高考数学中的指数函数基本性质及应用

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高考数学中的指数函数与对数函数题详解

高考数学中的指数函数与对数函数题详解指数函数和对数函数是高考数学中的重要内容，涉及到的题型和考点较多。

本文将对指数函数和对数函数的基本定义、性质以及解题方法进行详细解析。

一、指数函数指数函数是以指数为自变量的函数，其一般形式为y = a^x （其中a>0且a≠1）。

下面，我们来讨论指数函数的基本性质。

1. 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0, +∞)。

2. 指数函数的图像特点当指数a>1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐增大，形状呈现递增趋势；当0<a<1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐减小，形状呈现递减趋势。

3. 指数函数的性质(1) 指数函数在定义域内具有严格单调性，即当a>1时为严格递增函数，当0<a<1时为严格递减函数。

(2) 指数函数在定义域内具有连续性，无间断点。

(3) 指数函数在定义域内具有无界性，即当x趋向于正无穷时，函数值也趋向于正无穷。

(4) 指数函数具有经过点(0, 1)的特点。

接下来，我们通过解题的方式来进一步认识指数函数。

例题1：已知方程2^x = 4的解为x = 2，则方程e^(x-1) = 1的解为多少？解题思路：首先，根据指数函数的性质可知，2^x = 4 等价于 x = 2。

然后，代入方程e^(x-1) = 1，得到e^(2-1) = 1，即e^1 = 1，因此方程e^(x-1) = 1的解为x = 1。

二、对数函数对数函数是指以对数为自变量的函数，其一般形式为y = loga(x)（其中a>0且a≠1，x>0）。

下面，我们来探讨对数函数的基本性质。

1. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集R。

2. 对数函数的图像特点当0<a<1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐减小，形状呈现递减趋势；当a>1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐增大，形状呈现递增趋势。

高考数学中的幂函数和指数函数的性质解析

高考数学中的幂函数和指数函数的性质解析高考数学中的幂函数和指数函数是非常重要的知识点。

这两种函数在数理化等学科中都有广泛的应用，因此在高考中也成为了不可忽视的重点。

掌握它们的性质，不仅可以解决一些基本的计算问题，还可以引申出很多思维难度较大的问题。

本文将对幂函数和指数函数的性质进行深入的解析。

一、幂函数的性质幂函数是一种非常基础的函数类型。

它的形式可以表示为$y = x^a$，其中$x$为自变量，$a$为指数。

幂函数的性质有以下几个方面。

1. 定义域：幂函数的定义域为$x>0$或$x<0$，即幂函数不能为负数。

2. 制图特点：当$a>1$时，幂函数的图像在第一象限上单调递增；当$0<a<1$时，幂函数的图像在第一象限上单调递减；当$a<0$时，幂函数的图像则关于$x$轴对称。

3. 奇偶性：当$a$为偶数时，幂函数关于$y$轴对称；当$a$为奇数时，幂函数关于原点对称。

4. 渐进线：当$a>0$时，幂函数的左渐近线为$x=0$，右渐近线为$y=0$；当$a<0$时，幂函数的左渐近线为$x=0$，右渐近线为$y=0$。

5. 导数规律：当$y=x^a$，则$\dfrac{dy}{dx}=ax^{a-1}$。

在幂函数的导数规律中，指数减1并乘以常数，就是导数。

以上是幂函数的几个常见性质，可以根据具体问题作出判断。

下面将重点介绍指数函数的性质。

二、指数函数的性质指数函数是另一种基础的函数类型。

它的形式可以表示为$y = a^x$，其中$a$为底数，$x$为自变量。

指数函数的性质有以下几个方面。

1. 定义域：指数函数的定义域为$(-\infty,+\infty)$，可以为任意实数。

2. 制图特点：当$0<a<1$时，指数函数的图像在第一象限上单调递减，且关于$y$轴对称；当$a>1$时，指数函数的图像在第一象限上单调递增。

3. 反函数：指数函数的反函数为对数函数，即$y = \log_{a}x$。

高考数学第二章函数、导数及其应用第6讲指数式与指数函数课件

＝2
f

2 3

，解集中应该有23，排除
D.故选
C.
答案：C
(3)(2017 年北京)已知函数 f(x)＝3x－13x，则 f(x)(
)
A.是奇函数，且在 R 上是增函数
B.是偶函数，且在 R 上是增函数
C.是奇函数，且在 R 上是减函数
D.是偶函数，且在 R 上是减函数
解析：因为
答案：C
图 D3
(2)已知实数 a，b 满足等式12a＝13b，下列五个关系式： ①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能
成立的关系式有( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：在同一平面直角坐标系中作出函数 y＝13x，y＝12x 的图象，如图 D4.
3.(2016年浙江模拟)已知实数 a，b 满足等式 2017a＝2018b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；
⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有( B )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：设 2017a＝2018b＝t，如图 D5，由函数图象，可得，若 t>1，则有 a>b>0.①成立；
答案：D
(1)
(2)
图2-6-1
【规律方法】(1)在指数函数解析式中，必须时刻注意底数 a>0，且a≠1，对于指数函数的底数a，在不清楚其取值范围时，应运用分类讨论的数学思想，分a>1 和0<a<1 两种情况进行讨论，以便确定其性质.

指数与指数函数高考知识点

指数与指数函数高考知识点指数和指数函数是高考数学中的重要知识点，涉及到数学中的指数概念、指数运算、指数函数及其性质等内容。

本文将以深入浅出的方式，详细介绍指数与指数函数的相关知识。

一、指数的概念及性质指数是数学中常用的表示方式，用于表示一个数的乘方。

指数的定义为：若a为非零实数，n为自然数（n≠0），则aⁿ称为以a为底的指数。

其中，a称为底数，n称为指数。

指数的性质有以下几点：1. 任何非零数的0次方都等于1，即a⁰=1（a≠0）；2. 任何非零数的1次方都等于它本身，即a¹=a（a≠0）；3. 指数相同、底数相等的两个指数相等，即aⁿ=aᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 任何数的负整数次方都可以表示为其倒数的相应正整数次方，即a⁻ⁿ=1/(aⁿ)（a≠0，n≠0）；5. 不同底数、相同指数的指数大小可以通过底数的大小来判断，当0<a<b时，aⁿ<bⁿ（a，b，n都是实数且n>0）。

二、指数运算法则指数运算是指在进行乘方运算时，如何将指数进行运算。

在指数运算中，有以下几条法则：1. 乘法法则：同底数的指数相加，保持底数不变，指数相加，即aⁿ⋅aᵐ=aⁿ⁺ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；2. 除法法则：同底数的指数相减，保持底数不变，指数相减，即aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；3. 乘方法则：一个数的乘方再乘以另一个数的乘方，底数不变，指数相乘，即(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 开方法则：一个数的乘方再开方，底数不变，指数取两个数的最小公倍数，即(aⁿ)^(1/ᵐ)=aⁿ/ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）。

三、指数函数的定义与图像指数函数是一种特殊的函数形式，具有以下定义：形如y=aᵘ（a>0，且a≠1）的函数称为指数函数。

在指数函数中，a称为底数，u称为自变量，y称为因变量。

指数函数的图像特点如下：1. 当底数0<a<1时，函数图像呈现下降趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；2. 当底数a>1时，函数图像呈现上升趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；3. 当底数a=1时，函数图像为水平直线y=1，与自变量无关。

高考数学函数导数及其应用第六节指数与指数函数教案含解析

第六节指数与指数函数1．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n＝1n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q)；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 2．指数函数的图象与性质[小题体验]1．计算[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：选B 原式＝26×12－1＝23－1＝7.2．函数f (x )＝3x＋1的值域为( ) A ．(－1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．[1，＋∞)解析：选B ∵3x＞0，∴3x＋1＞1，即函数f (x )＝3x＋1的值域为(1，＋∞)．3．若函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝________.答案： 34．若指数函数f (x )＝(a －2)x为减函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝(a －2)x为减函数， ∴0＜a －2＜1，即2＜a ＜3. 答案：(2,3)1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a ＞1或0＜a ＜1.[小题纠偏]1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”)． (1)na n＝(na )n＝a .( )(2)分数指数幂a mn 可以理解为m n个a 相乘．( ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )答案：(1)× (2)× (3)×2．若函数y ＝(a －1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．答案：(1,2)考点一指数幂的化简与求值基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．化简与求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214-12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a -12b －1÷⎝⎛⎭⎫4a 23·b －312. 解：(1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a -16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a -16b －3÷(a 13b -32)＝－54a -12·b -32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.2．若x 12＋x －12＝3，则x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值为________．解析：由x 12＋x －12＝3，得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7，所以x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47.因为x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)3－3(x 12＋x －12)＝27－9＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25.答案：25[谨记通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．考点二指数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．函数y ＝a x－a －1(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到的，所以A项错误；当a ＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0＜a ＜1时，1a＞1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D.2．已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x－2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．解析：①当0＜a ＜1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图a.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0＜a ＜1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a ＜2，所以0＜a ＜23.②当a ＞1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(a＞1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a ＜2，此时无解．所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 [由题悟法]指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[即时应用]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．已知f (x )＝|2x－1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a＜2cD ．1＜2a＋2c＜2解析：选D 作出函数f (x )＝|2x－1|的图象如图所示，因为a＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0,0＜c ＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1.故选D.考点三指数函数的性质及应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有： (1)比较指数式的大小；(2)简单指数方程或不等式的应用； (3)探究指数型函数的性质．[题点全练]角度一：比较指数式的大小1．(2018·杭州模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2312，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：选A ∵23＞35，y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2312＞c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，∵13＜12，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x在R 上是减函数， ∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2312，∴a ＞b ＞c .故选A.角度二：简单指数方程或不等式的应用2．(2018·湖州模拟)已知函数f (x )＝m ·9x－3x，若存在非零实数x 0，使得f (－x 0)＝f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0,2)D ．[2，＋∞)解析：选B 由题意得到f (－x )＝f (x )，所以m ·9－x－3－x＝m ·9x －3x，整理得到：m ＝3x x2＋1＝13x ＋13x＜12，又m ＞0，所以实数m 的取值范围是0＜m ＜12，故选B.角度三：探究指数型函数的性质3．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常数且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝b ·a x的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a ＞0且a ≠1， ∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x.(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.[通法在握]应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略讨论．[演练冲关]1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：选C 因为函数y ＝0.6x在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5＜a ＝0.60.6＜1.又c ＝1.50.6＞1，所以b ＜a ＜c .2．(2019·金华模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x ＞0，则满足f (x 2－2)＞f (x )的x 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：由题意x ＞0时，f (x )单调递增，故f (x )＞f (0)＝0，而x ≤0时，f (x )＝0，故若f (x 2－2)＞f (x )，则x 2－2＞x ，且x 2－2＞0，解得x ＞2或x ＜－ 2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)3．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________．解析：设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]．答案：(－∞，1]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．化简a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎫1－2 3b a ×3a 的结果是( )A ．aB ．bC ．abD ．ab 2解析：选 A 原式＝a13a －8b 4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13×a 13＝a13a 13－2b 13a 23＋2a 13b 13＋4b 234b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13＝a 13·a 13·a 13＝a . 2．已知a ＝(2)43，b ＝225，c ＝913，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝(2)43＝212×43＝223，b ＝225，c ＝913＝323，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，得a ＜c ，由函数y ＝2x在R 上为增函数，得a ＞b ，综上得c ＞a ＞b .3．(2018·丽水模拟)已知实数a ，b 满足12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞14，则( )A ．b ＜2b －aB ．b ＞2b －aC ．a ＜b －aD ．a ＞b －a解析：选B 由12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a，得a ＞1，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b，得⎝ ⎛⎭⎪⎫222a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ，得2a ＜b ，由⎝⎛⎭⎪⎫22b ＞14，得⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫224，得b ＜4. 由2a ＜b ，得b ＞2a ＞2，a ＜b2＜2，∴1＜a ＜2,2＜b ＜4. 取a ＝32，b ＝72，得b －a ＝72－32＝2，有a ＞b －a ，排除C ；b ＞2b －a ，排除A ；取a ＝1110，b ＝3910得，b －a ＝3910－1110＝ 145，有a ＜b －a ，排除D ，故选B.4．(2017·宁波期中)若指数函数f (x )的图象过点(－2,4)，则f (3)＝________；不等式f (x )＋f (－x )＜52的解集为____________．解析：设指数函数解析式为y ＝a x，因为指数函数f (x )的图象过点(－2,4)，所以4＝a－2，解得a ＝12，所以指数函数解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18；不等式f (x )＋f (－x )＜52，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＜52，设2x ＝t ，不等式化为1t ＋t ＜52，所以2t 2－5t ＋2＜0解得12＜t ＜2，即12＜2x＜2，所以－1＜x ＜1，所以不等式的解集为(－1,1)．答案：18(－1,1)5．若函数f (x )＝a x－1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a ＞1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a ＞1，∴a ＝ 3. 当0＜a ＜1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数，又∵f (0)＝0≠2，∴0＜a ＜1不成立．综上可知，a ＝ 3. 答案： 3二保高考，全练题型做到高考达标 1．(2018·贵州适应性考试)函数y ＝a x ＋2－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过的点是( )A ．(0,0)B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：选C 法一：因为函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y ＝ax ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象，所以y ＝ax ＋2－1(a＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C 正确．法二：令x ＋2＝0，x ＝－2，得f (－2)＝a 0－1＝0，所以y ＝ax ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C 正确．2．已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝ax ＋k的图象可能是( )解析：选B 由函数y ＝kx ＋a 的图象可得k ＜0,0＜a ＜1，又因为与x 轴交点的横坐标大于1，所以k ＞－1，所以－1＜k ＜0.函数y ＝a x ＋k的图象可以看成把y ＝a x的图象向右平移－k 个单位得到的，且函数y ＝a x ＋k是减函数，故此函数与y 轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，故选B.3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x ＞1，－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选C 依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2－3a ＜0，－3a ＋1≥a 1，解得23＜a ≤34.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x－1，x ＜0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x，－f (x )＝2－x－1，而－x ＜0，则f (－x )＝2－x－1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x，而－x ＞0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.5．(2018·温州月考)若函数f (x )＝a e －x －e x 为奇函数，则f (x －1)＜e －1e的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选D 由于函数f (x )为R 上奇函数，所以f (0)＝0⇒a ＝1，所以f (x )＝1e x －e x ，由于e x 为增函数，而1e x 为减函数，所以f (x )＝1e x －e x 是减函数，又因为f (－1)＝e －1e ，由f (x －1)＜e －1e可得f (x －1)＜f (－1)，x －1＞－1⇒x ＞0，故选D.6．已知函数f (x )＝a －x(a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a＞1，解得0＜a ＜1.答案：(0,1)7．(2018·温州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，0≤x ＜1，2x －12，x ≥1，设a ＞b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．解析：依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象，结合图象可知b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，bf (a )＝bf (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2 8．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ax ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋a －2恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由指数函数的性质知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ax ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋a －2恒成立，所以x 2＋ax ＞2x ＋a －2恒成立，所以x 2＋(a －2)x －a ＋2＞0恒成立，所以Δ＝(a －2)2－4(－a ＋2)＜0，即(a －2)(a －2＋4)＜0，即(a －2)(a ＋2)＜0，故有－2＜a ＜2，即a 的取值范围是(－2,2)．答案：(－2,2) 9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R)．故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.10．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a ＞0，b ∈R)．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )．即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x ＜－b .①当a ＞1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，∴－b ≤2，b ≥－2.②当0＜a ＜1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a ＞1且b ≥－2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·杭州模拟)已知定义在R 上的函数g (x )＝2x ＋2－x＋|x |，则满足g (2x －1)＜g (3)的x 的取值范围是________．解析：∵g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |，∴g (－x )＝2x ＋2－x ＋|－x |＝2x ＋2－x ＋|x |＝g (x )，则函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝2x ＋2－x ＋x ，则g ′(x )＝(2x －2－x )·ln 2＋1＞0，则函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g (2x －1)＜g (3)等价于g (|2x －1|)＜g (3)，∴|2x －1|＜3，即－3＜2x －1＜3，解得－1＜x ＜2，即x 的取值范围是(－1,2)．答案：(－1,2)2．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1. 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0，从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13. 故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。

2013版高考数学 3.1.2 第2课时指数函数及其性质的应用课件苏教版必修1

这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量
关于时间的函数关系式.
解
设该物质最初的质量是1，经过x年剩留量是y. 经过1年，剩留量
y=1×0.84=0.841；
经过2年，剩留量
y=0.84×0.84=0.842
…… 一般地，经过x年，剩留量 y=0.84x（x>0）.
【例4】某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利
3期后的本利和为
y=a(1+r)3
……
x期后的本利和为 y=a(1+r)x， x∈N*，
审清题意，建立相应的函数模型
即本利和y随存期x变化的函数关系式为 y=a(1+r)x， x∈N*. （2）将a=1000（元），r=2.25%，x=5代入上式，得 y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1117.68(元) 即5期后的本利和约为1117.68元.
系（1）解:
1 27
y 3
2 ( x 1)
（2）
（3） y
3
2x
(1)y=32x的图象向左平移1个单位； (2)因为 y 3
1 2
2( x 1 ) 2 ，所以y=32x的图象向左平移
个单位；
(3)因为 y 32 x 3 3
3 2
3 2( x ) 2 ，所以y=32x的图象向右平移
2
在其定义域内y为增函数，则函数的最大值为7，最小值为
1 . 4
时间应分配得精密，使每年、每月、每日和每小时都有它的特殊任务。
第2课时指数函数及其性质的应用
1、掌握指数函数的图象；(重点）
2、会解简单的指数型方程；（重点、难点） 3、掌握函数图象的平移变换和对称变换.(重点、难点）

新高考指数函数知识点归纳

新高考指数函数知识点归纳随着中国教育改革的不断深入，新高考已经逐渐取代了传统的高考制度，成为了学生们普遍关注和备考的焦点。

在新高考中，数学是必考科目之一，而指数函数作为数学中的重要内容之一，将在新高考中扮演重要的角色。

本文将对指数函数这一知识点进行归纳总结，帮助同学们对此进行深入理解和掌握。

一、指数与幂指数函数的首要概念是指数与幂的概念。

在数学中，幂指的是一个数自乘若干次的运算，即n的m次方。

而指数则表示幂的次数，即指数n对应幂的次数m。

在指数函数中，指数可以是整数、分数或者是其他实数。

二、指数的性质1.指数为正数时，幂的结果是一个正数，表现为指数函数的增长特性。

指数为负数时，幂的结果是一个小于1的分数或小数，表现为指数函数的递减特性。

2.指数为0时，幂的结果为1，这可以视为幂的特殊情况。

3.指数为分数时，幂的结果可以找到对应的根的概念，是求幂运算的逆运算。

三、指数函数的图像指数函数的图像呈现出一种特殊的形状，具有一条渐近线（y轴）。

当指数为正数时，函数图像会从渐近线方向无线接近，但永远不会达到渐近线。

当指数为负数时，函数图像则会无限接近于x轴，并且在第一象限与x轴正半轴交于一点，并在第二象限与y轴交于一点。

四、指数函数的定义域与值域指数函数的定义域是所有实数集合R，而值域则取决于指数的正负情况。

当指数为正数时，值域为(0, +∞)，表示函数的范围为正实数大于0；当指数为负数时，值域为(0,1)，表示函数的范围为小于1的正实数。

五、指数函数的性质与运算1.指数函数具有多个性质，如指数零定律、指数等比加法规律、指数等基乘法规律、指数等差加法规律等，这些性质在求解指数函数问题时有着重要的作用。

2.指数函数之间的运算涉及到指数根的概念以及对数的概念，在解决实际问题时可以通过这些运算与性质来简化计算和求解过程。

六、指数函数的应用指数函数在科学、经济、生活等各个方面都有着广泛的应用。

在自然科学领域，指数函数可以用来描述物质的放射性衰变、细菌的繁殖等自然现象。

高职高考指数函数知识点

高职高考指数函数知识点在高职高考数学中，指数函数是一个非常重要的知识点。

本文将从指数函数的定义、性质以及应用等方面，简要介绍高职高考涉及的指数函数知识点。

一、指数函数的定义指数函数是以底数为常数的指数与自变量的幂次关系而定义的函数。

通常表示为f(x)=a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数的定义中，底数a可以为任意实数，但当a>0且a≠1时，指数函数才是一种特殊的函数形式，也是高职高考中所关注的指数函数。

二、指数函数的性质1. 基本性质：指数函数的定义域为全体实数集R，值域为(0,+∞)。

2. 单调性：当0<a<1时，指数函数单调递减；当a>1时，指数函数单调递增。

3. 与指数幂和乘方函数的关系：- 对于底数a>0且a≠1，指数函数f(x)=a^x与指数幂函数f(x)=a^m（m为整数）的定义域均为全体实数集R，并且具有相同的增减性质。

- 指数函数f(x)=a^x与乘方函数f(x)=x^m（m为正偶数）的图象关于y轴对称。

三、指数函数的应用1. 生活中的应用：- 金融领域：复利计算中，投资本金与时间的关系可以用指数函数来表示。

- 科学领域：在自然界的许多现象中，往往跟时间的增长呈指数规律变化，如放射性元素的衰变、细菌的繁殖等。

- 经济领域：人口增长、市场营销、市场份额等都存在着指数函数的规律。

2. 题型分析与解题方法：- 基本指数函数的性质运用：根据指数函数的基本性质，解题过程中常用到的方法有：配方、比较、取对数化简等。

- 正题型与反题型：在指数函数题型中，存在着正题型和反题型。

正题型是已知指数、底数或函数的特点，求解指数函数的函数值或解析式；反题型则相反，已知函数值或函数的特点，求解指数或底数等。

四、典型例题分析下面通过几个典型的高职高考指数函数题来进行分析和解答。

例题一：若指数函数f(x)=2^x中存在两个整数x1、x2（x1<x2），使得2^(x1+x2)=8，则x1、x2的值分别为多少？解析：根据指数函数的性质，指数为x1的函数值为2^x1，指数为x2的函数值为2^x2。

2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第五讲指数与指数函数课件

7－2－1＝98.
3212
54
(2)原式＝
a2 a
b b2
2
a6
1
a3
b6
1
b3
a3 b3
27
a3 b3
a. b
【题后反思】指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.
解析：因为函数 y＝ax－b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数 y＝ax－b 单调递减且其图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴
上.令 x＝0，则 y＝a0－b＝1－b，由题意得01＜－ab＜＜10，，
解得0b＜＞a1＜，1，故 ab∈(0，1). 答案：(0，1)
考点三指数函数的性质及应用考向 1 利用指数函数的单调性比较大小通性通法：比较指数式的大小时，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入 “1”等中间量比较大小.
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理问题.
解指数函数的概念.
2.题型一般为选择、填空
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数题，若题型为解答题，
的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点则题目中等偏难
1.根式 (1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.
即函数 f(x)在定义域 R 上单调递增.
(3)解：f(2x－1)＋f(x－2)＞0，且 f(x)为奇函数， ∴f(2x－1)＞f(－x＋2)， ∵函数 f(x)在 R 上单调递增， ∴2x－1＞－x＋2，∴x＞1， ∴不等式的解集为(1，＋∞).

指数函数有什么性质？如何证明指数函数的单调性？

指数函数有什么性质？如何证明指数函数的单调性？指数函数是数学中重要的函数。

应用到值e上的这个函数写为exp(x)。

还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。

在高中数学中占有一定位置。

那幺指数函数有什幺性质?如何证明指数函数的单调性? 指数函数有什幺性质? 指数函数一般具有以下性质：(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3) 函数图形都是下凹的。

(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

(5) 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。

其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

小编推荐：《2018年高考数学备考计划好的复习计划是成功的开始》(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

(7) 函数总是通过(0，1)这点,(若Y=Ax+B,则函数定过点(0,1+b) (8) 显然指数函数无界。

(9) 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

(10)当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

高考数学中的指数函数基本概念及应用

高考数学中的指数函数基本概念及应用指数函数是一种常见的数学函数，也是高考数学中重要的一部分。

理解指数函数的基本概念和应用非常重要，能够帮助考生更好地掌握数学知识，提高数学成绩。

本文将详细介绍指数函数的基本概念及应用。

一、什么是指数函数指数函数是以一个正实数作为底数，以变量为指数的函数。

一般表示为y=a^x，其中a>0且a≠1。

以2^x为例，当x为0时，2^0=1；当x为1时，2^1=2；当x 为2时，2^2=4……指数函数的图像一般为一条单调递增或递减的曲线，并且经过点(0,1)。

二、指数函数的基本性质指数函数有许多重要的基本性质，掌握这些性质是理解指数函数的关键。

1、当a>1时，指数函数(0,+∞)单调递增；当0<a<1时，指数函数(0,+∞)单调递减。

2、指数函数在原点处必过点(0,1)，即当x=0时，y=a^0=1。

3、当a>1时，指数函数具有水平渐近线y=0；当0<a<1时，指数函数具有水平渐近线y=+∞。

4、对于任意正整数m,n，a^m*a^n=a^(m+n)，即同底数幂相乘是底数不变指数相加。

5、对于任意正整数m,n(k≠0)，(a^m)^n=a^(mn)，即指数的幂次等于幂次的指数。

三、指数函数的常用变形在实际应用中，为方便计算，我们常常要对指数函数进行基本变形，其中最常见的有以下几种：1、y=a^x+b，a>0且a≠1，b∈R。

这是指数函数的平移变形，可以将原来单调递增或递减的图像沿y轴向上或向下平移b个单位。

2、y=(a+b)^x，a,b>0且a≠b。

这是指数函数的合成变形，可以将两个指数函数的图像合并成一个新的图像。

3、y=a^(x+b)，a>0且a≠1，b∈R。

这是指数函数的左右平移变形，可将原来单调递增或递减的图像沿x轴向左或向右平移b个单位。

四、指数函数的应用指数函数广泛应用于自然科学、社会科学等领域，深化对指数函数的理解，有助于我们更好地应用于实际问题的解决。

指数函数-高考数学复习

考向4 指数型函数的综合应用
2
1 -2-3
f(x)=(3)
的图象经过点(3,1),
例 5(多选题)(2024·重庆云阳模拟)若函数
则( AC )
A.a=1
B.f(x)在(-∞,1)内单调递减
1
C.f(x)的最大值为 81
D.f(x)的最小值为81
解析对于 A,由题意
1 9a-6-3
f(3)=( )
解析若a>1,则f(x)在[-1,0]上单调递增,所以f(x)max=f(0)=a=2,即a=2;
若0<a<1,则f(x)在[-1,0]上单调递减,所以f(x)min=f(-1)=a-1=2,
即
1
a= .综上,a=2
2
或
1
a= .
2
考向2 比较幂值的大小
例3(1)(2024·江西赣州模拟)已知函数f(x)=ex,若a=f(40.99),b=f(21.99),c=f(ln 2),
则a,b,c的大小关系为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.c<b<a
解析依题意,21.99>21.98=40.99>20=1>ln 2,而函数f(x)=ex在R上单调递增,
因此f(21.99)>f(40.99)>f(ln 2),即c<a<b,故选C.
(2)(2024·辽宁大连模拟)已知
e +1
1-()
1-()
当-1<f(x)<0 时,[f(x)]=-1;当 0≤f(x)<1 时,[f(x)]=0,
因此[f(x)]的值域为{-1,0},故选 B.

高考数学复习知识点讲义课件25---指数函数的概念及其图象和性质

答案：(－1，－1) (2)y＝13x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数 y＝3x 的图象关于 y 轴的对称图象得函数 y＝3－x 的图象，再向左平移 1 个单位长度就得到函数 y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移 2 个单位长度就得到函数 y＝3－(x＋1)＋2＝13x＋1＋2 的图象，如图所示．
x0 1
2
3
…
y 200 210 220.5 231.525 …
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．
∵8<x0<9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
[解析] (1)函数 y＝13x 是指数函数，且 y＝4x 也是指数函数，其它函数不符合指数函数的三个特征．
(2)设指数函数 fx＝ax，由 f2－f1＝6 得 a2－a＝6，解得 a＝－2(舍去)或 a＝3，则 f3＝33＝27.
[答案](1)①④ (2)27
[方法技巧] (1)判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一形式，其具备的特点为：
2.底数与指数函数图象的关系 (1)由指数函数 y＝ax 的图象与直线 x＝1 相交于点(1，a)可知，在 y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大． (2)由指数函数 y＝ax 的图象与直线 x＝－1 相交于点－1，1a 可知，在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．如图所示，指数函数底数的大小关系为 0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.
(一)指数函数的概念一般地，函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是 R .

指数函数的教材分析

指数函数的教材分析指数函数是高中数学中比较重要的一节内容，也是备战高考的重点考点之一。

在教材编写和教学中，需要深入剖析指数函数的性质、应用和解题方法，以便使学生能够更加深刻地理解和掌握指数函数。

一、指数函数的基本性质1.指数函数的定义域和值域指数函数y=a^x的定义域为R（实数集），即x可以是任何实数。

当a>0且a不等于1时，指数函数的值域为（0,+∞），即y>0。

当a=1时，函数y=a^x=1，其值域也为1。

2.指数函数的增减性和奇偶性当a>1时，函数y=a^x在定义域上是单调递增的；当0<a<1时，函数y=a^x在定义域上是单调递减的。

而当a=1时，指数函数是常函数。

指数函数一般情况下是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。

当a>0且a不等于1时，指数函数的奇偶性为奇函数。

3.指数函数的连续性和导数对于x0∈R，函数y=a^x在x0处连续。

当a>0且a不等于1时，指数函数是可导函数并且其导函数为f'(x)=a^x*ln(a)。

二、指数函数的应用1.指数函数在人口增长中的应用人口增长的变化趋势可以用指数函数来进行描述和分析。

例如，人口数量可以表示为y=ab^t，其中b为常数，a为初始人口数，t为时间。

2.指数函数在物理中的应用在物理中一个典型的例子是物体的自由落体运动，物体下落的距离h可以表示为h=g(t^2)/2，其中g为重力加速度，t为时间。

3.指数函数在经济中的应用指数函数在经济学中也有着广泛的应用。

例如，复利计息的计算公式和股票的增长模型都可以用指数函数来描述和计算。

三、指数函数的解题方法1.指数方程的求解指数方程的求解可以通过两边取对数，将指数转化为对数，然后用其他代数方法求解。

2.指数函数的图像分析指数函数的图像特点可以通过变形图像法、泰勒公式展开和一些基本的变形技巧来进行分析和解决问题。

3.指数函数的极值和特殊点的求解指数函数的极值和特殊点可以通过导数求解，或者通过一些特定的限制条件和求解方法进行计算。

指数函数高考知识点总结

指数函数高考知识点总结指数函数是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中经常涉及到的知识点之一。

指数函数是指以常数 e（自然对数的底数）为底数的函数，其形式可以写作 f(x) = a^x，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的实数，x 是变量。

一、指数函数的定义和性质指数函数的定义是 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。

它的定义域是实数集，值域是正实数集。

指数函数的图像随着底数的不同而变化，底数 a 大于 1 时，图像呈现上升趋势；底数是 (0, 1) 之间的小数时，图像呈现下降趋势。

指数函数具有以下性质：1. 指数函数的导数等于其本身乘以常数 ln(a)（自然对数的底）。

2. 指数函数的导数在正实数上是严格递增的。

3. 当底数 a 大于 1 时，指数函数是增函数且过点 (0, 1)；当底数 a 是 (0, 1) 之间的小数时，指数函数是减函数且过点 (0, 1)。

4. 指数函数是奇函数，即 f(-x) = 1 / a^x，其图像关于 y 轴对称。

5. 指数函数的图像在横轴上的渐近线为 y = 0，即当 x 趋近负无穷时，函数值趋近于 0。

二、指数函数的特殊情况1. 当底数 a 等于 e（自然对数的底数）时，指数函数称为自然指数函数，记作 f(x) = e^x。

自然指数函数具有特殊的性质，其导数和原函数等于它本身，即 f'(x) = e^x，∫ e^x dx = e^x + C。

2. 当指数 x 为 0 时，任何底数的指数函数的值都等于 1，即 a^0 = 1。

三、指数函数的应用指数函数广泛应用于各个领域，以下列举几个常见的应用：1. 经济增长模型：指数函数可以描述经济增长模型中的指数增长。

在经济学中，常用指数函数来预测人口增长、物价上涨以及国内生产总值的增长等。

2. 物质衰变模型：指数函数可以用来描述放射性物质的衰变过程。

放射性衰变的速率与剩余物质的量成正比，因此可以用指数函数来描述物质衰变的速度。

高三指数函数总结知识点

高三指数函数总结知识点一、指数函数的基本性质指数函数是由形如f(x)=a^x的函数所构成，其中a称为底数，a>0且a≠1。

指数函数在数学和自然科学中有广泛的应用，具有以下基本性质：1. 当a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。

2. 当x取无穷大时，指数函数趋于正无穷；当x取无穷小时，指数函数趋于0。

3. 指数函数的图像关于y轴对称且过点(0,1)。

二、指数函数的图像与特征1. 当底数a大于1时，指数函数的图像呈现上升的趋势，且越接近y轴，函数值变化越剧烈；当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像呈现下降的趋势，且越接近y轴，函数值变化越剧烈。

2. 特殊情况：当底数a等于1时，指数函数退化成常函数f(x)=1；当底数a小于0时，指数函数在定义域产生缺失，图像不连续。

3. 指数函数的图像经过点(0,1)，即f(0)=1。

这是因为a^0=1。

三、指数函数的性质与运算1. 指数运算法则：a^x·a^y=a^(x+y)、(a^x)^y=a^(xy)。

2. 指数函数的垂直伸缩与平移：对于函数f(x)=a^x，若k>0，则f(x)的图像上下伸缩，a^x的绝对值增大；若k<0，则f(x)的图像上下伸缩，a^x的绝对值减小。

若c>0，则f(x)的图像平移c个单位向上；若c<0，则f(x)的图像平移|c|个单位向下。

3. 对数与指数函数的互为反函数关系：若f(x)=a^x，则反函数f^(-1)(x)=log_a(x)。

四、指数函数的应用指数函数在实际问题中具有广泛的应用，以下列举几个常见的应用领域：1. 经济增长模型：指数函数可以用来描述经济增长的速度，例如GDP增长率。

2. 生物科学：指数函数可以用来描述细菌、病毒等物种的繁殖速度。

在生物学中，指数增长模型被广泛应用于人口统计、生态学等领域。

3. 物理学中的放射性衰变：放射性物质的衰变过程可以用指数函数模型来描述。

2023高考数学基础知识综合复习第6讲指数与指数函数课件(共21张PPT)

考点一
考点二
指数与指数幂运算
◆角度1.根式的运算
例1下列各式正确的是(
8
A. a8 =a
4
4
C. (-4) =-4
)
B.a0=1
5
D. (-π)5 =-π
答案 D
解析对于A,当a为负数时等式不成立,故A不正确;
对于B,a0=1,当a=0时无意义,故B不正确;
对于C,左边为正,右边为负,故C不正确;
3.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
(a>0且a≠1)
0<a<1
图象
定义域
值域
性质
R
(0,+∞)
过定点(0,1)
当x>0时,y>1;
当x>0时,0<y<1;
当x<0时,0<y<1
当x<0时,y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
y=ax的图象与y=a-x=( 1 )x的图象关于y轴对称(a>0且

a≠1)
5
对于 D, (-)5 =-π,故 D 正确.故选 D.
考点一
考点二
◆角度2.分数指数幂运算
例2化简下列各式(a>0,b>0).
(1)
1
3 ·
;
1
a-1 b-1
2
(2) 1
÷
b a
- 3 -2
2

a
解 (1)原式=
1 1
3 ·2
2
3
.
=
1 1
1
2 2
-1 2
(2)原式= 1 2 ÷

自然指数函数和对数函数在高考数学中的应用

自然指数函数和对数函数在高考数学中的应用在高考数学中，自然指数函数和对数函数是非常重要的一部分。

这两个函数在数学中的应用非常广泛，不仅可以用于解决数学问题，还可以用于解决生活中的实际问题。

本文将从数学角度探讨自然指数函数和对数函数在高考数学中的应用。

一、自然指数函数自然指数函数是指一个以数学常数e为底数的指数函数。

其中e是自然对数的底数，它是一个无限不循环小数，约等于2.71828。

自然指数函数具有以下特点：1.自然指数函数的导数等于它本身，即dy/dx=e^x。

2.自然指数函数的图像是单调递增的，且通过点(0,1)。

3.自然指数函数在x=0处的函数值为1。

自然指数函数在高考数学中的应用非常广泛，例如：1.求解微分方程在数学中，微分方程是一类用函数和它的导数来描述自然现象的方程。

自然指数函数是解微分方程时常用的一种函数。

例如，求解dy/dx-y=0的微分方程，可以得到y=Ce^x，其中C为常数。

2.求解概率问题在概率问题中，自然指数函数经常用来描述随机变量的分布。

例如，泊松分布和指数分布就是基于自然指数函数的分布。

3.求解极限在极限问题中，自然指数函数也被广泛地应用。

例如，求解lim(n→∞)(1+1/n)^n时，可以利用自然指数函数的概念来进行求解。

二、对数函数对数函数是指一个以某个正实数a(a≠1)为底数的函数。

对数函数具有以下特点：1.对数函数的导数等于1/(xlna)。

2.对数函数的图像是单调递增的，并且在x=1时经过点(0,0)。

3.对数函数在x=a处的函数值为1。

对数函数在高考数学中的应用也非常广泛，例如：1.求解指数方程指数方程是指形如a^x=b的方程，其中a和b是已知数。

在求解指数方程时，可以利用对数函数的概念来进行求解。

例如，对于方程2^x=3，可以得出x=log2 3。

2.求解质量问题在某些质量问题中，对数函数也经常被应用。

例如，某物品的质量每年下降10%，如果每年取其原质量的80%进行购买，那么该物品最多可以使用多少年？可以利用对数函数的概念来求解。

高考数学冲刺指南指数函数与对数函数的性质

高考数学冲刺指南指数函数与对数函数的性质高考数学冲刺指南：指数函数与对数函数的性质在高考数学中，指数函数与对数函数是非常重要的知识点，它们不仅在函数的领域中占据重要地位，还常常与其他数学知识相结合，出现在各种题型中。

在高考冲刺阶段，掌握好这部分内容的性质，对于提高数学成绩至关重要。

一、指数函数的性质指数函数的一般形式为 y ＝ a^x （a ＞ 0 且a ≠ 1），其中 a 被称为底数，x 是自变量。

1、定义域和值域指数函数的定义域为 R，即全体实数。

因为 a^x 恒大于 0，所以其值域为（0，＋∞）。

2、单调性当 a ＞ 1 时，指数函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，指数函数单调递减。

例如，y ＝ 2^x 是单调递增的，因为随着 x 的增大，2^x 的值也越来越大；而 y ＝（05)＾x 是单调递减的，x 增大时，（05)＾x 的值越来越小。

指数函数的图像恒过定点（0，1）。

当 a ＞ 1 时，图像在 R 上呈上升趋势，且越来越陡峭；当 0 ＜ a ＜ 1 时，图像在 R 上呈下降趋势，且越来越平缓。

4、函数值的变化当 x ＞ 0 时，若 a ＞ 1，则 a^x ＞ 1；若 0 ＜ a ＜ 1，则 0 ＜ a^x ＜1。

当 x ＜ 0 时，若 a ＞ 1，则 0 ＜ a^x ＜ 1；若 0 ＜ a ＜ 1，则 a^x ＞1。

二、对数函数的性质对数函数的一般形式为 y ＝ log_a x （a ＞ 0 且a ≠ 1），其中 a 是底数，x 是真数。

1、定义域和值域对数函数的定义域为（0，＋∞），值域为 R。

2、单调性当 a ＞ 1 时，对数函数在（0，＋∞）上单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，对数函数在（0，＋∞）上单调递减。

例如，y ＝ log_2 x 在（0，＋∞）上单调递增，而 y ＝ log_(05) x 在（0，＋∞）上单调递减。

对数函数的图像恒过定点（1，0）。

当 a ＞ 1 时，图像在（0，1）区间内平缓，在（1，＋∞）区间内陡峭上升；当 0 ＜ a ＜ 1 时，图像在（0，1）区间内陡峭，在（1，＋∞）区间内平缓下降。