土中应力计算

第2章 土中 应 力 计 算
自重应力：由土体重力引起的应力
附加应力：由于建筑物荷载在土中引起的应力 要求：
正确理解自重应力、附加应力、基底压力、基底附加压力的概念及影响因素。

掌握各种应力的计算公式、计算方法及分布规律。

第一节 土中应力状态
法向应力以压应力为正，拉应力为负；
剪应力以逆时针方向为正，顺时针方向为负。

σx 、σy 、σz ，τ
xy
=τ
yx
、τ
yz
=τ
zy
、τ
zx
=τ
xz
，
第二节 土中的自重应力
由土体重力引起的应力称为自重应力。

一般是自土体形成之日起就产生于土中。

一、均质地基土的自重应力
土体在自身重力作用下任一竖直切面均是对称面，切面上都不存在切应力。

因此只有竖向自重应力σc z ，其值等于单位面积上土柱体的重力W 。

深度z 处土的自重应力为： 式中 γ为土的重度，kN/m 3 ；F 为土柱体的截面积m 2。

σcz 的分布:随深度z 线性增加，呈三角形分布。

二、成层地基土的自重应力
地基土通常为成层土。

当地基为成层土体时，设各土层的厚度为h i ，重度为γi ，则在深度z 处土的自重应力计算公式
地下水位以上的土层取天然重度γ，地下水位以下的土层取有效重度γ`
( γ` = γsat- γw) γw=10kN/m3 三、土层中有不透水层时的自重应力
在地下水位以下，如果埋藏有不透水层（坚硬的粘土、基岩），该层面处的自重应力应按上覆土层的水土总重计算。

四、水平向自重应力
式中K 0为侧压力系数，也称静止土压力系数
例题 2-1某土层及其物理性质指标如图所示，地下水位在地表下1.0 m ，计算土中自重应力并绘出分布
a 点：
b 点：
c 点：
d 点：
例题 2-2某地基土层的地质剖面如图所示，计算各土层的自重应力并绘出
分布 50m 处：
48m 处：
45m 顶：
45m 不透水层面：
43m 处：
【课堂讨论】
• 土的性质对自重应力有何影响?
• 地下水位的升降是否会引起土中自重应力的变化？如何影响？
作业1、
2
0==h cz γσkpa h cz 6.1816.1811=⨯==γσkpa h h cz 4.271)108.18(6.182211=⨯-+=+=γγσ
kpa
h h h cz 6.523)104.18(4.27332211=⨯-+=++=γγγ
σ0==h cz γσkpa
h cz 3621811=⨯==γσ
h h cz 5.613)105.18(362
211=⨯-+=+=γγσkpa
h h h w
w cz 5.913105.612211=⨯+=++=γγγσkpa
h h h h w w cz 5.1292195.91332211=⨯+=+++=γγγγσ
第二节 基底压力的简化计算
建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称基底压力，又称地基反力。

一、基底压力的分布
基底压力的分布规律主要取决于基础的刚度和地基的变形条件。

对柔性基础，地基反力分布与上部荷载分布基本相同，如由土筑成的路堤，其自重引起的地基反力分布与路堤断面形状相同。

对刚性基础，在外荷载作用下，开始时地基反力呈马鞍形分布；荷载较大时，边缘地基土产生塑性变形，边缘地基反力不再增加，使地基反力重新分布而呈抛物线分布，若外荷载继续增大，则地基反力会继续发展呈钟形分布。

（a ）理想柔性基础 （b ）路堤下地基反力分布
（a ）马鞍形 （b ）抛物线形 (c)钟形
二、基底压力的简化计算
实用上，通常将基底压力假设为线性分布情况按下列公式进行简化计算：
中心荷载作用下的基底压力：
偏心荷载作用下的基底压力：
F --荷载效应标准组合时，上部结构传至基础顶面的竖向力值.
G -基础自重及回填土总重， 式中l ，b 为基底平面的长边与短边尺寸。

在l 方向偏心.
偏心荷载作用下的基底压力：
1）当 e <b/6 时，基底压力呈梯形分布，p min ＞0； 2）当e ＝b/6 时，基底压力呈三角形分布，p min ＝0；
3）e >b/6 时，即荷载作用点在截面核心外，p min ＜0；基底地基反力出现拉力。

此时基底与地基土局部脱开，使基底压力重新分布。

根据偏心荷载与基底压力的平衡条件，得p max 为： a 为竖向荷载作用点至最大压力边缘的距离a=b/2-e
（a ）中心荷载下 （b ）偏心荷载e<b ／6时 （c ）偏心荷载e=b ／6时（d ）偏心荷载e>b ／6时
三、基底附加压力
• 基础通常是埋置在天然地面下一定深度的。

由于天然土层在自重作用下的变
形已经完成，故只有超出基底处原有自重应力的那部分应力才使地基产生附加变形，使地基产生附加变形的基底压力称为基底附加压力p 0。

因此，基底附加压力是上部结构和基础传到基底压力与基底处原先存在于土中的自重应力之差，按
下式计算：
d-从天然地面算起的基础埋深。

例2-3：已知某基础的底面尺寸为3m ×2m ，基底中心处的偏心力矩Mk =147KN.m ，
竖向力F k +G k =490kN,求基底压力。

若已知基础埋深2.0米，γ=16kN/m3，计算基底附加压力。

解：
3
G G
m /kN 20h
A G ==γγd p p p cz 0γσ-=-=m 5.06l m 3.010********G F M e 3
3k k k =<=⨯⨯=+=2k k min k max k m /kN 67
.3267.130)33
.061(23490)b e 61(bl G F p p =⨯±⨯=±+=2
min k min 02max k max 0m /kN 67.021667.32d p p m /kN 67.9821667.130d p p =⨯-=-==⨯-=-=γγ
例2―4 某柱基础，作用在设计地面处的柱荷载、基础尺寸、埋深及地基条件如图示，计算基底压力和基底附加压力。

解
=G Ad G γkN 4833.25.30.320=⨯⨯⨯=G
F M
e +=
∑
m 169.048310503.267105=+⨯+=
m
583.06
5
.36b ==<kpa 7.103kpa 3.188)5.3169.061(0.35.34831050)
b e 61(bl G F p p
min max =
⨯±⨯+=
±+=3
212211m /kN 69.168
.05.18.0185.116h h h h =+⨯+⨯=+⨯+⨯=γγγ2
min min 02
max max 0m /kN 3.653.269.167.103d p p m /kN 9.1493.269.163.188d p p =⨯-=-==⨯-=-=γγ
第四节 土 中 附 加 应 力
1、土中附加应力是由建筑物荷载在地基内引起的应力。

2、由基底附加应力引起的地基中任一点的附加应力如何确定？ 在计算地基中的附加应力时，一般均假定： ①基础刚度为零，即基底作用的是柔性荷载； ②地基是连续、均匀、各向同性的线性变形体。

③地基是半无限空间弹性体 采用弹性力学解答。

一、竖向集中力P 作用下的地基附加应力
以集中力P 的作用点为原点,以P 的作用线为Z 轴建立起三轴坐标系(Oxyz)，则M
α—集中力作用下土中附加应力系数，可由表查得。

附加应力在地基中的分布规律如图
集中力在地基中引起的附加应力是向深部、四周传播. 1.在集中力Ｆ作用线上,σz 随深度增加而递减； 2、在地面下水平面上,σz 向两侧逐渐减小；
3、在r ＞０的竖直线上，随ｚ的增加，σz 从小增大，至一定深度后又随ｚ的增加而变小；
4、距离地面越远，附加应力分布
的范围越广
当地基表面作用有几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后根据应力叠加原理求出附加应力的总和。

在实际工程中，建筑物荷载都是通过一定尺寸的基础传递给地基的。

对于不同的基础形状和基础底面的压力分布，都可利用布氏公式，通过积分法或等代荷载法求得地基中任意点的附加应力值σz。

具体求解时又分为空间和平面问题的附加应力。

若基础的长度与宽度之比l/b＜10时，地基中的附加应力计算问题属于空间问题。

二、矩形面积受均布荷载作用下的附加应力计算
角点O下z深度处的附加应力σz可按下式计算。

式中αc—均布垂直荷载作用下矩形基底角点
下的竖向附加应力分布系数，由l/b、z/b
查表得到，l恒为基础长边，b为基础短边。

对于均布矩形荷载下的附加应力计算点不
位于角点下的情况，可利用上式以角点法求得。

角点法：通过O点将荷载面分成若干个矩形面积，
O点就必然是各个矩形的公共角点，然后再计算每个矩形角点下同一深度z处的
附加应力σz，并求其代数和。

1、O点在荷载面边缘：
2、O点在荷载面内：
3、O点在荷载面边缘外侧：
4、O点在荷载面角点外侧：
应用角点法时应注意的问题：
①划出的每一个矩形，都有一个角点为O 点；
②所有划出的各矩形面积的代数和，应等于原有受荷的面积； ③所划出的每一个矩形面积中，l 为长边，b 为短边。

例2-5 某矩形基础，长2.0 m ，宽1.0ｍ，基底的附加压力为100 kPa ，如图所示，计算此矩形面积的角点A 、边点E 、中点O ，矩形面积外F 点和G 点下，深度z =2.0ｍ处的附加应力。

(1)计算角点A 下的附加应力:
查得αc =0.1202
(2)计算边点E 下的附加应力
作辅助线IE ，将原来的矩形ABCD 划分为
两个相等的小矩形EADI 和EBCI 。

查得αc =0.084
=2×0.0840×100=16.8 kPa (3) 计算中点O 下的附加应力
作辅助线JK ，IE 将原来的矩形ABCD 划分为四个相等的小矩形OEAJ 、OJDI 、OICK
和OEBK 。

查得αc =0.0474
=4×0.0474×100≈19 kPa (4) 计算矩形面积外F 点下的附加应力
作辅助线CH 、JF 、BG 和HG ，将原来的矩形ABCD 划分为两个相等的长矩形FHDJ 、
FGAJ 和两个小矩形FHCK 、FGBK 。

查得αc1=0.0732
αc2=0.0270
=2×(0.0732-0.0270)×100≈
9.2 kPa
0.20
.10.2b l ==0.20.10
.2b z ==kpa 121001202.0p c A z =⨯==ασ0.10
.10.1==b l 0.20.10.2==b z p c E z ασ2=0.25
.00.1==b l 0.45.00
.2==b z p c O z ασ4=55.05.2==b l 0.45.00
.2==b z 15
.05.0==b l 0.45.00.2==b z p c c F
z )(221αασ-⋅=
(5) 计算矩形面积外G 点下的附加应力
作辅助线CH 、BG 、HG ，将原来的矩形ABCD 划分为一个大矩形GHDA 和一个小矩形GHCB 。

查得αC1=0.1258
αc2=0.0474
=（0.1258－0.0474）×100≈7.8 kPa
0.25.00.1==b l 0.20.10
.2==b z 5.20
.15.2==b l 0.45
.00.2==b z p c c zG )(21αασ-=
第四节 土 中 附 加 应 力
三、矩形面积受竖直三角形荷载作用 在矩形面积一边b 方向上作用着三角形分布的垂直荷载，另一边l 的荷载分布不变，最大荷载强度为p t 。

1、将荷载强度为零的角点1作为坐标原点，则三角形分布荷载角点1下的附加应力为:
2、三角形分布荷载最大边角点2下的附加应力为: b 方向上作用着三角形分布的垂直荷载，另一边l 的荷载分布不变
例题 某方形基础边长为2.0m ，荷载及地基情况如图所示，试求A 点下2.0m 深处的附加应力。

（1）基底压力计算
(2)基底附加压力及分布 (3)荷载作用面积叠加 作辅助线BA ，使A 成为两个相等矩形的公共角点
(4)荷载分布图形的叠加
基底附加压力分布图形可分解为均布荷载（ABDE ）和三角形荷载（CDE ） (5)A 点的附加压力计算 均布荷载：。

)b
z ,b l (、2t 1t 的函数载的附加应力系数为-ααkpa 147kpa 273)21.061(22840)b e 61(A G F P max min =
⨯±⨯=±+=kPa
P kPa
P 111218147237218273min 0max 0
=⨯-==⨯-=F+G=840kN e=0.1m
KPa
P P 111min 00==0.21
2
0.212====b z ，b l
三角形分布： 四、圆形面积受垂直均布荷载作用
设圆形基础半径为r 0，其上作用有均布荷载p 0。

1、圆心点O 下z 深度处的附加应力σz 可按下式计算：
2、圆心点O 下z 深度处的附加应力σz 可按下式计算：
平面问题的附加应力计算
当一定宽度的无限长条面积承受均布荷载时，在土中垂直于长度方向的任一截面附加应力分布均相同，这类问题称为平面问题。

只要算出任一截面的附加应力，即可代表其他平行截面。

在实际工程中并没有无限长的荷载面积。

研究表明，当基础的长宽比 l /b ≥10时，计算的地基附加应力值与按l /b=∞时的解相当接近。

故墙基、路基、挡土墙基础等均可按平面问题计算地基中的附加应力。

五、条形面积受均布竖向荷载
在土体表面分布宽度为b 的均布条形荷载P 0时，坐标原点O 取在条形面积中点，
土中任一点的竖向应力可采用弹性理论中的弗拉曼公式在荷载分布宽度范围内
积分得到： ---条形面积均布荷载作用下 附加应力系数，由
查表得到 六、条形面积受三角形分布荷载
如图所示为条形基础是三角形分布的垂直荷载
作用的情况，荷载最大值为p 0。

将坐标原点取在条
形面积中点，同样可以通过积分的方法求得附加
应力为： —条形面积三角形分布荷载 作用下的附加应力系数，由 查取 1202.01=c αKPa
7.261202.011121z =⨯⨯=σKPa P P P t 126min 0max 0=-=12/2/5.02/1/====b ，z b l 0745.02=t αKPa
z 8.180745.012622=⨯⨯=σKPa
zA 5.458.187.26=+=σ。

r z ，00的函数是数圆心点下的附加应力系-α。

r z ，0r 的函数是应力系数圆形荷载周边下的附加-α0s z z
p ασ=s
z
αb
z m =b x n =P
t
z z α=σt z αb x b
z
例:某条形基础，其荷载分布如图所示，计算G 点下深度为3m 处的附加应力。

解: 需对荷载分布图形进行分解计算，然后叠加
（1）均布荷载（ABDC ）作用 （2）三角形分布荷载（ACG ）作用
本章重点
• 竖向自重应力的计算
• 基底压力及基底附加压力的计算
• 附加应力的计算
224b x ==5.123b z ==55
.0s
z =αkPa
150P =13
3==16.0t z =α。