高等数学 同济大学版 习题5-1 课后答案

高等数学 同济大学版 习题5-1 课后答案

1. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积.

解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i n

a

b a x i -+

=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: n

a

b x i -=

∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )上取右端点i n

a

b a x i i -+==ξ, 作和 n

a

b i n a b a x f S n

i i i n

i n -⋅

+-+

=∆=∑∑==]1)[()(21

1

ξ ∑=+-+-+-=n i i n

a b i n a b a a n a b 12

222]1)()(2[

]6)12)(1()(2)1()(2[)(222n n n n n

a b n n n a b a na n a b +++⋅-++⋅-+-= ]16)

12)(1()()1)(()[(2

22

+++-++-+-=n n n a b n n a b a a a b .

第三步: 令λ=max{∆x 1, ∆x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n }n

a

b -=, 取极限得所求面积 ∑⎰=→∆==n

i i i b

a x f dx x f S 1

0)(lim )(ξλ

]16)

12)(1()()1)(()[(lim 2

22

+++-++-+-=∞→n n n a b n n a b a a a b n

a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(3

1

]1)(31)()[(3322.

2. 利用定积分定义计算下列积分:

(1)xdx b

a ⎰(a <

b ); (2)dx e x ⎰1

0.

解 (1)取分点为i n a b a x i -+=(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n

a

b x i -=

∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点i n

a

b a x i i -+==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是

∑∑⎰=∞→=∞→-⋅-+

=∆=n

i n n

i i i n b

a n

a

b i n a b a x xdx 1

1

)(lim lim ξ

)(2

1

]2)

1()()([lim )(222

22

a b n n n a b a b a a b n -=+-+

--=∞

→. (2)取分点为n i x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1), 则n

x i 1

=∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间上取右端点

n

i

x i i ==ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 于是

) (1lim 1lim 211

10n n n n n n i n i n x

e e e n

n e dx e +⋅⋅⋅++==∞→=∞→∑

⎰

1)

1(]1[lim

1])(1[1

lim 1

1

111-=--=--⋅

=∞

→∞→e e n e e e e e n

n

n n n

n n n n .

3. 利用定积分的几何意义 说明下列等式: (1)121

0=⎰xdx ; (2)411

02π

=-⎰dx x ;

(3)⎰-=π

π0sin xdx ;

(4)⎰⎰=-2022

cos 2cos π

ππxdx xdx .

解 (1)⎰1

02xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.

(2)⎰-1

021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的4

1:

4

141121

2ππ=⋅⋅=-⎰dx x . (3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零, 即

⎰-=π

π0sin xdx .

(4)

⎰-22

cos ππxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2 ,2[π

π-一段所围成的图形的面积. 因为cos x

为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为⎰20cos π

xdx , 即

⎰⎰=-2022

cos 2cos π

ππxdx xdx .

4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9⋅8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .

解 建立坐标系如图. 用分点i n

H

x i =(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为n

H

x i =

∆(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ∆P i =9.8x i l ⋅∆x i . 闸门所受的水压力为

2211

8.42)1(lim 8.9lim 8.98.9lim H L n

n n H L n H

i n H L x L x P n n

i n n

i i i n ⋅=+⋅=⋅=∆⋅⋅=∞→=∞→=∞→∑

∑.

将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).

5. 证明定积分性质: (1)⎰⎰=b

a b

a dx x f k dx x kf )()(; (2)a

b dx dx b

a b

a -==⋅⎰⎰1.

证明 (1)⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→b

a n

i i i n

i i i b

a dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1

01

0ξξλλ.

(2)a b a b x x dx n

i i n

i i b

a -=-=∆=∆⋅=⋅→=→=→∑∑⎰)(lim lim 1lim 10

1

01

0λλλ.

6. 估计下列各积分的值: (1)⎰+4

12)1(dx x ; (2)⎰+π

π

454

2

)sin 1(dx x ;

(3)⎰3

3

1arctan xdx x ;

(4)⎰-0

22

dx e x

x

.

解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以