第五章__厚壁圆筒的分析2[1]
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式中，A ，B 是积分常数。
当给定u u
u
S =时，可以用上式确定。
当给定力的边条时，用位移表示应力分量的表达式确定A ，B 。
⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
--+-=--+-=++--=++--=+-=+-=])1()1[(1])1()1[(1][1]1)([1)]([1)(12
22
22222222r B A E r B A E r B Ar r B A E r r B Ar r
B A E r u dr du E E r r
νννσνννννννννννεενσθθ （5－14） 应力法和位移法这两种解法求得的位移，积分常数之间的关系为： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+--=r B Ar u r
C r C E u ])1()1[(121νν
比较得： .211,1C E
B C E A ν
ν+-=-= 这是按平面应力问题进行的讨论。平面应变问题只需做常数替换。 由：2
21r
C C r
+
=σ 和 2
21r
C C -
=θσ
得：12C r
=+θσσ
()[][]1211C E
E
z r
z
z νσσσ
νσεθ
-=
+-=
⇒
分析：当0=z
σ
或const z
=σ
时，r ε为常量。即在z 方向的变形为均匀变形，垂直于
轴线的平面在变形过程中保持为平面。
5-1-2 均匀厚壁圆筒
如图示的厚壁圆筒内半径为a ，外半径为b 。内压1p ，外压2p 。 边条：21,p p b
r r
a
r r
-=-===σσ
由（5－9）式：2
2
1r
C C r +
=σ则有：
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫
-=+=-=+===22
2112
21p b
C C p a
C C b
r r
a
r r
σ
σ联解得： ()
()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=--=12222
2222
122211p p a b b a C p b p a a
b C
解释系数：
2
1222212
222121221)(a p b p a b C b p C b C a p C a C +-=-⇒⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎪⎬⎫-=+-=+
()
⎥⎦
⎤--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⇒--=
⇒)(1)
(1122
22
222212222
122
22
12
2
1p p a b b a b p a p a b a a
p C b p a
p a
b
C
将21,C C 回代入（5－9）式~（5－10）式：u r r ，，，，θθεεσσ 应力分量为式（5－15）： ()
)(111222
222
22
12
2
22
21p p a
b b
a r
p b p a
a
b r
C C r --+
--=
+=σ
(
)
2
2
2
2
12
2
2
2
122
2
1222
2
22
12
2
2
1
)()]([1a
b p b p a r
a
b p p b a p p r
b a p b p a a
b --+
--=
-+
--=
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧--+---=--+--=22221222212222
22
2
1222212221)(1)(a b p b p a r a b p p b a a
b p b p a r a b p p b a r θσσ （5－15）
应变分量：
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧---+--+-=---+--+=])1(1)()1([1])1(1)()1[(1
22221222212222
222122221222a b p b p a r a b p p b a E a
b p b p a r a b p p b a E r ννεννεθ （5－16）
位移分量： ])
1(1
)()
1([12
2
2
2
122
2
2
122
2
r a
b p b p a r
a
b p p b a E
u ---+--+-=
νν （5－17）
分析：（1） 式（5－15）称拉梅公式，与弹性常数ν,E 无关，适用于两类平面问题； （2） 式（5－16、17）为平面应力状态下的应变分量，位移分量； （3） 在考虑平面应变问题时，（5－16）、（5－17）式ν,E 要替换。 轴向分量：（1）平面应力问题0,0≠=z z εσ （2）平面应变问题0,0=≠z z
εσ
()[]θ
σσ
νσε--=r
z
z E
1
0=z
σ
时， ()[])()
(212
22122
2p b p a a b E E
r
z ---
=
--=
νσσνεθ
（5－19）
0=z ε时， ())(22
22
12
2
2
p b p a a
b r
z
---
=
-=νσσ
νσ
θ
（5－18）
注：拉梅公式适用于a b k /=为任意值的情况。 下面讨论两种情况：