三角函数入门课
锐角三角函数(第一课)课件
# 锐角三角函数(第一课) ## 一、引言 - 本课程将介绍锐角三角函数的概念和性质，帮助您更好地理解三角函数并为后续学习打下基础。 ## 二、三角函数的定义 - 正弦函数、余弦函数、正切函数、正割函数、余割函数以及它们的反函数。 ## 三、性质 - 了解三角函数的周期性、奇偶性、连续性、单调性、极值和最值。 ## 四、图像与应用 - 探索三角函数的图像以及它们在实际应用中的作用。 ## 五、总结 - 通过本课程，您将对锐角三角函数的概念和性质有全面的了解。
三角函数在其定义域内是连续的。
单调性
4
三角函数的单调性决定了其在不同区间
的递增或递减性。
5
极值和最值
三角函数的极值和最值对应着函数图像 的高点和低点。
图像与应用
正弦函数的图像
正弦函数呈现出美丽的波浪形图 像，广泛应用于物理学和工程学 中。
余弦函数的图像
正切函数的图像
余弦函数呈现出光滑的曲线图像， 常被用于振动和波动问题。
正切函数的图像具有特殊的涨落 特征，常用于解决角度和斜率相 关问题。
总结
课程概述
通过本课程，您了解了锐角三角函数的定义、 性质，以及它们在图像和应用中的作用。
基础打牢
掌握三角函数的图像和基本性质，对后续学习 将非常有帮助。
三角函数的定义
正弦函数
描述角的正弦值与其对边与斜边之比。
正切函数
描述角的正切值与其对边与邻边之比。
余弦函数
描述角的余弦值与其邻边与斜边之比。
正割函数
描述角的正割值与斜边与对边之比。
三角函数的性质
1
周期性
三角函数在一定范围内呈现周期性变化。
奇偶性
2
《三角函数的概念》PPT教学课件(第1课时三角函数的概念)
象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最
后判断乘积的符号．
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25
(1)C
[因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边
在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
终边关于
x
轴对称，若
sin
α＝15，则
交于点P(x，y)， 则角β的终边与单位圆相交于点
sin β＝________.
Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝15，所以sin β
＝－y＝－15.]
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4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
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24
三角函数值符号的运用
【例 2】 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角 α 终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断 tan α，cos α 的符号，再判断角 α 终边在第几
5．公式一
sin α cos α tan α
8
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1．sin(－315°)的值是( )
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形
式：
①1＋cos
2α
＝2cos2α，
②
cos2α
＝
1＋cos 2
2α
，
③
1
－
cos
2α＝2sin2α，④sin2α＝
1－cos 2α 2.
数学 必修 第一册 A
地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
随堂本课小结
1．对“二倍角”应该有广义的理解 运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性， 它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指 2α 是 α 的二倍角，还可以指α2是α4的 二倍角等．
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
探究二 二倍角公式的灵活运用问题
求下列各式的值： (1)－23＋43cos2 15°＝________. (2)tan1π2－tan11π2＝________. (3)cos 20°cos 40°cos 80°＝________. 解析 (1)原式＝23(2cos215°－1)＝23cos 30°＝ 33.
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谢谢观看！
)
(3)要使 T2α 有意义，需要 α≠±π4＋kπ 且 α≠π2＋kπ(k∈Z)．(
)
三角函数2
• 2.三角函数值的符号 例5 确定下列三角函数值的符号:
7 11 0 (1) cos ; (2) sin( 465 0; (3) tan . 12 3
例6 已知sinα<0,tanα>0,确定角α所 在的象限.
• 例7 已知α∈[0,2π), 且sinα＞0, cosα≤0,求α的取值范围. 例8 求函数f(x)=lqcosx的定义域. 例9 已知点P(cosα,sinα)在第三象限,问α为第 几象限角？ • 例10 已知α是第一象限角,且 sin sin , 2 2 确定α/2所在的象限.
T
2
.
• 例4 f(x)是周期为2定义域为R的周期函数,它 在[-1,1]上的图象如图所示,画出它的图象.
y
1 0
1
x
课堂练习与课外作业
课堂练习P27 1,2 课外作业 P27 3,4 P45 1
第8课时正余弦函数的图象和性质
• 1.正弦和余弦函数的图象 • 2.正弦和余弦函数的情质 (1)定义域 R (2)值域 [-1,1] (3)周期性 T=2π (4)奇偶性 正弦函数为奇函数,它的图象关于 原点对称;余弦函数为偶函数,它的图象关于 y轴对称.
在第三象限 ,求 3 sin ,
5
• 例2 已知tanα=
求sinα,cosα 的值. 12 , 5 • 例3 已知2sinα=cosα,求 sin 2 cos 的值. 2 sin cos 例4 已知π/2<α<π,且sinα+cosα=1/5,求tanα 的值.
例4 (1)求证
3 3 sin( ) cos , cos( ) cos . 2 2
(2)已知cos(750+α)=1/3,且 －1800<α<－900,求cos(150－α)的值.
三角函数的概念 完整版PPT课件
余弦函数 y cosx, x R
正切函数 y tanx, x k (k Z )
2
注意：
y
的终边
（1）正弦就是交点的纵坐标， 余弦就是交点的横坐标 正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.
(x, y)
x o
（2） 正弦函数、余弦函数总有意义.当α 的终边在y 轴上时，点P 的
单位圆半径不变，点P的横、纵坐标只与α的大小有关， α确定时，p的坐标能唯一确定。
任意角的三角函数定义
设 α是一个任意角， R ,它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1） y 叫做 α的正弦函数，记作 sin α 即 y = sin α
（2） x 叫做 α的余弦函数，记作 cos α 即 x = cos α
.
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 (x0 , y0 )
分别过点P, P0 作 x 轴的垂线PM , P0M 0 ，垂足分别为 M , M0
则 | P0M0 || y0 |,| PM || y |,| OM0 || x0 |,| OM || x |,
OMP ∽ OM0P0
于是，| P0M 0 | | PM
P c
b
O
a
M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
人教A版必修第一册第五章三角函数5.2三角函数的概念-课件
M
问题 2: 如何求角 终边与单位圆的交点P的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
不妨设 ，此时点P在第一象限, 过点 P作 PM x轴于M ,
3
在RtOMP中,可得OM 1 ,PM 3 ,
2
2
即x 1,y 3,
2
2
M
所以点
P的坐标为
1 2
,
3 2
三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点 P 的位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
正切函数的定义域为 x
x
2
k, k
Z.
追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函 数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边 为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此 时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意 角的三角函数值可以是负数.
把点 P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切函数，
x
记做tan ，即 y tan x 0.
x
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
实数 (弧度)对应于点P的纵坐标 y——正弦函数； 实数 (弧度)对应于点P的横坐标 x——余弦函数；
当 kk Z 时，角 的终边在 y轴上，这时点P的
三角函数定义课件(角度、弧度及基本关系式)
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.三角函数的定义课件
12/12/2021
第二十页，共五十页。
(2)因为角 α 的终边过点(a,2a)(a≠0)， 所以 r＝ 5|a|，x＝a，y＝2a.
当
a>0
时，sinα＝yr＝
2a ＝2 5a
5 5，cosα＝xr＝
a＝ 5a
55，tanα
＝yx＝2aa＝2；
当
a<0
时，sinα＝yr＝－2a5a＝－2 5
5，cosα＝xr＝－ a
原点的距离为 r，则 sinα＝
y r ，cosα＝
x r ，tanα＝
y x.
12/12/2021
第八页，共五十页。
[答一答] 1．三角函数值的大小与点 P 在终边上的位置是否有关？
提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与 点 P(x，y)在终边上的位置无关，只与角 α 的终边位置有关，即 三角函数值的大小只与角有关．
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知识点一 三角函数的定义
[填一填] (1)单位圆：圆心是 原点 ，半径长为
单位长度 ．
(2)定义：设任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sinα
＝
y ，cosα＝
x ，tanα＝ yx(x≠0) ．
(3)一般地，设角 α 终边上任意一点 P 的坐标为(x，y)，它与
12/12/2021
第二十三页，共五十页。
[变式训练 1] (1)如果角 α 的终边经过点 P－ 23，12，则 sinα
＝
1 2
，cosα＝
－
3 2
，tanα＝
－
3 3
三角函数课件
周期性
余弦函数具有周期性，其周期为 2π，即每隔2π，函数值重复一次 。
振幅
余弦函数的振幅为1，即最大值为1 ，最小值为-1。
05
正切函数
正切函数的定义
定义
正切函数（tangent function） 是直角三角形中一个锐角的对边
与邻边的比值，通常用 “tan(x)”表示。
定义域
正切函数的定义域为不包括90° 和270°的全体实数，即 x ≠ kπ
正弦函数的性质
01
02
03
04
奇偶性
正弦函数是奇函数，即f(x)=-f(x)。
周期性
正弦函数具有周期性，即每隔 2π(rad)，函数的值重复。
导数
正弦函数的导数是余弦函数， 即f'(x)=cos(x)。
积分
正弦函数的积分是正弦函数的 原函数，即F(x)=sin(x)+C。
04
余弦函数
余弦函数的定义
电子工程
在电子工程中，可以使用三角函数实现信号的处理和控制，如放大 器、滤波器等。
建筑学
在建筑学中，可以使用三角函数进行建筑结构的设计和计算，如梁 的强度、支撑结构的位置等。
07
总结与回顾
重点回顾
三角函数的定义和性 质
三角函数的公式和恒 等式
三角函数的图像和变 换
习题解答
三角函数的求值和化简 三角函数的图像和变换
06
三角函数的应用
在几何学中的应用
三角形的角度计算
利用正弦、余弦、正切等三角函数，可以计算三角形的内角大小， 从而解决一些几何问题。
极坐标系
通过极坐标系，可以将平面上的点与极径和极角相对应，从而利用 三角函数进行表示和计算。
三角函数基础教学
三角函数基础教学一、介绍三角函数是数学中一个重要的概念，与三角形的关系密切相关。
本文将从三角函数的定义、性质、常用公式等方面进行介绍，帮助读者全面理解和掌握三角函数的基础知识。
二、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们是对角度的函数运算。
以下是它们的定义：2.1 正弦函数（sine function）正弦函数表示一个角的对边长度与斜边长度之比。
在直角三角形中，角A的正弦函数用sin(A)表示。
2.2 余弦函数（cosine function）余弦函数表示一个角的邻边长度与斜边长度之比。
在直角三角形中，角A的余弦函数用cos(A)表示。
2.3 正切函数（tangent function）正切函数表示一个角的对边长度与邻边长度之比。
在直角三角形中，角A的正切函数用tan(A)表示。
三、三角函数的性质三角函数具有以下性质，它们在计算中起到重要的作用：3.1 周期性三角函数都具有周期性，即函数值以一定的周期不断重复。
正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
3.2 奇偶性正弦函数和正切函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。
奇函数的特点是函数关于原点对称，即f(-x)=-f(x)；偶函数的特点是关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。
3.3 反函数关系正弦函数和余弦函数是周期函数，它们之间存在反函数关系。
即sin(x) = cos(x - π/2)，cos(x) = sin(x + π/2)。
3.4 三角函数的范围正弦函数和余弦函数的值域是[-1,1]，而正切函数的值域是R（实数集）。
四、三角函数的常用公式三角函数有许多常用的公式，它们可以用于简化计算、化简表达式等。
4.1 万能公式正弦函数和余弦函数之间的关系可以通过万能公式表达：sin^2(A) + cos^2(A) = 1。
4.2 倍角公式倍角公式可以用于求解角的倍角情况，其中最常见的有sin(2A) = 2sin(A)cos(A)和cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)。
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三角函数入门课
一、三角函数的定义
三角函数是以弧度或角度作为自变量的单调函数。
它由三角关系引出，可以用来描述平面图形的变化和解决角的折线关系问题。
一般的三角
函数有正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、正割（cot）、余割（sec）和余切（csc）等函数，它们分别等于弧度或角度在它们相应三
角图形中可以得到的比值。
二、三角函数的基本概念
1.正弦定义：sin（θ）= Opposite / Hypotenuse = Y/R
2.余弦定义：cos（θ）= Adjacent /Hypotenuse = X/R
3.正切定义：tan（θ）= Opposite / Adjacent = Y/X
4.余割定义：sec（θ）= Hypotenuse / Adjacent = R/X
5.余切定义：csc（θ）= Hypotenuse / Opposite = R/Y
6.正割定义：cot（θ）= Adjacent /Opposite = X/Y
三、三角函数的运算法则
1.正弦公式：sin（a）=sin（A + B）=sin A x cos B + cos A x sin B
2.余弦公式：cos（a）=cos（A + B）=cos A x cos B - sin A x sin B
3.正切公式：tan（a）=tan（A + B）=(tan A + tanB) / (1 - tanA · tanB)
4.余割公式：sec（a）=sec（A + B）=(sec A · sec B - 1) / (sec A · tanB + sec B · tanA)
5.余切公式：csc（a）=csc（A + B）=(csc A · csc B - 1) / (csc A · tanB + csc B · tanA)
6.正割公式：cot（a）=cot（A + B）=(cot A - cot B) / (1 + cot A · cot B)
四、三角函数的重要性
三角函数的重要性非常大，它是数学中的重要一环，常被应用在多种领域，如几何学中有用于计算角度，用于解决止角和平行线问题，物理学中用来计算定向和速度，引擎动力学中用来计算角动量，天体物理学中用来计算地球和行星的运行与轨道，测绘学中也gu用来解决大地测量定位和解止角问题；机械设计学中也用到了它们，以计算曲线和轮阶的参数关系；建筑学中用三角函数来计算建筑物的架空；电子科学中则用它们解决电位的变换；水文学中也有应用它们，如流速等关系都与三角函数有关系。
五、三角函数的计算方法
1. 从表计算：将X,Y坐标对应到对边和斜边，然后从三角函数表中可以找出答案；
2. 利用公式计算：熟记常用的几个公式即可；
3. 利用电脑软件计算：如Matlab、Maple、Mathmetica等，可以自动计算任何三角函数的值；
4. 应用三角函数的恒等变换：如sin A=tan A=cos A=cot A=0或 sin
A=cos A=1等；
5. 转换为三角应用：对一些同形三角的计算，采用转换为三角形和求边和角的方法解决也是很方便的；
6. 求解四边形面积：在解决点、线、面积题目中，常常需要求解四边形的面积，采用利用三边求面积公式即可；
7. 通过特殊的三角图形的应用：对正多边形的计算，采用标准图形计算可以较为简便。