CDE ∠=︒DE ∴=DF DC CE ==)()2121EF DE DF CD CE ∴=-== 21EF CE ∴ 由①知：67.5BEA DFC ∠=∠=︒18067.5112.5EFC GEC ∴∠=∠=︒-︒=︒ECF GCE ∠=∠CEG CFE ∴△∽△21GE EF GC CE∴==． 15．（1）由矩形的性质可得：90B C ∠=∠=︒ 6AB CD == ABF △的面积为24 ①1242ABF S AB BF =⨯⨯= ①24224286BF AB ⨯⨯=== 故答案为：8（2）在（1）中已得8BF =由矩形的性质可得：90B C ∠=∠=︒ 6AB CD == AD BC = 由折叠的性质可得：AF AD BC == 由勾股定理可得：22228610BC AF BF AB =++= 故答案为：10（3）由（1）（2）可得2CF BC BF =-=根据折叠的性质有：EF DE =设CE x = 则6EF DE x ==-在Rt CEF △中 222CE CF EF +=即()22226x x +=- 解得83x = 即83CE =．16．（1）解：由翻折得：12A EF AEA ''∠=∠ 12D EG DED ''∠=∠ ①180AEA DED ''∠+∠=︒ ①()111809022FEG A EF D EG AEA DED ''''∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒（2）解：由 (1) 知12A EF AEA ''∠=∠ 12D EG DED ''∠=∠ ①54A ED ''∠=︒①126AEA DED ''∠+∠=︒①()1632A EF D EG AEA DED ''''∠+∠=⨯∠+∠=︒ ①5463117FEG A ED A EF D EG ''''∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒ （3）解：①10A ED ''∠=︒ ①()()11180109522A EF D EG AEA DED ''''∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒ ①951085FEG A EF D EG A ED ''''∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒ （4）解：如图3 ①A ED n ''∠=︒①()180180AEA DED A ED n ''''∠+∠=︒-∠=-︒ ①2A EF AEA ''∠=∠ 2D EG DED ''∠=∠ ①1802n A EF D EG ︒-︒''∠+∠= ①18018022n n FEG A EF D EG A ED n ︒-︒︒+︒''''∠=∠+∠+∠=+︒= 如图4 ①180AEA DED A ED ''''∠+∠-∠=︒ ''A ED n ∠=︒ ①180AEA DED n ''∠+∠=︒+︒①2A EF AEA ''∠=∠ 2D EG DED ''∠=∠ ①1802n A EF D EG ︒+︒''∠+∠= ①18018022n n FEG A EF D EG A ED n ︒+︒︒-︒''''∠=∠+∠-∠=-︒= 综上 FEG ∠的度数为1802n ︒+︒或 1802n ︒-︒． 17．（1）证明：如图1 连接1AA 设1A D 交AC 于点E由折叠的性质得：1AB A B = 1AD A D =90BAC ∠=︒ 30C ∠=︒903060ABC ∴∠=︒-︒=︒1ABA ∴是等边三角形1AB AA ∴= 160BAA ∠=︒11906030CAA BAC BAA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒1A D AC ⊥190AEA ∴∠=︒1903060AA D ∴∠=︒-︒=︒∴1AA D △是等边三角形1AD AA ∴=11AB A B AD A D ∴===∴四边形1ABA D 是菱形（2）解：如图2由（1）可知四边形1ABA D 是菱形 12A D AB ∴==90BAC ∠=︒ 30ACB ∠=︒24BC AB ∴==22224223AC BC AB ∴--1A D AC ⊥∴四边形1ADCA 的面积=1AA C ADC S S + 111111232232222AC A E AC DE AC A D =⋅+⋅=⋅=⨯= 18．（1）解：①四边形ABCD 是正方形 ①AB BC CD DA === 90BAD ABC BCD CDA ∠∠∠∠====︒ 四边形ABCD 是轴对称图形 BD 所在直线是其一条对称轴①45ADP ∠=︒ PA PC = PAM PCF ∠∠= ①MN AB ∥①90PMD BAD ∠∠==︒①MN AD ⊥18090A DF CDA '∠=︒-∠=︒①将正方形沿MN 折叠点A 落在A '处点B 落在点B '处 ①MN AA '⊥①点A D A '三点共线同理：点B C B '三点共线①将正方形沿MN 折叠点A 落在A '处点B 落在点B '处 ①PA PA '= PA D PAM PCF '∠=∠=∠ 90CB A B A D ABC BAD ''''∠=∠=∠=∠=︒ ①PC PA '=①90A DF '∠=︒ 180A DF PA M DFA PCF PFC A PC ''''∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ PA M PCF '∠=∠ DFA PFC '∠=∠ ①90A D A PC F '∠=︒'∠=故答案为：PC PA '= 90（2）证明：由（1）得PC PA '= 90A PC '∠=︒ ①45PCA PA C ''∠=∠=︒①CD 平分PCA '∠①22.5OCD PCD ∠=∠=︒①90CB A B A D ''''∠=∠=︒ 90A DF '∠=︒ ①四边形A B CD ''是矩形①OA OD OB OC ''===①ODC OCD ∠∠==22.5︒①45A ODC O A OD PC CD ''∠=︒=∠+∠=∠ ①CP B D '∥（3）解：如图在AN 上取一点N 使得AN =①四边形A B CD ''是矩形 ①2,A D B C ''=①将正方形沿MN 折叠点A 落在A '处点B 落在点B '处 ①MN 垂直平分AA ' ①62MA MA +'== 90PMD PMN ∠∠==︒ ①MN AM AN =-=6232662+-=①45PDM ∠=︒ ①904545MPD PDM ∠∠=︒-︒=︒= ①PM DM AD AM ==-62626+-==①在Rt PMN 中6232tan 326PM PNM MN -∠===-①30PNM ∠=︒ ①262N PN PM A === ①PAD APN ∠∠==130152⨯︒=︒．。

2023年安徽中考数学总复习专题：折叠问题(PDF版,有答案)

2023年安徽中考物理总复习专题：折叠问题1．如图，把矩形OABC 放入平面直角坐标系中，点B 的坐标为(10,8)，点D 是OC 上一点，将BCD ∆沿边BD 折叠，点C 恰好落在OA 上的点E 处，则点D 的坐标是( )A ．(0,4)B ．(0,5)C ．(0,3)D ．(0,2)2．如图，将一张三角形纸片ABC 沿过点B 的直线折叠，使点C 落在边AB 上的点E 处，折痕为BD ，则下列结论一定正确的是( )A ．AD BD =B ．AE AD =C ．ED AD AB += D ．AE BC AB +=3．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，6AD =，2AE =，将ABE ∆沿BE 翻折，使点A 落在点A '处，作射线EA '，交BC 的延长线于点F ，则CF 的长为( )A ．2B ．114C ．32 D ．544．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，60EFD ∠=︒，若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B '恰好落在AD 边上，则BE 的长度为( )C D．2A．1B5．如图，在ABC∠=︒，3BD=，点D在边BC上，连C∆中，5AC=，8BC=，60接AD，如果将ABD∆沿AD翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线DC的距离为( )A B．4C D．526．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，30∠=︒，BAEEC边上的1B处，则BC 3AB=，折叠后，点C落在AD边上的1C处，并且点B落在1的长为( )A．B．2C．3D．7．如图，Rt ABCB∠=︒，M，N分别是边AC，AB上BC=，90∆中，8AB=，6的两个动点．将ABC∆沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的三等分点处，则线段BN的长为( )A．3B．53C．3或53D．3或1548．如图，在矩形纸片ABCD中，5AB=，3BC=，将BCD∆沿BD折叠到BED∆的位置，DE交AB于点F，则ADDF的值为( )A．817B．715C．1517D．8159．如图，在矩形ABCD中，4AB=，5BC=，点E是AB上一点，沿DE折叠矩形，BC边恰好经过点A，则BE的长是( )A B．32C D．210．如图菱形ABCD中，40B∠=︒，点E是AB边上一点，将BEC∆沿CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的F处，则BCE∠的度数是( )A．20︒B．25︒C．30︒D．35︒11．如图，在ABCD Y 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若60B ∠=︒，4AB =，则ADE ∆的周长为( )A ．24B ．22C ．16D ．1212．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C '上，若4AB =，8BC =，则tan BFC ∠'的值为( )A ．34 B ．815 C ．817 D ．151713．如图，矩形纸片ABCD ，点E 在边AD 上，连接BE ，点F 在线段BE 上，且12EF BF =，折叠矩形纸片使点C 恰好落在点F 处，折痕为DG ，若AB =，则折痕DG 的长为( )AB ．C ．D ．14．如图，在矩形纸片ABCD 中，3AB =，9AD =，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则CF 的长为( )A ．4B ．5 CD ．3.515.如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 是中线，将ABD ∆沿直线AC 对折得到AED ∆，//DE AB ．（1）求证：四边形ABDE 是菱形；（2）连接BE 交AD 于点F ，若3BC =，求BE 的长．参考答案1．C 【解析】Q 折痕BD 是四边形DEBC 的对称轴，∴在Rt ABE ∆中，10BE BC ==，8AB =，6AE =，4OE ∴=，在Rt DOE ∆中，222DO OE DE +=，DE CD =Q ，222(8)4CD CD ∴-+=，5CD ∴=，则853OD OC CD =-=-=，(0,3)D ∴．2．D 【解析】BDE ∆Q 是由BDC ∆翻折而成，BE BC ∴=，AE BE AB +=Q ，AE CB AB ∴+=，故D 正确，无法得出AD BD =，AE AD =，AD DE =．3．D 【解析】Q 四边形ABCD 是矩形，6AD BC ∴==，//AD BC ，AEB EBF ∴∠=∠，由折叠的性质得AEB BEF ∠=∠，2EA AE '==，90BA E A ∠'=∠=︒，5A B AB '==，BEF EBF ∴∠=∠，BF EF ∴=，设CF x =，则6BF x EF =+=，4A F x '=+，在Rt △A BF '中，222A B A F BF ''+=，2225(4)(6)x x ∴++=+，解得：54x =，54CF ∴=． 4．D 【解析】Q 四边形ABCD 是正方形，//AB CD ∴，90A ∠=︒，60EFD BEF ∴∠=∠=︒，Q 将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B '恰好落在AD 边上，60BEF FEB '∴∠=∠=︒，BE B E '=，18060AEB BEF FEB ''∴∠=︒-∠-∠=︒，2B E AE '∴=，设BE x =，则B E x '=，3AE x =-，2(3)x x ∴-=，解得2x =．5．A 【解析】如图，过点E 作EN BC ⊥于N ，8BC =Q ，3BD =，5CD ∴=，5AC =Q ，AC DC ∴=，又60ACB ∠=︒Q ，ACD ∴∆是等边三角形，60ADC ∴∠=︒，120ADB ∴∠=︒，Q 将ABD ∆沿AD 翻折后，点B 的对应点为点E ，120ADB ADE ∴∠=∠=︒，3BD ED ==，60EDC ∴∠=︒，EN BC ⊥Q ，30DEN ∴∠=︒，1322DN DE ∴==，NE =∴点E 到直线DC ．6．A 【解析】连接1CC ，在Rt ABE ∆中，30BAE ∠=︒，3AB =，tan 30BE AB ∴=⋅︒=2AE BE ∴==，160AEB AEB ∠=∠=︒，Q 四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，160C AE AEB ∴∠=∠=︒，1AEC ∴∆为等边三角形，同理△1CC E 也为等边三角形，1EC EC AE ∴===，BC BE EC ∴=+=．7．D 【解析】D Q 为BC 的三等分点，2BD ∴=或4BD =，由折叠可知AN DN =，8AN BN ∴=-，当2BD =时，在Rt BDN ∆中，222DN BD BN =+，22(8)4BN BN ∴-=+，154BN ∴=；当4BD =时，在Rt BDN ∆中，222DN BD BN =+，22(8)4BN BN ∴-=+， 3BN ∴=；综上所述：BN 的长为3或154． 8．C 【解析】Q 四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=︒，//AB CD ，3AD BC ==，5AB CD ==，BDC DBF ∴∠=∠，由折叠的性质可得BDC BDF ∠=∠，BDF DBF ∴∠=∠，BF DF ∴=，设BF x =，则DF x =，5AF x =-，在Rt ADF ∆中，2223(5)x x +-=，175x ∴=，∴31517175AD DF ==． 9．B 【解析】Q 在矩形ABCD 中，沿DE 折叠矩形，BC 边恰好经过点A ，90C C '∴∠=∠=︒，4C D CD AB '===，5AD BC ==，90B B '∠=∠=︒，Rt △AC D '中，3AC '===，设BE x =，则4AE AB BE x =-=-，532AB B C AC ''''=-=-=，在Rt △AB E '中，222AE AB B E ''=+，即222(4)2x x -=+，解得32x =．10．A 【解析】Q 四边形ABCD 是菱形，40D B ∴∠=∠=︒，BC CD =，//AD BC ，Q 将BEC ∆沿CE 翻折，点B 恰好落在边DA 延长线上的F 处，CF BC ∴=，12BCE FCE BCF ∠=∠=∠，CD CF ∴=，40D CFD ∴∠=∠=︒，//AD BC Q ，40BCF CFD ∴∠=∠=︒，1202BCE BCF ∴∠=∠=︒． 11．A 【解析】Q 四边形ABCD 是平行四边形，60B D ∴∠=∠=︒，4AB CD ==，Q 将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处，AE AD ∴=，4CD CE ==，60D E ∠=∠=︒，AED ∴∆是等边三角形，8AD AE DE CE CD ∴===+=，ADE ∴∆的周长24AD AE DE =++=．12．B 【解析】设BF x =，则8CF BC BF x =-=-，由折叠可得8CF CF x '==-，C 'Q 是AB 的中点，114222BC AB '∴==⨯=，Q 四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，222BC BF C F '∴'+=，2222(8)x x ∴+=-，解得：154x =，154BF ∴=，28tan 15154BC BFC BF '∴∠'==． 13．C 【解析】过点F 作MN BC ⊥于N ，与AD 交于点M ，则得矩形ABNM 和矩形CDMN，AB MN CD ∴===//AD BC Q ，EMF BNF ∴∆∆∽，∴12MF EF NF BF ==，∴MF NF ==由折叠知，DF CD ==CG FG =，∴4CN DM ====，设CG GF x ==，则4NG x =-，222GF NG NF -=Q ，∴222(4)x x --=，解得3x =，∴DG ===．14．A 【解析】Q 四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=︒，//AD BC ，DEF EFB ∴∠=∠，由翻折的性质可知，DE BE =，DEF BEF ∠=∠，BFE BEF ∴∠=∠，BF BE DE ∴==，设BF BE DE x ===，在Rt ABE ∆中，222BE AB AE =+Q ，2223(9)x x ∴=+-，解得5x =，5BF ∴=，954CF BC BF ∴=-=-=．15.（1）证明：//DE AB Q ，DEB ABE ∴∠=∠，Q 将ABD ∆沿直线AC 对折得到AED ∆，BD DE ∴=，AB AE =，DBE DEB ∴∠=∠，ABE AEB ∠=∠，AEB DBE ∴∠=∠，//AE BD ∴，∴四边形ABDE 是平行四边形， BD DE =Q ，∴四边形ABDE 是菱形；（2）解：Q 四边形ABDE 是菱形， AB AD ∴=，90ABC ∠=︒Q ，点D 为AC 的中点， AD BD ∴=，AD AB BD ∴==，ABD ∴∆是等边三角形，60BAC ∴∠=︒，30ACB ∴∠=︒，Q 四边形ABDE 是菱形，BF EF ∴=，90BFC ∠=︒， 1322BF BC ∴==，23BE BF ∴==．。

2024年中考数学压轴突破【几何中的折叠】题型汇编(解析版)

几何中的折叠问题一、单选题1如图，在菱形ABCD中，AD=5，tan B=2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B 、C ，当∠BEB =90°时，则点C 到BC的距离是()A.5+5B.25+2C.6D.35【答案】D【分析】过C作CH⊥AD于H，C 作C F⊥AD于F，HD=5，HC=25，再由折叠证明∠BED=∠B ED=135°，∠EDC=∠EDC =45°，△CHD≌△DFC ，C F= HD=5，【C作CH⊥AD于H，C 作C F⊥AD于F，由已知AD=5，tan B=2，=2，∴CD=5，tan∠CDH=HCHD∴设HD=x，HC=2x，∴在Rt△HDC中HC2+HD2=CD2，2x2+x2=52，解得x=5，∴HD=5，HC=25，由折叠可知∠BED=∠B ED，∠EDC=∠EDC ，CD=C D∵∠BEB =90°，∴∠BED=∠B ED=135°，∵AB∥DC，∴∠EDC=180°-∠BED=45°，∴∠EDC=∠EDC =45°∴∠CDC =90°∵∠CHD =∠C AD =90°，∴∠CDH +C DF =90°，∵∠CDH +∠HCD =90°，∴∠C DF =∠HCD ，∴△CHD ≌△DFC ，∴C F =HD =5，∴点C 到BC 的距离是C F +CH =5+25=35．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出∠BED =∠B ED =135°．2如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l 与BC 交于点P ，且点P 到AB 的距离为3cm ，点Q 为AC 上任意一点，则PQ 的最小值为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm【答案】C【分析】由折叠可得：PA 为∠BAC 的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【详解】解：∵将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，∴PA 为∠BAC 的角平分线，∵点Q 为AC 上任意一点，∴PQ 的最小值等于点P 到AB 的距离3cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．3如图，在▱ABCD 中，BC =8,AB =AC =45，点E 为BC 边上一点，BE =6，点F 是AB 边上的动点，将△BEF 沿直线EF 折叠得到△GEF ，点B 的对应点为点G ，连接DE ，有下列4个结论：①tan B =2；②DE =10；③当GE ⊥BC 时，EF =32；④若点G 恰好落在线段DE 上时，则AF BF=13．其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，利用三线和一以及正切的定义，求出tan B ，即可判断①；过点D 作DK ⊥BC 于点K ，利用勾股定理求出DE ，判断②；过点F 作FM ⊥BC 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，设EM =FM =x ，三角函数求出BM 的长，利用BE =BM +EM ，求出x 的值，进而求出EF 的长，判断③；证明△AND ∽△CNE ，推出∠ENC =∠ECN ，根据折叠的性质，推出EF ∥CA ，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④．【详解】解：①过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵BC =8,AB =AC =45，∴BH =12BC =4，∴AH =AB 2-BH 2=8，∴tan B =AHBH=2；故①正确；②过点D 作DK ⊥BC 于点K ，则：四边形AHKD 为矩形，∴DK =AH =8，HK =AD =BC =8，∵BE =6，∴CE =2，∵CH =12BC =4，∴CK =4，∴EK =CE +CK =6，∴DE =EK 2+DK 2=10；故②正确；③过点F 作FM ⊥BC 于点M ，∵GE ⊥BC ，∴∠BEG =90°，∵翻折，∴∠BEF =∠GEF =45°，∴∠EFM =∠BEF =45°，∴EM =FM ，设EM =FM =x ，∵tan B =FMBM =2，∴BM =12FM =12x ，∴BE =BM +EM =12x +x =6，∴x =4，∴EM =FM =4，∴EF =2EM =42；故③错误；④当点G 恰好落在线段DE 上时，如图：设AC 与DE 交于点N ，∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴△AND ∽△CNE ，∴EN DN =CE AD=28=14，∴EN DE =15，∴EN =15DE =2=CE ，∴∠ENC =∠ECN ，∴∠BEN =∠ENC +∠ECN =2∠ECN ，∵翻折，∴∠BEN =2∠BEF ，∴∠BEF =∠ECN ，∴EF ∥AC ，∴AF BF =CE BE=26=13；故④正确，综上：正确的是①②④；故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键．4如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，将劣弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，连接CD ，若∠ABC =α0°<α<45° ，则下列式子正确的是()A.sin α=BCABB.sin α=CD ABC.cos α=AD BDD.cos α=CD BC【答案】B【分析】连AC ，由AB 是⊙O 的直径，可知∠ACB =90°，由折叠，AC和CD所在的圆为等圆，可推得AC =CD ，再利用正弦定义求解即可．【详解】解：连AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD所在的圆为等圆，又∵∠CBD =∠ABC ，∴AC和CD所对的圆周角相等，∴AC=CD，∴AC =CD ，在Rt △ACB 中，sin α=AC AB =CDAB，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦．5如图，在平面直角坐标系中，OA 在x 轴正半轴上，OC 在y 轴正半轴上，以OA ，OC 为边构造矩形OABC ，点B 的坐标为8,6 ，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点F 恰好落在CD 上，则点F 的坐标为()A.3213,3013B.3013,3213C.3013,2013D.2013,3013【答案】A【分析】先求得直线CD 的解析式，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m ,-32m +6 ，在Rt △EMF 中，再利用勾股定理得到关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：∵点B 的坐标为8,6 ，四边形OABC 是矩形，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，∴C 0,6 ，D 4,0 ，E 4,6 ，由折叠的性质可得：EF =BE =4，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则6=b 4k +b =0 ，解得：k =-32b =6，∴直线CD 的解析式为y =-32x +6，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m,-32m+6，则MF=CN=6--32m+6=32m，EM=4-m，在Rt△EMF中，EM2+MF2=EF2，∴4-m2+32m2=42，解得：m=3213或m=0(不合题意，舍去)，当m=3213时，y=-32×3213+6=3013，∴点F的坐标为3213,30 13，故选：A．【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质，中点的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．6综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，再把点A折叠在折痕EF上，其对应点为A ，折痕为DP，连接A B，若AB=2，BC =3，则tan∠A BF的值为()A.33B.3 C.32D.12【答案】A【分析】先证明EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，AD=A D=3，可得A E=A D2-DE2=32，AF=2-32=12，再利用正切的定义求解即可.【详解】解：∵矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，AB=2，BC=3，∴EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，由折叠可得：AD=A D=3，∴A E=A D2-DE2=32，∴A F=2-32=12，∴tan ∠A BF =1232=33.故选A【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.7如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，将顶点D 折叠至线段AP 上一点D ，折痕为EF ，此时，点C 折叠至点C ．下列说法中错误的是()A.cos ∠BAP =45B.当AE =53时，D E ⊥AP C.当AE =18-65时，△AD E 是等腰三角形 D.sin ∠DAP =45【答案】C【分析】根据矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质计算判断即可．【详解】∵矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，∴BP =12BC =32，∠B =90°，∴AP =AB 2+BP 2=22+32 2=52，∴cos ∠BAP =AB AP=252=45，故A 正确；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴sin ∠DAP =sin ∠APB =cos ∠BAP =45，故D 正确；设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，sin ∠DAP =45，∵D E ⊥AP ，∴sin ∠DAP =D E AE=x 3-x =45，解得x =43，∴AE =AD -DE =3-x =53，故B 正确；当D E =AE 时，∴x =3-x ，解得x =32；此时D ,A 重合，三角形不存在，不符合题意；当D E =AD 时，过点D 作D N ⊥AD 于点N ，则AN =NE ；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴cos ∠DAP =cos ∠APB =3252=35，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，D E =AD =x ，∴AN AD=AN x =35，解得AN =35x ；∴AE =AD -DE =3-x =2AN =65x ，解得x =1511；∴AE =65×1511=1811；当AE =AD 时，过点D 作D H ⊥AD 于点H ，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD =AD -DE =3-x ，∴D H =AD sin ∠DAP =453-x ，AH =AD cos ∠DAP =353-x ，∴HE =AE -AH =3-x -353-x =253-x ，根据勾股定理，得HE 2+D H 2=D E 2，∴253-x 2+453-x2=x 2解得x =65-12；∴AE =3-x =15-65；综上所述，AE =15-65或AE =1811，故C 错误，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角函数，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质是解题的关键．8如图，AB 为半圆O 的直径，点O 为圆心，点C 是弧上的一点，沿CB 为折痕折叠BC交AB 于点M ，连接CM ，若点M 为AB 的黄金分割点(BM >AM )，则sin ∠BCM 的值为()A.5-12B.5+12C.5-14D.12【答案】A【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，从而可得∠BDM=90°，再根据黄金分割的定义可得BMAB =5-12，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，进而利用相似三角形的性质可得DMAC=BMAB=5-12，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：∠A=∠AMC，从而可得CA=CM，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，由折叠得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，∴∠BDM=90°，∵点M为AB的黄金分割点(BM>AM)，∴BMAB =5-12，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠MDB，∵∠DBM=∠CBA，∴△DBM∽△CBA，∴DMAC =BMAB=5-12，∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形，∴∠A+∠CM′B=180°，∵∠AMC+∠CMB=180°，∠CMB=∠CM′B，∴∠A=∠AMC，∴CA=CM，在Rt△CDM中，sin∠BCM=DMCM=DMAC=5-12．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换(折叠问题)，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题9如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF，折叠后，EC的对应边EH经过点A，CD的对应边HG交BA的延长线于点P．若PA=PG，AH=BE，CD=3，则BC的长为．【答案】43【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接PF ，设BC =2x ，AH =BE=a ，证明Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，求得FA =FG =FD =x ，由折叠的性质求得BE =12x ，在Rt △ABE中，利用勾股定理列式计算，即可求解．【详解】解：连接PF ，设BC =2x ，AH =BE =a ，由矩形的性质和折叠的性质知FG =FD ，∠G =∠FAP =90°，AB =CD =3，AD =BC ，∵PA =PG ，PF =PF ，∴Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，∴FA =FG =FD =12AD =12BC =x ，由矩形的性质知：AD ∥BC ∴∠AFE =∠FEC ，折叠的性质知：∠FEA =∠FEC ，∴∠FEA =∠AFE ，∴AE =FA =x ，由折叠的性质知EC =EH =AE +AH =x +a ，∴BC =BE +EC =a +x +a =2x ，∴a =12x ，即BE =12x ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即32+12x 2=x 2，解得x =23，∴BC =2x =43，故答案为：4310如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =6，M 为AD 的中点，N 为BC 边上一动点，把矩形沿MN 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA '并延长交射线CD 于点P ，交MN 于点O ，当N 恰好运动到BC 的三等分点处时，CP 的长为．【答案】1或5【分析】分两种情况：①当CN =2BN 时．过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形；②当BN =2CN 时，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，根据矩形的性质得GM =AM -AG =1.再由折叠的性质可得∠AOM =90°，然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．【详解】解：①当CN =2BN 时．如图1，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =2．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AM -AG =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°，∵∠MAO +∠APD =90°，∠MAO +∠AMO =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∵∠NGM =∠ADP =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD -DP =1．②当BN =2CN 时，如图2，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =4．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AG -AM =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°∠MAO +∠AMO =90°，∠MAO +∠APD =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∠ADP =∠NGM =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD +DP =5．综上，CP 的长为1或5．故答案为：1或5．【点睛】此题考查的是翻折变换-折叠问题、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．11如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ,AC 分别与DF ,EF 相交于G ,H 两点．若DG =m ,EH =n ，用含m ,n 的式子表示GH 的长是．【答案】m 2+n 2【分析】先根据折叠的性质可得S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°，从而可得S △FHG =S △ADG +S △CHE ，再根据相似三角形的判定可证△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，根据相似三角形的性质可得S △ADG S △FHG =DG GH2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，然后将两个等式相加即可得．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，∵折叠△BDE 得到△FDE ，∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°=∠A =∠C ，∵DE 平分等边△ABC 的面积，∴S 梯形ACED =S △BDE =S △FDE ，∴S △FHG =S △ADG +S △CHE ，又∵∠AGD =∠FGH ,∠CHE =∠FHG ，∴△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，∴S △ADG S △FHG =DG GH 2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG =1，∴GH 2=m 2+n 2，解得GH =m 2+n 2或GH =-m 2+n 2(不符合题意，舍去)，故答案为：m 2+n 2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．12在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点(不与端点重合)，连接BE ，将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，连接并延长EF ，BF 分别交BC ，CD 于G ，H 两点.若BA =6，BC =8，FH =CH ，则AE 的长为．【答案】92【分析】连接GH ，证明Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，可得FG =CG ，设FG =CG =x ，在Rt △BFG 中，有62+x 2=(8-x )2，可解得CG =FG =74，知BG =254，由矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，得∠AEB =∠FEB ，可得∠FEB =∠EBG ，EG =BG =254，故EF =EG -FG =92，从而得到AE =92．【详解】连接GH ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴BF =AB =6,AE =EF ,∠BFE =∠A =90°，∴∠GFH =90°=∠C ，∵GH =GH ,FH =CH ，∴Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，∴FG =CG ，设FG =CG =x ，则BG =BC -CG =8-x在Rt △BFG 中，BF 2+FG 2=BG 2∴62+x 2=(8-x )2，解得：x =74，∴CG =FG =74，∴BG =8-x =25x，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴∠AEB =∠FEB ，∵AD ⎳BC ，∴∠AEB =∠EBG ，∴∠FEB =∠EBG ，∴EG =BG =254，∴AE =92，故答案为：92．【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．13如图，在矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，E 是AB 的中点，F 是线段BC 上的一点，连接EF ，把△BEF 沿EF 折叠，使点B 落在点G 处，连接DG ，BG 的延长线交线段CD 于点H ．给出下列判断：①∠BAC =30°；②△EBF ∽△BCH ；③当∠EGD =90°时，DG 的长度是23 ④线段DG 长度的最小值是21-3；⑤当点G 落在矩形ABCD 的对角线上，BG 的长度是3或33；其中正确的是．(写出所有正确判断的序号)【答案】①②③【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出∠HBC =∠BEF ，可判断②正确；推出点D 、G 、F 三点共线，证明Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，可判断③正确；当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，由于F 是线段BC 上的一点，不存在D 、G 、E 三点共线，可判断④不正确；证明△BGE 是等边三角形，可判断⑤．【详解】解：连接AC ，∵矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，∴tan ∠ACD =AD CD=236=33，∴∠ACD =30°，∴∠BAC =30°，故①正确；由折叠的性质知EF 是BG 的垂直平分线，∴∠HBC +∠BFE =90°=∠BEF +∠BFE ，∴∠HBC =∠BEF ，∴△EBF ∽△BCH ，故②正确；由折叠的性质知∠EGF =∠ABC =90°，∵∠EGD =90°，∴点D 、G 、F 三点共线，连接DE ，在Rt △EAD 和Rt △EGD 中，AE =BE =EG ，DE =DE ，∴Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，∴DG =AD =23，故③正确；∵AE =BE =EG ，∴点A 、G 、B 都在以E 为圆心，3为半径的圆上，DE =23 2+32=21，∴当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，但F 是线段BC 上的一点，∴D 、G 、E 三点不可能共线，故④不正确；当点G 落在矩形ABCD 的对角线AC 上时，由折叠的性质知BE =EG ，∵E 是AB 的中点，由①知∠BAC =30°，∴BE =EG =EA ，∠BAC =∠EGA =30°，∴∠BEG =∠BAC +∠EGA =60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG 的长度是3；由于F 是线段BC 上的一点，则点G 不会落在矩形ABCD 的对角线BD 上，故⑤不正确；综上，①②③说法正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A 重合，连接EA 并延长分别交BD、BC于点G、F，且BG=BF．(1)若∠AEB=55°，则∠GBF=；(2)若AB=3，BC=4，则ED=．【答案】40°/40度5-10/-10+5【分析】(1)先证明∠DEF=180°-2×55°=70°，∠BFG=∠DEF=70°，利用BG=BF，可得答案；(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，可得CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，则∠DEG=∠DGE，设DE=DG=x，而BD=32+42=5，则BG=BF=5-x，CF=4-5-x=1，再求解EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4 =x-1，EQ=x-x-1-x，AF=10-4+x，利用cos∠BFA=cos∠FEQ，再建立方程求解即可．【详解】解：(1)∵∠AEB=55°，结合折叠可得：∠AEB=∠A EB=55°，∴∠DEF=180°-2×55°=70°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFG=∠DEF=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°；∴∠GBF=180°-2×70°=40°；故答案为：40°．(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，∴四边形FCDQ是矩形，则CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，∴∠DEG=∠DGE，∴设DE=DG=x，∵矩形ABCD，AB=3，BC=4，∴BD=32+42=5，∴BG=BF=5-x，∴CF=4-5-x=x-1，∴EQ=x-x-1=1，∴EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4-x，∴AF =10-4+x，∵∠QEF=∠BFA ，∴cos∠BFA =cos∠FEQ，∴EQEF=A FBF，∴110=10-4+x5-x，解得：x=5-10，经检验符合题意；∴DE=5-10．故答案为：5-10．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．三、解答题15综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图(1)，正方形纸片ABCD，点E是BC边上(点E不与点B，C重合)任意一点，沿AE折叠△ABE到△AFE，如图(2)所示；操作二：将图(2)沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图(3)所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图(4)所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点(填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；③如图(5)，连接AN，改变点E在BC上的位置，(填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分∠DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，AB=4，BC=6，按照(1)中的方式操作，得到图(6)或图(7)．请完成下列探究：①当点N在CD上时，如图(6)，BE和CN有何数量关系？并说明理由；②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．【答案】(1)①在，②AE⊥BN，相等；③不存在；(2)①BECN =23，理由见解析；②BE=2或165．【分析】(1)①E的对称点为E ，BF⊥EE ，MF⊥EE ，即可判断；②由①AE⊥BN，由同角的余角相等得∠BAE=∠CBN，由AAS可判定△ABE≌△BCN，由全等三角形的性质即可得证；③由AAS可判定△DAN≌△MAN，由全等三角形的性质得AM=AD，等量代换得AB=AM，与AB>AM矛盾，即可得证；(2)①由(1)中的②可判定△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；②当N在CD上时，△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；当N在AD上时，同理可判定△ABE∽△NAB，由三角形相似的性质即可求解．【详解】(1)解：①E的对称点为E ，∴BF⊥EE ，MF⊥EE ，∴B、F、M共线，故答案为：在；②由①知：B、F、M共线，N在FM上，∴AE⊥BN，∴∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCN=90°，AB=BC，∴∠CBN+∠ABM=90°，∴∠BAE=∠CBN，在△ABE和△BCN中，∠BAE=∠CBN ∠ABC=∠BCN AB=BC，∴△ABE≌△BCN(AAS)，∴AE=BN，故答案为：相等；③不存在，理由如下：假如存在，∵AN平分∠DAE，∴∠DAN=∠MAN，∵四边形ABCD是正方形，AM⊥BN，∴∠D=∠AMN=90°，在△DAN和△MAN中，∠D=∠AMN∠DAN=∠MAN AN=ANN∴△DAN≌△MAN(AAS)，∴AM=AD，∵AD=AB，∴AB=AM，∵AB是Rt△ABM的斜边，∴AB>AM，∴AB =AM 与AB >AM 矛盾，故假设不成立，所以答案为：不存在；(2)解：①BE CN=23，理由如下：由(1)中的②得：∠BAE =∠CBN ，∠ABE =∠C =90°，∴△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC=23；②当N 在CD 上时，CN =CD -DN =3，由①知：△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC =23，∴BE =23CN =2，当N 在AD 上时，AN =AD -DN =5，∵∠BAE =∠CBN =∠ANB ，∠ABE =∠BAN =90°，∴△ABE ∽△NAB ，∴BE AB =AB AN ，∴BE 4=45，∴BE =165，综上所述：BE =2或165．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，“十字架”典型问题的解法是解题的关键．16在矩形ABCD 中，AD =2AB =8，点P 是边CD 上的一个动点，将△BPC 沿直线BP 折叠得到△BPC ．(1)如图1，当点P 与点D 重合时，BC ′与AD 交于点E ，求BE 的长度；(2)当点P 为CD 的三等分点时，直线BC ′与直线AD 相交于点E ，求DE 的长度；(3)如图2，取AB 中点F ，连接DF ，若点C ′恰好落在DF 边上时，试判断四边形BFDP 的形状，并说明理由．【答案】(1)BE 的长度为5；(2)DE 的长度为113或83;(3)四边形BFDP 是平行四边形(理由见解析)【分析】本题利用了折叠的知识(折叠后的两个图形全等)以及矩形的性质(矩形的对边相等，对角相等)，以及平行四边形的判定有关知识．(1)利用矩形性质和折叠的性质可推出BE=DE，设BE=x,则DE=x,AE=8-x,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；(2)设DE=m,则AE=m+8，设BE交CD于G，可证得△AEB∽△CBG，得出CGAB =BCAE，即CG4=8m+8，求得CG=32m+8，分两种情况：当PC=13CD=43时，当PC=23CD=83时，分别添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案；(3)由中点定义可得AF=BF，过点C 作C M∥AD交AB于点M，过点F作FN⊥BC 于点N，由矩形性质和翻折的性质可得∠C BP=∠CBP=12∠C BC，可证得△FC M∽△FDA，得出FMAF=C MAD，再证得△BFN∽△BC M，进而推出FM=FN，利用角平分线的判定定理可得∠BC F=∠MC F=12∠BC M推出∠BC F=∠C BP，再由平行线的判定定理可得DF∥BP，运用平行四边形的判定定理即可证得四边形BFDP是平行四边形．【点睛】点睛片段【详解】(1)解：∵AD=2AB=8，∴AB=4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折叠得：∠DBC=∠DBC ，∴∠ADB=∠DBC ，即∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，设BE=x，则DE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，∴(8-x)2+42=x2，解得：x=5，∴BE的长度为5；(2)设DE=m，则AE=m+8，设BE交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8，CD=AB=4，AD∥BC，∠A=∠BCG=90°，∴∠AEB=∠CBG，∴△AEB∽△CBG，∴CG AB =BCAE，即CG4=8m+8，∴CG=32m+8，当PC=13CD=43时，BP=BC2+PC2=82+432=4373，连接CC ，过点C 作C H⊥CD于点H，如图，∵将△BPC沿直线BP折叠得到△BPC ，∴CC ⊥BP，△BPC ≌△BPC，∴S四边形BCPC =2S△BPC，∴1BP⋅CC =2×1BC⋅PC，即12×4373CC =2×12×8×43，∴CC =163737，∵∠C CH +∠BPC =90°，∠PBC +∠BPC =90°，∴∠C CH =∠PBC ，∵∠CHC =∠BCP =90°，∴△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 43=CH 8=1637374373，∴C H =1637，CH =9637，∵∠C HG =∠EDG =90°，∴C H ∥AE ，∴∠GC ′H =∠AEB ，∴△C GH ∽△EBA ，∴GH AB =C H AE ，即GH 4=1637m +8，∴GH =6437(m +8)，∵CH +GH =CG ，∴9637+6437(m +8)=32m +8，解得：m =113，经检验，m =113是该方程的解，∴DE =113；当PC =23CD =83时，BP =BC 2+PC 2=82+83 2=8103，连接CC ，过点C 作C H ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，作C G ⊥AD 于点G ，如图，同理可得：CC =8105，同理△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 83=CH 8=81058103，∴C H =85，CH =245，∴DH =CH -CD =245-4=45，∵∠HDG =∠H =∠C GD =90°，∴四边形DGC H 是矩形，∴C G =DH =45，DG =C H =85，∵∠C GE =∠A =90°，∠C EG =∠BEA ，∴△C EG ∽△BEA ，∴EG AE =C G AB =454=15，∴AE =5EG ，∵AE +EG =AG =AD -DG =8-85=325，∴5EG +EG =325，∴EG =1615，∴DE =DG +EG =85+1615=83，综上所述，DE 的长度为113或83；(3)四边形BFDP 是平行四边形，理由如下：∵点F 是AB 的中点，∴AF =BF ，过点C 作C M ∥AD 交AB 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，如图，则∠FC M =∠ADF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ,AB ∥CD ，∴C M ∥BC ，∴∠BC M =∠C BC ，由翻折得：∠C BP =∠CBP =12∠C BC ，BC =BC =8，∵C M ∥AD ，∴△FC M ∽△FDA ，∴FM AF =C M AD ，∴FM BF =C MBC ，∵∠BNF =∠BMC =90°，∠FBN =∠C BM ，∴△BFN ∼△BC M∴FN BF =C MBC ，∴FM BF =FN BF ，∴FM =FN ，又∵FM ⊥C M ，FN ⊥C B ，∴∠BC F =∠MC F =12∠BC M ，∴∠BC F =∠C BP ，∴DF ∥BP ，∴四边形BFDP 是平行四边形．17矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 为对角线AC 上一点，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，EG ⊥AC 交边BC 于点G ，将△AEF 沿AC 折叠得△AEH ，连接HG ．(1)如图1，若点H 落在边BC 上，求证：AH =CH ；(2)如图2，若A ，H ，G 三点在同一条直线上，求HG 的长；(3)若△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)HG =94(3)EF =103或4【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH =∠HAC ，即可解决问题；(2)结合(1)的方法AG =CG ，解Rt △AEG ，Rt △HEG 分别求得EG ,HG ；(3)当△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当EG =EH ，②当EG =HG ，结合(2)的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠DAE =∠ACH .∵△AHE 由△AFE 折叠得到，∴∠HAC =∠DAE ，∴∠HAC =∠ACH ，∴AH =CH ；(2)∵矩形ABCD 中，AB =6,AD =8．∴AC =10.当A ，H ，G 三点在同一条直线上时，∠EHG =90°．同(1)可得AG =CG ．又∵EG ⊥AC ，∴AE =12AC =5．∵∠AEH +∠HEG =90°，∠AEH +∠HAE =90°，∴∠HEG =∠HAC =∠CAD ．∵在Rt △AEG 中，tan ∠EAG =EG AE =34，∴EG =34AE =154．∵在Rt △HEG 中，sin ∠HEG =HG EG =35，∴HG =35EG =94．(3)①若EH =EG ，如图3①设EF =EH =EG =x ，∵EF ⊥AD ，∴EF ∥CD ，∴△AEF ∽△ACD ，∴AE AC =AF AD =EF CD ∴AE 10=AF 8=x 6∴AE =53x ,AF =43x ，∴AH =AF =43x ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，EH =EH ，∴△AHE ≌△CGE AAS ，∴AH =CE ，∴43x =10-53x ，∴x =103∴EF =103．②若HG =GE ，如图3②．(图3②)过点G 作GM ⊥HE ，设EF =a ,∵EC =10-53a ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，∴△AHE ∽△CGE ，∴EG =34EC =3410-53a =152-54a ，∵∠GME =∠EHA ，∠MGE =90°-∠MEG =∠HAE ，∴△MGE ∽△HEA ，∴ME AH =EG AE ，∵AH AE =AD AC =45，∴AH =45AE ，∴ME =45EG =45152-54a =6-a ，∴HE =2ME =12-2a =EF ，∴12-2a =a ，∴a =4，∴EF =4，综上，EF =103或4．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，翻折的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．18综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点B 处，连接 B C，如图1，请直接写出∠AEB 与∠ECB 的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与BE上的点G所在的直线折叠，使点B落在EF上的点P处，连接PD，如图2，猜想∠APD的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线CP的对称点A ，连接PA ，BA ，AC，如图3，求∠PA B的度数．【答案】初步尝试：∠AEB =∠ECB ；能力提升：猜想：∠APD=60°，理由见解析；拓展延伸：∠PA B=15°【分析】初步尝试：连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出∠BB C=90°，推出AE∥CB ，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证△AFP≌△DFP SAS，从而证明△APD是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C、AA ，由(2)得△APD是等边三角形，进而得出∠PDC=30°，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得∠PAC=15°，∠ACP=30°，由对称性质得：AC=A C，∠ACP=∠A CP=30°，证明△AA B≌△CA B SSS，得到∠CA B=30°，再由∠CA P=∠CAP=15°，即可求出∠PA B的度数．【详解】解：初步尝试：∠AEB =∠ECB ，理由如下：如图，连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，∴BE=CE=BE ，∴∠EBB =∠EB B，∠ECB =∠EB C，∵∠EBB +∠EB B+∠EB C+∠ECB =2∠EB B+∠EB C=180°，∴∠BB C=90°，即BB ⊥CB ，∴AE∥CB ，∴∠AEB=∠ECB ，∴∠AEB =∠ECB ；解：能力提升：猜想：∠APD=60°，理由如下：理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ADC=90°，由折叠性质可得：AF =DF ，EF ⊥AD ，AB =AP ，在△AFP 和△DFP 中，AF =DF∠AFP =∠DFP =90°FP =FP，∴△AFP ≌△DFP SAS ，∴AP =PD ，∴AP =AD =PD ，∴△APD 是等边三角形，∴∠APD =60°；解：拓展延伸：如图，连接A C 、AA ，由(2)得△APD 是等边三角形，∴∠PAD =∠PDA =∠APD =60°，AP =DP =AD ，∵∠ADC =90°，∴∠PDC =30°，又∵PD =AD =DC ，∴∠DPC =∠DCP =12×180°-30° =75°，∠DAC =∠DCA =45°，∴∠PAC =∠PAD -∠DAC =60°-45°=15°，∠ACP =∠DCP -∠DCA =75°-45°=30°，由对称性质得：AC =A C ，∠ACP =∠A CP =30°，∴∠ACA =60°，∴△ACA 是等边三角形，在△AA B 与△CA B 中，A A =A CA B =A B AB =BC，∴△AA B ≌△CA B SSS ，∴∠AA B =∠CA B =12∠AA C =30°，又∵∠CA P =∠CAP =15°，∴∠PA B =∠CA B -∠CA P =15°．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．19综合与实践数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD 对折，使得点A ，D 重合，点B ，C 重合，折痕为EF ，展开后沿过点B 的直线再次折叠纸片，点A 的对应点为点N ，折痕为BM ． (1)如图(1)若AB =BC ，则当点N 落在EF 上时，BF 和BN 的数量关系是，∠NBF 的度数为．思考探究：(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点M ．当点M 落在CD上时，如图(2)，设BN，BM 分别交EF于点J，K．若DM =4，请求出三角形BJK的面积．开放拓展：(3)如图(3)，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=4，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M ，连接CP，DP，若PC=PD，请直接写出AM的长．(温馨提示：12+3=2-3，12+1=2-1)【答案】(1)BF=12BN，60°(2)2+2(3)4-23【分析】(1)根据折叠的性质得：AB=BN，BF=CF=12BC，根据直角三角形的性质可得∠BNF=30°，由直角三角形的两锐角互余可得结论；(2)由折叠得：BM=BM ，证明Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，可知AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，得△BFJ是等腰直角三角形，再证明四边形ABCD是正方形，分别计算BF=FJ=12BC=2+2，JK=2，由三角形面积公式可得结论；(3)如图(3)，过点P作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根据等腰三角形的三线合一可得DH=CH=12CD=12AB=1，由折叠的性质和矩形的性质可得PG=CH=1，BN=BP=AB=2，∠NBP=∠ABN，设PL=x，则M L=2x，M P=3x，根据NL=233=NM +M L，列方程可解答．【详解】(1)解：由折叠得：AB=BN，BF=CF，∠BFN=90°，∵AB=BC，∴BF=12BN，∴∠BNF=30°，∴∠NBF=90°-30°=60°，故答案为：BF=12BN，60°；(2)由折叠得：BM=BM ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，∴AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，∴∠ABM=∠MBN=∠NBM =∠CBM ，∴∠FBJ=45°，∴△BFJ是等腰直角三角形，∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴矩形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°，∴DM=DM =4，∴MM =42，∵AM=MN=M N=CM ，∴CM =22，∴BC =CD =4+22，∴BF =FC =2+2，∵FK ∥CM ，∴BK =KM ，∴FK =12CM =2，∵△BFJ 是等腰直角三角形，∴BF =FJ =12BC =2+2，∴JK =2+2-2=2，∴S △BJK =12⋅JK ⋅BF =12×2×(2+2)=2+2；(3)如图，过点P 作PG ⊥BC 于G ，PH ⊥CD 于H ，∵PC =PD ，∴DH =CH =12CD =12AB =1，∵∠PGC =∠PHC =∠BCH =90°，∵四边形PGCH 是矩形，∴PG =CH =1，由折叠得：BN =BP =AB =2，∠NBP =∠ABN ，Rt △BPG 中，∠PBG =30°，∴∠ABN =∠NBP =90°-30°2=30°，延长NM ，BP 交于L ，Rt △BNL 中，BN =2，∠NBL =30°，∴NL =2×33=233，Rt △M PL 中，∠M LP =90°-30°=60°，∴∠PM L =30°，设PL =x ，则M L =2x ，M P =3x ，∵NL =233=NM +M L ，∴3x +2x =233，∴x =433-2，∴AM =3x =3×433-2 =4-23．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．20综合与实践综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD 的边AB 的中点E ，再沿DE 折叠，点A 落在点F 处，把纸片展平，延长DF ，与BC 交点为G ．。

初中数学中考二轮复习重难突破专题04 折叠问题(含答案)

专题04 折叠问题重点分析在中考，这是必考内容，主要考查形式包括：单纯判断对称图形的识别；利用对称图形的性质求点坐标；利用折叠的对称性性质的相关计算与证明。

难点解读考点：轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′性质对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．真题演练1.如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为，则的长为____，的长为____．【答案】①. ②.【解析】由折叠得，，，设DF=x，则AF=8-x，，由勾股定理得DF=，，过作，过D作DM⊥于M，根据面积法可得，，再由勾股定理求出，根据线段的和差求出，最后由勾股定理求出；【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，由折叠得，，设DF=x，则AF=8-x，又Rt中，，即解得，，即DF=∴过作，过D作DM⊥于M，∵∴，解得，∵∴，解得，∴∴∴；故答案为：6；．【点拨】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．2.如图，在中．，点是边上一动点．连接，将沿折叠，点落在处，当点在内部（不含边界）时，长度的取值范围是___________．【答案】【解析】分别求出当落在AC和BC上时的长度即可.【详解】∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，∴，当点落在AC上时，如图，∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，∴∠ADB==90°，∵，∴，当点落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AB于H，∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，∴∠ABD=∠DBC=45°，∵DH⊥AB，∴∠HDB=∠HBD=45°，∴BH=DH，∵，∴HD=2AH=BH，∵AB=AH+BH=2AH+AH=2，∴，，∴，∴当点在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围为．【点拨】本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况．还可以利用相似来解题．3.如图，长方形ABCD中，AD=BC=8，AB=CD=17，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为______．【答案】或【解析】分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．【详解】如图1，∵折叠，∴△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E=∠D=90°，∵∠AD′B=90°，∴B.D′、E三点共线，又∵ABD′∽△BEC，AD′=BC，∴ABD′≌△BEC，∴BE=AB=17，∵BD′==15，∴DE=D′E=17﹣15=2；如图2，∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，∴∠CBE=∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∠D″=∠BCE，AD″=BC，∠CBE=∠BAD″，∴△ABD″≌△BEC，∴BE=AB=17，∴DE=D″E=17+15=32．综上所知，DE=2或32．故答案为2或32．【点拨】本题考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．4.在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2 cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将△BMN 沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____．【答案】或2【解析】分两种情况：①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，AD ∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出DG=，CG=，BG=BC+CG=3，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，证出D.E.N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②如图2，当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）．【详解】解：分两种情况，①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，∴DE=AD=2，∵DG⊥BC，∴∠CDG=90°-60°=30°，∴CG=CD=1，∴DG=CG=，BG=BC+CG=3，∵M为AB的中点，∴AM=BM=1，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM，DM＝DM，∴△ADM≌△EDM（SSS），∴∠A=∠DEM=120°，∴∠MEN+∠DEM=180°，∴D.E.N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3-x）²+（）² =（x+2）²，解得：x=，即BN=；②当CE=CD时，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示：CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（符合题干要求）；综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为或2；故答案为或2．【点拨】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P是AB上（不含端点A，B）任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B′的对应点落在矩形ABCD的对角线上时，BP=__________________________．【答案】或．【解析】分两种情况探讨：①点B落在矩形对角线BD上，②点B落在矩形对角线AC上，由三角形相似得出比例式，即可得出结果．【详解】①点A落在矩形对角线BD上，如图1所示．∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3∴∠ABC=90°，AC=BD，∴AC=BD==5．根据折叠的性质得：PC⊥BB′，∴∠PBD=∠BCP，∴△BCP∽△ABD，∴，即，解得：BP=．②点A落在矩形对角线AC上，如图2所示．根据折叠的性质得：BP=B′P，∠B=∠PB′C=90°，∴∠AB′A=90°，∴△APB′∽△ACB，∴，即，解得：BP=．故答案为或．【点拨】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，由三角形相似得出比例式是解决问题的关键．6.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为_____．【答案】或10【解析】【详解】试题分析：根据题意，可分为E点在DC上和E在DC的延长线上，两种情况求解即可：如图①，当点E在DC上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，易求FP=3，所以FQ=2，设FE=x，则FE=x，QE=4-x，在Rt△EQF中，（4-x）2+22=x2，所以x=．（2）如图②，当，所以FQ=点E在DG的延长线上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，易求FP=3，所以FQ=8，设DE=x，则FE=x，QE=x-4，在Rt△EQF中，（x-4）2+82=x2，所以x=10，综上所述，DE=或10.7.如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是________．【答案】或【解析】存在两种情况：当=DC时，连接ED，根据勾股定理可得ED的长，可判断E，A´，D三点共线，根据勾股定理即可得出结论；当=时，证明AEA´F是正方形，于是得出结论．【详解】解：①当=DC时，如图1，连接ED，∵点是的中点，，，四边形是矩形，∴AD=BC=，∠A=90°，∴DE=，∵将沿所在直线翻折，得到，∴A´E=AE=2，A´D=DC=AB=4，∴DE=A´E+A´D=6，∴点E，A´，D三点共线，∵∠A=90°，∴∠FA´E=∠FA´D=90°，设AF=x，则A´F=x，FD=-x，在Rt△FA´D中，，解得x=，∴FD=3；②当=时，如图2，∵=，∴点A´在线段CD的垂直平分线上，∴点A´在线段AB的垂直平分线上，∵点是的中点，∴EA´是AB的垂直平分线，∴∠AEA´=90°，∵将沿所在直线翻折，得到，∴∠A=∠EA´F=90°，AF=FA´，∴四边形AEA´F是正方形，∴AF=AE=2，∴DF=．故答案为或．【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理．分类讨论思想的运用是解题的关键．8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE 所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形，则AE的长为____或___【答案】3或【解析】△AB′F为直角三角形，应分两种情况进行讨论.当∠AFB′为直角时，利用勾股定理求出B′E，也就是BE的长，便求出AE．当∠AB′F为直角时，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N，构造Rt△B′EF，利用勾股定理便可求出AE.【详解】解：①当B′D⊥AE时，△AB′F为直角三角形，如下图：根据题意，BE=B′E,BD= B′D=BC=. ∠B=∠EB′F∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F =30°.∵在Rt△BDF中，∠B=30°∴DF=BD=∴B′F=B′D-DF=-=∵在Rt△B′EF中，∠EB′F =30°∴EF=B′E,∵B′F===EF,即=EF,∴EF=，则BE=1，∴AE=AB-BE=4-1=3.②当D B′⊥A B′时，△AB′F为直角三角形，如下图：连接AD，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N.根据题意，BE=B′E,BD=CD=B′D=BC=. ∠B=∠EB′F ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F =30°.∵∠AB′F=90°∴∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=120°∴Rt△AB′N中，∠AB′N=60°，∠B′AN=30°在Rt△AB′D和Rt△ACD中∴Rt△AB′D≌Rt△ACD（H L）∴AB′=AC=2∴B′N=1,AN=设AE=x,则BE= B′E=4-x∵在Rt△AEN中，∴()2+(4-x+1)2=x2∴x=综上，AE的长为3或.【点拨】本题是一道综合题，涉及到直角三角形全等的判定，30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识.9.如图，在矩形中，，，将点绕点逆时针旋转，点的对应点为.的平分线交于，且.若点落在矩形的边上，则的值为______.【答案】或【解析】分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；②点B′落在CD 边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．【详解】解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC−BE＝a−a＝a．∵∠B′AD＝∠EB′C＝90°−∠AB′D，∠D＝∠C＝90°，∴△ADB′∽△B′CE，∴，即，解得a1＝，a2＝−（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键。

中考数学二轮专题复习图形变换——折叠问题【含答案】

二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。

考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。

图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。

在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。

在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。

下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。

（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。

(完整版)中考数学几何图形折叠试题典题及解答

中考数学几何图形折叠试题典题及解答一、选择题1.（德州市）如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）A．4B．3C．4D．82.（江西省）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）A．6个B．5个C．4个D．3个3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P 点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（）Ａ．20Ｂ．22Ｃ．24Ｄ．304.（绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD 上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A 落在BC上，折痕EF交AD于F．则∠AFE =（）A．60°B．67.5°C．72°D．75°5. （绍兴市）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4)）.从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④6.（贵阳市）如图6-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图6-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（）A．34cm2 B．36cm2C．38cm2 D．40cm2二、填空题7.（成都市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿E F折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG＝58°，那么∠B EG°．8. （苏州市）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于____________度．三、解答题9.（荆门市）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△P EQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．10. （济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC 上？为什么？11.（威海市）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD＝BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB．（1）求证：EF∥BD；（2）若AB＝7，CD＝3，求线段EF的长．12. （烟台市）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)：如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题：为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围．(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．14.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？15.（邵阳市）如图①，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C 重合（图②）．（1）在图①中画出折痕所在的直线l．设直线l 与AB,AC分别相交于点D,E，连结CD．（画图工具不限，不要求写画法）（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形．（不要求证明）16.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ. 求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由；(3)如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？17.（临安市）如图，△OAB 是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E//x轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.18.（南宁市）如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x(0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）．（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x 的函数关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？19.（宁夏回族自治区）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线B D折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．证明：（1）BF=DF；（2）AE∥BD．参考答案一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B二、7.648.50°三、9. 解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠OPE＋∠APB= 90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴.即．∴．且当x=2时，y 有最大值．由已知，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c ，则∴y=．由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，∴该直线为y=x＋1．由得∴Q(5，6)．故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．10. 证明：（1）∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE～△QAB.（2）∵△PBE～△QAB ，∴∵B Q＝P B，∴.又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE～△BAE.（3）点A能叠在直线EC上.由（2）得，∠AE B＝∠CEB，∴EC和折痕AE重合.11. 解：(1）证明：过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；连结AC，交EF于点K，则AK＝CK．∵AB∥CD，∴BH＝CD，BD＝CH．∵AD＝BC，∴AC＝BD＝CH．∵CE⊥AB，∴AE＝EH．∴EK是△AHC的中位线．∴EK∥CH．∴EF∥BD．（2）解：由（1）得BH∥CD，EF∥BD，∴∠AEF＝∠ABD．∵AB＝7，CD＝3，∴AH＝10．∵AE＝CE，AE＝EH，∴AE＝CE＝EH＝5.∵CE⊥AB，∴CH＝5＝BD．∵∠EAF＝∠BAD，∠AEF＝∠ABD，∴△AFE∽△ADB．∴.∴．12. 解：(1)由折纸过程知0＜5x＜26，,0＜x ＜.（2）图④为轴对称图形，∴A M ＝.即点M与点A的距离是（13－x）cm.13. 证明：⑴由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝A D′，∠C＝∠D′AE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD．∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．∴∠1＝∠3．∴△ABE ≌△AD′F．⑵四边形AECF是菱形．由折叠可知AE＝EC，∠4＝∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE．∵AE＝EC，∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形．14. 解：（1）△BMP是等边三角形.证明：连结AN.∵EF垂直平分AB，∴AN = BN.由折叠知AB = BN ，∴AN = AB = BN，∴△ABN为等边三角形.∴∠ABN =60°. ∴∠PBN =30°.又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A =9 0°.∴∠BPN =60°.∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°.∴∠BMP =60°∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°.∴△BMP为等边三角形 .（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC ≥BP.在Rt△BNP中，BN = BA =a，∠PBN =30°，∴BP =. ∴b≥. ∴a≤b .∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP.（3）∵∠M′BC =60°，∴∠ABM′=90°－60°= 30°.在Rt△ABM′中，tan∠ABM′ =. ∴tan3 0°=. ∴AM′ =.∴M′(，2). 代入y=kx中，得k== .设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD 内的点为A′.过A′作AH ⊥BC交BC于H.∵△A′BM′ ≌△ABM′，∴∠A′BM′=∠ABM′=3 0°, A′B = AB =2.∴∠A′BH＝∠M′BH－∠A′BM′=30°.在Rt△A′BH中，A′H =A′B =1 ，BH=，∴.∴A'落在EF上.(图2)(图3)15.解：(1)如图.等腰三角形DAC.16.（1）证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝180°-90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB，∴△PBE∽△QAB.（2）∵△PBE∽△QAB，∴. ∵B Q＝P B，∴.又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE～△BAE.（3）点A能折叠在直线EC上.由（2）得，∠AEB＝∠CEB，∴EC和折痕AE 重合.17. 解：（1）由已知可得∠A'OE=60o , A'E= AE.由A′E//x轴,得△OA'E是直角三角形.设A′的坐标为（0，b），则AE=A'E=b,OE=2b.∵b+2b=2+,∴b=1.∴A'、E的坐标分别是（0，1）与（，1）.（2）因为A'、E在抛物线上，所以所以函数关系式为y =.由=0得,.与x轴的两个交点坐标分别是（-，0）与（，0）.（3）不可能使△A'EF成为直角三角形.∵∠FA'E=∠FAE=60o,若△A'EF成为直角三角形,只能是∠A'EF=90o或∠A'FE=90o.若∠A'EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A'、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾.同理若∠A'FE=90o也不可能.所以不能使△A′EF成为直角三角形.18. 解：（1）①当0＜x≤3时，由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图10（1），重叠部分为△A'ED.∵DE∥BC,∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴△ADE∽△ABC.∴.∴，即.又∵FA'=FA=x,∴y=DE·A'F=·x·x.∴(0＜x≤3）.②当3＜x＜6时，由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外，如图10（2），重叠部分为梯形EDPQ.∵FH＝6－AF＝6－x, A'H＝A'F－FH＝x-(6-x)=2x-6,又∵DE∥PQ,∴△A'PQ∽△A'DE.∴.∴∴.（2）当0＜x≤3时，y的最大值；当3＜x＜6时，由,可知当x=4时，y的最大值y2=9.∵y1＜y2，∴当x=4时，y有最大值y最大＝9．19. 证明：（1）能正确说明∠ADB=∠EBD（或△ABF≌△EDF）,∴BF=DF.（2）能得出∠AEB=∠DBE（或∠EAD=∠BD A）,∴AE∥BD.。

中考数学折叠剪切问题(含答案)

中考数学-----折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一．折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（）A ．600B ．750C ．900D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED ′等于（）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 答案：A【3】用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝度.答案：36°二．折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10图（1）第3题图CDEBA图（2）答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A ．2B ．4C ．8 D．10答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。

操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。

则△GFC 的面积是（）EAAABBBCCC GDDDFF F 图a图b图cA.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2答案：B三．折叠后求长度【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且E D B C ⊥，则CE 的长是（）（A ）10315- （B ）1053- （C ）535- （D）20103-答案：D 四．折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（）A. B. C. D.答案：D【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )ABCDEF 第7题图第8题图第9题图答案：D【11】如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B '处。

中考数学折叠,旋转问题专题含答案

【经典例题1】如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）连接AO，如右图1所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，即图中阴影部分的面积是：．练习1-1如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB 的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解析】A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；B、∵AC＝CD'，∴，由折叠得：，∴＝，故②正确；C、∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，故③正确；D、延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：D．练习1-2如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将在沿AC 折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是（）A．6B．C．2D．4【解析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB 于H．∵AD＝DB，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵OA＝2，AD＝DB＝4，∴OD＝＝2，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∵AD＝DB，EO＝OB，∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴∠CAE＝∠CAH＝45°，∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，∴BC＝OC＝2，∵CH⊥AB，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，∴x＝6或2（舍弃），在Rt△ACH中，∵AC＝，∴AC＝6．故选：A．练习1-3在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半径OA＝12，点P为AO上任一点（不与A、O重合）．（1）如图1，Q是OB上一点，若OP＝OQ，求证：BP＝AQ．（2）如图2，将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'．①若点O'落在上，求的长．②当BO'与扇形AOB所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）【解析】（1）证明：∵BO＝AO，∠O＝∠O，OP＝OQ，∴△BOP≌△AOQ（SAS）．∴BP＝AQ．（2）解：①如图1，点O'落在上，连接OO'，∵将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'，∴OB＝O'B，∵OB＝OO'，∴△BOO'是等边三角形，∴∠O'OB＝60°．∵∠AOB＝75°，∴∠AOO'＝15°．∴的长为．②BO'与扇形AOB所在的圆相切时，如图2所示，∴∠OBO'＝90°．∴∠OBP＝45°．过点O作OC⊥BP于点C，∵OA＝OB＝12，∠COB＝∠OBP＝45°，∴．又∵∠AOB＝75°，∠COB＝45°，∴∠POC＝30°，∴．∴．∴折痕的长为．旋转类【经典例题2】如图1，在锐角△ABC中，AB=5，AC=42，∠ACB=45∘. 计算：求BC的长；操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.如图2，当点C1在线段CA的延长线上时。

中考数学折叠专项训练试题（含答案）

中考数学折叠专项训练试题（含答案）中考数学折叠专项训练试题附参考答案一．选择题（共9小题）1．（2013?贵港）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE 上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；矩形的性质．专题：压轴题．分析：由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF；易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN；易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF=MF，∴DF=CF；故①正确；∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC，∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN，∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN，故②正确；∵在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF（ASA），∴EF=FN，∴BE=BN，但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM，∴BE=3EM，∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；故④正确．故选B．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG和△HEG的面积相等；⑤若，则．以上命题，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：①根据平角的定义，折叠的性质和角平分线的性质即可作出判断；②根据折叠的性质和等腰三角形的性质可知DE≠CH；③无法证明BE=EF；④根据角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形中线的性质可得△BEG和△HEG的面积相等；⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．在RT△EKG中利用勾股定理可即可作出判断．解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误；④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；⑤过E 点作EK ⊥BC ，垂足为K ．设BK=x ，AB=y ，则有y 2+（2y ﹣2x ）2=（2y ﹣x ）2，解得x 1=y （不合题意舍去），x 2=y ．则，故正确．故正确的有3个．故选B ．点评：本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．3．（2012?遵义）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为（）A ．3B ．2C ．2D ．2考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先过点E 作EM ⊥BC 于M ，交BF 于N ，易证得△ENG ≌△BNM （AAS ），MN 是△BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN ，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF 的值，又由勾股定理，即可求得BC 的长．解答：解：过点E 作EM ⊥BC 于M ，交BF 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC ，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME 是矩形，∴AE=BM ，由折叠的性质得：AE=GE ，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM ，∵∠ENG=∠BNM ，∴△ENG ≌△BNM （AAS ），∴NG=NM ，∴CM=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AE=ED=BM=CM ，∵EM ∥CD ，∴BN ：NF=BM ：CM ，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．故选B．点评：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．则下列结论：①BG=DE 且BG⊥DE；②△ADG和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的是（）A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④考点：正方形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：充分利用三角形的全等，正方形的性质，平行四边形的性质依次判断所给选项的正误即可．解答：解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，∴可得BG与DE相交的角为90°，∴BG⊥DE．①正确；如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，∴四边形ADQG是平行四边形；作CW⊥BE于点W，FJ⊥BE于点J，∴四边形CWJF是直角梯形；∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，∴△ABE≌△DAQ，∴∠ABE=∠DAQ，∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．∴△ABH是直角三角形．易证：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；∴WB=AH，AH=EJ，∴WB=EJ，又WN=NJ，∴WN﹣WB=NJ﹣EJ，∴BN=NE，③正确；∵MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，∴MN=（CW+FJ）=WC=（BH+HE）=BE；易证：△ABE≌△DAQ（SAS），∴AK=AQ=BE，∴MN∥AK且MN=AK；四边形AKMN为平行四边形，④正确．S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S?ADQG，②正确．所以，①②③④都正确；故选D．点评：当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．5．（2012?资阳）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（）A．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先连接CD，交MN于E，由将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，即可得MN⊥CD，且CE=DE，又由MN∥AB，易得△CMN∽△CAB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由MC=6，NC=，即可求得四边形MABN的面积．解答：解：连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D 处，∴MN⊥CD，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴S△CMN=CM?CN=×6×2=6，∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．故选C．点评：此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．6．如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C 恰好落在AB边的C′处，则∠A′的大小是（）A．40°B．36°C．32°D．30°考点：翻折变换（折叠问题）．分析：连接C'D，根据AB=AC，BD=BC，可得∠ABC=∠ACB=∠BDC，然后根据折叠的性质可得∠BCD=∠BC'D，继而得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和求出各角的度数，最后可求得∠A的大小．解答：解：连接C'D，∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，∵△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，∴∠BCD=∠BC'D，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，∵四边形BCDC'的内角和为360°，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．故选B．点评：本题考查了折叠的性质，解答本题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意本题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．7．（2012?舟山）如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（）A．B．C．3﹣D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′=90°，∠B′=30°，B′C=AB′﹣AC=2﹣2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．解答：解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∴AC=BC，∴AF=AB=，∴AC===2，由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，∴∠CDB′=90°，∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C?cos∠B′=（2﹣2）×=3﹣，∴DE===，∴S阴影=AC?DE=×2×=．故选A．点评：此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．8．（2013?定海区模拟）如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=，点D在BC 边上，把△ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得△AED，则BD的长度为（）A．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：作CF⊥AB于点F，利用三线合一定理即可求得BF的长，然后证明△CDE是直角三角形，BD=x，则CD=DE=2﹣x，利用三角函数即可得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：作CF⊥AB于点F．∵∠CAB=∠B∴AC=BC，∴BF=AB=，在直角△BCF中，BC==2，在△CDE中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD，∴∠CDE=90°，设BD=x，则CD=DE=2﹣x，在直角△CDE中，tanE===tan30°=，解得：x=3﹣．故选B．点评：本题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．9．（2013?绥化）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB 沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中可计算出CF=，BF=2CF=，则EF=2﹣，在Rt△DEF中计算出FD=1﹣，ED=﹣1，然后利用S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE计算即可．解答：解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，∴AB==2，∴∠BAC=30°，∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中，CF==，BF=2CF=，∴EF=2﹣，在Rt△DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE=2×BC?AD+AD?ED=2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）=1．故选A．点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．。

中考数学复习《折叠问题》真题练习(含答案)

中考数学复习《折叠问题》真题练习（含答案）（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD 中，AD =4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E处，AE 交DC 于点O ，若AO =5cm ，则AB 的长为（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【答案】C ．（2017江苏无锡第10题）如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ D ）A ．2B ．54 C ．53 D ．75（2017新疆乌鲁木齐第9题）如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且60,2AFG GE BG ∠==，则折痕EF 的长为（ C ）A ．1B ．3 C. 2 D ．23（2017重庆A 卷第18题）如图，正方形ABCD 中，AD =4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 的中点，则△EMN 的周长是．(2017河南第15题)如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，21BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MBC∆为直角三角形，则BM 的长为．【答案】1或212+. （2017江苏苏州第18题）如图，在矩形CD AB 中，将C ∠AB 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，C B 的对应边C ''B 交CD 边于点G ．连接'BB 、CC '，若D 7A =，CG 4=，G ''AB =B ，则CC '='BB （结果保留根号）．【答案】745. （2017海南第17题）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是．【答案】35.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为﹣1．（2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为3a（用含a的式子表示）．（2016河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE 折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为或．（2017甘肃兰州第26题）如图，1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：BDF△是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG BE∥，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若6AB，8AD，求FG的长.【答案】(1)证明见解析;(2) 152．【解析】试题分析: （1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．试题解析：（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵FD∥BG，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF=BF，∴四边形BFDG是菱形；②∵AB =6，AD =8， ∴BD =10． ∴OB =12BD =5．假设DF =BF =x ，∴AF =AD ﹣DF =8﹣x ．∴在直角△ABF 中，AB 2+A 2=BF 2，即62+（8﹣x ）2=x 2，解得x =254，即BF =254， ∴FO =222522()54BF OB -=-=154，∴FG =2FO =152．(2017浙江金华第23题)如图1，将ABC ∆纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰BED ∆和等腰DHC ∆的底边上的高线EF ，HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段_____，_____；:ABCDAEFG S S=矩形 ______.(2)ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若5EF =，12EH =，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足,,,8,10AD BC AD BC AB BC AB CD <⊥==．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出,AD BC 的长．【答案】（1）（1）AE ；GF ；1:2；（2）13；（3）按图1的折法，则AD =1，BC =7；按图2的折法，则AD =134 ,BC =374. 【解析】试题分析：（1）由图2观察可得出答案为AE ,GF ,由折叠的轴对称性质可得出答案为1：2；（2）由EF 和EH 的长度根据勾股定理可求出FH 的长度，再由折叠的轴对称性质易证△AEH ≌△CGF ；再根据全等三角形的性质可得出AD 的长度；（3）由折叠的图可分别求出AD 和BC 的长度.（3）解：本题有以下两种基本折法，如图1，图2所示.按图1的折法，则AD =1，BC =7. 按图2的折法，则AD =134 ,BC =374.（2015年河南3分）如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为 ▲ ．【答案】16或45.（2015年江苏泰州3分）如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为 ▲ ．【答案】245. （2015湖北鄂州第8题3分）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF =（）A ．B ．C ．D ．【答案】D .（2015•四川自贡,第10题4分）如图，在矩形ABCD 中，AB 4AD 6==，,E 是AB 边的中点，F 是线段BC边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△'EB F ,连接'B D ‘,则'B D ‘的最小值是（ A ）B 'EDA BCFA . 2102-B .6C .2132-D .4（2015•绵阳第12题，3分）如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB =1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF =（ B ）A ．B ．C ．D ．（2015•四川省内江市，第14题，5分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，E 为CD 上一点，分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD =2，BC =3，则EF 的长为．（2015•浙江滨州,第17题4分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为(10,8），则点E 的坐标为 .【答案】（10,3）。

中考数学专题训练：图形的折叠问题(附参考答案)

中考数学专题训练：图形的折叠问题（附参考答案）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1处，则点E的坐标是( )A．(1，2) B．(－1，2)C．(√5－1，2) D．(1－√5，2)2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是( )A．30°B．45°C．74°D．75°3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠ECF的值为( )A．23B．√104C．√53D．2√554．把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF.若BC＝1，则AB的长度为( )A．√2B．√2+12C．√5+12D．435．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC 上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．2076．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为__________．7．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB.若BC＝2，则CA′＝_______．8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC 上的点F处．若BC＝10，sin ∠AFB＝45，则DE＝_____．9．如图，在扇形AOB中，点C，D在AB⏜上，将CD⏜沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF⏜的度数为________；折痕CD 的长为_______．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为______；DP的最大值为_______．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝√7，动点P在矩形的边上沿B→C→D →A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为_________．12．如图，DE平分等边三角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是______．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE ＝73，则tan A＝______．14．如图，在等边三角形ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2.给出下列四个结论：①CN＋NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝7√21.20其中正确的结论是__________．(填序号)15．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t.(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是__________________________________________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)16．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有________．(填序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM＝103；④EM∥AC.17．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.(1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝________；(填度数)(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)如图2，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．参考答案1.D 2．D 3．C 4．A 5．D6. 3√2－3 7．2√3 8．5 9．60°4√6 10．10 2√511．－2 12．√m2+n2 13．3√7714．①②④15．(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，√32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3 (3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<2√3即可) 16．①④17．(1)30°(2)∠MBQ＝∠CBQ，理由略。

中考数学复习专题之折叠问题

中考数学复习专题之折叠问题1．如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把BCM ∆沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF EC ⊥，垂足为F ，若1CD =，2CF =，则线段AE 的长为( )A ．52-B ．31-C ．13D ．122．如图，直线EF 是矩形ABCD 的对称轴，点P 在CD 边上，将BCP ∆沿BP 折叠，点C 恰好落在线段AP 与EF 的交点Q 处，43BC =，则线段AB 的长是( )A ．8B ．82C ．83D ．10 3．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，点C ，D 的对应点分别为点E ，F ，且点F 在矩形内部，MF 的延长线交边BC 于点G ，EF 交边BC 于点H ．2EN =，4AB =，当点H 为GN 的三等分点时，MD 的长为．4．如图，对折矩形纸片ABCD ，使得AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A 的对应点A '落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，连接MF ，若MF BM ⊥，6AB cm =，则AD 的长是 cm ．5．如图，正方形ABCD 的边长为10，点G 是边CD 的中点，点E 是边AD 上一动点，连接BE ，将ABE ∆沿BE 翻折得到FBE ∆，连接GF ，当GF 最小时，AE 的长是．6．如图，正方形ABCD 的边长为10，点G 是边CD 的中点，点E 是边AD 上一动点，连接BE ，将ABE ∆沿BE 翻折得到FBE ∆，连接GF ，当GF 最小时，GF 的长是． 7．如图，四边形ABCD 为矩形，2,3AB AD ==，点E 为边BC 上一点，将DCE ∆沿DE 翻折，点C 的对应点为点F ，过点F 作DE 的平行线交AD 于点G ，交直线BC 于点H ．若点G 是边AD 的三等分点，则FG 的长是．8．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 为边AD 上一动点，连接OP ，以OP 为折痕，将AOP ∆折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ．若PDF ∆为直角三角形，则DP 的长为．9．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，6BC =，点M ，N 分别在AD ，BC 上，且13AM AD =，13BN BC =，E 为直线BC 上一动点，连接DE ，将DCE ∆沿DE 所在直线翻折得到△DC E '，当点C '恰好落在直线MN 上时，CE 的长为．10．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将AMN ∆沿MN 所在直线折叠，得到△A MN '，连接A C '，则A C '的最小值是．11．如图，在Rt ABC ∆的纸片中，90C ∠=︒，5AC =，13AB =．点D 在边BC 上，以AD 为折痕将ADB ∆折叠得到ADB ∆'，AB '与边BC 交于点E ．若DEB ∆'为直角三角形，则BD 的长是．12．如图，四边形ABCD 为矩形，23AB =，22AD =，点P 为边AB 上一点，以DP 为折痕将DAP ∆翻折，点A 的对应点为点A '，连接AA '，AA '交PD 于点M ，点Q 为线段BC 上一点，连接AQ ，MQ ，则AQ MQ +的最小值是．13．如图，将正方形纸片ABCD 沿PQ 折叠，使点C 的对称点E 落在边AB 上，点D 的对称点为点F ，EF 交AD 于点G ，连接CG 交PQ 于点H ，连接CE ．下列四个结论中：①PBE QFG ∆∆∽；②CEG CBE CDQH S S S ∆∆=+四边形；③EC 平分BEG ∠；④22EG CH GQ GD -=⋅，正确的是（填序号即可）．14．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是第三象限抛物线上一点，直线PB 与y 轴交于点D ，BCD ∆的面积为12，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E 是线段BC 上点，连接OE ，将OEB∆沿直线OE 翻折得到OEB '∆，当直线EB '与直线BP 相交所成锐角为45︒，时，求点B '的坐标．15．如图1，抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于(2,0)A -，(6,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，PD 交直线BC 于点E ，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的表达式；（2）设线段PE 的长度为h ，请用含有m 的代数式表示h ；（3）如图2，过点P 作PF CE ⊥，垂足为F ，当CF EF =时，请求出m 的值；（4）如图3，连接CP ，当四边形OCPD 是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q ，使原点O 关于直线CQ 的对称点O '恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q 的坐标．16．（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使BC 落在对角线BD 上，折痕为BE ，点C 落在点C '处，若46ADB ∠=︒，则DBE ∠的度数为 ︒．（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD ，4AB =，9AD =．【画一画】如图2，点E 在这张矩形纸片的边AD 上，将纸片折叠，使AB 落在CE 所在直线上，折痕设为MN （点M ，N 分别在边AD ，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕MN （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；【算一算】如图3，点F 在这张矩形纸片的边BC 上，将纸片折叠，使FB 落在射线FD 上，折痕为GF ，点A ，B 分别落在点A '，B '处，若73AG =，求B D '的长；【验一验】如图4，点K 在这张矩形纸片的边AD 上，3DK =，将纸片折叠，使AB 落在CK 所在直线上，折痕为HI ，点A ，B 分别落在点A '，B '处，小明认为B I '所在直线恰好经过点D ，他的判断是否正确，请说明理由．17．如图1，折纸做60︒，30︒，15︒的角步骤①：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．步骤②：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．同时得到了线段BN．【问题解决】（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BM交EF于点O，求证：30∠=︒；ABM【拓展探究】（3）如图2，若点M是射线AD上一个动点，将ABM∆沿BM折叠，使点A的对应点N，连接AN、DN，若5AB=，8∆是等腰三角形时，求AM的长．BC=，当AND18．综合与实践：在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”)线段AN的垂直平分线；请判断图中ABN∆是什么特殊三角形？答：；进一步计算出MNE∠=︒；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则GBN∠=︒；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，10AB=，26AD=，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．19．如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是边AD，BC上的点，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边上的点E处（不与点C，D重合），连接BE，过点M作MH BC⊥于点H．（1）如图①，若BC AB=，求证：EBC NMH∆≅∆；（2）如图②，当2BC AB=时．①求证：~EBC NMH∆∆；②若点E为CD的三等分点，请求出AMBN的值．参考答案1．解：BC CE =，90EDC CFB ∠=∠=︒，DEC BCF ∠=∠， ()EDC CFB AAS ∴∆≅∆，2DE CF ∴==，CE BC AD ∴====，2AE AD DE ∴=-=，故选：A ．2．解：四边形ABCD 是矩形，90C ∴∠=︒，由题意得：12BF BC =，//EF AB ， ABQ BQF ∴∠=∠，由折叠的性质得：90BQP C ∠=∠=︒，BQ BC =， 90AQB ∴∠=︒，12BF BQ =，30BQF ∴∠=︒，30ABQ ∴∠=︒，在Rt ABQ ∆中，2AB AQ =，BQ == 4AQ ∴=，8AB =；故选：A ．3．解：当13HN GN =时，2GH HN =，将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ， MF MD ∴=，CN EN =，90E C D MFE ∠=∠=∠=∠=︒，DMN GMN ∠=∠，//AD BC ， 90GFH ∴∠=︒，DMN MNG ∠=∠，GMN MNG ∴∠=∠，MG NG ∴=，90GFH E ∠=∠=︒，FHG EHN ∠=∠，FGH ENH ∴∆∆∽， ∴2FG GH EN HN==，24FG EN ∴==，过点G 作GP AD ⊥于点P ，则4PG AB ==，设MD MF x ==，则4MG GN x ==+，6CG x ∴=+，6PM ∴=，222GP PM MG +=，22246(4)x ∴+=+，解得：4x =，4MD ∴=；当13GH GN =时，2HN GH =，FGH ENH ∆∆∽， ∴12FG GH EN HN ==，112FG EN ∴==，1MG GN x ∴==+， 3CG x ∴=+，3PM ∴=，222GP PM MG +=，22243(1)x ∴+=+，解得：4x =，4MD ∴=；故答案为：4或4．4．解：四边形ABCD 为矩形，6AB cm =，90A ∴∠=︒，由折叠性质可得：3BE DF cm ==，6A B AB cm '==，90A EB ∠'=︒，ABM A BM ∠=∠'，在Rt △A BE '中，2A B BE '=，30BA E ∴∠'=︒60A BE ∴∠'=︒，30ABM ∴∠=︒，60AMB ∠=︒， 3tan306233AM AB cm ∴=︒⋅=⨯=，M F BM ⊥，90BMF ∴∠=︒， 30DMF ∴∠=︒，60DFM ∴∠=︒，在Rt DMF ∆中，tan 603333MD DF cm =︒⋅=⨯=， 233353AD AM DM cm ∴=+=+=．故答案为：53．5．解：将ABE ∆沿BE 翻折得到FBE ∆，10BF BA ∴==， ∴点F 在以B 为圆心，10为半径的圆上运动，∴当点G 、F 、B 三点共线时，GF 最小，连接EG ，设AE x =，由勾股定理得，55BG =，EDG ABE EBG ABGD S S S S ∆∆∆=++梯形， ∴1111(510)105(10)10552222x x x +⨯=⨯⨯-+⨯+⨯，解得555x =， 555AE ∴=，故答案为：555．6．解：正方形ABCD 的边长为10，90C A ∴∠=∠=︒，10BC CD ==，点G 是边CD 的中点，5CG DG ∴==，2255BG BC CG ∴=+ 将ABE ∆沿BE 翻折得到FBE ∆，10BF BA ∴==， ∴点F 在以B 为圆心，10为半径的圆上运动，∴当点G 、F 、B 三点共线时，GF 最小，5510GF BG BF ∴=-=．故答案为：5510-．7．解：①如图，过点E 作EM GH ⊥于点M ，//DE GH ，//AD BC ，∴四边形HEDG 是平行四边形，∴113HE GD AD ===，折叠， FED CED ∴∠=∠，90MED ∠=︒，即90FEM FED ∠+∠=︒， 90CED HEM ∴∠+∠=︒，HEM FEM ∴∠=∠，90EMF EMH ∠=∠=︒，ME ME =，()HEM FEM ASA ∴∆≅∆， HM M F ∴=，1EF HE ==，1EF EC ∴==，四边形ABCD 是矩形， ∴90,2C DC AB ∠=︒==，Rt EDC ∆中，2222(2)13DE DC EC +=+=， ∴3GH DE ==，ME HG ⊥，//HG DE ，∴1122DEF DEC S ME DE S DC EC ∆∆=⨯==⨯， ∴2163DC EC ME DE ⨯⨯==Rt HME ∆中，222631()3HM HE ME --， ∴232333FG HG HF HG HM =-=-=-， ②如图，当113AG AD ==时，同理可得312HE GD AD AG ==-=-=，2EC EF HE ===， ∴222(2)6DE =+=，∴222336DC EC ME DE ⨯⨯===， Rt HME ∆中，222223262()33HM HE ME =-=-=， ∴4662633FG HF HG HM HG =-=-=-=，故答案为：33或63． 8．解：如图1，当90DPF ∠=︒时，过点O 作OH AD ⊥于H ，四边形ABCD 是矩形，BO OD ∴=，90BAD OHD ∠=︒=∠，8AD BC ==， //OH AB ∴，∴12OH HD OD AB AD BD ===， 132OH AB ∴==，142HD AD ==，将AOP ∆折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ， 45APO EPO ∴∠=∠=︒，又OH AD ⊥，45OPH HOP ∴∠=∠=︒，3OH HP ∴==，1PD HD HP ∴=-=；当90PFD ∠=︒时，6AB =，8BC =，22366410BD AB AD ∴=++=，四边形ABCD 是矩形，5OA OC OB OD ∴====，DAO ODA ∴∠=∠，将AOP ∆折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ， 5AO EO ∴==，PEO DAO ADO ∠=∠=∠，又90OFE BAD ∠=∠=︒， OFE BAD ∴∆∆∽，∴OF OEAB BD=，∴5610OF =，3OF ∴=，2DF ∴=， PFD BAD ∠=∠，PDF ADB ∠=∠， PFD BAD ∴∆∆∽，∴PD DF BD AD =，∴2108PD =，52PD ∴=，综上所述：52PD =或1，故答案为52或1． 9．解：四边形ABCD 是矩形，5DC AB ∴==，90A ∠=︒，6AD BC ==， 123AM AD ==，123BN BC ==，AM BN ∴=，//AM BN ，∴四边形ABNM 的矩形，90NMA NMD ∴∠=∠=︒，5MN AB ==，将DCE ∆沿DE 所在直线翻折得到△DC E '， 5DC DC ∴'==，C E CE '=，2AM =，624DM AD AM ∴=-=-=，如图1，在Rt △C MD '中，2222543C M DC DM ''-=-， 532C N MN C M ∴'=-'=-=， 90CDM DCN NMD ∠=∠=∠=︒，∴四边形CDMN 是矩形，4CN DM ∴==，90CNM ∠=︒， 4NE CN CE CE =-=-，在Rt △C NE '中，222NE C N C E +'='，222(4)2CE CE ∴-+=，解得：52CE =．如图2，在Rt △C MD '中，2222543C M DC DM '='-=-=， 538C N MN C M ∴'=+'=+=， 90CDM DCN NMD ∠=∠=∠=︒，∴四边形CDMN 是矩形，4CN DM ∴==，90CNM MNE ∠=∠=︒， 4NE CE CN CE =-=-，在Rt △C NE '中，222NE C N C E +'='，222(4)8CE CE ∴-+=，解答：10CE =，故答案为：52或10．10．解：四边形ABCD 是矩形，3AB CD ∴==，2BC AD ==，M 是AD 边的中点，1AM MD ∴==将AMN ∆沿MN 所在直线折叠，1AM A M '∴==∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A C '有最小值，2210MC MD CD =+A C ∴'的最小值101MC MA '=-=-故答案为：101-11．解：在Rt ABC ∆中，222213512BC AB AC =-=-=，（1）当90EDB ∠'=︒时，如图1，过点B '作B F AC '⊥，交AC 的延长线于点F ，由折叠得：13AB AB ='=，BD B D CF ='=，设BD x =，则B D CF x '==，12B F CD x '==-，在Rt AFB ∆'中，由勾股定理得：222(5)(12)13x x ++-=，即：270x x -=，解得：10x =（舍去），27x =，因此，7BD =．（2）当90DEB ∠'=︒时，如图2，此时点E 与点C 重合，由折叠得：13AB AB ='=，则1358B C '=-=，设BD x =，则B D x '=，12CD x =-，在Rt △B CD '中，由勾股定理得：222(12)8x x -+=，解得：263x =，因此263BD =．故答案为：7或263．12．解：如图，作点A 关于BC 的对称点T ，取AD 的中点R ，连接BT ，QT ，RT ，RM ，MT ．四边形ABCD 是矩形，90RAT ∴∠=︒，2AR DR ==243AT AB ==，2222(2)(43)52RT AR AT ∴+=+，A ，A '关于DP 对称，AA DP ∴'⊥，90AMD ∴∠=︒，AR RD =，12RM AD ∴=MT RT RM -，42MT ∴， MT ∴的最小值为QA QM QT QM MT +=+，42QA QM ∴+QA QM ∴+的最小值为13．解：①四边形ABCD 是正方形，90A B BCD D ∴∠=∠=∠=∠=︒．由折叠可知：90GEP BCD ∠=∠=︒，90F D ∠=∠=︒．90BEP AEG ∴∠+∠=︒， 90A ∠=︒，90AEG AGE ∴∠+∠=︒， BEP AGE ∴∠=∠．FGQ AGE ∠=∠，BEP FGQ ∴∠=∠．90B F ∠=∠=︒， PBE QFG ∴∆∆∽．故①正确；②过点C 作CM EG ⊥于M ，由折叠可得：GEC DCE ∠=∠，//AB CD ，BEC DCE ∴∠=∠，BEC GEC ∴∠=∠，在BEC ∆和MEC ∆中，90B EMC BEC GEC CE CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEC MEC AAS ∴∆≅∆．CB CM ∴=，BEC MEC S S ∆∆=．CG CG =，Rt CMG Rt CDG(HL)∴∆≅∆，CMG CDG S S ∆∆∴=， CEG BEC CDG BEC CDQH S S S S S ∆∆∆∆∴=+>+四边形，∴②不正确；③由折叠可得：GEC DCE ∠=∠，//AB CD ，BEC DCE ∴∠=∠，BEC GEC ∴∠=∠，即EC 平分BEG ∠．∴③正确； ④连接DH ，MH ，HE ，如图，BEC MEC ∆≅∆，CMG CDG ∆≅∆，BCE MCE ∴∠=∠，MCG DCG ∠=∠， 1452ECG ECM GCM BCD ∴∠=∠+∠=∠=︒，EC HP ⊥，45CHP ∴∠=︒．45GHQ CHP ∴∠=∠=︒．由折叠可得：45EHP CHP ∠=∠=︒，EH CG ∴⊥．222EG EH GH ∴-=．由折叠可知：EH CH =．222EG CH GH ∴-=．CM EG ⊥，EH CG ⊥，90EMC EHC ∴∠=∠=︒，E ∴，M ，H ，C 四点共圆，45HMC HEC ∴∠=∠=︒．在CMH ∆和CDH ∆中，CM CD MCG DCG CH CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CMH CDH SAS ∴∆≅∆．45CDH CMH ∴∠=∠=︒， 90CDA ∠=︒，45GDH ∴∠=︒，45GHQ CHP ∠=∠=︒，45GHQ GDH ∴∠=∠=︒． HGQ DGH ∠=∠，GHQ GDH ∴∆∆∽，∴GQ GHGH GD=．2GH GQ GD ∴=⋅． 22GE CH GQ GD ∴-=⋅．∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故答案为：①③④． 14．解：（1）将(1,0)A -，(0,2)C 代入212y x bx c =-++，∴2102c b c =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，213222y x x ∴=-++；（2）令0y =，则2132022x x -++=，解得1x =-或4x =，(4,0)B ∴，4OB ∴=，14(2)122BCD S OD ∆∴=⨯⨯+=，4OD ∴=，(0,4)D ∴-，设直线BD 的解析式为y kx b =+， ∴440b k b =-⎧⎨+=⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，联立方程组2413222y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得37x y =-⎧⎨=-⎩或40x y =⎧⎨=⎩， (3,7)P ∴--；（3）如图1，当B '在第一象限时，设直线BC 的解析式为y k x b ''=+，∴240b k b '=⎧⎨''+=⎩，解得122k b ⎧'=-⎪⎨⎪'=⎩，122y x ∴=-+，设1(,2)2E t t -+，OH t ∴=，122EH t =-+，(0,4)D -，(4,0)B ，OB OD ∴=，45ODB ∴∠=︒，直线EB '与直线BP 相交所成锐角为45︒，//EB CD '∴，由折叠可知，4OB BO '==，BE B E '=，在Rt OHB '∆中，B H '11(2)222B E t t '∴-+-，122BE t ∴-，在Rt BHE ∆中，222112)(4)(2)22t t t -=-+-+，解得t =，04t，t ∴，B '∴；如图2，当B '在第二象限，45BGB '∠=︒时，45ABP ∠=︒，//B G x '∴轴，将OEB ∆沿直线OE 翻折得到OEB '∆，BE B E '∴=，OB OB '=，BOE B OE '∠=∠，BOE B EO '∴∠=∠，//B E B O ''∴，B E BO '=，∴四边形B OBE '是平行四边形，4B E '∴=，1(4,2)2B t t '∴--+，由折叠可知4OB OB '==，∴平行四边形OBEB '是菱形，BE OB ∴=，∴4=，解得4t =4t =-， 04t，4t ∴=-(B '∴；综上所述：B '的坐标为或(．方法2：在Rt BCO ∆中，BC =::1:2CO OB BC =，BP 与x 轴和y 轴的夹角都是45︒，BP 与B E '的夹角为45︒，//B E x '∴轴或//B E y '轴，当//B E y '轴时，延长B E '交x 轴于F ，B F OB '∴⊥，CBA OB E '∠=∠，∴△OB F CBO '∆∽， ::1:2:5OF FB B O ''∴=，4OB OB '==，455FO ∴=，855B F '=，45(5B '∴，85)5；当//B E x '轴时，过B '作B F x '⊥中交于F ， B F OF '∴⊥，//B E OB '，B E '和BE 关于OE 对称，OB 和OB '关于OE 对称，//BE OB '∴，FOB OBC '∠=∠，∴△OB F BCO '∆∽， ::1:2:5B F FO OB ''∴=，4OB OB '==，455B F '∴=，855OF =，85(5B '∴-，45)5；综上所述：B '坐标为45(5，85)5或85(5-，45)5．15．解：（1）抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于(2,0)A -，(6,0)B 两点， ∴4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得：143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的表达式为2134y x x =-++；（2）抛物线2134y x x =-++与y 轴交于点C ，(0,3)C ∴，设直线BC 的解析式为y kx b =+，把(6,0)B 、(0,3)C 代入，得：603k b b +=⎧⎨=⎩，解得：123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为132y x =-+，设点P 的横坐标为m ，则21(,3)4P m m m -++，1(,3)2E m m -+，2211133(3)4242h m m m m m ∴=-++--+=-+，点P 是第一象限内抛物线上的一个动点， 06m ∴<<，213(06)42h m m m ∴=-+<<；（3）如图，过点E 、F 分别作EH y ⊥轴于点H ，FG y ⊥轴于点G ，21(,3)4P m m m -++，1(,3)2E m m -+，21342PE m m ∴=-+，PF CE ⊥，90EPF PEF ∴∠+∠=︒，PD x ⊥轴，90EBD BED ∴∠+∠=︒，又PEF BED ∠=∠，EPF EBD ∴∠=∠，90BOC PFE ∠=∠=︒， BOC PFE ∴∆∆∽，∴EF OCPE BC=，在Rt BOC ∆中，22226335BC OB OC =++ 2213513))424235OC EF PE m m m m BC ∴=⨯=-+=-+， EH y ⊥轴，PD x ⊥轴，90EHO EDO DOH ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ODEH 是矩形，EH OD m ∴==，//EH x 轴，CEH CBO ∴∆∆∽，∴CE BCEH OB=，即35CE m ，52CE m ∴=，CF EF =，1524EF CE m ∴==， ∴25513()4542m m m =-+，解得：0m =或1m =，06m <<，1m ∴=；（4）抛物线2134y x x =-++，∴抛物线对称轴为直线1212()4x =-=⨯-，点Q 在抛物线的对称轴上，∴设(2,)Q t ，设抛物线对称轴交x 轴于点H ，交CP 边于点G ，则3GQ t =-，2CG =，90CGQ ∠=︒，①当点O '恰好落在该矩形对角线OP 所在的直线上时，如图，则CQ 垂直平分OO '，即CQ OP ⊥，90COP OCQ ∴∠+∠=︒，又四边形OCPD 是矩形，4CP OD ∴==，3OC =，90OCP ∠=︒， 90PCQ OCQ ∴∠+∠=︒，PCQ COP ∴∠=∠，4tan tan 3CP PCQ COP OC ∴∠=∠==， ∴4tan 3GQ PCQ CG =∠=，∴3423t -=，解得：13t =，1(2,)3Q ∴；②当点O '恰好落在该矩形对角线CD 上时，如图，连接CD 交GH 于点K ，点O 与点O '关于直线CQ 对称，CQ ∴垂直平分OO '， OCQ DCQ ∴∠=∠，//GH OC ，CQG OCQ ∴∠=∠，DCQ CQG ∴∠=∠，CK KQ ∴=，C 、P 关于对称轴对称，即点G 是CP 的中点，////GH OC PD ，∴点K 是CD 的中点，3(2,)2K ∴，32GK ∴=，32CK KQ t ∴==-，在Rt CKG ∆中，222CG GK CK +=，222332()()22t ∴+=-，解得：11t =（舍去），21t =-，(2,1)Q ∴-； ③当点O '恰好落在该矩形对角线DC 延长线上时，如图，过点O '作O K y '⊥轴于点K ，连接OO '交CQ 于点M ，点O 与点O '关于直线CQ 对称，CQ ∴垂直平分OO '， OCM O CM ∴∠=∠'，90OMC O MC ∠=∠'=︒，3O C OC '==， 90O KC DOC ∠'=∠=︒，O CK DCO ∠'=∠，∴△O CK DCO '∆∽，∴O K CK CO OD CO CD ''==，即3435O K CK '==，125O K ∴'=，95CK =，924355OK OC CK ∴=+=+=， 12(5O ∴'-，24)5，点M 是OO '的中点，6(5M ∴-，12)5，设直线CQ 的解析式为y k x b ='+'，则612553k b b ⎧-'+'=⎪⎨⎪'=⎩，解得：123k b ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，∴直线CQ 的解析式为132y x =+，当2x =时，12342y =⨯+=， (2,4)Q ∴；综上所述，点Q 的坐标为1(2,)3或(2,1)-或(2,4)．16．解：（1）如图1中，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，46ADB DBC ∴∠=∠=︒，由翻折不变性可知，1232DBE EBC DBC ∠=∠=∠=︒，故答案为23．（2）【画一画】，如图2中，【算一算】如图3中， 73AG =，9AD =，720933GD ∴=-=，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，DGF BFG ∴∠=∠，由翻折不变性可知，BFG DFG ∠=∠，DFG DGF ∴∠=∠，203DF DG ∴==，4CD AB ==，90C ∠=︒， ∴在Rt CDF ∆中，22163CF DF CD =-=，113BF BC CF ∴=-=，由翻折不变性可知，113FB FB ='=，2011333DB DF FB ∴'=-'=-=．【验一验】如图4中，小明的判断不正确．理由：连接ID ，在Rt CDK ∆中，3DK =，4CD =，22345CK ∴=+=， //AD BC ，DKC ICK ∴∠=∠，由折叠可知，90A B I B ∠''=∠=︒，90IB C D ∴∠'=︒=∠，CDK ∴∆∽△IB C '， ∴CD DK CK IB B C IC ==''，即435IB B C IC==''，设3CB k '=，4IB k '=，5IC k =，由折叠可知，4IB IB k ='=，459BC BI IC k k ∴=+=+=，1k ∴=，5IC ∴=，4IB '=，3B C '=，在Rt ICB ∆'中，3tan 4CB B IC IB '∠'=='，连接ID ，在Rt ICD ∆中，4tan 5DC DIC IC ∠==， tan tan B IC DIC ∴∠'≠∠， B I ∴'所在的直线不经过点D ．17．（1）证明：四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，//AB CD ，90A ∠=︒，AE EB =，DF FC =，AE DF ∴=，//AE DF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，90A ∠=︒，∴四边形AEFD 是矩形；（2）证明：如图2，设BM 与EN 交于点O ，四边形AEFD 是矩形，EF 是折痕，////EF AD BC ∴，ONB CBN ∴∠=∠，BE AE =，BO OM ∴=，由翻折可知，90MNB A ∠=∠=︒，OM OB ON ∴==，OBN ONB ∴∠=∠，OBN CBN ABM ∴∠=∠=∠， 90ABC ∠=︒，30ABM ∴∠=︒；（3）解：如图31-中，当NA ND =时，连接BN ，过点N 作NH AD ⊥于H 交BC 于F ．NA ND =，NH AD ⊥，4AH HD ∴==，90BAH ABF AHF ∠=∠=∠=︒， ∴四边形ABFH 是矩形，4BF AH ∴==，5AB FH ==，90BFN ∴∠=︒，5BN BA ==，223FN BN BF ∴=-=，532HN HF FN ∴=-=-=，90ABM AMB ∠+∠=︒，90NAH AMB ∠+∠=︒，ABM NAH ∴∠=∠，90BAM AHN ∠=∠=︒，ABP HAM ∴∆∆∽，∴AM AB HN AH =，∴524AP =，52AP ∴=；如图32-中，当AN AD =时，连接BN ，设BM 交AN 于F ．8AD AN ==，5BA BN ==，BF AN ⊥，4AF FN ∴==，223BF AB AF ∴=-=，tan AP AF ABF AB BF ∠==， ∴453AP =，203AP ∴=；如图33-中，当DA DN =时，因为BD 是线段AN 的垂直平分线，BM 也是线段AN 的垂直平分线，所以，BM 与BD 重合，所以点M 与点D 重合，8AM =；如图34-中，当NA ND =时，连接BN ，过点N 作NH AD ⊥于H 交BC 于F ． 5BN =，4BF =，3FN ∴=，358NH =+=，由ABM HAN ∆∆∽，∴AM AB HN AH =，∴584AM =，10AM ∴=，综上所述，满足条件的AM 的值为52或203或8或10． 18．解：（1）如图①对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，EF ∴垂直平分AB ，AN BN ∴=，AE BE =，90NEA ∠=︒，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点N 处，BM ∴垂直平分AN ，90BAM BNM ∠=∠=︒，AB BN ∴=，AB AN BN ∴==，ABN ∴∆是等边三角形， 60EBN ∴∠=︒，30ENB ∴∠=︒，60MNE ∴∠=︒，故答案为：是，等边三角形，60；（2）折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点H 处， 45ABG HBG ∴∠=∠=︒，15GBN ABN ABG ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：15︒；（3）折叠矩形纸片ABCD ，使点A 落在BC 边上的点A '处， ST ∴垂直平分AA '，AO A O '∴=，AA ST '⊥，//AD BC ，SAO TA O '∴∠=∠，ASO A TO '∠=∠，ASO ∴∆≅△()A TO AAS 'SO TO ∴=，∴四边形ASA T '是平行四边形，又AA ST '⊥，∴四边形SATA '是菱形；（4）折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A '处， AT A T '∴=，在Rt △A TB '中，A T BT '>，10AT AT ∴>-， 5AT ∴>，点T 在AB 上，∴当点T 与点B 重合时，AT 有最大值为10， 510AT ∴<，∴正确的数值为7，9，故答案为：7，9．19．（1）证明：如图①，BE 与MN 的交点记作点O ，由折叠知，90BON ∠=︒， 90CBE BNM ∴∠+∠=︒，MH BC ⊥，90MHN ∴∠=︒，90HMN BNM ∴∠+∠=︒，CBE HMN ∴∠=∠，四边形ABCD 为矩形，90A ABC C BHM ∴∠=∠=∠=︒=∠， ∴四边形ABHM 是矩形，AB MH ∴=，BC AB =，BC MH ∴=，在EBC ∆和NMH ∆中，C BHM BC MH CBE HMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EBC NMH ASA ∴∆≅∆；（2）①证明：同（1）的方法得，C BHM ∠=∠，CBE HMN ∠=∠， EBC NMH ∴∆∆∽；②解：设(0)DE x x =>，点E 为CD 的三等分点， Ⅰ、当2CE DE =时，2CE x ∴=，3CD x =，2BC BA =，6BC x ∴=，同①的方法得，四边形CDMH 是矩形， 3MH CD x ∴==，由①知，EBC NMH ∆∆∽， ∴EC BC NH MH =，∴263x x NH x =，NH x ∴=，设(0)AM y y =>，同①的方法得，四边形AMHB 是矩形， BH AM y ∴==，BN x y ∴=+，5CN BC BN x y ∴=-=-，由折叠知，EN BN x y ==+，在Rt ECN ∆中，根据勾股定理得，222CN CE EN +=， 222(5)(2)()x y x x y ∴-+=+，73y x ∴=或0x =（舍去），73AM x ∴=，103BN x y x =+=，∴77310103x AM BN x ==， Ⅱ、当2DE CE =时，同Ⅰ的方法得．3137AM BN =，即710AM BN =或3137．。

中考数学折叠典型问题

中考数学折叠典型问题中考数学折叠典型问题一．解答题（共4小题）1．（2009•天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，求此时点C的坐标．2．已知一个直角三角形AOB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（1）如图1，若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为_________；（2）如图2，若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（3）如图3，若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式．3．（2009•恩施州）如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DE=x，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．（1）用x表示△ADE的面积；（2）求出0＜x≤5时y与x的函数关系式；（3）求出5＜x＜10时y与x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？4．（2009•长沙）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（﹣3，0）、C（0，），且当x=﹣4和x=2时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．中考数学折叠典型问题参考答案与试题解析一．解答题（共4小题）1．（2009•天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，求此时点C的坐标．分析：（Ⅰ）因为折叠后点B与点A重合，那么BC=AC，可先设出C点的坐标，然后表示出BC，AC，在直角三角形OCA中，根据勾股定理即可求出C点的纵坐标，也就求出了C点的坐标；（Ⅱ）方法同（Ⅰ）用OC表示出BC，B′C然后在直角三角形OB′C中根据勾股定理得出x，y的关系式．由于B′在OA上，因此有0≤x≤2，由此可求出y的取值范围；（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的思路，应该先得出OB″，OC的关系，知道OA，OB的值，那么可以通过证Rt△COB″∽Rt△BOA来实现．∠B″CO和∠CB″D是平行线B″D，OB的内错角，又因为∠OBA=∠CB″D，因此∠B″CO=∠OBA，即CB″∥BA，由此可得出两三角形相似，得出OC，OB″的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在直角三角形OB″C中求出OC的值，也就求出C点的坐标了．解答：解：（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD．设点C的坐标为（0，m）（m＞0），则BC=OB﹣OC=4﹣m．∴AC=BC=4﹣m．在Rt△AOC中，由勾股定理，AC2=OC2+OA2，即（4﹣m）2=m2+22，解得m=．∴点C的坐标为（0，）；（Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B′，∴△B′CD≌△BCD．∵OB′=x，OC=y，∴B'C=BC=OB﹣OC=4﹣y，在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2=OC2+OB′2．∴（4﹣y）2=y2+x2，即y=﹣x2+2．由点B′在边OA上，有0≤x≤2，∴解析式y=﹣x2+2（0≤x≤2）为所求．∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴y的取值范围为≤y≤2；（Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B″，且B″D∥OC．∴∠OCB″=∠CB″D．又∵∠CBD=∠CB″D，∴∠OCB″=∠CBD，∵CB″∥BA．∴Rt△COB″∽Rt△BOA．∴，∴OC=2OB″．在Rt△B″OC中，设OB″=x0（x0＞0），则OC=2x0．由（Ⅱ）的结论，得2x0=﹣x02+2，解得x0=﹣8±4．∵x0＞0，∴x0=﹣8+4．∴点C的坐标为（0，8﹣16）．2．已知一个直角三角形AOB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．（1）如图1，若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为（1，2）；（2）如图2，若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（3）如图3，若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式．分析：（1）由CD为△OAB的中位线，可求D点坐标；（2）设OC=m，由折叠的性质可知，△ACD≌△BCD，则BC=AC=4﹣m，OA=2，在Rt△AOC中，利用勾股定理求m的值；（3）由折叠的性质可知，△B′CD≌△BCD，依题意设OB′=x，OC=y，则B′C=BC=OB﹣OC=4﹣y，在Rt△B′OC中，由勾股定理，建立y与x之间的函数关系式．解答：解：（1）由折叠的性质可知，BC=OC，CD⊥OB，则CD为△OAB的中位线，所以D（1，2），故答案为：（1，2）；（2）如图2，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD，设C点坐标为（0，m）（m＞0），则BC=OB﹣OC=4﹣m，于是AC=BC=4﹣m，在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，即（4﹣m）2=m2+22，解得m=，所以C（0，）；（3）如图3，折叠后点BB落在边OA上的点为B′，则△B′CD≌△BCD，依题意设OB′=x，OC=y，则B′C=BC=OB﹣OC=4﹣y，在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2=OC2+OB′2，即（4﹣y）2=y2+x2，即y=﹣x2+2，由点B′在边OA上，有0≤x≤2，所以，函数解析式为y=﹣x2+2（0≤x≤2）．3．（2009•恩施州）如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DE=x，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．（1）用x表示△ADE的面积；（2）求出0＜x≤5时y与x的函数关系式；（3）求出5＜x＜10时y与x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？分析：（1）由于DE∥BC，可得出三角形ADE和ABC相似，那么可根据面积比等于相似比的平方用三角形ABC的面积表示出三角形ADE的面积．（2）由于DE在三角形ABC的中位线上方时，重合部分的面积就是三角形ADE的面积，而DE在三角形ABC中位线下方时，重合部分就变成了梯形，因此要先看0＜x≤5时，DE的位置，根据BC的长可得出三角形的中位线是5，因此自变量这个范围的取值说明了A′的落点应该在三角形ABC之内，因此y就是（1）中求出的三角形ADE的面积．（3）根据（2）可知5＜x＜10时，A′的落点在三角形ABC外面，可连接AA1，交DE于H，交BC于F，那么AH就是三角形ADE的高，A′F就是三角形A′DE的高，A′F就是三角形A′MN的高，那么可先求出三角形A′MN的面积，然后用三角形ADE的面积减去三角形A′MN的面积就可得出重合部分的面积．求三角形A′MN的面积时，可参照（1）的方法进行求解．（4）根据（2）（3）两个不同自变量取值范围的函数关系式，分别得出各自的函数最大值以及对应的自变量的值，然后找出最大的y的值即可．解答：解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，即S△ADE=x2；（2）∵BC=10，∴BC边所对的三角形的中位线长为5，∴当0＜x≤5时，y=S△ADE=x2；（3）5＜x＜10时，点A′落在三角形的外部，其重叠部分为梯形，∵S△A′DE=S△ADE=x2，∴DE边上的高AH=A'H=x，由已知求得AF=5，∴A′F=AA′﹣AF=x﹣5，由△A′MN∽△A′DE知=（）2，S△A′MN=（x﹣5）2．∴y=x2﹣（x﹣5）2=﹣x2+10x﹣25．（4）在函数y=x2中，∵0＜x≤5，∴当x=5时y最大为：，在函数y=﹣x2+10x﹣25中，当x=﹣=时y最大为：，∵＜，∴当x=时，y最大为：．4．（2009•长沙）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（﹣3，0）、C（0，），且当x=﹣4和x=2时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．专题：压轴题．分析：（1）由题意和图形可求出函数的表达式；（2）结合抛物线内部几何关系和性质求出t值及P点坐标；（3）假设成立（1）若有△ACB∽△QNB则有∠ABC=∠QBN，寻找相似条件，判断是否满足．解答：解：（1）∵C（0，）在抛物线上∴代入得c=，∵x=﹣4和x=2时二次函数的函数值y相等，∴顶点横坐标x==﹣1，∴，又∵A（﹣3，0）在抛物线上，∴=0由以上二式得a=，b=，c=；（2）由（1）y==∴B（1，0），连接BP交MN于点O1，根据折叠的性质可得：01也为PB中点．设t秒后有M（1﹣t，0），N（1﹣，），O1）设P（x，y），B（1，0）∵O1为P、B的中点可得，，即P（）∵A，C点坐标知lAC：y=，P点也在直线AC上代入得t=，即P（）；（3）假设成立；①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN，∴Q点在x轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：则△ACB不与△QNB相似．②若有△ACB∽△QBN，则有 (1)设Q（﹣1，y），C（0，），A（﹣3，0），B（1，0），N（）则CB=2，AB=4，AC=2代入（1）得y=2或．当y=2时有Q（﹣1，2）则QB=4⇒不满足相似舍去；当y=时有Q（﹣1，）则QB=⇒．∴存在点Q（﹣1，）使△ACB∽△QBN．综上可得：（﹣1，）．。

中考数学折叠问题答案

折叠问题答案一、选择题1. ∵△A′DE 是△ABC 翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。

∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。

2.延长DC 与A′D′，交于点M ，∵在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。

∴∠D=180°-∠A=120°。

根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。

∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。

∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM -∠M=30°。

∴∠CBM=∠M。

∴BC=CM。

设CF=x ，D′F=DF=y ，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y 。

∴FM=CM+CF=2x+y ，在Rt△D′FM 中，tan∠M=tan30°=D F y 3FM 2x y 3'==+，∴3-1x y 2=。

∴CF x 3-1FD y 2==。

故选A 。

3. ∵将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，∴AB＝BE ，∠AEB＝∠EAB＝45°，∵还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，∴AE＝EF ，∠EAF＝∠EFA＝0452＝22.5°。

∴∠FAB＝67.5°。

设AB ＝x ，则AE ＝EF ＝2x ，∴an67.5°＝tan∠FAB＝tFB 2x+x 21AB x ==+。

2024徐州中考数学二轮重难题型专题训练题型六几何图形折叠问题 (含答案)

2024徐州中考数学二轮重难题型专题训练题型六几何图形折叠问题二阶设问突破例1一题多设问在△ABC中，点D是AC边上的一点．(1)如图①，点E是线段AB上一点，将△AED沿DE折叠，使点A的对应点A′与点C重合，若AB＝4，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，则折痕DE的长为____________________________．图①图②例1题图(2)如图②，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，将△BCD沿BD对折，顶点C落在AB边点C′处，若CD＝2，则AB的长为________．(3)如图③，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，将△ABD沿BD折叠后得到△A′BD，且A′B⊥AC，则AD的长为________．图③例1题图(4)如图④，点E为AB边上的中点，将△AED沿ED折叠得到△A′ED，连接A′C.若∠BAC ＝105°，AB＝4，AC＝32，当∠AED＝30°时，则A′C的长为________．图④例1题图(5)如图⑤，若△ABC是边长为5的等边三角形，点E是边AB上一点，将△AED沿DE折叠，使点A的对应点恰好落在BC边上的点A′处，若BA′＝2，则BE的长为________．例1题图⑤例2在四边形ABCD中．(1)如图①，若四边形ABCD为平行四边形，将△ABE沿AE折叠后得到△AB′E，使点B′落在AD上，求证：四边形ABEB′是菱形；例2题图①(2)如图②，若四边形ABCD为平行四边形，将该四边形沿FP折叠，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，使点B′落在AD上，求证：△B′FP为等腰三角形；例2题图②(3)如图③，若四边形ABCD为矩形，AB＝4，AF＝2，将该四边形沿FP折叠，点A的对应点为A′落在矩形外部，点B的对应点为B′落在矩形内部，A′B′与AD交于点M，且A′M＝B′M，求BP的长．例2题图③三阶综合提升1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上)．(1)若△CEF与△ABC相似．①当AC＝BC＝2时，AD的长为________；②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为________；(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．第1题图2.如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF.展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N.(1)若CM＝x，则CH＝________________(用含x的代数式表示)；(2)求折痕GH的长．第2题图3.如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为C D.展平后，再将点B折叠在边AC上(不与A、C重合)，折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF.已知BC＝4.(1)若M为AC的中点，求CF的长；(2)随着点M在边AC上取不同的位置，①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；②求△PFM的周长的取值范围．第3题图4.如图①，在△ABC中，AB＝42，∠B＝45°，∠C＝60°.(1)求BC边上的高线长；(2)点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连接EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF.①如图②，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数；②如图③，连接AP，当PF⊥AC时，求AP的长．第4题图5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE 折叠，点D的对应点为D′，连接CD′.(1)当E为CD的中点时，求证：AE∥CD′；(2)当点D′恰好落在线段BC上时，求出CE的长；(3)当点E与点C重合时，求点D′到BC的距离．第5题图6.如图，在矩形纸片ABCD中，E为AD边上的动点(不与点A、D重合)，将矩形纸片沿BE折叠，点A的对应点为A′，沿EF再次折叠纸片，使点D的对应点D′落在EA′的延长线上，连接DA′，已知AB＝6，BC＝11，设AE＝x.(1)若∠ABE＝30°，则BE＝________；(2)点E从点A向点D的运动过程中，求DA′的最小值；(3)当点D′恰好落在边BC上时，判断△BED′的形状，并求出此时x的值．第6题图7.如图，已知正方形ABCD的边长为8，M为CD的中点，E为线段DM上的一个动点，F 为AB上一点，将正方形沿EF折叠，使点C的对应点P始终落在边AD上，点B的对应点为Q，PQ交AB于点N，连接CP，EN.(1)若∠PNE＝30°，求S△APN∶S△DEP的值；(2)求证：CP＝EF；(3)如图②，连接PM，随着点E在线段DM上取不同的位置，是否存在点P，使得2AP＋2PM有最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．第7题图参考答案二阶例1(1)1【解析】∵∠ACB ＝90°，点A 的对应点A ′与点C 重合，∴D 为AC 中点，∠EDC ＝90°，即DE 为△ABC 的中位线，∵AB ＝4，∠BAC ＝30°，∴BC ＝2，∴DE ＝12BC ＝1.(2)4＋22【解析】∵CD ＝C ′D ＝2，∠A ＝45°，C ′D ⊥AB ，∴△AC ′D 为等腰直角三角形，∴AD ＝22，AC ＝22＋2，AB ＝2AC ＝4＋2 2.(3)2【解析】如解图①，设A ′B 与AC 交于点E ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，∴AC＝5.∵S △ABC ＝12AB ×BC ＝6＝12×AC ×BE .∴BE ＝125，由题易得，△A ′DE ∽△ACB ，A ′E ＝A ′B －BE ＝85.∴A ′D AC ＝A ′E AB ，即A ′D 5＝854，∴A ′D ＝2＝AD .例1题解图①(4)10【解析】如解图②，连接AA ′，∵∠BAC ＝105°，∠AED ＝30°，∴∠ADE ＝45°，由折叠的性质可得，∠ADA ′＝90°，AD ＝A ′D ，又∵∠AED ＝30°，∴∠AEA ′＝60°，∴AA ′＝AE ＝12AB ＝2，A ′D ＝AD ＝22AA ′＝2.CD ＝AC －AD ＝32－2＝22.在Rt △A ′CD 中，由勾股定理得，A ′C ＝A ′D 2＋CD 2＝10.例1题解图②(5)218【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝5.∵沿DE 折叠△AED ，使点A 落在BC 边上的点A ′上，∴△AED ≌△A ′ED ，∴∠DA ′E ＝∠A ＝60°，AE ＝EA ′，AD ＝DA ′，设BE ＝x ，AE ＝EA ′＝5－x ，CD ＝y ，AD ＝A ′D ＝5－y .∵BA ′＝2，BC ＝5，∴CA ′＝3.∵∠C ＝60°，∠DA ′E ＝60°，∴∠DA ′C ＋∠A ′DC ＝120°，∠EA ′B＋∠DA′C＝120°，∴∠EA′B＝∠A′DC.∵∠C＝∠B，∴△EBA′∽△A′CD，∴EBA′C＝BA′CD＝EA′A′D，即x3＝2y＝5－x5－y，解得x＝218，即BE＝218.例2(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，由折叠的性质知∠B＝∠AB′E，∴∠AB′E＝∠D，∴B′E∥CD，∴AB∥B′E，∴四边形ABEB′为平行四边形，由折叠的性质可得，AB＝AB′，∴四边形ABEB′是菱形．(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BPF＝∠B′FP，由折叠的性质可得，∠BPF＝∠B′PF，∴∠B′FP＝∠B′PF，∴B′F＝B′P，∴△B′FP为等腰三角形．(3)解：如解图，延长PB′交AD于点G，过点B′作JH⊥BC，交BC于点H，交AD于点J，在△A′MF与△B′MG中，A′＝∠MB′G′M＝B′MA′MF＝∠B′MG，∴△A′FM≌△B′GM(ASA)，∴A′F＝2＝B′G，又∵B′M＝12A′B′＝12AB＝2，∴∠GMB′＝45°，∴JB′＝2，B′H＝4－2，PB′＝2(4－2)＝42－2.∴BP＝42－2.例2题解图三阶1.解：(1)①2；(1分)②1.8或2.5；(4分)【解法提示】若△CEF 与△ABC 相似．①当AC ＝BC ＝2时，△ABC 为等腰直角三角形，如解图①所示，图①图②第1题解图此时D 为AB 边中点，AD ＝22AC ＝2；②当AC ＝3，BC ＝4时，有两种情况，a ．若CE ∶CF ＝3∶4，如解图②所示，∵CE ∶CF ＝AC ∶BC ，∴EF ∥AB ，由折叠性质可知，CD ⊥EF ，∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高，在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∴cos A ＝AC AB ＝35，∴AD ＝AC ·cos A ＝3×35＝1.8；b ．若CF ∶CE ＝3∶4，如解图③所示，∵△CEF ∽△CBA ，∴∠CEF ＝∠B .由折叠性质可知，∠CEF ＋∠ECD ＝90°.又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠A ＝∠ECD ，∴AD ＝CD ，同理可得∠B ＝∠FCD ，CD ＝BD ，∴此时AD ＝12AB ＝12×5＝2.5，综上所述，当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为1.8或2.5.图③图④第1题解图(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似，理由如下：如解图④，设CD 与EF 的交点为Q ，∵CD 是Rt △ABC 的中线，∴CD ＝DB ＝12AB ，∴∠DCB ＝∠B ，由折叠性质可知，∠CQF ＝∠DQF ＝90°.∴∠DCB ＋∠CFE ＝90°.∵∠B ＋∠A ＝90°，∴∠CFE ＝∠A ，又∵∠ACB ＝∠FCE ，∴△CEF ∽△ABC .(8分)2.解：(1)x （6－x ）3或3－x 212；(4分)【解法提示】∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝6.由折叠性质得，∠N ＝∠A ＝90°，MN ＝AB ＝6，∠EMH ＝∠B ＝90°，∴∠HMC ＋∠EMD ＝90°.∵∠D ＝90°，∴∠DEM ＋∠EMD ＝90°.∴∠HMC ＝∠DEM .∵∠C ＝∠D ，∴△HMC ∽△MED .∴CM DE ＝CH DM .∵点E 为AD 的中点，∴DE ＝3.∵CM ＝x ，DM ＝6－x ，∴x 3＝CH 6－x .∴CH ＝x （6－x ）3.设CH ＝y ，∴BH ＝6－y .由折叠性质得，HM ＝HB ＝6－y ，在Rt △CHM 中，HM 2＝CH 2＋CM 2，∴(6－y )2＝y 2＋x 2.∴y ＝3－x 212.∴CH ＝3－x 212.综上所述，CH ＝x （6－x ）3或3－x 212(0＜x ＜6)；(2)∵CH ＝x （6－x ）3或3－x 212，∴x （6－x ）3＝3－x 212，解得x 1＝2，x 2＝6(舍去)．∴CH ＝83，CM ＝2.∴DM ＝4.在Rt △DME 中，EM ＝DE 2＋DM 2＝5，∴NE ＝NM －EM ＝1.∵∠N ＝∠D ＝90°，∠NEG ＝∠DEM ，∴△NEG ∽△DEM .∴GN MD ＝NE DE ，∴GN ＝NE ·MD DE ＝43.(6分)∵AG ＝GN ，∴AG ＝43.如解图，过点G 作GP ⊥BC ，垂足为点P ，∴∠BPG ＝90°.∵∠A ＝∠B ＝90°，∴四边形ABPG 为矩形，∴BP ＝AG ＝43，GP ＝AB ＝6，∴PH ＝BC －BP －CH ＝2，∴在Rt △GPH 中，GH ＝PG 2＋PH 2＝210.(9分)第2题解图3.解：(1)∵M 为AC 的中点，AC ＝BC ＝4，∴CM ＝2.设BF ＝x ，则FM ＝x ，CF ＝4－x ，在Rt △FCM 中，由勾股定理得FC 2＋CM 2＝MF 2，即(4－x )2＋22＝x 2，解得x ＝2.5，即CF ＝4－2.5＝1.5；(3分)(2)①△PFM 恒为等腰直角三角形，理由如下：∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠B ＝45°，∠ACB ＝90°.如解图，由第一次折叠得∠1＝∠2＝12∠ACB ＝45°，由第二次折叠得∠PMF ＝∠B ＝45°，第3题解图设PC 与MF 交于点Q ，∵∠PQM ＝∠FQC ，∠PMF ＝∠1＝45°，∴△PQM ∽△FQC .(4分)∴PQ FQ ＝QM QC.∴PQ QM ＝FQ QC.又∵∠PQF ＝∠MQC ，(5分)∴△PQF ∽△MQC .∴∠PFQ ＝∠2＝45°.∵∠PFQ ＝∠PMF ＝45°，∴△PFM 为等腰直角三角形；(7分)②由①知，PF ＝PM ＝22FM ，∴C △PFM ＝PF ＋PM ＋MF ＝(2＋1)MF .(8分)设MF ＝y ，CM ＝m ，则FC ＝4－y ，在Rt △FCM 中，由勾股定理得MF 2＝FC 2＋CM 2，即y 2＝(4－y )2＋m 2，∴y ＝18m 2＋2.∵0＜m ＜4，∴2＜y ＜4.(9分)∴2(2＋1)＜(2＋1)FM ＜4(2＋1)，即22＋2＜C △PFM ＜42＋4.(10分)4.解：(1)如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin 45°＝42×22＝4；第4题解图(2)①由题意得△AEF ≌△PEF ，∴AE ＝PE .又∵点E 为线段AB 的中点，∴AE ＝BE ，∴BE ＝PE ，∴∠EPB ＝∠B ＝45°，∴∠BEP ＝∠AEP ＝90°；②由(1)可知，AD ＝4，在Rt △ADC 中，AC ＝AD sin 60°＝833.∵PF ⊥AC ，∴∠PFA ＝90°.∵△AEF ≌△PEF ，∴∠AFE ＝∠PFE ＝45°，则∠AFE ＝∠B .又∵∠EAF ＝∠CAB ，∴△EAF ∽△CAB ，∴AF AB ＝AE AC ，即AF 42＝22833，∴AF ＝2 3.在Rt △AFP 中，AF ＝PF ，则AP ＝2AF ＝2 6.5.(1)证明：如解图①，第5题解图①∵点E 为CD 的中点，∴DE ＝CE ，由图形折叠性质可得，DE ＝D ′E ，∠AED ′＝∠AED ，∴D ′E ＝CE .∴∠ED ′C ＝∠ECD ′.∵∠AED ＋∠AED ′＋∠D ′EC ＝∠ED ′C ＋∠ECD ′＋∠D ′EC ＝180°.∴∠ED ′C ＝∠AED ′.∴AE ∥CD ′；(2)解：由题意可设CE ＝x ，则DE ＝D ′E ＝4－x ，在Rt △ABD ′中，由勾股定理得AB 2＋BD ′2＝AD ′2，即42＋BD ′2＝62，解得BD ′＝2 5.在Rt △D ′EC 中，由勾股定理得：D ′E 2＝CD ′2＋CE 2，即(4－x )2＝(6－25)2＋x 2，解得x ＝35－5.即CE 的长为35－5；(3)解：如解图②，过点D ′作D ′F ⊥BC 于点F ，AD ′交BC 于点H ，第5题解图②∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB .由折叠性质得∠DAC ＝∠D ′AC ，∴∠ACB ＝∠D ′AC .∴AH ＝CH .设CH ＝x ，则BH ＝6－x ，在Rt △ABH 中，AB 2＋BH 2＝AH 2，即42＋(6－x )2＝x 2，解得x ＝133，∴AH ＝CH ＝133，∴D ′H ＝AD ′－AH ＝6－133＝53，∵AB ∥D ′F ，∴△ABH ∽△D ′FH ，∴AB D ′F ＝AH D ′H，∴D ′F ＝2013，∴点D ′到BC 的距离为2013.6.解：(1)43；【解法提示】在Rt △ABE 中，∠BAE ＝90°，∠ABE ＝30°，∴cos ∠ABE ＝AB BE ，即32＝6BE，∴BE ＝43；(2)如解图①，点E 从点A 向点D 的运动过程中，BA ′＝BA ＝6，A ′的运动轨迹是以B 为圆心，BA 为半径的圆弧，连接DB ，交圆弧与点F ，此时DA ′的最小值即为DF 的长．第6题解图①在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2＋AD 2＝62＋112＝157，∴DF ＝157－6，∴DA ′的最小值为157－6；(3)如解图②，由折叠的性质得∠AEB ＝∠A ′EB ，第6题解图②在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EBC ，∴∠A ′EB ＝∠EBC ，∴BD ′＝ED ′，∴△BED ′为等腰三角形．∵AE ＝x ，BC ＝11,AB ＝6，∴DE ＝11－x ，由折叠的性质得，A ′B ＝AB ＝6，∠EA ′B ＝∠A ＝90°，A ′E ＝AE ＝x ，ED ′＝DE ＝11－x ，∴BD ′＝ED ′＝11－x ，A ′D ′＝11－2x .在Rt △A ′BD ′中，BA ′2＋A ′D ′2＝BD ′2，即62＋(11－2x )2＝(11－x )2，解得x ＝11±133.则x 的值为11＋133或11－133.7.(1)解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠D ＝∠BCD ＝90°，由折叠性质可知，∠NPE ＝∠BCD ＝90°，∴∠APN ＋∠DPE ＝90°，又∵∠ANP ＋∠APN ＝90°，∴∠DPE＝∠ANP，∴△APN∽△DEP，∵∠PNE＝30°，∴PN∶EP＝3∶1，∴S△APN∶S△DEP＝3∶1；(2)证明：如解图①，过点F作FG⊥CD于点G.第7题解图①∵∠B＝∠BCD＝90°，∴四边形BCGF为矩形，∴FG＝BC＝CD，由折叠可知CP⊥EF，∴∠DCP＋∠FEG＝90°，又∵∠EFG＋∠FEG＝90°，∴∠EFG＝∠DCP，在△CDP与△FGE中，D＝∠FGE＝FGDCP＝∠GFE，∴△CDP≌△FGE(ASA)，∴CP＝EF；(3)解：存在，理由如下：要求2AP＋2PM的最小值，即求2(22AP＋PM)的最小值．如解图②，构造以AP为斜边的等腰Rt△ARP，则RP＝22 AP，∴22AP＋PM的最小值即为RP＋PM的最小值，过点M作MT⊥AR于点T，交AD于点P′，则点P′即为所求，∴22AP＋PM的最小值即为MT的长．第7题解图②∵△ARP是等腰直角三角形，∴∠RAD＝45°，延长AR交CD的延长线于点S，则△ADS是等腰直角三角形，∴SD＝AD＝8，∠S＝45°，又∵MT⊥AR，∴△STM是等腰直角三角形，∴MT＝22 SM，∵M为CD的中点，∴DM＝4，∴SM＝SD＋DM＝12，∴MT＝62，∴22AP＋PM的最小值为62，∴2AP＋2PM的最小值为122，综上所述，存在点P，使得2AP＋2PM有最小值，最小值为12 2.。

中考数学复习《折叠问题》

2 2 2
EF 6 72 ∴S△BEF＝EG· S△BEG＝10×24＝ 5
14．如图，已知在矩形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE＝2CE，将矩形沿着过点 E 的直线翻折后，点 C，D 分别落在边 BC 下方的点 C′，D′处，且点 C′，D′，B 在同一条直线上，折痕与边 AD 交于点 F，D′F 与 BE 交于点 G.设 AB＝t，那么△EFG 的周长为 2 3t ．(用含 t 的代数式表示)
13．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE
折叠到DF，延长EF交AB于点G，连结DG，求△BEF的面积．【解析】由折叠和正方形的性质，在Rt△BEG中，由勾股定理求出AG后再求△BGE的面积，最后由△BEF与△BGE的面积关系求△BEF的面积．
解：DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°. 又∵DG＝DG，∴△ADG≌△FDG(HL)．∵正方形 ABCD 的边长为 12， BE＝EC，∴BE＝EC＝EF＝6.设 AG＝FG＝x，则 EG＝x＋6， BG＝12－x，在 Rt△BEG 中，由勾股定理，得 EG2＝BE2＋BG2， 1 1 即(x＋6) ＝6 ＋(12－x) ，解得 x＝4.∵S△BEG＝2· BE· BG＝2×6×8＝24，
(1)求证：△DEC≌△EDA；
(2)求DF的值； (3)如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶
点Q落在线段AE上，顶点M，N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，
矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．
解：(1)由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD＝CE，DC＝EA， ∠ACD＝∠CAE.在△DEC 与△EDA 中， CE＝AD， ∵DE＝ED， ∴△DEC≌△EDA(SSS) DC＝EA，