由一道高考试题谈全错位排列问题
由一道高考试题谈全错位排列问题
作者：王常庆
来源：《理科考试研究·高中》2018年第10期
摘要：错位排列问题是排列组合问题中常见类型之一，解决方法常运用容斥原理但这个
方法对大多数中学生来说相对陌生，不符合中学阶段常规思维.本文从中学课堂常规思路出
发，步步探究，给出全错位排列问题的一套完整解决方案，以期对开拓学生数学思维有所帮助.
关键词：贺卡问题；全错位排列；递推公式；通项公式
作者简介：王常庆（1972-），男，山东郓城人，本科，中学高级教师，研究方向：中学
数学教学.
一、问题的提出
题目同室4人各写一张贺卡，然后收集起来，每人再从中各抽一张，但不能抽取自己写
的那一张，问共有几种不同的抽法？
象这种“每个元素都不在限定的位置上”的排列问题，通常叫做全错位排列问题.全错位排列作为排列组合中的一类典型题目，难度较高. 笔者从常规思路出发，整理出一套完整的解决方案，现把研究过程及每一阶段的成果展示出来，供大家参考.
二、问题的解决
法一（顶针法）假设A、B、C、D四人所写的贺卡分别为a、b、c、d，若先由A抽，共有3种抽法（b、c、d），若抽到b，则接下来由B抽，也有3种抽法（a、c、d），最后由C、D二人抽，均只有1种抽法，故由分步计数原理知共有3×3×1×1=9种抽法.
法二（列表法/枚举法）把A、B、C、D四人依次抽到的贺卡情况具体列表如下，共有9种方案，如表1：
法三（树图法）为防止发生重复或遗漏，可分步画图，如图1：
三、问题的探究
为方便探究，先对这类全错位排列问题进行定义.
设n个编号为1，2，3，…，i，…，j，…，n的不同元素a1，a2，a3，…，ai，…，aj，…，an排成一列，且每个元素均不排在与其编号相同的位置，这样的排列称为全错位排列，排列数记为Tn.
探究1 尝试变更元素个数n，依上述解决方法，易得T1=0，T2=1，T3=2.
探究2 变更元素个数为5时，其全错位排列数T5的求法如下：
（1）顶针法：若先由A抽，共有4种抽法；若抽到b，再由B抽，B抽到a与抽不到a，直接影响其他人的抽法，故而分为两类：
①若B抽到a，其余3人再抽取相当于一个独立“3人组”，共有2种抽法；
②若B抽不到a，则B有3种抽法（c、d、e），设B抽到c，接下来由C抽，也有3种抽法，共有3×3=9种抽法.故题目最终结论为4×（2+3×3）=44种抽法.
（2）列表法、树图法均可解决，但工程庞大，不易操作.
探究3 由以上探究过程可知，当元素个数变更为5个时，其全错位排列数的求解已是不易，若是元素个数变更为6个、7个甚至更多时，又该如何计算呢？下面仍先以“4人贺卡问题”为例解析如下：
先不考虑4张贺卡的具体归属，由4人随意抽取，共有A44=24种抽法.其中包括以下不合题意的情况：
（1）4人中恰有1人取到自己写的贺卡（以下简称自取），其余3人再抽取，相当于一个独立的“3人组”，所以共有C14T3=4×2=8种抽法；
（2）4人中恰有2人自取，其余2人再抽，相当于一个独立的“2人组”，共有
C24T2=6×1=6种抽法；
（3）4人全部自取，共有1种抽法（不可能出现恰有3人自取情况）.
故“4人组”贺卡的抽法共有T4 =A44-2×C14-1×C24-1=9种.
下面可用同样的方法完成T5的求解：
T5=A55-C15T4-C25T3-C35T2-1=44种.
小结按上述解法，只要知道了T1，T2，T3，…的结果，依次递推下去，便可求出任意n 个元素的全错位排列数Tn （n∈N*）. 当然，随着人数n的增加，分类越来越多，计算量也越来越大.
探究4 为进一步寻求规律、简化计算，笔者受到“斐波那契数列”的启发，把已求得的几个全错位排数Tn及相应元素个数n（n∈N*）列表如下（表2）
由这两个递推公式，易得到T6=265及T7=1854，将Tn的计算向前推进了一大步.
探究5 上述递推公式是通过不完全归纳法得到的，其正确性有待于证实.下面尝试利用计数原理、数学归纳法的有关知识进行证明.
1递推公式1的证明（利用计数原理）
首先易得T1=0，T2=1.
当n≥2时，总数为n+1个元素的全错位排列可分两步进行：
第一步，先从n+1个不同元素中任取一个元素ai，因其不能排在与其编号相对应的i 位，必排在剩下n 个位置之一，所以ai有n 种排法；
第二步，针对ai每一种排法，如果ai排在 j位，原对应j位的元素aj的排位又有两种情况：
第1种情况，若aj恰好排在i位上，如表3
此时，除ai外的其他n个元素（包括aj）均有一个不能排的位置（aj不排在i位上），问题就转化为其余这n个元素全错位排列，排列数为Tn.
故综合上述步骤，由乘法原理和加法原理可得：Tn+1=n （Tn-1+Tn）（n≥2， n∈N*）.
2递推公式2的证明（利用数学归纳法）
首先，易得T1=0，T2=1，显然当n=2时，Tn=n Tn-1+（-1）n 成立；
其次，假设当n=k时（k≥2， k∈N*），Tn=n Tn-1+（-1）n 成立，即Tk=k Tk-1+（-1）k.
从而k Tk-1 =Tk -（-1）k=Tk+（-1）k+1.
又由递推公式1可得Tk+1=k （Tk-1+Tk）.
从而Tk+1=kTk-1+kTk=Tk+（-1）k+1+kTk=（k+1 ）Tk+（-1）k+1.即Tk+1=（k+1 ）T （k+1）-1+（-1）k+1.故当n=k+1时，Tn=n Tn-1+（-1）n亦成立.
综合上述步骤可知，Tn=n Tn-1+（-1）n对于任意自然数n（n≥2， n∈N*）均成立.
探究6 上述公式虽已获得证明，但毕竟只是递推公式，如果能够利用构造数列的思想，导出{Tn}的通项公式，方才圆满.
解析将Tn=n Tn-1+（-1）n的两边同时除以n！得
Tn n！ = nTn-1 n！ + （-1）nn！ = Tn -1 （n-1）！ + （-1）nn！.
从而有Tnn！-Tn-1（n-1）！=（-1）nn！.
于是，T22！-T11！=（-1）22！，T33！-T22！=（-1）33！，…，Tnn！-Tn-1（n-1）！=（-1）nn！.
将这n-1个等式累加得Tnn！-T11！=∑ni=2（-1）ii！.
又T1=0，故有Tnn！=∑ni=2（-1）ii！.
从而有Tn=n！∑ni=2（-1）ni！（n≥2， n∈N*）.
在解决排列组合问题时，经常涉及到全错位或部分错位的排列问题，在元素不是很多时，我们可以用枚举或树枝图的方法，也可利用排除的方法对问题进行讨论；但当元素较多时可尝试寻求排列数的递推公式或通项公式，以期对解决这一类问题提供方便.
参考文献：
[1]李宇襄组合数学[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]龚兵全错位排列[J].中学生数学，2011（17）：26
[3]程孝刚对错位排列问题的探究[J]高中数学教与学，2009（08）：42-43.
高三第二轮专题---排列组合问题经典题型与通用方法
排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（） A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()() n A B n A n B n A B ?=+-? 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（） A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 （2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种 14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
由一道高考试题谈全错位排列问题
由一道高考试题谈全错位排列问题 作者：王常庆 来源：《理科考试研究·高中》2018年第10期 摘要：错位排列问题是排列组合问题中常见类型之一，解决方法常运用容斥原理但这个 方法对大多数中学生来说相对陌生，不符合中学阶段常规思维.本文从中学课堂常规思路出 发，步步探究，给出全错位排列问题的一套完整解决方案，以期对开拓学生数学思维有所帮助. 关键词：贺卡问题；全错位排列；递推公式；通项公式 作者简介：王常庆（1972-），男，山东郓城人，本科，中学高级教师，研究方向：中学 数学教学. 一、问题的提出 题目同室4人各写一张贺卡，然后收集起来，每人再从中各抽一张，但不能抽取自己写 的那一张，问共有几种不同的抽法？ 象这种“每个元素都不在限定的位置上”的排列问题，通常叫做全错位排列问题.全错位排列作为排列组合中的一类典型题目，难度较高. 笔者从常规思路出发，整理出一套完整的解决方案，现把研究过程及每一阶段的成果展示出来，供大家参考. 二、问题的解决 法一（顶针法）假设A、B、C、D四人所写的贺卡分别为a、b、c、d，若先由A抽，共有3种抽法（b、c、d），若抽到b，则接下来由B抽，也有3种抽法（a、c、d），最后由C、D二人抽，均只有1种抽法，故由分步计数原理知共有3×3×1×1=9种抽法. 法二（列表法/枚举法）把A、B、C、D四人依次抽到的贺卡情况具体列表如下，共有9种方案，如表1： 法三（树图法）为防止发生重复或遗漏，可分步画图，如图1： 三、问题的探究 为方便探究，先对这类全错位排列问题进行定义. 设n个编号为1，2，3，…，i，…，j，…，n的不同元素a1，a2，a3，…，ai，…，aj，…，an排成一列，且每个元素均不排在与其编号相同的位置，这样的排列称为全错位排列，排列数记为Tn.
全装错信问题即全错位排列问题及拓展
全装错信问题即全错位排列问题及拓展 ——龙城老欧全装错信问题又称全错位排列问题，最早由瑞士数学家伯努利提出，最后由伯努利与他的学生欧拉讨论解决，这个问题就是—— 我们将编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信都和信封的编号不同，即1不能装进1，2不能装进2，3不能装进3……问有多少种装法？ 看到这个问题时，我们的第一反应就是退到简单处入手研究，如果只有一封信，2封信，3封信，4封信，……，然后从中再思考，之间是否有共性，是否有关联，共性用归纳，关联构成递推，或者其他。 〖解法〗 容易知道：a[1]=0,a[2]=1，a[3]=2，a[4]=6; 依我们设a[i]为i封信的全错位排列数据递归推理那么有 a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1)， (i>=3)。 为什么？为什么？为什么？大多数人看不明白。 不急，尽量先自己思考，不行的话，听我来解释： 思考1：对于插入第i个元素，只可能有两种情况： 第一种情况:插入第i个元素时，前i-1个已经错位排好，则选择其中任意一个与第i个互换一定满足要求,选择方法共i-1种，前i-1位错排f[i-1]种，记f[i-1]*(i-1),如下图： 第二种情况:插入第i个元素时，前i-1个中恰有一个元素恰好在自己的位置上，即恰好只有一个元素不满足错位排列，其他i-2个错位排好，则将i与j交换，j在i-2位中的插入共i-1种，前i-2位错排a[i-2]种，记f[i-2]*(i-1)，如下图： 以上两种情况求和可得: a[i]=(a[i-1]+a[i-2])×(i-1) (i>=3) 我们还可以这样思考： 思考2：有(i-1)个人已经都坐在在自己的板凳上了，现在第i个人张三带着自己的板凳来了，下面我们来对这i个人进行全错位排排坐， 方法1：前面(i-1)个人中的某一个带着板凳出来与第i个人张三互换板凳坐（有（i-1）种方法），其它(i-2)个人进行全错位排列（有a[i-2]种方法），这样就整体上都是全错位；
全错位排列
全错位排列 先看下面例子： 例1 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。 这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一解法是用排除法： 先考虑5个有的全排列，有A55种不同的排法，然后除去甲排第一（有A44种）与乙排第二（也有A44种），但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有：A55－2A44＋A33＝78种。 现在考虑： 例2 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。 仿上分析可得：A55－3A44＋3A33－A22＝64种 这与全错位排列很相似。 全错位排列——即n 个元素全部都不在相应位置的排列。看下面的问题 例3 5个人站成一排，其中A 不站第一位，B 不站第二位，C 不站第三位，D 不站第四位，E 不站第五位，共有多少种不同的站法。 解析：上面例1，例2实际上可以看成n 个不同元素中有m （m≤n ）不排在相应位置。 公式一：n 个不同元素排成一排，有m 个元素（m≤n ）不排在相应位置的排列种数共有：从而这个问题可能用上面的公式得出： ()A C A C A C A m n m n m m m n n m n n m n n ------??-++?+?-1 (222111) 这个公式在n ＝m 时亦成立 A55－C(5,1)?A44＋C(5,2)?A33－C(5,3)?A22＋C(5,4)?A11－C(5,5)?A00＝44种 （注意A00＝0!＝1） 再看1993年高考题： 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。则四张贺年卡不同的分配方式有 (A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种 解析：由上面公式得： A44－C(4,1)?A33＋C(4,2)?A22－C(4,3)?A11＋C(4,4)?A00＝9种，∴选择B 答案 因此可得到全错位排列的公式： n 个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n 个元素不在第n 位的排列数为： ()A C A C A C A n n n n n n n n n n n n n n n ------??-++?+?-1 (222111) 这实际上是公式一的特殊情况。这个公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的问题，都可以用这个公式很快得到解决，希望这个公式对大家有所帮助 将n 个编号为1、2、3...n 的小球投入到编号为1、2、3...n 的n 个盒子中，其中第i 号球不投到第i 号盒子中（i ＝1,2,3,...n ）的投法数为全错排列问题. 这个问题是由瑞士的数学家欧拉解决的，公式为： ()?? ????-++-+-+-=!1)1(....!51!41!31!21!111!n n n f n 其中n≥2。
排列组合
错位排列问题是一个古老的问题，最先由贝努利（Bernoulli）提出，其通常提法是：n个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少？所以称之为“错位”问题。大数学家欧拉（Euler）等都有所研究。下面先给出一道错位排列题目，让考友有直观感觉。 例1．五个编号为1、2、3、4、5的小球放进5个编号为1、2、3、4、5的小盒里面，全错位排列（即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，5不放5，也就是说5个全部放错）一共有多少种放法？ 【解析】：直接求5个小球的全错位排列不容易，我们先从简单的开始。 小球数/小盒数全错位排列 1 0 2 1（即2、1） 3 2（即3、1、2和2、3、1） 4 9 5 44 6 265 当小球数/小盒数为1~3时，比较简单，而当为4~6时，略显复杂，考友只需要记下这几个数字即可（其实0，1，2，9，44，265是一个有规律的数字推理题，请各位想想是什么？）由上述分析可得，5个小球的全错位排列为44种。 上述是最原始的全错位排列，但在实际公务员考题中，会有一些“变异”。 例2．五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？ 【解析】：做此类题目时通常分为两步：第一步，从五个瓶子中选出三个，共有种选法；第二步，将三个瓶子全部贴错，根据上表有2种贴法。则恰好贴错三个瓶子的情况有种。 【拓展】：想这样一个问题：五个瓶子中，恰好贴错三个是不是就是恰好贴对两个呢？答案是肯定的，是。那么能不能这样考虑呢？第一步，从五个瓶子中选出二个瓶子，共有种选法；第二步，将两个瓶子全部贴对，只有1种方法，那么恰好贴对两个瓶子的方法有种。问题出来了，为什么从贴错的角度考虑是20种贴法，而从贴对的角度考虑是10种贴法呢。在此明确告知，后者的解题过程是错误的，请考友想想为什么？ 【王永恒提示】：在处理错位排列问题时，无论问恰好贴错还是问恰好贴对，都要从贴错的角度去考虑，这样处理问题简单且不易出错。 (二). 插板法:一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)，只对分成的份数有要求。 举例说明: 例题1. 把20台电脑分给18个村,要求每村至少分一台,共有多少种分配方法? 解析: 此题的想法即是插板思想:在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板,这样即把其分成18份,那么共有: C1917=C192=171 种。 Eg2。有10片药，每天至少吃1粒，直到吃完，共有多少种不同吃法？ 解法1：1天吃完：有C90=1种； 2天吃完：有C91=9种；…… 10天吃完：有C99=1种；故共有：C90+C91+…+C99=（1+1）9=512种。 解法2：10台电脑内部9个空，每个孔都可以选择插板或者不插板，即每个孔有两种选择，共有9个空，共有29=512种。这里只讨论了排列组合中相对比较特殊的两种方法，至于其它问题可参见中公网的其它书籍，这里不再赘述。 【排列组合在其他题型中的应用】 例题．学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？
排列组合公式巧解行测中比赛计数 错位排列问题
一、比赛计数问题 根据比赛规则，比赛计数问题主要分为四类，每类比赛都有对应的解题方法，如下所示： 注意：单循环赛，即任意两队打一场比赛，和顺序无关，所以是组合问题；双循环赛，即任意两个队打两场比赛，和顺序有关，所以是排列问题。 例1．100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？（） A．90 B．95 C．98 D．100 【华图解析】设有男运动员a人，女运动员b人。因为是淘汰赛，则要产生男冠军需要a－1场比赛，产生女冠军需要b－1场比赛，总的比赛场次需要a+b－2场。 例2．足球世界杯决赛圈有32支球队参加，先平均分成八组，以单循环方式进行小组赛；每组前两名的球队再进行淘汰赛。直到产生冠、亚、季军，总共需要安排（）场比赛。 A．48 B．63 C．64 D．65 【华图解析】首先将32人平均分成八组，则每组有4支球队，每组球队要进行单循环赛，则每组有，则八组总共需要；又因为在小组赛中每组决出前两名，八组 一共决出16支队，也就是再对这16支队伍进行淘汰赛，直到产生冠、亚、季军，则有16场比赛。所以总比赛场次为48+16=64。 二、错位排列问题 错位排列问题是一个古老的问题，最先由贝努利（Bernoulli）提出，其通常提法是：n 个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少？所以称之为“错位”问题。 例1．五个编号为1、2、3、4、5的小球放进5个编号为1、2、3、4、5的小盒里面，全错位排列（即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，5不放5，也就是说5个全部放错）一共有多少种放法？ 【华图解析】直接求5个小球的全错位排列不容易，我们先从简单的开始。 小球数/小盒数全错位排列 1 0 2 1（即2、1） 3 2（即3、1、2和2、3、1） 4 9 5 44 6 265 当小球数/小盒数为1～3时，比较简单，而当为4～6时，略显复杂，考生们只需要记下这几个数字即可（其实0，1，2，9，44，265是一个有规律的数字推理题，9=(1+2)*3；44=(2+9)*4；265=(44+9)*5；(44+265)*6=1854）由上述分析可得，5个小球的全错位排列为44种。 例2．五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？ 【华图解析】做此类题目时通常分为两步：第一步，从五个瓶子中选出三个，共有
整理：全错位排列
全错位排列 作为排列组合试题的一种特殊类型，全错位排列在公考中也偶有出现。因为较之其他题型来说，全错位排列的原理需要结合举例子递推出来，故考生朋友们理解起来有一定的困难。在此京佳崔熙琳老师将考试中出现过的该类题型进行汇总，希望给各位考生提供一些帮助。 公考行测：数量关系之“全错位排列”经典真题剖析 一、全错位排列递推公式的推导 把编号从1到n的n个小球放到编号为从1到n的n个盒子里，假定每个盒子中的小球编号与盒子的编号不得一样(即：1号球不在1号盒，2号球不在2号盒，依次类推)，请问共有几种放法？ 用列举法进行公式的推导： 图1
通过图1可以发现，An与n存在如下的递推关系： An＝(An－2＋A n－1)×(n－1)(其中，n≥3，且A 1＝0，A 2＝1) 此递推公式可以产生一个全错位排列的结果数列： A1＝0； A2＝1； A3＝(A1＋A2)×(3－1)＝2； A4＝(A2＋A3)×(4－1)＝9； A5＝(A3＋A4)×(5－1)＝44； A6＝(A4＋A5)×(6－1)＝265..................。. 考生在遇到全错位排列试题时候只需要按照上述递推公式进行简单推导即可求出结果。 二、真题解析 例1：(2011年浙江省考真题55题) 四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。问共有几种不同的尝法？ A.6种 B.9种 C.12 种 D.15种 【答案与解析】B。此题为全错位排列试题。根据全错位排列公式“An＝(An－2＋A n －1)×(n－1)(其中，n≥3，且A 1＝0，A 2＝1)”，可知，当n＝4时，共有9种尝法。 例2：(2010年某省考试真题) 五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？ A.5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案与解析】D。做此类题目时通常分为两步：第一步，从五个瓶子中选出三个，共有C(3，5)＝10种选法；第二步，将三个瓶子全部贴错，根据上表有2种贴法。则恰好贴错三个瓶子的情况有10×2＝20种。
错位排列和禁位排列
错位排列和禁位排列 1.问题提出 〔1〕某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调到另一个城市去担任相应的职务，问共有多少种不同的干部调配方案？ 〔2〕有5个客人参加宴会，他们把衣帽寄放在室内，宴会后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现，他们戴了别人的帽子，问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？ 上述两个问题，实质上是同一种类型的问题，被著名数学家欧拉 〔Leonard Euler ，1707 —1783〕称为“组合数论”的一个妙题的“装错信封问题”的两个特例。“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰•伯努利〔John Bernoulli ，1667—1748〕 的儿子丹尼尔•伯努利 〔Danid Bernoulli ，1700—1782〕提出来的，大意如下：一个人写了 n 封不同的信及相应的n 个不同的信封，他把这n 封信都装错了信封。问全部装错了信封的装法有几种？ 2.错位排列和禁位排列 1〕错位排列：n 个相异元素中()m m n ≤个元素12,,,m i i i a a a ⋅⋅⋅，其中()1,2,,k i a k m =⋅⋅⋅不在第 ()1,2,,k i k m =⋅⋅⋅个位置〔一下简称其为k i a 的本位〕，而其他n m -个元素中的任何一个都在原来的位置 〔本位〕的排列。如果n 个元素都不在本位，称为全错位排列。 2〕禁位排列〔一个元素禁止排在一个位置〕：n 个相异元素中()m m n ≤个元素12,,,m i i i a a a ⋅⋅⋅，其中 ()1,2,,k i a k m =⋅⋅⋅不能排在第()1,2,,k j k m =⋅⋅⋅个位置的排列。 3〕两者的区别在于：错位排列中除这m 个元素之外的其他n m -个元素都在本位，即这m 个元素只能在m 个位置12,,,m i i i ⋅⋅⋅中排列，且不出现()1,2,,k i a k m =⋅⋅⋅在k i 位的情况；而禁位排列中只限制m 个元素不在本位，因此()1,2,,k i a k m =⋅⋅⋅可以排在1,2,,n ⋅⋅⋅中除k i 之外的任何位置。 3.禁位排列与全错位排列的种数 1〕禁位排列数： 求禁位排列数，只需从n 个元素的全排列中除去指定元素占本位的排列即可，其中有1个元素占本位的排列数是1 1 1n m n C P --，有两个元素占本位的排列数是2 1 1n m n C P --，……，n 个元素占本位的排列数是m n m m n m C P --. 记错位排列和禁位排列的排列数分别为,m m n n D E ，用n D 表示n 个元素全错位排列。则由容斥原理有： 【禁位排列公式】()()()()0 1 2 121m m m n m m m m E C n C n C n C n m =--+--⋅⋅⋅+--！！！！ 【证明】①当0m =时，等式左边为0 n E ，表示n 个元素没有限制，所以有n n P n =！， 等式右边本应该有1m +项，当0m =时，只有1项，就是0 0C n n =！！.等式成立； ②假设()0 1k i k i n i n k n i i E C P --== -∑；
排列组合中的基本解题方法之错位重排法
排列组合中的基本解题方法之错位重排法 一、基础理论 错位重排法主要是排列组合中的公式法解题，所以大家先要了解什么事错位重排法和对应的公式是什么? (1)什么是错位重排。 如图1：A、B、C、D、E是五个人，①②③④⑤是五个座位。如下图所示就是对号入座。 如图2：五个人全都不去自己的位置，只能去别人的位置，即全部错位。 所以这里所说的错位重排即全部错位。 (2)错位重排的公式是什么?
这个图的意思是：如果只有1个人A，只有1个座位，而这个人还不去自己的位置上去，那么有0种排列方法。如果有两个人A、B，只有2个座位，而这两个人都不能去做自己的位置，那么只能交换位置，即1种排列方法。如果有三个人A、B、C，有三个位置每个人都不去自己的位置，那么只能A去2，B去3，C去①或A去③，B去①，C去②2种排列方法。那么如果是A、B、C、D四个人错位呢那么共有9种排法，如果五个人错位，共44种排法，如果六个人错位，共265种方法。 错位重排数字：0 , 1 , 2 , 9 , 44 , 265，… 注：一般国考和地方性公务员考试，只考到前五个错位重排，所以大家在记得时候只要记住前五个基本就可以了。 二、真题精析 例1、将袋子中的四个红球排成一排，若要求1号球不在第一个位置，2号球不在第二个位置，3号球不在第三个位置，4号球不在第四个位置，问有( )种排列方法 A.6 B.9 C.32 D.44 【分析】题干中的四个红球，就类似的是4个人，每个人都不去自己对应的位置，所以完全符合错位重排公式。
【解析】4个错位重排。所以答案对应公式里面的9。答案为B项 例2、四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那到菜。问共有几种不同的尝法? A.6种 B.9种 C.12种 D.15种 【答案】B 【解析】此题为错位重排，根据错位重排公式可知，有9种尝法。 小结：满足错位重排公式直接应用公式法解题。 三、错位重排法的综合运用 例3、五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况共有多少种? A.6 B.10 C.12 D.20 【答案】D 【分析】此题也是错位重排但不是全部错位，我们可以部分应用错位重排来进行解题。 【解析】分步进行：第一步，选出三个瓶子，这三个瓶子恰好贴错了，有C(5,3)=10种;第二步，这三个瓶子满足错位重排，所以对应的公式数据应该是2。最后根据乘法原理，共有10×2=20种。 小结：所以错位重排公式的解题关键是能否准确的找到需要错位重排的数据。 （红麒麟2014版强势升级，打造更权威、更智能、更实用的公考学习平台，专属方案、迭代题库、视频课程和配套练习、解析问答、学霸排名、能力测评、申论批改打分、面试语音答题、名师语音点评……一切尽在免费中）。 手机版红麒麟，无需下载，手机浏览器扫一扫
高考错位排列真题答案解析
高考错位排列真题答案解析 导语：高考是每个学生都要经历的一场考试，考试中的各种题型都是考生们备战所需的重点之一。错位排列题是高考数学中的难点题型，很多考生在解答时往往束手无策。本文将为大家详细解析高考错位排列真题答案，希望对广大考生有所帮助。 一、什么是错位排列题 错位排列题是高考数学中的一类组合题，是考察考生对排列组合知识的理解和运用能力。在这类题目中，要求我们求排列或组合的个数，并要保证某些特定的元素不能相邻、不能相连等。 二、常见形式及解题思路 1. 示例一：有3个甲、3个乙、3个丙三种不同的球，把如下9个球排成一行，使乙不能够紧挨着甲摆放，要求每次将甲、乙、丙这三种球的一个摆在一行的空位上，那么有效排列的个数是多少？ 解题思路：这是一个错位排列的问题。首先，我们可以先假设把甲和乙看成一个整体，即2个元素看作1个对，然后将丙球插入这些对之间，变相成为了一个无相同元素的排列组合问题。那么问题就变为了将3个甲乙丙的球排列在一行上的问题。根据排列组合的公式，我们可以得出答案为3!，即3的阶乘，结果为6. 2. 示例二：有8个小球，其中有2个红球、2个蓝球、2个绿球和2个黄球，现将这只球放在一排的位置上，要求使得同颜色的球不相邻，一共可以有多少种不同的放法。
解题思路：这是一个错位排列的问题。我们可以将这8个小球分 成4对，然后将这些对放在一排的位置上。根据错位排列的原理，共 有4！种不同的放法。但是要注意的是，每对之间的元素又可以进行排列，所以实际的解答应该是4!*(2!)^4，即解答等于24*(2^4)=384. 三、真题解析 下面为大家提供一道高考真题的错位排列题解析，希望对大家更 好地理解和掌握该类型题目的解答方法。 示例题：有8本书，其中诗集5本，文学评论2本，小说1本。 （1）把8本书排成一行，使得同种书类不相邻，有多少种不同 的方法？ （2）如果除了要求同种书类不相邻外，诗集之间和文学评论之 间也不相邻，有多少种不同的方法？ 解题思路： （1）这是一个错位排列的问题。我们可以把这8本书分为3类，即诗集、文学评论和小说。根据错位排列的原理，共有3！种不同的排法。然而，要注意的是，诗集之间和文学评论之间共有2！种放法，小说只有1种，所以最终的解答为3！*2！*2!=24*2*2=96. （2）这是一个较难的错位排列题。我们可以把这8本书分为4类，即两个诗集、两个文学评论、一个小说。根据错位排列的原理， 共有4！种不同的排法。然而，要注意的是，每类书之间有2！种放法，所以最终的解答为4!*2！*2！=24*2*2=96. 综上所述，错位排列题是高考中的一个难点题型，在解答时需要
排列组合特殊题型之错位重排-于岩
排列组合特殊题型之错位重排 中公教育研究与辅导专家于岩 错位重排问题是排列组合中的一种特殊题型，如果不知道错位重排的关系，在遇到这类型的题目时就会很头疼，无从下手。今天中公教育研究与辅导专家为大家带来了解决错位重排问题方法，我们一起来看一下。 错位重排问题也叫装错信封问题，比如编号为1、2、……、n的n封信，装入编号为1、2、……、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，有多少种装法？对于这种问题，有一个固定的递推公式，记n封信的错位重排数为Dn： Dn =(n-1)×(Dn-2 +Dn-1)，其中D1=0，D2=1。 简单阐述下公式的推导过程，先让编号为1的信封去装信，不能选编号1的信，只能从剩下的n-1封信中去选，假设信封1选了编号为2的信，下面让编号为2的信封再去选择的话，如果编号为2的信封不选编号1的信，那么加上其他的信封，可以理解为是n-1个信封的错位重排，记作Dn-1，如果编号为2的信封选择了编号为1的信，那么剩下的就是n-2个信封的错位重排，记作Dn-2，故为上面所列式子。 具体把错位重排的关系应用到解题时，我们需要记清楚一些小元素对应的错位重排数，比如D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265等，如果记不清楚，也可以根据刚才所给的公式推导出来。 例1.某校心理健康日，为拉近同学们彼此心灵之间的距离，设置了“抱抱团”游戏。该游戏要求10人面对面而站，相对而站的两人彼此是朋友。然后要求其中一排的人去拥抱对面的人，但不能拥抱自己的朋友，也不能出现拥抱同一个人，则共有多少种不同的拥抱方法？ A.60 B.54 C.38 D.44 【中公解析】选D，题目可以理解为把两排的人在同一方向按顺序编号 1、2、3、4、5，其中一排的人去拥抱另一排的一个人，但不能拥抱与自己序号相同的人，且不能拥抱同一人，则共有多少种不同的拥抱方法？就是找5个元素对应的错位重排数的，由错位重排前面给的公式可得，D5=44，故选D。 例2.从前，有八位好兄弟，他们特别要好，圣诞节快到了，他们每人都准备了一份礼物，装礼物的盒子外观是一模一样的，他们商量把所有的礼物放在一起，然后每个人拿走一份作为圣诞节的礼物。其中3位好兄弟恰好拿的是自己的礼物，问共有多少种拿法?
关于全错位问题的结论
关于“全错位问题”的一个重要结论 一般地，我们把“1”不放在第一位，“2”不放在第二位，“3”不放在第三位……。“n ”不放在第n 位，称为“全错位问题”。在全错位问题中，如果一共有n 个元素，我们用f(n)表示全错位问题的排法种数。则可得一个重要结论： f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n ≧2) * 例如：n=1时，显然f(1)=0 n=2时 共1种情况 而f(2)=2f(1)+(-1)2=1 符合*式 n=3时 或 共2种情况 而f(3)=3f(2)+(-1)3 =3×1-1=2 符合*式 n=4时，举例：用1、2、3、4这四个数字组成无重复数字的四位
数，1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位，共有多少种排法？ 列举如下： 共9种排法 而f(4)=4f(3)+(-1)4=4×2+1=9符合*式 同理可验证： F(5)=5f(4)+(-1)5=44成立…… 下面给予一般性证明f(n)=nf(n-1)+(-1)n ,(n≧2) 1.当n=2时，f(3)=1，f(3)=3f(2)-1=2，等式成立， 当n=3时，f(3)=2，f(4)=4f(3)+1=9，等式成立； 2.假设n≤k （k≧3）等式成立，即k个元素a1、a2、a3……a k全错位排序的方法数的递推关系为f(k)=kf(k-1)+(-1)k， 则当n=k+1时，设全错位排序的元素为a1、a2、a3……a k、a k+1。在k个元素全错位排序的基础上，k+1个元素全错位排序后，它们全错位排序的方法分为两类，（1）a k+1与a i（i=1、2、……k）互调位置，其余元素全错位排列，方法数为kf(k-1)；（2）a k+1在a i的位置上，但a i （i=1、2、……k）不在a k+1的位置上，相当于a k+1将的每一个全错位排
听说“9”和“44”与错位排列更配哦-全错位排列问题
听说“9”和“44”与错位排列更配哦-全错位排列问题亲，如果我说记住两个数字就能搞定数量关系中的一类难题，你信吗? 先不用忙着回答! 或许你将信将疑，但等你看完此文，你一定能找到足够的理由让自己相信。 一、问题导入 【引例1】唐僧、孙悟空、猪八戒、沙和尚4人在某公司不同岗位任职，现在需要调换岗位，要求每个人都不能在自己原来的岗位，则共有种不同的安排方法。 【引例2】有4名同学各写了一张贺卡，先全部收集起来，然后每人从中拿出一张贺卡，要求每个人都不拿自己的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有种。 【引例3】将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同(即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，也就是说4个全部放错)，则共有种不同的放法。 不难发现，以上三个引例都是同一类问题，答案是多少呢?下面用枚举法给大家答案：假设原来顺序：A、B、C、D 枚举的时候注意按照一定规律进行，如果看成1、2、3、4号位置，那么第一步A可以放2、3、4号位置中的任意一个，第二步把B的位置确定，第三步确定C和D的位置：第1种错位排列：B、A、D、C(A在2位，B在1位，C、D位置就唯一确定了); 第2种错位排列：D、A、B、C(A在2位，B在3位，C、D位置就唯一确定了); 第3种错位排列：C、A、D、B(A在2位，B在4位，C、D位置就唯一确定了); 第4种错位排列：B、D、A、C(A在3位，B在1位，C、D位置就唯一确定了); 第5种错位排列：C、D、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置可以是1、2); 第6种错位排列：D、C、A、B(A在3位，B在4位，C、D位置也可以是2、1); 第7种错位排列：B、C、D、A(A在4位，B在1位，C、D位置就唯一确定了); 第8种错位排列：C、D、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置可以是1、2); 第9种错位排列：D、C、B、A(A在4位，B在3位，C、D位置也可以是2、1)。 可见，4个元素的错位排列一共有9种。即以上三道引例的答案都是9种。 那么，问题来了：图图老湿，我不想一个一个的枚举，眼睛都看花了，肿么办?而且如果下次不是4个元素了呢?答案又肿么办? 请耐心看下文。提前声明一下：接下来这一段需要一定的数学知识，如果觉得自己数学还不错的话可以详细逐字阅读;如果说NO，也没关系嗒，只需你记住最后结论即可哦! 二、理论推导
全错位排列研究
《全错位排列》研究一得 理科实验班黄回銮徐博强刘益佳 指导教师史立莉 一、问题的引入 课余，咱们看排列组合问题时，常碰到受限元素，受限位置的简单问题。如5个学生站成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾有多少种不同排法，或上午5节课，数学、体育、政治、语文、化学。体育不排在第一节，数学不排在最后一节，有多少种不同排法。对这种问题的解决，咱们已很熟练。 甲、乙或体育、数学是受限元素，排头、排尾或第一节，第五节是受限位置，用排除法较简明，只须 不考虑受限元素，受限位置时，5个人站成一排有P55种不同排法。要除去甲在排头的P44种不同排法，现在已含乙站在排尾的P33种排法，然后再排除乙站在排尾的P44种不同排法。再加上重复排除的P33种不同排法，故可得出结论： 不同的排法有 P55-2P44+P33=78种 二、课题的提出 5个元素有2个元素受限，有2个位置受限，咱们考虑假设将此题深化，假设5个元素都受限，都别离受限在不同的位置上。即5个编号别离为一、二、3、4、5的学生排成一排，1不站在1号位，2不站在2号位… 5不站在5号位，即每人均不站在与其编号相对应的位置上，咱们称符合如此限制条件的排列为全错位排列，那如此的全错位排列有多少种？ 若是有n个受限元素，又该如何解呢？ 咱们用排除法去解，很宝贵出正确结论，重复的情形很复杂，很难理出头绪，咱们三人决心研究《全错位排列》排列数计算问题。带着那个问题咱们请教了指导教师史立莉。 三、课题研究 史教师指导咱们学习排列、组合数学归纳法及数列有关知识，鼓舞咱们斗胆探讨。课余咱们在一块探讨研究，用不完全归纳法试图找出规律，经推理演绎，初步得出一个不成熟的结论，供大伙儿探讨，以期抛砖引玉。 四、构建命题 命题：设n个编号为一、二、3、… i… j…n的不同元素a1、a2、a3…a i…a j…a n，站在一排，且每一个元素均不站在与其编号相对应的位置，如此的全错位排列数为T n。 那么 T n= (n-1) ( T n-1+T n-2) 说明：T n-1, T n-2别离表示n-1个或n-2个不同元素全错位排列数。 证明：在n个不同元素中任取一个元素a i其不站在与其编号相对应的i 位，必站在剩下n-1 个位置上，a i有n-1 种站法。 对a i每一种站法，如a i站在 j位，对应j位的元素a j的站位总有两种情形： 第一种情形：
高考专题---总结排列组合题型
总结排列组合题型 一． 直接法 1．特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理： 25A 24A =240 2．特殊位置法 （2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二． 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法 2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂， 因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数3 33352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-22 4 2⨯C ⨯22A =432（个） 三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少 中插入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有1 1019A A ⨯=100 中插入方法。 四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×44A =576
全错位排列问题(1)
5 全错位排列问题 1．错位排列问题 例 1. 4 名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有 种. 例 3.五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置， 则不同的坐法有 种. 解析：可以分类解决： 第一类，所有同学都不坐自己原来的位置； 第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置. 对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原 来 的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题. 设 n 个元素全错位排列的排列数为 T n ，则对于例 3，第一类排列数为 T 5，第二类先确 定一个排原来位置的同学有 5 种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为 5T 4，第三类先确定两个排原位的同学，有C 2 =10 种，所以第三类的排列数为 10T 3，因此例 3 的答案为：T 5+5T 4+10T 3=109. 由于生活中很多这样的问题，所以我们有必要探索一下关于全错位排列问题的解决方 法. 2．关于全错位排列数的一个递推关系式：T n = (n -1) ( T n -1+T n -2) ，（n ≥3） (1). (2). 递推关系的确立 显然对于 n =1，2 时有 T 1=0，T 2=1. 对 a i 每一种排法，如 a i 排在 j 位，对应 j 位的元素 a j 的排位总有两种情况： 第一种情况：a j 恰好排在 i 位上，如表（1） 表（1） 此时，a i 排在 j 位，a j 排在 i 位，元素 a i ，a j 排位已定，还剩 n -2 个元素，每个元素均
备战高考数学(精讲+精练+精析)必做02排列与组合试题(江苏版)(含解析)
专题2 排列与组合 【三年高考】 1. 【2016高考江苏】（1）求的值； （2）设m，n N*，n≥m，求证： （m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1） . 【答案】（1）0（2）详见解析 试题解析：解：（1） （2）当时，结论显然成立，当时 又因为 所以 因此 【考点】组合数及其性质 【名师点睛】组合数的性质不仅有课本上介绍的、，更有，现在又有，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用. 2．【2016高考新课标2理数改编】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于
G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为． 【答案】18 【解析】 试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有条路，再从F处到G处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条． 考点：计数原理、组合. 【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． 分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 3.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为． 【答案】72 【解析】 试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共种可能，所以其中奇数的个数为． 考点：排列、组合 【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．. 4.【2016高考新课标3理数改编】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0， 项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有个． 【答案】14 【解析】