第五章__厚壁圆筒的分析2[1]
压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析PPT课件
3/9/2021
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 13
则平衡方程（不计体力）为
dr r 0
dr
r
dz 0
dz
(2-5)
3/9/2021
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 14
几何方程为
rd du r, u r, zd dw z
(2-6)
变形协调方程
d d r1 r(d du ru r)1 r(r)
3/9/2021
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 25
（2）两端封闭的筒体（筒体端部有端盖） 轴向应力由轴向平衡条件求得
(R o 2 R i2 )zR i2 p iR o 2 p o
即
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z
Ri2pi Ro2po Ro2 Ri2
c3
（2-19）
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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（c）
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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将 c1 、c2 值代入式（2-13），得两端开
口的厚壁圆筒的位移表达式
u 1 E(R i2R p io 2 R R o 2 i2 p o)r 1 ER i( 2 R R o o 2 2( p iR i2)p ro)
（2-18）
t r
1 E
t r
( t
1Ri2Ro2(pi po
E
Ro2 Ri2
)
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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下面列出厚壁圆筒各种受力情况（两端封闭）弹性 状态下的应力及位移计算公式
（1）厚壁圆筒同时作用内、外压
（ pi 0, p00）时
压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析
未来发展方向和前景展望
THANK YOU
汇报人：XX
有限元法的优缺点及其在 工程实践中的应用案例
厚壁圆筒的弹塑性应力分析中的材料模型
理想弹塑性模型：假设材料在受力过程中遵循胡克定律，忽略材料的应变率效应 和温度效应。
弹塑性有限元法：将厚壁圆筒离散化为有限个单元，每个单元的应力应变关系通 过弹塑性本构方程描述。
增量理论：基于增量形式的本构方程，考虑了前一次加载时残留在材料中的应力 场对当前加载的影响。
厚壁圆筒的弹塑性应力 分析的未来发展
PART 01 添加章节标题
PART 02
压力容器厚壁圆 筒的弹塑性应力
分析概述
压力容器厚壁圆筒的结构特点
厚壁圆筒由金属材料制成，具有高强度和耐腐蚀性能。 厚壁圆筒的结构设计应满足压力容器的工艺要求和使用条件。 厚壁圆筒的厚度通常较大，以承受内压和其他附加载荷。 厚壁圆筒的制造过程中需要进行焊接、热处理、无损检测等质量控制措施。
PART 06
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析的未
来发展
新型材料对厚壁圆筒弹塑性应力分析的影响
新型材料的出现将改变厚壁圆筒的弹塑性应力分析的边界条件和载荷条件。 新型材料的力学性能对厚壁圆筒的弹塑性应力分析的精度和可靠性提出了更高的要求。 新型材料的加工制造技术将促进厚壁圆筒的弹塑性应力分析方法的改进和发展。 未来将有更多的新型材料应用于厚壁圆筒的制造，需要进一步研究这些材料对弹塑性应力分析的影响。
提高压力容器的安裂而引起的安全事故 为压力容器的设计、制造和使用提供科学依据
PART 03
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析方法
有限元法在厚壁圆筒弹塑性应力分析中的应用
有限元法的定义和原理
厚壁圆筒的弹塑性应力分 析的数学模型
厚壁圆筒应力分析剖析
厚壁圆筒应力分析剖析厚壁圆筒是一种常见的结构，广泛应用于各个领域，比如压力容器、热交换器等。
在使用厚壁圆筒的过程中，必须进行应力分析，以确保结构的安全性和可靠性。
首先，研究厚壁圆筒的应力分析需要考虑以下几个方面。
1.圆筒的几何形状：厚壁圆筒是由外径、厚度和长度组成的。
这些几何参数会影响圆筒内部的应力分布情况。
2.材料特性：圆筒的材料特性直接影响其应力分布。
研究厚壁圆筒时，通常会考虑材料的弹性模量和泊松比等参数。
3.加载条件：圆筒的应力分布受外部载荷的影响。
载荷的形式可以是压力、温度、重力等。
加载条件的确定对于应力分析至关重要。
接下来，我们将详细介绍厚壁圆筒的应力分析方法。
1.内外压力分析：考虑厚壁圆筒内外的压力差异。
当内外压力相等时，圆筒应力较小。
当内压大于外压时，圆筒将会受到较大的应力。
2.纵向应力分析：厚壁圆筒在纵向方向上承受的应力主要为轴向拉应力。
如果存在压力差，则拉应力沿厚度逐渐增加。
3.周向应力分析：在周向上，厚壁圆筒受到的应力主要为周向拉应力。
当圆筒内外压力不平衡时，周向应力将会增加。
4.切应力分析：切应力是圆筒内部的剪切应力分量。
在圆筒壁厚度的不同位置，切应力的大小也会有所不同。
5.应力分布图：为了更好地理解厚壁圆筒的应力分布情况，可以绘制应力分布图。
这样可以直观地了解不同部位的应力分布情况，以便进行结构优化。
总结一下，厚壁圆筒的应力分析对于确保结构安全性至关重要。
通过分析内外压力、纵向应力、周向应力和切应力，可以更好地理解圆筒的应力分布情况。
通过应力分布图，可以更直观地了解圆筒不同部位的应力情况，从而进行优化设计。
在实际工程中，应力分析的结果可以用来指导材料的选择、结构的设计以及使用中的安全操作。
05_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析
05_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析压力容器是广泛应用于石油、化工、冶金、医药等行业的重要设备，用于存储和运输气体或液体。
在使用过程中，由于内外压差的存在，压力容器的壁会产生应力，如果超过了材料的极限承载能力，就会发生破裂事故。
因此，对压力容器的应力分析非常重要，通过分析容器内壁的应力分布情况，可以判断容器的安全性能，从而采取相应的措施保证其安全运行。
厚壁圆筒作为一种常见的压力容器结构，其应力分析是非常有代表性的。
在进行弹性应力分析时，首先需要确定内压力和外压力的大小。
通常情况下，我们假设容器的内部和外部都是完全承受压力的，即容器内部压力和外部压力均匀分布。
其次，我们需要了解容器的内径、外径、壁厚等几何参数，以及容器所使用的材料的弹性模量和泊松比等弹性性质参数。
在厚壁圆筒的弹性应力分析中，一般采用极限状态设计方法进行计算。
首先，可以根据容器内外压力差的大小，计算容器内部的径向应力和环向应力，这两个应力分量是产生破裂的主要因素。
然后，通过应力的叠加原理，将径向应力和环向应力合成为合成应力，进一步计算合成应力与容器材料的屈服强度之间的比值，根据这个比值可以评估容器的安全性能。
在实际应用中，为了保证压力容器的安全性能，通常会将容器的设计和制造有一定的安全裕量。
在计算容器的弹性应力时，需要将其与容器材料的屈服强度进行比较，以确保应力值处于安全范围内。
如果计算得到的应力值超过了材料的屈服强度，就需要重新设计容器的结构或者更换更高强度的材料，以满足安全性能的要求。
总之，压力容器的应力分析是确保容器安全运行的重要手段之一、通过对容器内壁的应力分布进行分析，可以评估容器的安全性能，并采取相应的措施保证其安全运行。
在进行压力容器的设计和制造过程中，应该遵循相应的规范和标准，确保容器的结构和材料能够承受内外压力的作用，从而保证容器在工作过程中不会发生破裂事故，保障工业生产和人身安全。
厚壁圆筒的弹性应力分析
周向应变
对第二式求导并变换得：
第五章 高压容器设计
20
第二节 高压容器筒体的结构与强度设计
二、厚壁圆筒的弹性应力分析 （一）受内压单层厚壁圆筒中的弹性应力
物理方程 按广义虎克定律可表示为：
第五章 高压容器设计
21
第二节 高压容器筒体的结构与强度设计
二、厚壁圆筒的弹性应力分析 （一）受内压单层厚壁圆筒中的弹性应力
物理方程
第五章 高压容器设计
22
第二节 高压容器筒体的结构与强度设计
二、厚壁圆筒的弹性应力分析 （一）受内压单层厚壁圆筒中的弹性应力
(2)平衡方程
第五章 高压容器设计
23
第二节 高压容器筒体的结构与强度设计
二、厚壁圆筒的弹性应力分析 （一）受内压单层厚壁圆筒中的弹性应力
(2)平衡方程
第五章 高压容器设计
2000MPa
第五章 高压容器设计
4
第一节 概述
二、高压容器的结构特点
高压容器设计与制造技术发展的核心问题： 既要随着生产的发展能制造出大壁厚的容器 又要设法尽量减小壁厚以方便制造。
高压容器特点： 1 结构细长(长径比可达28) 2 采用平盖或球形封头(平盖仅在1m直径以下采用) 3 密封结构特殊多样(多种自紧式密封) 4 高压筒身限制开孔
第五章 高压容器设计
11
第二节 高压容器筒体的结构与强度设计
一、高压筒体的结构型式及设计选型
（二）单层式 单层厚壁高压容器有种形式： 单层卷焊式：直径工序少，周期短效率高 单层瓦片式：生产效率比单层卷焊差，费工费时 无缝钢管式：效率高，周期短 以上三种形式被三方面因素制约： 1）厚壁材料来源； 2）大型机械条件； 3）纵向和环向深厚焊逢中缺陷检测；
厚壁圆筒应力分析PPT课件
c. 几何方程 (应力－应变）
m'1
n' 1
w+dw
m1
n1
m'
w
m
n' n
d
r
图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移
9
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程（续）
径向应变 周向应变
r
w
dw
dr
w
dw dr
r wd rd
rd
w r
变形协调方程
d
dr
1 r
2、压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
2.3 厚壁圆筒应力分析
1
2.3 厚壁圆筒应力分析
主要内容
2.3.1
2.3.2
2.3.3 力 2.3.4 措施
弹性应力 弹塑性应力 屈服压力和爆破压 提高屈服承载能力的
2
2.3 厚壁圆筒应力分析
pi p0 Ri2 R02 1 R02 Ri2 r 2
（2-34）
轴向应力
z
pi Ri2 p0 R02 R02 Ri2
称Lamè（拉美）公式
14
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
受 力 情况 位
应
置
力
分
析
r
仅受内压
po=0 任意半径 r 内壁处
处
K
pi 2 1
一、压力载荷引起的弹性应力
二、温度变化引起的弹性热应力
5
2.3 厚壁圆筒应力分析
第5章 厚壁圆筒的分析
讨论：位移分量的确定，须给出位移约束条件。 设
ab r r0 和 0处, 2 v 0 r
u 0,
v 0,
则有
1 A u (1 ) 2(1 ) Br (ln r 1) (1 3 ) Br E r 2(1 ) Br 2(1 )Cr
当r = a时，r = 0， = 2p2。
这说明，在外部均匀压力作用下，无限域
开孔后，孔周边应力集中系数为2。 如果外部压力不均匀，集中系数该如何？
【例】曲梁纯弯曲问题的弹性力学解答
曲梁区域由两对圆弧坐标线和两条径线围成，设
厚度为单位1。 由于是纯弯曲，各截面M 相同，因而应力分量与 无关，为轴对称问题。 【解】应力分量
屈服条件——在轴对称平面应变条件下，
并假设泊松比 = 0.5，Tresca屈服条件与 Mises 屈 服 条 件 只 相 差 一 个 系 数 ， 即 ， Tresca屈服条件中 s 的系数为1，而Mises 屈服条件中s的系数为/ 3 。两个屈服条 2 件中都是应力偏量起控制作用，而应力偏 量代表剪应力。可以采用其中一个屈服条 件求得解答，可以将此解答中的屈服极限 s乘以相应的系数，得到相应的解答。
弹性区与塑性区交界处的塑性径向应力 rp q p p s ln a
因应力连续，上二者相等，则弹塑性极限
荷载 pp 为
rp2 s p p s ln 1 2 a 2 b rp
塑性极限荷载
当rp = b时，整个截面全部进入塑性状态，厚壁圆
弹塑性状态下的位移
弹性区位移（rp r b）
1 (1 )r s 2 2 ue (1 2 )r b 2 2 Eb r 塑性区位移（a r rp）
弹塑性力学-05厚壁圆筒
σs
σθ a
b
塑性区的应力分量是静定的。 塑性区的应力分量是静定的。
σr
p
ρ
10
二、弹塑性分析
2. 弹塑性分析
交界处：r＝ ρ 交界处：
σr = − ρ 2σ s b 2
ρ: 弹塑性分界面的半径。 弹塑性分界面的半径。
e p σr =σr
2 − 1 σ 2b 2 r ρ 2σ s b 2 ρ 2 − 1 = σ s ln − − p 2 2b ρ a σs ρ2 ρ 1 − 2 + 2 ln p= 2 b a
材料是不可压缩的：µ=0.5 材料是不可压缩的： 理想弹塑性材料： 理想弹塑性材料：
σr
p
σ ε
b2 1 − 2 r a2 p b2 1 + 2 σθ = 2 2 b −a r a2 p σr = 2 b − a2
7
二、弹塑性分析
1.弹性极限压力 弹性极限压力
ρ 2σ s b 2
2b 2
2 − 1 r
ρ ≤r≤b
σθ =
ρ 2σ s b 2
2b 2
2 + 1 r
r r σ r = σ s ln − p * a ≤ r ≤ρ σ θ = σ s 1 + ln − p * a a a2 p* b2 a2 p* b2 e e 1 + 2 1 − 2 σθ = 2 σr = 2 2 2 b −a r b −a r r b2 p a2 1 − 2 a ≤ r ≤ ρ σ s ln − 2 2 a b −a r r σr = σ sρ 2 a 2 p b2 2b 2 − b 2 − a 2 1 − r 2 ρ ≤ r ≤ b P214(5-36)
厚壁圆筒的弹性分析
厚壁圆筒的弹性分析根据三个方程 一，基本方程0=-+rdr d r r θσσσ （1） 二，几何方程rudr du r ==θεε, （2）三，物理方程)(1)(1r r r EEμσσεμσσεθθθ-=-=（3）上面三个方程中，r 为圆筒内任一点处的半径，E 弹性模量，μ为泊松比，u 为筒内各点沿半径方向的位移将（2）和（3）联立， σσθγμ-dr duE = （4） σσγθμ-r uE = （5）由（4），（5）得）（r udr du -1E 2μμσγ+=（6） ）（dr duru -1E 2μμσθ+=（7） 将（6），（7）代入到（1）中得0r u-dr du r 1dr u d 222=+ （8） 令r=et0ru -dt du r 1dt du -dt u d r 122222=+）（ （9） 整理为0u -dtud 22= （10） 则（10）的特征方程为 （r+1）（r-1）=0得1-1r r 21==， 所以u 的通解为rBAr Be Ae u t -t +=+= （11） 式中A ，B 为积分常数将（11）代入（6）和（7）中得 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=22r -1B -1A -1E μμμσγ(12) ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=22r u -1B 1A -1E μμσθ(13) 当r=a 时 1r-p =σ 当r=b 时 2r-p =σ代入（12）中得()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=221a -1B -1A -1Ep -μμμ （14） ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=222b -1B -1A -1E p -μμμ （15） 由此可以求得222122222212a -b p -p b a E 1B a -b p b -p a E -1A ）（μμ+==则径向应力：()()r 1a-b b a p -p a -b p b -p a 222221222212∙=—σγ（16） 环向应力：()()r 1a-b b a p -p a -b p b -p a 222221222212∙+=σθ（17）上式中a为圆筒内径，b为圆筒外径，p1和p2分别为圆筒所受的内压力和外压力，r为圆筒内任一点处的半径。
《厚壁圆筒》课件
具有良好的强度和塑性，易于加工，成本较低。适用于一般压力容器。
具有优良的耐腐蚀性能，可用于腐蚀性介质场合。但成本较高，加工困难。
不锈钢
碳钢
切割
采用机械或激光切割方法，将材料切割成所需尺寸。
成形
通过卷板机或模具将钢板弯曲成厚壁圆筒的形状。
采用合适的焊接工艺，确保焊缝质量，提高厚壁圆筒的整体强度。
新型材料：研究和开发新型材料，以提高厚壁圆筒的综合性能。例如，研究高强度、高韧性、耐腐蚀的新型钢材和钛合金等。
06
厚壁圆筒的发展趋势与展望
先进的热处理工艺能够改善厚壁圆筒的机械性能，提高其韧性和强度。
热处理技术
镀锌、喷塑等表面处理技术提高了厚壁圆筒的耐久性和美观度。
表面处理技术
1
2
3
随着工业4.0的发展，厚壁圆筒制造将向智能化转型，实现生产过程的自动化和信息化。
形状优化
对厚壁圆筒的连接、密封等细节进行优化，以提高其可靠性和使用寿命。
细节处理
热处理工艺
焊接工艺
表面处理
加工工艺
01圆筒材料的力学性能和耐腐蚀性。
优化焊接工艺参数，提高焊接质量，减少焊接缺陷。
采用喷涂、电镀等表面处理技术，提高厚壁圆筒的耐腐蚀性和耐磨性。
采用先进的加工工艺，如数控加工、激光切割等，提高加工精度和生产效率。
径向变形分析
厚壁圆筒在承受轴向拉伸或压缩时，会产生轴向变形，表现为圆筒的长度增加或减小。
轴向变形分析
厚壁圆筒在承受内压或外压时，会产生周向变形，表现为圆筒的周长增加或减小。
周向变形分析
刚度分析
厚壁圆筒的刚度是指其抵抗变形的能力。在承受内压或外压时，圆筒的变形程度会影响其刚度。
厚壁圆筒理论
pe
s
2
1
a2 b2
p
s
2
1
r2
b2
2 ln
r
a
pl
s
ln b a
p
pl pe
ue
ul
p pe
u 与 p 成线性关系。
pe p pl
u 与 p 成非线性关系，位
u ra
移增长速度变快。
（出现变形后，抵抗变形能力
下降。）
p pl
无约束变形增长阶段。
§5－2 幂强化材料厚壁圆筒分析
一、假设
u
b2 p E(b2 a2 )(1 )a2rFra bibliotek(1
)r
u
rb
bp E
b2 b2
a2 a2
d 1
一、套装压力
❖外筒：套装压力为内压 p
u
E
b2 p (c2
b
2
)
(1
r
)c
2
(1 )r
ab c
u
rb
bp E
c2 c2
b2 b2
d2
❖套装的几何条件： d d1 d 2
r q r
ab p
q r
s
1
ln
sr
2b2
2
r a
b2 p b2 a2
1
a2 p b2 a2
1
b2 r2
a2 r2
arr r rb
❖ 内表面产生压缩的切向残余应力，当再次加载时，产生 的切向应力被抵消一部分，可提高圆筒的弹性极限压力。
➢液压自紧（密封） ➢机械自紧（冲头挤扩） ➢爆炸自紧（研究阶段）
1.弹性极限压力
05_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
仅考虑温差引起的热应力： 对于对称于中心轴且沿轴向不变的稳态温度场， 厚壁圆筒内的三向热应力表达式为
周向热应力 径向热应力 轴向热应力 Et 1 ln K r K 2 1 2 2(1 ) ln K K 1
这样，有几何方程 (又称：变形协调方程)
d 1 r dr r
(2 28)
上式表明，微元体的应变遵循一定的关系等式。
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
物理方程 (弹性范围内的微元体应力与应变关系式) 在三向应力状态下，应力与应变有下列关系
1 r r ( z ) E 1 ( r z ) E 1 z z ( r ) E
2.3.1 弹性应力
2.3.1 弹性应力 (1) 压力载荷引起的弹性应力 ① 轴向(经向)应力σz
Pi P0 z Pi P0 pi Ri2 p0 R02 F R02 Ri2 F R0 pi Ri2 p0 R02 pi p0 K K (径比) z (2 25) 2 2 2 Ri R0 Ri K 1
② 根据第一强度理论，有：σ1 =σϴ ≤[σ], 最大的 σ1 在内壁面处 ( r=Ri )，因此内壁面为危险部位，屈服 首先由内壁面开始。同理，如果根据第三强度理论， 有：σ1 - σ3=σϴ - σr ≤[σ], 最大的σ1 - σ3仍然在内壁面处， 因此内壁面为危险部位。这里，第一强度理论和第三 强度理论得出相同的危险部位位置。 ③ σr 、σϴ 和σz 沿壁厚方向的分布是不均匀的，在内壁 面处应力值较大，外壁面处应力值较小，表明筒体材 料未得到充分利用。
厚壁圆筒的弹塑性分析
厚壁圆筒的弹塑性分析弹塑性分析是一种结构分析方法，适用于材料在一定强度范围内既具有弹性行为又具有塑性行为的情况。
厚壁圆筒是一种常见的结构，广泛应用于工程中，如汽车零部件、压力容器等。
本文将介绍厚壁圆筒的弹塑性分析方法，并结合一个具体的例子进行说明。
厚壁圆筒的弹性分析是指在圆筒内外受到压力作用时圆筒的变形和应力分布的计算。
在弹性阶段，材料的应力-应变关系是线性的，可以通过胡克定律描述。
在塑性阶段，材料的应力-应变关系是非线性的，需要采用本构关系来描述。
首先，我们来介绍圆筒的几何参数。
厚壁圆筒可以由内外半径分别为R1和R2的圆柱体围成，圆柱体的高度为h。
此外，圆筒的材料有一个屈服强度σy，用于描述材料的塑性行为。
对于厚壁圆筒，弹性阶段的计算相对简单。
在内外压力P的作用下，圆筒的应变可以通过应力与材料的弹性模量E之间的关系得到。
圆筒的轴向应变εr可以通过胡克定律得到：εr=σr/E其中，σr是圆筒轴向应力，E是材料的弹性模量。
圆筒的周向应变、轴向切变应变可以根据几何关系得到。
在弹性阶段，应力满足柯西－格林弹性方程：σr=λ(εr+εθ)+2μεrσθ=λ(εr+εθ)+2μεθτrz = μ(εr - εθ)其中，λ和μ是材料的拉梅常数，可以通过杨氏模量E和泊松比ν计算得到。
当圆筒的应力达到屈服强度σy时，就进入了塑性阶段。
在塑性阶段，应力与应变之间的关系通过本构关系来描述。
常用的本构关系包括线性硬化本构关系、塑性截面变形本构关系等。
本文以线性硬化本构关系为例进行说明。
线性硬化本构关系假设材料的塑性应变是线性增加的。
圆筒中心的塑性应力σp和塑性应变εp可以通过以下方程计算：σp=σyεp=(σr-σy)/E*H其中，E*是圆筒在弹性阶段的等效弹性模量，H是圆筒的等效刚度。
对于给定的压力P，可以通过迭代法来确定圆筒的应力和应变分布。
首先假设圆筒是在弹性阶段，在初始状态下计算应力和应变分布。
然后，通过本构关系计算塑性应力和塑性应变分布。
弹塑性力学5厚壁圆筒的分析
r
a 2 p1 b2 a2
(1
b2 r 2 ),
a 2 p1 b2 a2
b2 (1 r 2 )
u
E
a2 (b 2
p1 a
2
)
[
(1
r
)b
2
(1 )r]
②厚壁圆筒仅受外压p2，即p1=0
r
b2 p2 b2 a2
(1
a r
2 2
),
b2 p2 b2 a2
p1
f (b)
2
使 ( r )ra or b 的组合值较小
f (b) 0 b
分层半径 b ac
ab
p1
cHale Waihona Puke q bcq
b2 (c2
2b 2 c 2 b2 ) c2 (b2
a2)
p1
b ac
内筒外半径处：
q p1
2
p
q
( r
)rb
ca 2(c a)
弹塑性分析
当内压 p 较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，
r
a2 p b2 a2
(1
b2 r2
),
a2 p b2 a2
b2 (1 r 2 )
在r=a处，( r ) 有最大值
内壁处最先屈服
( r )ra s
弹性极限压力
pe
s
2
(1
应力组合 ( r )在r=a和r=b处 均有可能先达到临界值。
何处先达到与 b 和δ的选择有关 设内外筒体同时产生屈服
弹塑性力学-05厚壁圆筒
σθ
r
r b2 p a2 1 + 2 σ s 1 + ln − 2 2 a b −a r = σ sρ 2 a 2 p b2 2b 2 − b 2 − a 2 1 + r 2
ρ ＝b
b p l = σ s ln a
r σ r = σ s ln b
σ θ = σ s 1 + ln
r b
p=
σs
ρ 1 − 2 + 2 ln 2 b a
ρ2
塑性极限压力
σθ
σs σr
p
a
b
12
讨论： 讨论：
Mises 条件 条件:
(σ r − σ θ )2 + (σ θ
14
四、残余应力
结构经历弹塑性变形历史后零外载对应的应力。 结构经历弹塑性变形历史后零外载对应的应力。 初次加载( 时的应力： 初次加载 p*>pe ) 时的应力：σij 卸除的应力： 卸除的应力：σij e 残余应力： 残余应力：σij r
σ ij = σ ij − σ
r
e ij
15
σr = −
2. 弹塑性分析
弹性区：ρ≤ r ≤ b 弹性区： σ r = C 1 + C 2 r −2 σ θ = C 1 − C 2 r −2
边界条件： σ 边界条件：
r r=b
ρ: 弹塑性分界面的半径。 弹塑性分界面的半径。 σs
σθ a b
σr
=0
p
屈服条件： 屈服条件： σθ – σr）r=ρ = σs （
a≤r≤ ρ
ρ ≤r≤b
05厚壁圆筒
r: 弹塑性分界面的半径。
s d r dr r
r s lnr C
C p s lna
塑性区：a r r
屈服条件： q – r= s
r r s ln p a r q s 1 ln p a
塑性区的应力分量是静定的。
b2 1 r 2
a2 p q 2 b a2
b2 1 r 2
二、弹塑性分析
1.弹性极限压力
a2 p r 2 b a2 b2 1 r 2 <0
(1 )b 2 a2 p u (1 )r 2 2 E (b a ) r
u
e
rr
u
p
rr
(1 ) r 2 s 2 2 C b ( 1 2 ) r 2 Eb 2
(1 ) r 2 s 2 2 u b ( 1 2 ) r 2 Eb 2 r
=1/2
3 r 2 s u 4 Er ul ue b2 2 a
弹性极限状态:
arr
r rb
内表面产生压缩的切向残余应力，当再次加载时，产生 的切向应力被抵消一部分，可提高圆筒的弹性极限压力。 液压自紧（密封） 机械自紧（冲头挤扩） 爆炸自紧（研究阶段） 自紧或自增强工序
五、位移分量（平面应变状态）
2 2 ( 1 ) a p b 1. 弹性阶段： u (1 2 )r 2 2 E (b a ) r
e ij ij ij r
r
r 2 s b 2
2b
2
r 2 1
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式中，A ，B 是积分常数。
当给定u uuS =时，可以用上式确定。
当给定力的边条时，用位移表示应力分量的表达式确定A ，B 。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-=--+-=++--=++--=+-=+-=])1()1[(1])1()1[(1][1]1)([1)]([1)(122222222222r B A E r B A E r B Ar r B A E r r B Ar rB A E r u dr du E E r rνννσνννννννννννεενσθθ （5－14） 应力法和位移法这两种解法求得的位移，积分常数之间的关系为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+--=r B Ar u rC r C E u ])1()1[(121νν比较得： .211,1C EB C E A νν+-=-= 这是按平面应力问题进行的讨论。
平面应变问题只需做常数替换。
由：221rC C r+=σ 和 221rC C -=θσ得：12C r=+θσσ()[][]1211C EEz rzz νσσσνσεθ-=+-=⇒分析：当0=zσ或const z=σ时，r ε为常量。
即在z 方向的变形为均匀变形，垂直于轴线的平面在变形过程中保持为平面。
5-1-2 均匀厚壁圆筒如图示的厚壁圆筒内半径为a ，外半径为b 。
内压1p ，外压2p 。
边条：21,p p br rar r-=-===σσ由（5－9）式：221rC C r +=σ则有：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=+=-=+===22211221p bC C p aC C br rar rσσ联解得： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=122222222122211p p a b b a C p b p a ab C解释系数：21222212222121221)(a p b p a b C b p C b C a p C a C +-=-⇒⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎪⎬⎫-=+-=+()⎥⎦⎤--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⇒--=⇒)(1)(112222222212222122221221p p a b b a b p a p a b a ap C b p ap abC将21,C C 回代入（5－9）式~（5－10）式：u r r ，，，，θθεεσσ 应力分量为式（5－15）： ())(111222222221222221p p ab ba rp b p aab rC C r --+--=+=σ()2222122221222122222212221)()]([1ab p b p a rab p p b a p p rb a p b p a ab --+--=-+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+---=--+--=222212222122222221222212221)(1)(a b p b p a r a b p p b a ab p b p a r a b p p b a r θσσ （5－15）应变分量：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+--+-=---+--+=])1(1)()1([1])1(1)()1[(122221222212222222122221222a b p b p a r a b p p b a E ab p b p a r a b p p b a E r ννεννεθ （5－16）位移分量： ])1(1)()1([12222122221222r ab p b p a rab p p b a Eu ---+--+-=νν （5－17）分析：（1） 式（5－15）称拉梅公式，与弹性常数ν,E 无关，适用于两类平面问题； （2） 式（5－16、17）为平面应力状态下的应变分量，位移分量； （3） 在考虑平面应变问题时，（5－16）、（5－17）式ν,E 要替换。
轴向分量：（1）平面应力问题0,0≠=z z εσ （2）平面应变问题0,0=≠z zεσ()[]θσσνσε--=rzz E10=zσ时， ()[])()(212221222p b p a a b E Erz ---=--=νσσνεθ（5－19）0=z ε时， ())(22221222p b p a ab rz---=-=νσσνσθ（5－18）注：拉梅公式适用于a b k /=为任意值的情况。
下面讨论两种情况：1、0,012≠=p p 时，仅承受内压1p 作用。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=--=--=-+--=)1()1()(122221222221212212222212222122r ba b p a r ba b p a p r bp a b a a b p a r a b p b a r θσσ （5－20） ])1()1([)(22212r rba b E p a u νν-++-=（5－21）2、0,021≠=p p 时，仅承受外压2p 作用。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=---=)1()()1()(222222222222ra ab p b r a a b p b r θσσ （5－22） ])1()1([)(22222r raa b E p b u νν-++-=（5－23）分析：图（5－2）则有：（1）两种均压下，径向应力r σ均为压应力，且a r r ==σσ(max)，b r r ==σσ(max)。
即： 21p p br rar r-=-===σσ，（2）均压下切向应力，内压时0>θσ，外压时0<θσ，且，ar ==θθσσmax，即：;020122201222222>--=>-+-=====p ab ap a b a b p br p ar θθσσ0022222202222011<-+-=<--=====p ab a b ab p b p br p ar θθσσ第二节 厚壁圆筒的弹塑性分析基本情况：内外半径分别为b a ,的厚壁圆筒，内部受压p ，前面公式中p p =1,02=p 理想弹塑性材料。
（图5－3）受力分析：p 增大，θσ增大，rσ增大 ⇒ 塑性状态（弹性区域减少，塑性区域增加）⇒ 截面全部进入塑性状态（塑性极限状态）,此时有：max p p =，瞬时变形速度无穷大。
讨论问题：限定轴对称平面应变问题（z σ增大），21=ν。
5-2-1 屈服条件1、塑性理论中的两种屈服条件 （1）米泽斯屈服条件在极坐标系中，用应力分量表示的屈服条件，由式（3－23）可得出s R σ=。
()()()()222222226s zr z r r z z r στττσσσσσσθθθθ=+++-+-+-（2）特雷斯卡屈服条件用主应力表示，由（3－21）式得出：2/s k σ=；()s σσσσσσσ=---133221,,m a x 2、轴对称平面应变问题（厚壁圆筒）屈服条件0===zr z r τττθθ， z r σσσθ，，均为主应力。
()θσσσνε+=⇒==r zz 2121,将z σ代入米泽斯屈服条件，有： ()()()222]21[]21[σσσσσσσσθθθθ-+++-+-r r r()()()()()]4141[22222r r r rrr r σσσσσσσσσσσσσσθθθθθθθ++-+++++-+-=()()]21[22θθθθσσσσσσσσr rr r -++-+-=()()θθθσσσσσσr rr22122-++-=()()θθθθσσσσσσσσr r rr 2221222-+++-=θθθθθσσσσσσσσσσr r r r r 22122122222-++++-=()()2222222232232121332323θθθθθθθσσσσσσσσσσσσσσ-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=rr rr r r r即：()22223s rσσσθ=-，有()2234srσσσθ=-s s r σσσσθ115.132==- （5－24） (0<>rσσθ图（5-2)a)式（5-24）为轴对称应变问题的米泽斯屈服条件。
当分析图（5－2)a 的情况，已知应力大小，并取： )(,,,321r zr zσσσσσσσσσθθ>>===且： 0,0<>r σσθ，则有：特雷斯卡屈服条件s r σσσθ=- （5－25） 即：在轴对称平面应变条件下，设21=ν，按两种屈服条件进入塑性状态时，其应力组合相同，所满足的条件仅相差一个系数。
亦即：当按（5－25）式分析的s σ乘以32则变成了米泽斯屈服条件的结果。
3、结果解释一般，两种屈服条件的数学表达式和物理解释都不相同，而全面的讨论，应力组合相同，满足的条件仅相差一个系数，形成这种状况的原因从两方面解释。
（1）厚壁圆筒的应力偏量状态 ① 在厚壁圆筒内 0,<>>r r zσσσσθ，且为主应力，则有：)(21m a x r σστθ-=② 因为 )(21r zσσσθ+=，则平均应力)(0σσm 为： z r r rz rmσσσσσσσσσσσθθθθ=+=+++=++=)(21)](21[31)(31③ 应力偏量： m a x)(21τσσσσθθθ=-=-=r mS ma x)(21τσσσσθ-=--=-=r mr r S0=-=m z z S σσ 即：此时的应力偏量状态为纯剪切。
④ 结论在应力状态中),,(z r σσσθ减去静水压力)(0σ，屈服条件并不改变，即可用应力偏量状态判断材料是否屈服。
（2）分析两个屈服条件 单向拉伸时，)0,0(321==>σσσM i s e s 屈服条件： 2222s σσθ= ()1σσθ=T r a s c a 屈服条件： s σσθ=两条件完全一样，而在描述纯剪切时相差15.5%。
若使用纯剪切重合的屈服条件，即：()()()[]()kkJ 2,,max 6113322122132322212=---=-+-+-=σσσσσσσσσσσσ则在该问题中两个屈服条件完全一样。
注意：22max 231k =τ，k 22max 13==-τσσ，可以帮助理解上式。
5-2-2 弹塑性分析当内压p 较小时，弹性状态，其应力分量为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+-=---=)1()1(2222222222r b a b p a rba b pa rθσσ（5－26） 当a r =时，组合应力)(r σσθ-达最大，即： 222222222222222122)]1()1([)(ba p ab p b rb ab p a ab ab p a ar r -=-=--++-=-=θσσ筒体由内壁开始屈服，即此时内压为e p ，则有： s a r r σσσθ=-=)( 所以有：s e ba p σ=-2212 ， )1(222ba p s e -=⇒σ （5－27）式中，e p —弹性极限压力（1）当e p p <时，圆筒处于弹性状态；（2）当e p p >时，筒体内壁附近出现塑性区，p 增大，塑性区扩展； （3）因应力组合)(r σσθ-具有对称性，其弹塑分界面为圆柱面； （4）弹塑性状态下内压p 增大到p p ，其分界半径为p r ；（5）分两个区讨论，在分界面上，应力相等，图（5－4）a ；195p（6）看作两个厚壁圆筒分析，内筒外半径p r ，内半径a ，壁厚a r p -；外筒内半径p r ，外半径b ，壁厚b r p -，qr r r b ==σ图[（5－4）（b ）,(c)]195p① 内筒：求应力分量θσσ，r （塑性分析）此时：θσσ，r 应满足平衡方程和屈服条件、：sr r rrdrd σσσσσσθθ=-=-+由上两式：dr rd rdrd sr sr σσσσ=⇒=-积分得出： C r s r +=ln σσ 确定积分常数C ：C a p p s p par r+=-⇒-==ln σσp s p s sr s ps p s s rps p a r p a rp ar p a r p a C -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=+=⇒-=--=⇒--=⇒ln 1lnlnln ln ln σσσσσσσσσσσθ即有（5－28）式成立：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-⎪⎭⎫ ⎝⎛+σ=σ-σ=σθp s p s r p a r ln 1p a rln（5－28）分析（5－28）式知：塑性区应力分量是静定的，仅与p p 有关，与弹性区无关，可以看出：00><θσσ，r 。