高考数学复习专题训练—三角恒等变换与解三角形(含解析)

高考数学复习专题训练—三角恒等变换与解三角形

一、单项选择题

1.(2021·深圳高级中学月考)在钝角△ABC 中,AB=2,sin B=√3

2,且△ABC 的面积是√3

2,则AC=( )

A.√3

B.2

C.√7

D.√3或√7

2.(2021·辽宁大连二模)若tan α

2

=

13,则sin (α+5π

2)-1sin (3π-α)

=( )

A.-1

3 B.-3

C.1

3

D.3

3.(2021·山东日照期中)已知△ABC 的三内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,其中R 为△ABC 外接圆的半径,若3a sin A+3b sin B+4a sin B=6R sin 2C ,则sin A sin B-cos A cos B=( ) A.3

4

B.2

3

C.-2

3

D.-3

4

4.(2021·海南二模)古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示.若实数n 满足4sin 218°+n 2=4,则1-sin18°8n 2sin 218°

=( )

A.14

B.12

C.√5

4

D.√3

2

5.(2021·江西南昌期末)“欲穷千里目,更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》,鹳雀楼位于今山西永济市,该楼有三层,前对中条山,下临黄河,传说常有鹳雀在此停留,故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图,某位游客(身高忽略不计)从地面点D 看楼顶点A 的仰角为30°,沿直线前进79 m 到达点E ,此时看点C 的仰角为45°,若BC=2AC ,则楼高AB 约为( )m .

A.65

B.74

C.83

D.92

6.(2021·河北邯郸期末)已知cos α+sin 2β=3

2,sin α+sin βcos β=1

3,则cos(α+2β)=( ) A.4

9 B.5

9

C.5

36

D.-5

18

7.

(2021·湖南长沙模拟)小李在某大学测绘专业学习,节日回家,来到村头的一个池塘(如图阴影部分),为了测量该池塘两侧C,D两点间的距离,除了观测点C,D外,他又选了两个观测点P1,P2,且P1P2=a,已经测得∠P1P2D=α,∠P2P1D=β,由于条件不足,需要再观测新的角,则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组,就可以求出C,D间距离的是()

①∠DP1C和∠DCP1;②∠P1P2C和∠P1CP2;③∠P1DC和∠DCP1.

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

8.

(2021·吉林月考)如图,正三角形ABC的边长为4,D,E,F分别在边AB,BC和CA上(异于端点),且D为AB的中点.若∠EDF=120°,则四边形CFDE的面积为()

A.2√3

B.5√3

2

C.3√3

D.无法确定

二、多项选择题

9.(2021·山东师大附中期末)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b-2a+4a sin2A+B

2

=0,则下列结论正确的是()

A.角C一定为锐角

B.a2+2b2-c2=0

C.3tan A+tan C=0

D.tan B的最小值为√3

3

三、填空题

10.(2021·北京延庆模拟)已知△ABC的面积为2√3,AB=2,B=π

3,则sinB

sinC

=.

11.(2021·山西运城模拟)已知tan θ,tanπ

4

-θ是方程x2+ax-3=0的两个根,则a=.

12.(2021·广东揭阳一模)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a=2,a2=2b2+c2,则△ABC的面积的最大值为.

13.

(2021·山东潍坊一模)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位,制作了一批奖杯,奖杯的剖面图形如图所示,其中扇形OAB的半径为10,∠PBA=∠QAB=60°,AQ=QP=PB,若按此方案设计,工艺制造厂发现,当OP最长时,该奖杯比较美观,此时∠AOB=.

答案与解析

1.C 解析 设内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.

依题意,三角形ABC 是钝角三角形,c=2,sin B=√32,S △ABC =12ac sin B=√3

2,解得a=1,a

2,b=√a 2+c 2-2ac ·cosB =√3,此时cos

C=a 2+b 2

-c 22ab

=

2×1×√3

=0,C=π

2,不符合题意.

当B 为钝角时,cos B=-√1-sin 2B =-1

2,故b=√a 2+c 2-2ac ·cosB =√7,此时cos

C=a 2+b 2

-c 2

2ab

=

2×1×√7

=2√7

7>0,所以C 为锐角,符合题意,故AC=√7.

2.A 解析 因为sin (α+5π

2)-1

sin (3π-α)=cosα-1

sinα,

由于cos α=1-2sin 2α

2,sin α=2sin α

2cos α

2,

所以cosα-1sinα

=

-2sin 2α22sin α2cos α2

=-tan α2=-13. 3.C 解析 由正弦定理a sinA =b sinB =c

sinC =2R ,

得sin A=a 2R ,sin B=b 2R ,sin C=c

2R , 代入3a sin A+3b sin B+4a sin B=6R sin

2

C ,得3a 22R +3b

2

2R +4ab 2R =6R c 24R

2

=

3c 2

2R

, 化简得3a 2+3b 2+4ab=3c 2,即a 2+b 2-c 2=-4

3ab , 所以

cos C=a 2+b 2

-c 2

2ab

=-43ab

2ab =-2

3.

故sin A sin B-cos A cos B=-cos(A+B )=cos C=-2

3.

4.A 解析 1-sin18°

8n 2sin 218°=1-sin18°

8sin 218°(4-4sin 218°)=1-sin18°

8sin 218°×4cos 218°=1-sin18°

8sin 236°=

1-sin18°8×1-cos72°2

=1-sin18°4(1-cos72°)=1

4.

5.B 解析 设AC=x (x>0),则由已知可得AB=3x ,BE=BC=2x ,BD=AB

tan∠ADB =3√3x ,所以DE=BD-BE=3√3x-2x=79,解得x=

3√3-2

≈24.7,所以楼高AB ≈3×24.7=74.1≈74(m).