齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构（解法）
一、齐次线性方程组的解法
【定义】r (A )=r <n ,若AX =0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ,且满足：
(1),,
,n r -12ξξξ线性无关;
(2)AX =0的)任一解都可由这组解线性表示. 则称ξ称
齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系(1)(2)（注：1于n -2程组 （1）（2（3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；
若()r A n >，则齐次线性方程组无解。

1、求AX =0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤
（1）−−
→A C 行
（行最简形）;写出同解方程组CX =0.
(2)求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;
(3)写出通解n r n r k k k --=++
+1122X ξξξ其中k 1,k 2,…,k n-r 为任意常数.
【例题1】解线性方程组12
341
23412341
2
3
4
2350,320,4360,2470.
x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪
⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩
解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵
式：注：解：可得r 12x x =⎧⎨
=⎩令3x 令3x 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为
112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
所以，原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.
二、非齐次线性方程组的解法 求AX =b 的解（,()m n r r ⨯=A A ）
用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关
1112111222221()0r
n r n rr
rn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−−→⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥A b 行
其中0(1,2,,),ii c i r ≠=所以知
(1)r d +(2)r d (3)r d +,,n r k -为任意常数。

导出组AX=0的基础解系，0η为如果η是非齐次线性方程组η+是是非 (1)若(2)若AX =0有非零解,则AX=b 有无穷多解.答:错,因r (A )<n ,r (A )=r (A |b )? (3)若AX=b 有唯一解,则AX =0只有零解.答:对,r (A )=r (A |b )=n. (4)若AX =0有非零解,则A T X=0也有非零解.
答:错,A 为m ?n ,r (A )=m <n ,r (A T )=m ,这时A T X=0只有零解.例如A 为3?4,R (A )=3<4,r (A T )=3=m . (5)若r (A )=r =m ,则AX=b 必有解.答:对,r (A )=r =m=r (A |b ).
(6)若r (A )=r =n ,则AX=b 必有唯一解.答:错,A 为m ?n ,当m ?n 时,可以r (A |b )=n +1.
⑴唯一解：()()r A r A n ==⇔线性方程组有唯一解
【例题4】解线性方程组1231
231
2
3
21,224,44 2.
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
-+=-⎨⎪++=-⎩ 解：2113(2)(4)1121112
1()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦ 可见
解：233-⎤
⎥-⎥
⎥⎦
，解：2021040241410⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
可见()()24r A r A ==<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为
13
423
425,527.
x x x x x x =--+⎧⎨
=+-⎩（其中3x ,4x 为自由未知量）
令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
又原方程组的导出组的同解方程组为13
423
45,27.
x x x x x x =-+⎧⎨
=-⎩（其中3x ,4x 为自由未知量）
令31x =，40x =，得121,2x x =-=；令30x =，41x =，得125,7x x ==-，
于是得到导出组的一个基础解系为11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，25701ξ⎡⎤⎢⎥
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

解：可见1
2
3
x x x ⎧
⎪⎪
⎪
⎨⎪
⎪
⎪⎩
令4x 又原方程组的导出组的同解方程组为243
43,21.2x x x x ⎪
⎪
=⎨⎪
⎪
=-⎪⎩
（其中4x 为自由未知量）
令42x =-（注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得1233,3,1x x x ==-=，
于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤⎢⎥
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
.
所以，原方程组的通解为X k ηξ=+（k R ∈）.
【例题8】求非齐次线性方程组
⎪⎪⎪⎨⎧-=---+=-++=+-++12323623233543214
32154321x x x x x x x x x x x x x x 的全部解。

解：
⎝
⎛=A ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫-0043 因为r 54,x ，
为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎝-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎝=⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎭ ⎝⎛=10,01,00052351
21ααα 则原方程组的全部解为：0332211ηααα+++=C C C X 三、证明与判断
【例题9】已知321,,ηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系，证明,,211ηηη+321ηηη++也是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系。

证：由已知可得：齐次线性方程组AX ＝0的基础解系含有3个解向量，并且由齐次线性方程
组解的性质可知321211,,ηηηηηη+++都是AX ＝0的解；因此只要证明
321211,,ηηηηηη+++线性无关即可。

设存在数321,,k k k 使
0)()(321321211=+++++ηηηηηηk k k 成立。

整理得：0)()(332321321=+++++ηηηk k k k k k （1）
已知
η(1)得
⎪⎩
⎪
⎨⎧+1k k 即1,η解：所以当t ??1时,,,,1234ηηηη是齐次线性方程组AX ＝0的一个基础解系
【例题11】已知n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且r (A )=n -1,求线性方程组AX =0的通解. 解：由r (A )=n -1知AX =0的基础解系有一个非零解向量. 又0,
,,
,i i in a a a i n ++
+==1212，即0i i in a a a ⋅+⋅+
+⋅=12111
T (,,
,),k ∴=111X （k 为任意常数）为所求通解.
【例题12】设X 1,X 2,…,X t 是非齐次线性方程组AX =b ?0的解向量,
证明：对于X0=k1X1+k2X2+…+k t X t
当k1+k2+…+k t=1时,X0是AX=b的解；当k1+k2+…+k t=0时,X0是AX=0的解.
证：AX0=A(k1X1+k2X2+…+k t X t)=k1AX1+k2AX2+…+k t AX t=k1b+k2b+…+k t b=(k1+k2+…+k t)b 故：当k1+k2+…+k t=1时,AX0=b
当k1+k2+…+k t=0时,AX0=0
由此可见,非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等于1的时候,解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解!
为任
3，解：
,
解：
4⎢⎥
⎣⎦
再求AX=β的一个基础解系
11223
112
()(2)
1
23
3
⎡⎤
⎢⎥
=+-+=⎢⎥
-
⎢⎥
⎣⎦
ξηηηη，
21234
2
7
2()(3)
15
⎡⎤
⎢⎥
=+-+=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
ξηηηη
因为
12
4()2,,
R
-=
Aξξ线性无关，所以
12
,ξξ是0
AX=的一个基础解系.
故方程组AX =β的通解是
1122k k *=++=X ξξη121022*********k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
++⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，12,k k 为任意常数.
【例题16】设矩阵A ＝()
()s n ij n
m ij
b B a ⨯⨯=,。

证明：AB ＝0的充分必要条件是矩阵B 的每一列向量都是齐次方程组AX=0的解。

证：把矩阵B 按列分块：()s B B B B ,,,21 =，其中i B 是矩阵B 的第i 列向量),2,1(s i =，
AB i =得：。